CC BY
12
УДК 517.956.223 Е. Г. Дьяконов
К ВОПРОСУ О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ, РОДСТВЕННЫХ ЗАДАЧЕ О БОЛЬШИХ ПРОГИБАХ МЕМБРАНЫ
(кафедра общей математики факультета ВМиК)
1. Введение. Хорошо известна фундаментальная практическая и теоретическая значимость (см. [1-6]) задачи о равновесии (прогибе) упругой мембраны. В вариационной постановке она имеет форму
и = аг§тт ф(у|, тш (1)
VEH 3 3 2
а Г1
Здесь <?(£) = [1 ^ С И.2 — ограниченная область с кусочно-гладкой границей Г, функция и
характеризует поперечный прогиб мембраны, Го = Го — участок границы с положительной одномерной мерой, на котором задано однородное краевое условие Дирихле (в частности, Го может совпадать с Г), Г1 = Г \ Го, Н = Н1^] Го) — подпространство в энергетическом пространстве Соболева ИЛ21(^) = Н1(^) (У^НяцП) = ^х)> состоящее из элементов последнего с нулевыми следами
на Го; Н трактуется как гильбертово пространство с
(и,у)н = У Уи-Уийж;
предполагается, что а ^ О, I Е Н*. Задача (1) является уточнением задачи о малых прогибах мембраны, сводящейся (в случае малых к смешанной краевой задаче для уравнения Пуассона; задача (1), а также родственная ей знаменитая задача Плато минимизации площади поверхности, натянутой на заданную замкнутую кривую в Л3 (см. [2, 5, 6]), исследовалась многими крупнейшими математиками как в классической, так и в обобщенной постановках, но при довольно сильных ограничениях на границу области и при не очень естественных выборах банахова пространства, в котором определялся минимизируемый функционал Ф.
Если же говорить о задачах типа (1) как о моделях реальных физических задач, то известно, что важен учет ограничений типа ^ к, где константа к ^ 1 определяется свойствами материала, из которого изготовлена рассматриваемая мембрана (это ограничение при анализе вариационных неравенств в пространствах Н должно выполняться почти везде на (см. [4, 5]), интерес представляют только большие к). Сама математическая модель несет ограниченную ответственность за свою адекватность и при нарушении наложенных ограничений модель становится бесполезной. Поэтому весьма привлекателен и другой известный (см. [7-10]), но пока не очень популярный, способ учета ограничений: видоизменить (модифицировать) саму задачу так, чтобы, с одной стороны, упростить анализ ее корректности и процесс численного отыскания решения (хотя бы частично), а с другой стороны, чтобы при наличии у исходной задачи решения, удовлетворяющего нужным ограничениям, оно бы совпадало с единственным решением модифицированной задачи. При этом удобнее модифицировать даже не саму вариационную задачу, а ее операторную формулировку (уравнение в вариациях типа Лагранжа): ищется и 6 Н такое, что
Ь(и:у) = 1(у) Уу £ Н: Ь(и:у)= I -тгVu■Vvdx+ I стиис?«; (2)
У ' У ' У ' ] п(\Чи\2) } К 7
Г1
(2) означает, что решение (1) должно обращать в нуль градиент (в смысле Фреше) минимизируемого функционала Ф (см. [5, 11]).
В настоящей работе производится подобная регуляризация задач типа (2), обладающая тем достоинством, что анализ корректности новых задач становится достаточно простым (проводится в указанном энергетическом пространстве Н) для весьма общего типа областей с кусочно-гладкой границей,
возможно, нелипшнцевой; обращается внимание и на то, чтобы новые нелинейности были достаточно простыми (фактически, полиномом не выше второй степени). Существенно, что осуществляется и анализ родственных задач в усиленных пространствах Соболева С = (см. [10, 12-15]) для
исходных задач типа
Ъ(щу) + Ь3(щу) = /(и) 6 С; Ь3(щу) = ¡^1 +J DsuDsvds. (3)
г=1зг
Здесь а>0,5 = 5с^ играет роль одномерного подкрепляющего каркаса (системы струн, стрингеров); 51 и • • • и 5Г* — разбиение 5 на г* гладких простых дуг 5Г, г 6 [1, г*] (различные дуги могут пересекаться только в их концевых точках; в частности, некоторые пары дуг, входящие в состав 5, могут касаться в их общей концевой точке, образуя углы, равные нулю или 27т); в — локальный параметр дуги для 5Г, а Иц соответствует дифференцированию вдоль 5Г, г 6 [1,?"*] (соответствующего следа). Особое внимание уделяется анализу подобных задач при а —> +0; если каждый стрингер не образует нулевых углов с другими дугами, входящими в состав 5 и Го, то получены асимптотически оптимальные оценки возмущения относительно сингулярного параметра а.
