Оценка устойчивости и приближенное решение краевой задачи для уравнения в частных производных четвертого порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2015. Том 22, № 1

УДК 517.946

ОЦЕНКА УСТОЙЧИВОСТИ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА К. С. Фаязов, И. О. Хажиев

Аннотация. Исследуется начально-краевая задача для уравнения смешанного типа четвертого порядка. Рассматриваемая задача относится к классу сильно некорректных задач математической физики. Исходя из идеи академика А. Н. Тихонова, необходимо показать условную корректность данной задачи. С помощью методов спектральных разложений и интегралов энергии доказаны теоремы о единственности и условной устойчивости решения на множестве корректности. Построено приближенное решение методом регуляризации и получена оценка погрешности нормы разности точного и приближенного решений. Параметр регуляризации вычисляется из условия минимума оценки разности нормы между точным и регуляризован-ным решениями задачи.

Ключевые слова: уравнение смешанного типа, некорректная задача, априорная оценка, единственность, устойчивость, множество корректности, регуляризация.

K. S. Fayazov and I. O. Khajiev. Stability Estimates and Approximate Solutions to a Boundary Value Problem for a Forth Order Partial Differential Equation.

Abstract: Under study is some initial-boundary value problem for a forth order equation of mixed type. The problem belongs to the class of strongly ill-posed problems of mathematical physics. In accord with A. N. Tikhonov's ideas, we establish conditional well-posedness of this problem. Involving spectral decompositions and energy integrals, we prove uniqueness of a solution and its conditional stability on the well-posedness set. An approximate solution is constructed by the regularization method, and an estimate of the norm of the difference between the exact and approximate solutions is obtained. The regularization parameter is calculated from the minimality condition for an estimate of the norm of the difference between the exact and regularized solutions. Keywords: mixed type equation, ill-posed problem, a priori estimate, uniqueness, stability, well-posedness set, regularization.

Рассмотрим уравнение

д 4u(x,t) д 2u(x,t)

+ = 0 (1) в области О = {-1 < х < 1, х = 0, 0 <Ь< Т}.

Задача. Найти функцию и(х, Ь), удовлетворяющую уравнению (1) в О, начальным условиям

д^и(х, Ь)

dtj

= ipj(x), j = 0,1, 2, 3, -1 < x < 1, (2)

t=0

© 2015 Фаязов К. С., Хажиев И. О.

граничным условиям

и(-М)= и(М) = 0, 0 < I < Т, (3)

а также условиям склеивания

и(-0,£) = и(+0,£), пх(-0,г)= пх(+0,г), 0 < I < Т. (4)

Некорректные краевые задачи для модельных дифференциальных уравнений рассматривались многими авторами, в том числе Карлеманом, Херманде-ром, Ниренбергом, Кальдероном, М. М. Лаврентьевым, Е. М. Ландисом, Джоном, Левином, С. Г. Крейном и др., а для дифференциально-операторных уравнений — С. Г. Крейном, Левином, К. С. Фаязовым и др.

Задача (1)-(4) некорректна в смысле Адамара. В данной работе исследуется условная корректность задачи (1)-(4) и строится приближенное решение, устойчивое к изменениям данных на множестве корректности. В разд. 1 выводится априорная оценка решения, в разд. 2 доказываются теоремы о единственности решения и условной устойчивости задачи (1)-(4). В разд. 3 методом регуляризации найдено приближенное решение и получена оценка разности между точным и приближенным решениями. Из условия оптимальности оценки выводится формула для параметра регуляризации.

Одними из первых работ, посвященных параболическим уравнениям с меняющимся направлением времени, были работы М. Жевре. Теория разрешимости краевых задач для подобных уравнений была рассмотрена в работах С. А. Терсенова, А. М. Нахушева, И. Е. Егорова, Н. В. Кислова, С. Г. Пяткова, С. В. Попова и многих других авторов. Уравнениям смешанного типа посвящены работы А. В. Бицадзе, М. С. Салахитдинова, В. Н. Врагова, А. И. Кожанова, С. Г. Пяткова и др. (см. [1, 2] и цитированную там литературу). Некорректные краевые задачи рассмотрены в [3-5].

1. Априорная оценка

В дальнейшем будем пользоваться свойствами собственных функций спек-

тральной задачи

хХ ''(х) + АХ (ж) = 0, X (-1) = X (1) =0, X(-0) = X(+0), X'(-0)

(5)

X '(+0).

Пусть да^!, {X-}-!