2. Регуляризация задачи. Идея регуляризации задачи (2) достаточно проста и состоит в переходе к задаче отыскания и 6 Н такого, что
Ь]е{щю) = 1(р) Е Н] Ьк(иф,у) = J тк(\Уи|2)Уи ■ Уи ¿х + J аиуйв, (4)
п Г1
с функцией тк > 0, совпадающей с то(£) = -щу на [0, к2] и имеющей вне [0, к2] более приятные свойства
по сравнению с т в плане изучения корректности (4). Точнее, при к ^ 1 мы определяем на [к2, к2 + 4-1] функцию
тк(0=Т-Т3(С~к2)+Т3(С-к2)2, Т= 1
(1 + Р)1/2'
а при £ ^ к2 + 4"1 мы полагаем тпк(£) = с0 = Т[1 - (16)_1Г2] > 0.
Лемма 1. Функция mk принадлежит С1 ([0, оо)) и такова, что тк(^) существует и неотрицательна везде кроме £ = к2 и £ = к2 + 4-1, для всех £ ^ 0 справедливы неравенства: т'к(£) ^ О,
б!/24
Q(£) = тк(0 + 2^(0 ^ Т = 50l тк(0 + 2^ К (01 ^ — = ¿i < 2.
Доказательство. Первые утверждения леммы следуют из самого определения функции тк. В самом деле, включая пределы для производных, имеем: т'к(£) = — ^ 0, тк(^) = > О
на [О, Л2], т'к(£) = 0, т'1 = 0 при ^ к2 +4"1, = 2Г3 > 0, т'к(£) = -\Т3 +2Г3(^ - к2) <С 0 на
[к2, к2 + 4-1] и т'к (£) = 0 при £ = к2 + 4-1. Кроме того, на [А;2, к2 + 4-1] имеем
i3 Í 2 + ЗА;2 — 3£ jjwrt
0(0 = ^ -1 + (£ - кШ ~ П
<2"(0 {-1 + Щ-6к2},д'(к2) >0, <Э'(0 > о, <9(0 ^ С1 (к2) = Т3 = 80. На оставшихся
значениях £ оценки снизу для <3(0 совсем просты: <3(0 ^ Т — Уб(А^+Ту) = с° ПРИ ? ^ + 4-1,
(5(0 ^ Т3 > ¿о на [О, Л2]. Поэтому важнейшая оценка <5(0 ^ ^о доказана, а проверка оставшейся оценки тк(^) + 2£ |га^(£)| ^ ¿1 не представляет особого труда.