собственные функции задачи (5), отвечающие соответственно положительным А+ и отрицательным А- собственным значениям, причем числа А+, -А- образуют неубывающие последовательности.

Заметим, что

X±(ж) =

где ±А±

tg « = - Ш «.

мк, к

1, 2,

вЬ -ж), 0 < ж < 1,

эт ^/а^эЬ + ж), 0 < ж < 1,

., причем «к — положительный корень уравнения

1

Обозначим через (и, V) = / иг> ¿х скалярное произведение в Р2(-1,1),

-1

1|и||2 = (и, и), =

(^ПхХ±, = , ^0' к = ^ Пусть Р± — спектральные проекторы, определяемые равенствами

Р ± и = ]Т(88П хи,Х±)Х±. к=1

Тогда согласно [2]

(Р+ - Р-)и = и, ^пх(Р+ - Р-)и, и) = ||и|0,

^пхР±и, V) = ^пхи, Р±V), и, V € Но = £2(-1,1),

|и(х,Ь)|0 = {|(88Пхи(х,Ь),Х+)|2 + |(88Пхи(х, Ь), Х-)|2}. (6)

к=1

Согласно результатам из [2] собственные функции задачи (5) образуют базис Рисса в Но и норма в пространстве Р2(-1; 1), определенная равенством (6), эквивалентна исходной.

Под обобщенным решением краевой задачи (1)-(4) понимаем функцию и(х, Ь) такую, что и(х,Ь) € (С[0, Т]; ^(-1, 1)), т 1

У У и(х,Ь)^п х Ушг + ^Хх) ¿х^Ь

о -1 т 1

= J ! sgnх(^э(х)У(х, 0) - ^2(х)У4(х, 0) + ^1(х)У44(х, 0) - ^о(х)^ш(х, 0)) ¿х^Ь о -1

для любой функции V(х, Ь) € Ж24(О), V(х, Т) = У4(х, Т) = У44(х, Т) = Уш(х, Т) 0, V(-1,Ь) = V(1,Ь) = 0.

Пусть решение задачи (1)-(4) существует и имеет вид

и(х, Ь) = ^ и+ (Ь)Х+ + ^ и- (Ь)Х-, к=1 к=1

здесь

1

и±(Ь) = J sgпхи(х,Ь)Х±(х) ¿х, к = 1, 2, 3,. ...

-1

Нетрудно заметить, что и±(Ь) при каждом к = 1, 2, 3,... удовлетворяют следующим задачам соответственно:

{и+(*)}ш* - Ми+(Ь) = 0,

и+(0) = *>+,, {и+(0)} = , {и+(0)}« = , {и+(0)}ш = ,

{и-(*)}«« + мки-(Ь) = 0,

и° (0) = <Л)к , {и° (0)} = , {и° (0)Ь = , {и° (0)}ш =

(7)

где

1

= у sgпх<^ (х)х±(х) ¿х ^ = o' l' ^....

Лемма 1 (см. [6]). Для решения уравнения ф''(4) - 0ф(£) = 0 при 0 < 4 < Т, удовлетворяющего условиям ф(0) = р, ф'(0) = д, справедлива оценка

ф2(1) < (р2 + + |5|)*е2«г-*> - |5|,

где 9 — константа, 6 = \ {вр2 — д2).

Рассмотрим уравнение (7) и введем обозначения

1 а+

--

«к

= - #+,

= и+ + .

Тогда после преобразований имеем

{«+}« - «к«+ =0, «+(0) = + м-1^, {«+ (0)}, = + м-1 , (9)

К}« + =0 < (0) = - , {< = - «к'Уз*. (10)

Применяя лемму 1 для решения задач (9), (10), имеем соответствующие оценки:

+ 1^.21{Т-€) _ , +

ыт2 < (К(о)г + ы\)^(м(т)У + ы\)те

|а+1,

Ыт2 < (К+(0)}2 + |/3+|)^(К+(Т)}2 + - Ш

где а+ = 0, 5(«кК+(0)}2 - К+(0)}2), в+ = 0, 5(«к(0)}2 + {ад+(0)}2).

Заметим, что и+ = 0, 5(«+ + ) и {и+}2 < 0, 5({«+} + {ад+} ). Тогда

{и+}2 <

е24(Т-<) 2

(К+(0)}2 +1.

„+П т

Н(Т)} +-{и+к(Т)}1 + |а+| «к

+ (К+ (0)}2 + |Д

т-t *+|)т

+ • (п)

«к

Получим оценку для решения задачи (8). Рассмотрим уравнение

й4^ 2

=

при 0 < 4 < Т с условиями

<Рк

Л", 3 = 0,1, 2,...,

(12)

(13)

¿=0

где « — некоторое постоянное число. Перепишем уравнение (12) в следующем

виде:

где

(д - Г1)(д - Г2)(д4 - гз)(д4 - Г4)^ = 0,

(14)

г1 = I + ¿1, г2 = -I + ¿1, гз = -I - ¿1, г4 = I - ¿1, I =

г^-, 3 = 1, 2, 3, 4, — корни уравнения г4 + «2 = 0.

Уравнение (14) может быть записано в виде системы

(д - г4)Л, = V, (д - гз)« = ад, (д - г2)ад = г, (д - г^г = 0.

+

V

к

т

Т — £

к

2

Пусть г(Ь) — решение уравнения

^ - Г12 = 0. (16)

Очевидно, что его можно представить в виде г(Ь) = х(Ь) + гу(Ь), где х(Ь),у(Ь) — функции, которые являются решением системы

х^ = 1(х - у), у = 1(х + у).

Легко заметить, что для г(Ь) справедлива оценка

где |г(Ь)|2 = х2(Ь) + у2(Ь). Отсюда и из (14) имеем |г(Ь)|2 < 71(Ь), где

71(4) = (м3|/о|2 +М2|Л|2 + М1/212 +

х (м3|Цт)12 + ^ЫТ)\2 + м1ЫТ)|2 + \Ыи(Т)\2)*. Пусть — решение неоднородного уравнения

- к2ад = г, (17)

которое может быть представлено в виде суммы

= ш(Ь) + £(Ь),

где ш(Ь) — общее решение однородного уравнения, ш(Ь) — частное решение уравнения (17). Так как ш(Ь) = х(Ь) + ¿у(Ь), имеем

х = -1(х + у) + х

I (18)

= 1(х - у) + у.

Нетрудно заметить, что частное решение неоднородной системы (18) может быть представлено в виде

х(т)siп 1т + у(т) cos 1т)е1(т 4) ¿т

2

о

^ ап?* J _ у^ соэ йт,

о

t

............................

2

о

<

cos

УЙ = "У" I (х(т) вт 1т + у(т) сов 1т)е1{т ^ йт

г

■ / (ж(т) эш^т — у{т) соэ

1т)е1(т¿т.

2

о

Имеем

|х(Ь)|<| (|х(т)| + |у(т)|) ¿т, |у(Ь)|<| (|х(т)| + |у(т)|) ¿т, оо

или

г г

Х(4)2 < 2Т J (ж(т)2 + у(т)2) йт, у(4)2 < 2т| (х(т)2 + у(т)2) йт, 00

тогда

Х(4)2 + у(4)2 < 4Т J (ж(т)2 + у(т)2) йт, 0

(19)

т.е. ^(¿)|2 = Х(4)2 + у(4)2 < 4Т / |г (4)|2 Л.

0

Для верна оценка

И£)|2 < (|а;(0)|2)1_т(|а;(т)|2)т.

Отсюда

К*)|2 < (к(0)|2)1"^(|ад(Т)|2 + \ш(Т)\2)± + |£(Т)|2. Из (15) имеем |ад(£)|2 < 72(4), где

72(4) = (м21/о|2+м1/1|2 + 1/2|2)1-^

/ ТГ V ТГ

х I«2|Л(Т)|2 + «|Лг(Т)|2 + МТ)|2 + 2Т I 71(4) Л I + 4Т 71(4) Л.

00

Аналогичным образом для решений уравнений V - гз« = ад, - = V можно получить следующие оценки:

т\2 < (т^ацт)]2 + мУ + нп2,

где

т т

|«(Т )|2 < 4Т J |ад(4)|2 Л, |Л(Т )|2 < 4Т J |«(4)|2 Л. 00

С их учетом получим

К*)|2 < 7з(*),

(т \ т т

\ЦТ)\2+4Т + 4г|7з(*)<й,

00

где

/ Тг V Тг

7з(*) = (м1/о|2 + + |^(Т)|2 +2тJ 72(4) М +4Т J 12(1) д*{1).