3. Операторная формулировка. В операторной формулировке переход от (2) к (4) равносилен переходу от уравнения Ь{и) = / в Н к уравнению
М«) = / (5)
с /(и) = (/, и) и с операторами £ и Ьк, соответствующими квазибилинейным формам Ъ(щю) и Ък(щю) {Ъ(щ и) = (Ь(и),у) \/и, \/и). Свойства операторов существенно зависят от формы области; поскольку нас интересуют "плохие" области, то при определении границы и замыкания области мы, как в [12, 15], под расстоянием между двумя точками области будем понимать нижнюю грань длин ломаных,
соединяющих эти точки и принадлежащих области. При такой геометрии граница Г состоит из конечного числа попарно не пересекающихся замкнутых кривых в каждая из них не пересекает саму себя и разбивается на конечное число гладких дуг; некоторые пары, пересекаясь в своей единственной общей точке (в вершине), образуют внутренний (относительно и не равный 7Г угол. Если он равен О или 2тг, то будем называть угол сингулярным; вершины сингулярных углов будем называть сингулярными точками границы типа 0 или 2тг соответственно. Компакт будем называть стандартным (почти стандартным) блоком, если Г не содержит сингулярных точек (содержит ограниченное число таких точек). Ниже может быть стандартным или почти стандартным блоком, но для последнего случая мы всегда уточняем условия на множество с^о сингулярных точек границы типа 0 с тем, чтобы следы элементов и 6 Н1(^) на Г были бы элементами ¿2 (Г) (см. [12, 13]). В частности, при шо С Го это всегда имеет место и НТг^ и|1ь2(г) ^ т( Н^НяцП)- Следует, вероятно, подчеркнуть, что само наше понятие почти стандартного блока связано с представлением этого блока в виде предела стандартных.
Теорема 1. Пространство Н = Н1^] Го) является гильбертовым; множество функций из С1 (О.), равных нулю на Го, всюду плотно в нем.
Доказательство. Первое утверждение теоремы отличается от общеизвестного тем, что сейчас допускается Г с ограниченным числом сингулярных точек, из-за наличия которых усложняется вопрос о следах элементов и 6 Н1(^) на Г. Принятое условие с^о С Го, как это отмечено выше, устраняет эту сложность, и необходимо указать лишь, как вопрос о плотности множества функций из С1(^7), равных нулю на Го, сводится к использованию известных исследований. Заметим, что данный вопрос был подробно исследован в [13], но при стандартном в Л2 расстоянии между точками (см. также [10, 12]). Поэтому нужно помнить, что как и разбиение единицы для компакта так и используемые продолжения функций должны пониматься в смысле, определяемом новым и принятым в данной работе понятием расстояния между точками области Остальные же детали доказательства практически совпадают с приведенными в [13].
За норму в данном гильбертовом пространстве Н можно принять
\Щ\н =
|Уи|2 йх
1/2
тогда ||ТгГ1 Ч1ь2(г) ^ 71 |М|Я.
Установим важнейшие характеристики задачи (4) в пространстве Н, понимая всюду ниже под нормой любого нелинейного оператора А (отображающего пространство Н в себя) и его числом обусловленности соответственно
||.4||, „р МИД, = ||.4|| - ||.4-11| .
и-юф 0 IIй —
Нелинейный оператор А, отображающий Н в Н, будем называть оператором Вишика, если для всех элементов и и г из Н
(Л(и + г)-Л(и),г)^/30||г||^, /30 > О, ||Л|К Л-
Напомним, что такой оператор обратим и Л-1 также является оператором Вишика:
(Л-Чи + г) ^И^, ЦЛ"! /Зо"1!-
Теорема 2. Пусть о 6 ¿^(Г!) (см. (1), (4)) и д 6 [0, сгх] почти везде на Г1; пусть ¿1 = ¿1+СТ172. Тогда оператор в (5) является оператором Вишика и
(Ьк(и + г) — Ьк(и), г) ^ 50 \\г\\2 \/и £ Н, Уг £ Н,
\\Ьк\\ ^ 8\12, ЦЬ^Ц ^
Доказательство. Воспользуемся известной формулой (см. [16]) для приращений функционала
(Ьк(и + г) - Ьк(и),ы) = ги) , в Е [0,1],
где и, z,w — любые элементы Н, L'k vz = lim Lk(v+tzJ—Lk (") — дифференциал Гато. В нашем конкретном случае получим
(Li „z, w) =
J {mk(\Vv\2)Vz-Vw+ 2m'k(\Vv\2)[Vv-Vz][Vv-Vw]j dx + J crvzds.
si
Поэтому производная L'k ю есть линейный оператор; (&к =
(Ьк(и + г) - Ьк(и),г) ^ I[тк{\Чу\2) + 2т'к(\Чю\2) |Уг;|2] ¿х,
п
1/2
где V = и + в г с некоторым в 6 [0,1]. Отсюда следует оценка с 5о. Оценка ^ 8г — следствие
неравенства
(Ь'к1„г,г) «С У $[mk(\Vv\2) + 2 т'к( |Уи|2) (1х + J аг2 с1з.
п Г1
Наконец, оценка для ЦЬ^1]] — следствие уже полученных.
Из приведенных неравенств следует не только корректность задачи (5) (оператор Lk в (5) является квазиизометрическим оператором Вишика), но и сходимость итераций ип+1 = и" — г (¿(и") — /) при т Е (0, го); эти неравенства также крайне важны для анализа проекционных методов и эффективных итерационных алгоритмов (см. [10]); очевидно, что при наличии у задачи (2) решения с ^ к
(почти везде) оно совпадает с единственным решением задачи (5).
4. Задача в усиленном пространстве Соболева. Задача (3) (точнее ее модификация) изучается в усилении пространства Н, состоящем из элементов Н со следами на всех стрингерах 5Г, принадлежащими пространству ^1(5Г); это усиление обозначается как С = С1'1 (Г2; 5; Го) (см. [10, 12-15]), и
(и,у)а = У Vи • Vу (1х + J ¿в, (6)
точки из с^о теперь могут быть и на Гх, но при условии, что все такие сингулярные точки границы принадлежат каркасу 5. Часть Г1 (или даже все Г1) целиком может принадлежать 5. Пространства типа С (см. (6)) известны как подпространства в усиленных пространствах Соболева с квадратом нормы
г*
и и2 — и и2 _ _1_ V' и и2 Ни11с = Н^НячП) + Н^НяЧ-Я.) '
г= 1
эта норма эквивалентна норме, определяемой (6), так как для любого стрингера 5Г найдется его часть (дуга) 5Г;о, не содержащая сингулярных точек границы типа 0 и поэтому любой элемент пространства Н1(£1) будет иметь на этой части след, принадлежащий ¿2(^,0)- Именно такие эквивалентные нормы использовались в [13], где подробно изучался вопрос о плотности гладких функций при несколько иных предположениях на границу области, но все же в нужной нам общности, допускающей наличие сингулярных точек на границе. Важно, что в процессе исследования появлялись и нужные нам подпространства с нулевыми следами на Го- Поэтому приводимая ниже теорема 3 фактически является следствием уже известных результатов.
Теорема 3. Пространство С (см. (6)) является гильбертовым; множество функций из равных нулю на Го, всюду плотно в нем.
Модификация задачи (3) состоит в отыскании и 6 С такого, что
Ьк(щ V) + Ь3(щ V) = 1а(ю) 6 С; Ь3(щу) = ¡^50 + J Б8иВ8у ds. (7)
r=1s„
Здесь а 6 (0,1] — малый сингулярный параметр, 1& 6 С*. Задачу (7) запишем в виде операторного уравнения
Lk,G(u) = fG (8)
в С , где = (/0,^)0, Ьк(щю) + Ьз(щу) = (Ькго(и), Уи Ё б, Уи £ С. Введем обозначение
= 1 + ^171 с + а' где 71,с — константа из неравенства НТг^ и||//2(г) ^ 71,с считать, что ^ 71)-
Аналогом теоремы 2 (для этого нового нелинейного оператора служит
1/2
Теорема 4. Оператор в (8) является оператором Вишика и ЦХ^с]^ ^ о>
2 -1 1
(Ьку0(и + г) - Ьк)С(и), г)а ^ |И|С Уи 6 С, Ухеб
Уи £ С (можно
7" -1
С ¿0
Доказательство. В отличие от доказательства теоремы 2 надо использовать исходные формулы (Ьк)а(и + г) - Ьк)а(и),т)а = (ь'к а и+егг, ги) , 0 е [0,1], где
(¿4,=
+ / (Гиг + < ¿0 +
а
Г1
Е
г=1;
О.гО.и7
Дальнейшие же шаги в доказательствах мало отличаются.