Таким образом, для решения задачи (8) верна оценка

£

(т \ т т

К(Т)|2+4ТI +4т|73,(4)^ (20)

где

7з„(*) = (Ы^о/ +

х |и-(Т)|2 + |{и-(Т)}/ + 2^72,(Ь) +4^72,(Ь) ¿Ь,

оо

72,(Ь) = (м2 ^о, |2 + МкК,|2 + 1

т

х | м2|и-(Т )|2 + Мк|{и-(Т )}4|2 + |{и-(Т )}/ + 2т| 71, (Ь) ¿Ь I +4Т | 7и (Ь) Л

оо

7и(*) = +М2|<^1,|2 +Рк\ч>2Х + 1^зкГ)Х Т

х (м2|и-(Т)|2 + м21{и-(Т)}/ + М2|{и-(Т)}/ + |{и-(Т)}ш|2

здесь к = 1, 2, . . . .

2. Теоремы единственности и условной устойчивости

Введем обозначение

и пусть

оо

||^о(х) ||з = £ м2({} + } ), ||(х)||2 = £ м2({^+,Г + Г) (21) 2=1 2=1

оо

|Ых)||1 = ^М2({<}2 + }2), ||^з(х)||о = £(К}2 + }2). (22)

2=1 2=1

Теорема 1. Пусть существует решение и(х, Ь) € М задачи (1)-(4). Тогда оно единственно.

Доказательство. Пусть и1(х,Ь), и2(х,Ь) — решения задачи (1)-(4) с одинаковыми данными. Тогда и(х, Ь) = и1(х, Ь) - и2(х, Ь) удовлетворяет задаче (1)-(4) с нулевыми данными. Так как

оо

||и(х,Ь)||о = £ |и+|2^ |и-|2,

2=1 2=1

о 2 о 2

из (11), (20) следует, что ^ |и-| + ^ |и+| < 0. Отсюда ||и(х,Ь)|о < 0, а

2=1 2=1

значит, и(х,Ь) = 0, или и1(х,Ь) = и2(х,Ь) для всех (х, Ь) € О.

т

т Т

т

Теорема 2. Пусть решение задачи (1)—(4) существует и и(ж, 4) € М. Пусть ||<У0(х) - Уое(х)||з < £, У^1(х) - (х)У2 < е,

У^2(х) - У2е (х)||1 < ^ уУ3(х) - (х)||0 < е Тогда для любого решения задачи (1)-(4) при (х,4) € О имеет место неравенство

||и(х,4)||0 < ^(е,т),

Т-£ ^ 1/2

гдет(е,т) = т£{(2(8е2) Т (то2 + в)т е2*(т-*) + }.

Доказательство. Пусть решение задачи (1)-(4) существует и выполнены условия (21), (22). Рассмотрим разность

и(х, 4) = и(ж, 4) - ие(ж, 4),

где и(х, 4) — решение задачи (1)-(4) с точными данными, ие(ж, 4) — решение задачи (1)-(4) с приближенными данными. Функция и(х, 4) является в области О решением уравнения

д4и (х,4) д 2и (х,4) п

с начальными условиями

и(х, 0) = уо(ж) - уое (х), и4(х, 0) = У1(х) - (х),

и44(х, 0) = У2(х) - У2е (х), иш(х, 0) = уз(х) - узе(х), -1 < х < 1, с граничными условиями

и(-1,4) = и(1,4) = 0, 0 < 4 < Т,

а также с условиями склеивания

и(-0,4) = и(+0,4), их(-0,4) = их(+0,4), 0 < 4 < Т.

Для решения данной задачи справедливо неравенство ~ _2<(т-г) ~ Т .

Е№2 ^ Е ((К+е(0)}2 + К\)^({и+(Т)У

2

=1 =1

+ ^ЧК(Т)}2и + \а+е\У

ук Т — £

где

+(к+(о)г+Ю)^ак(т)} + »к2 {К (ГШ+\pi\y)

Е{«+е(0)}2 = Е К* - ¥>+*. + «-1(У+* - ¥>+*. ))2 <

=1 =1

Е К | =0, ^ |«кК+ (0)}2 - {«+(0)}21 < 4е2,

=1 =1 — оо —

Е{-+е(0)}2 < 4е2, Е |в+12 < 4е2, ]Т ({и+(Т)}2 + «-2{и+(Т)}?г) < то

После несложных преобразований получим

< (8 е2)^{т2+Ae2)^e2t(>T-t\

k=i

Аналогично для {Ufc } имеем оценку

k=i

¿1 Ub{t)\2 K^y-bim2 + AT [ rikc(m,t)dt\ + AT f l3ke(m,t) dt,

k=i V I I

где

l3kc(m,t) = (2e2)1-±lm2 + 2T J l2ke(m,t)dt\ + AT J l2ke(m,t)dt,

V 0 /0

t

iT \ - T

m2 + 2T j llkc (m, t)dt\ +AT J llkc (m, t) dt,

Пусть

Тогда

Отсюда

где

llke{m,t) = {Ae2y--{m2)-.

s = max < 4e2, AT J Y3fce (m, t) dt.

||?7(ж,< 2(8е2)^(ш2 + s)Te2t{T-^ + s.

||U(x,t)|| < w(e,m),

1/2

w{e,m) = inf{(2(8e2) T {m2 + s)T e2t{T-^ + s) }.