5. Роль сингулярного параметра. Из приведенных в теореме 4 неравенств следует корректность задачи (8), но видно, что число обусловленности к(Ьк^) нелинейного оператора быстро растет при а —т- +0. Поэтому представляет интерес (см. [11, 13, 15]) сведение (8) к задаче
ьаиа ее
"¿1,1 г * Ь2,1 7Г
.-^2,1 -а/2. и2. А
(9)
с оператором Ьа в новом гильбертовом пространстве V = С\ X где = С (см. теорему 3), а С?2 совпадает с пространством следов на каркасе 5 (оно определяется ниже) элементов из /1 = /с, /2 = 0 в нашем конкретном случае. Точнее, в (9) единственным нелинейным оператором является ^д, который определяется в квазибилинейной формой
+ бо^ J Dsu1Dsv1ds = (Ь1)1(и1),у1)а1 Ущ Е е
г= 1
и является оператором Вишика, так как Ц^хдЦ ^ ^1,1 = 1 + (7171 с
(£1,1 (И1 + 2:1) - ¿1д(и1), ^ ¿0 Ц^Иб! Уг1
/2 — тождественный в С?2 оператор; ¿2,1 — оператор взятия следа на каркасе 5 от элементов из
Всюду ниже мы предполагаем, что каркас разбивается на несколько связных частей, каждая из которых имеет хотя бы одну общую точку с Го- Кроме того, предполагаем, что каждый стрингер не образует нулевых углов с другими дугами, входящими в состав 5 и Го- При этих условиях за С?2
г* _
следует принять подпространство в П Ил21(5'г), определяемое условиями совпадения следов элементов
г= 1
этих пространств в общих точках различных стрингеров и условиями обращения в нуль следов в точках 5 П Го; норму в этом гильбертовом пространстве можно определить равенством
|и2||2 = / |-С«и2|2 ¿8.
(10)
г=1;
Свойства этого гильбертова пространства С?2 и следы элементов из изучаются почти так же, как и для аналогичных пространств из [13] (в [13] проводились исследования при несколько других условиях на геометрию 5 и Г, но все же отражающих специфику, вызываемую наличием сингулярных точек границы). Поэтому имеет место
Лемма 2. Пусть гильбертово пространство определено при помощи (10). Тогда оператор ¿2,1 взятия следа на каркасе 5 элементов из С\ является нормально обратимым оператором, что позволяет переписать задачу (7) в виде
¿1,1(^1) + -Ь*2 ^2,1^1 = /с. (11)
а '
Напомним, что для нормально обратимого оператора ¿2,1 характерны свойства
1т ¿2,1=^2, ¿2,1-^2,1 ^ 0-2-^2, сг > 0.
Из леммы 2 немедленно следует возможность сведения (7), (11) к задаче (9) (имеет место совпадение решения (11) с первой компонентой решения (9)).
Теорема 5. Оператор Ьа в (9) при а Е [0,1] в гильбертовом пространстве V обратим и имеет число обусловленности к(Ьа), равномерно ограниченное по а Е [0,1].
Доказательство. Операторы типа Ьа и более общие изучались в [14], где они трактовались как обобщения строго седловых операторов и назывались гармонично структурированными. Сформулированная теорема является частным случаем теоремы 5 из [14], в которой вместо оператора Ьа участвовал более общий оператор такого же блочного вида, но с блоком — «¿2,2 вместо —а/2 и где ¿2,25 действующий в гильбертовом пространстве Сг, мог быть нелинейным оператором Вишика. В основе доказательства лежит использование уравнения
-32(Ьа)(и2) ее -аи2+Ь2,1ЬГ][/1 " £2,1^2] = /2
и тот фундаментальный факт, что 32(Ьа) является оператором Вишика. Проверке последнего утверждения помогают известные неравенства (см. [10, 17])
¿2,1-^2 1 ^ о-2/2, \\Li\W ^ (^{(щ + г 1) - ^{(щ), 21) ^ "гЧ^Нс, £ С?1, \Z2ieGi,
Оо ' 1 <>1,1
из которых и следует важнейшее свойство
(52(Ха)(И2+^)-52(Ха)(И2)^2)С2 ^ + Уи2ес2, Чг2ес2.