3. Приближенное решение

Не ограничивая общности, предположим, что (ж) = 0, (ж) = 0, ^3 (ж) = 0. Пусть решение задачи (1)-(4) существует, тогда его можно представить в виде

^ / + + \ u(x,t) = J2 (^fMVJ^t) + ^fcos(^jrkt)jX+(x)

+ Ё ^ (^f t) cos (J^ty^X-(x),

где

1

= /sgnxMx)*± (ж) dX, k =1, 2,....

T

T

В качестве приближенного решения рассмотрим функцию

N / + + \

(М) = Е (^Г м^) + ^ сов(^))х+(х)

+ Е сЬ *) со8 *))**"(*)>

22

=1

где N — целочисленный параметр регуляризации, а в качестве приближенного решения по приближенным данным рассмотрим функцию N /, +

N / + + \

+ Е л С08

где

1

/^хуо. (х) Х±(х) йх, к = 1, 2,....

Пусть ||уо(х) - уое(х)|з < е и и € М. Тогда оценим разность

||и - и^ ||о < ||и - uN|о + - и^ |о. (23)

Рассмотрим второй член в правой части неравенства (23):

N ^ N 2

/1 1 4 2

(1 1 А'

+ Е ((^ - ■Л (У^ «» ^

=1

N

^ - + " Уо< (24)

=1

Оценим первый член в правой части неравенства (23), при этом учтем, что и € М. Имеем

—— ||и - uN||2 = Е |и+|2+ Е |и-|2.

k=N+1 k=N+1

Используя (11) и (20), получим

||и - uN||о < а2(т, N), (25)

где

Т —t

)т / оо \ т

т2 + £ 0, 5«к{у+* }2 е2г(т-г)

V k=N+1 )

/ оо \ 1 — Т / Т оо \ т Т оо

+ ( Е {У-* П I т2 +4^ Е 7з* (4) +4^ Е ^ (4) ^

1

о

при этом о-(то, N) ^ 0 при N ^ то. С учетом (24), (25) из (23) имеем Ци-и^Цо < ch(yfJI^t)e + cr(m,N).

При е —> 0 существует такое изменение N, что ch(v//ij\ri)e + <r(m,N) стремится к нулю. В самом деле, если обозначить

сo{t, е) = inf{ch(v/yUAri)e + <т(то, N)},

то можно показать, что

lim w(i,e) = 0. (26)

e^Ö

Предположим, что 5 — достаточно малое число. Из lim ст(то, N) = 0 следует

N ^^

существование такого N(5), что для всех N > N(5) выполняется неравенство о-(то, Ж) < Обозначим т/(5) = inf ^ ch(y//J/vi)- Если е < ^^¡щ, т0 функция

w(t, е) удовлетворяет неравенству w(t, е) < 5. Это доказывает (26).

ЛИТЕРАТУРА

1. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 1999.

2. Пятков С. Г. Свойства собственных функций одной спектральной задачи и некоторые их приложения // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики: Сб. науч. тр. АН СССР. Новосибирск: Ин-т математики CO PAH, 1986. С. 65-84.

3. Лаврентьев М. М., Савельев Л. Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991.

4. Фаязов К. С. Некорректная задача Коши для дифференциального уравнения первого и второго порядка с операторными коэффициентами // Сиб. мат. журн. 1994. Т. 35, № 3. С. 702-706.

5. Фаязов К. С. Некорректная краевая задача для одного уравнения смешанного типа второго порядка // Узбек. мат. журн. 1995. № 2. С. 89-93.

6. Фаязов К. С., Хажиев И. О. Условная корректность краевой задачи для составного дифференциального уравнения четвертого порядка // Изв. вузов. Математика. 2015. № 4. С. 65-74.

Статья поступила 24 февраля 2015 г.

Фаязов Кудратилло Садридинович, Хажиев Икромбек Озодович Национальный университет Узбекистана, Вузгородок, 100174

[email protected], [email protected]