Указанное сведение к задаче типа (9) имеет важнейшее значение для построения как эффективных проекционно-сеточных методов (смешанных методов конечных элементов), так и соответствующих итерационных алгоритмов с оптимальными характеристиками качества аппроксимаций и затрат вычислительной работы, не зависящими от а Е [0,1]; случай задач в областях с границей без сингулярных точек границы типа 0 был рассмотрен, например, в [10] (наличие подобных сингулярных точек пока остается трудным открытым вопросом).
Отметим еще тот особо важный факт, что задача (9) является корректной и при а = 0 и что этот вариант (9) соответствует появлению на 5 однородных условий Дирихле.
Теорема 6. Пусть решение задачи (9) иа рассматривается как функция параметра а Е [0,1], иа = [и",«™], и" Е С\, и2 Е С2. Тогда существует такая константа К, что справедлива оценка
иа-иа' ^ К\а' - а'\, а' Е [0,1], а Е [0,1]. (12)
Доказательство. Задачи (9) с параметрами а ж а' приводят к уравнениям
-52(хаж) ее -«< + £2,1ьг,1(/1 =/2,
-52(Ха'Ж') ее -а'и^'+Ь2,1ЬГ,1(/1 - ¿2*,1<') = /2, из которых следует соотношение
52(ХаЖ) - 52(ХаЖ') = (а - «'К' ее ^2. (13)
Заметим теперь, что теорема 5 дает равномерную по а оценку норм решений. Поэтому легко проверяется, что Н-РгНе = 0(\а — а'\) и что из (13) следует оценка
и о — и о
4 К\а'-а'\, а' Е [0,1], а Е [0,1]. (14)
Наконец, для оценки нормы разности первых компонент рассматриваемых решений надо привлечь соотношение
^дЮ-^мК^-^К-«?')
и использовать неравенство (14).
Отметим, что оценка (12) является асимптотически оптимальной и что она справедлива и для случая а = 0. В частности, если рассмотреть вариант задачи (4), (5) с Го = Г и от него перейти к задаче типа (7) с каркасом 5, совпадающим с границей Г, то оценка (12) означает, что задача (5) с однородными условиями Дирихле является предельным случаем задач типа (9) в гильбертовом пространстве V. Аналогичный результат справедлив и для случая, когда подобный переход совершается лишь на некоторой части Го- Само появление однородных условий Дирихле может рассматриваться как применение абсолютного усиления энергетического пространства (на соответствующей части границы).
6. Обобщения и замечания. Результаты, подобные полученным для задачи (3), установлены и для более сложной нелинейной задачи, в которой вместо билинейной формы Ьз(щу) в (3) стоит квазибилинейная форма
Ь3(щу)=\ (15)
г=15г
а
g(\Dsu
здесь используемая функция <?(£) (£ ^ 0) в (15) может совпадать с <?(£) = [1-Ь^]1/2 из (1) (допускается большой прогиб на элементах одномерного подкрепляющего каркаса).
Возможны обобщения на случай каркаса, состоящего не из стрингеров, а из стержней 5Г. Тогда в
г*
(7) Ьз(щ V) = {¿о + } X} / + аОвиОву + Ьиу] а ^ О, Ь ^ 0; вся задача ставится в новом
г=15г
энергетическом пространстве С = С1,2 (О; 5), состоящем из элементов Н со следами на всех стержнях 5Г, принадлежащими пространству Ил22(5'г) со скалярным произведением
(и,V а =
J Vu -Vvdx + J D2suD2svds
SI r=1Sr
и удовлетворящими некоторым дополнительным условиям согласования следов в точках пересечения дуг, входящих в состав S U Го; эти условия требуют от элементов v £ ТУ| (^г) совпадения следов в указанных точках; кроме того, следы для Dsv £ W\ (Sr) в этих точках должны определять производные по соответствующим направлениям от некоторой линейной функции на Q (для стандартных блоков они были изучены в работах автора, цитируемых в [17]). Возможен и каркас, состоящий как из стержней, так и из стрингеров.
Достаточно прозрачны чисто математические обобщения теорем 1 и 2, связанные с рассмотрением нескольких пространственных переменных.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М., 1988.
2. Березовский А. А. Лекции по нелинейным краевым задачам математической физики. Т. I. Киев, 1974.
3. Куфнер А., Фучик С. Нелинейные дифференциальные уравнения. М., 1988.
4. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М., 1972.
5. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М., 1980.
6. Эк ланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М., 1979.
7. Part er S.V. Mildly nonlinear elliptic partial differential equations and their numerical solution // Numer. Math. 1965. B7. N 2. P. 113-128.
8. Ладыженская O.A. О новых уравнениях для описания движений вязких несжимаемых жидкостей и разрешимости в целом для них краевых задач // Труды МИАН. 1967. Т. CII. С. 85-104.
9. Ривкинд В. Я., У р а л ь ц е в а Н. Н. Проекционно-разностные схемы для решения квазилинейных уравнений с неограниченной нелинейностью // Вестн. Ленингр. ун-та. 1972. 19. С. 65-70.
10. D'yakonov E.G. Optimization in solving elliptic problems. Boca Raton: CRC Press, 1996.
11. Гаевский X., Г per ер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М., 1978.
12. Дьяконов Е.Г. Некоторые модификации классического принципа Дирихле // Докл. РАН. 2001. 377. № 1. С. 11-16.
13. Дьяконов Е.Г. Усиленные пространства Соболева для областей с нерегулярной границей // Труды МИАН. 2003. 243. С. 213-219.
14. D'yakonov E.G. Asymptotically optimal algorithms for stationary problems in energy spaces / Ed. E.A. Lipitakis. HERCMA 2001 Proceedings. 2002. V. 1. LEA Publishers. Athens, Greece. P. 25-50.
15. Дьяконов Е.Г. О некоторых усилениях пространства Соболева W2 / / Докл. РАН. 2004. 398. № 1. С. 10-14.
16. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М., 1972.
17. Дьяконов Е.Г. Энергетические пространства и их применения. М., 2001.
Поступила в редакцию 07.06.05
УДК 519.658
А. В. Разгулин
О МЕТОДЕ ПРОЕКЦИИ ГРАДИЕНТА
ДЛЯ КВАЗИДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ
С ГЕЛЬДЕРОВЫМ ГРАДИЕНТОМ1
(кафедра математической физики факультета ВМиК)
1. Введение. В теории экстремальных задач в гильбертовом пространстве сходимость методов градиентного типа обычно исследуется при условии сильной дифференцируемости (по Фреше) целевого функционала и выполнения условия Липшица для его градиента (см., например, [1]). Отметим книгу [2], где исследована сходимость градиентных методов для случая дифференцируемых по Фреше функционалов с равномерно непрерывным градиентом. Вместе с тем в последнее время в теории оптимального управления нелинейными оптическими системами с нелокальной обратной связью возникли задачи (см., например, [3]), сводящиеся к минимизации функционалов, удовлетворяющих более слабому условию квазидифференцируемости (определение дано ниже) с непрерывным по Гельдеру градиентом. Условие Гельдера в известном смысле задает промежуточную градацию между свойством равномерной непрерывности и условием Липшица. Использование этой более тонкой селекции свойств гладкости функционала, по нашему мнению, весьма полезно при конструировании и анализе сходимости градиентных методов.
В настоящей работе для задачи минимизации квазидифференцируемого функционала с непрерывным по Гельдеру градиентом установлена сходимость одного варианта метода проекции градиента с конструктивным выбором шага метода, не требующим решения вспомогательных задач минимизации.
2. Определения и вспомогательные предложения. Пусть Н — вещественное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •) и соответствующей евклидовой нормой ||-||. Всюду ниже предполагается, что функционал ¿Т(д) определен на выпуклом замкнутом множестве С С. Н, причем ^ = т£ J(g) > —оо.
1 Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 04-01-00619) и Европейского отделения аэрокосмических исследований (ЕОАКО) (грант СИОР № 11Р0-1391-МО-ОЗ).
