CC BY
5
УДК 514.75
О НЕГОЛОНОМНЫХ КОМПОЗИЦИЯХ НОРДЕНА -РАСПРЕДЕЛЕНИЯ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА
Ю.И. П о п о в
(Калининградский государственный университет)
В работе рассматривается регулярное гиперполосное распределение (М) т-мерных линейных элементов аффинного пространства Ап (п-1>т), которое в
дальнейшем назовем -распределением [1]. Доказано, что в дифференциальной окрестности 1-го порядка к базисному М-распределению инвариантным образом присоединяется поле однопараметрического пучка ( %, ) внутренних НМ-виртуальных нормалей 1-го рода, а в дифференциальной окрестности по-
рядка пять полей однопараметрических пучков внут-
ренних НМ-виртуальных нормалей 1-го рода. Построенные поля внутренних НМ-виртуальных нормалей 1-го рода порождают соответственно в дифференциальной окрестности 1 -го порядка пучок внутренних неголономных композиций Нордена (% (о.) ;М) Н-распределения, а в дифференциальной окрестности порядка
1>2 пять однопараметрических семейств неголономных композиций Нордена. Выясняется , что если регулярное -распределение взаимно (Л^=0), то в
окрестности 1-го порядка пучок (;М) вырождается в неголономную композицию Нордена (%;М) , а в окрестности порядка ^2 из пяти однопараметри-ческих семейств неголономных композиций остаются только три семейства соответствующих полям пучков НМ-виртуальных нормалей 1 -го рода. Схема использования индексов [1] :
1Д,К... = 1,п ; а,Ь,с... = 1,п -1 ; У,к,1,Б,1 = 1,т ; а, р, у... = т + 1,п -1 ; а,$, У = т + 1,п .
§1. Неголономные композиции Нордена оснащающего Н-распределения в окрестности 1-го порядка
1. Известно [1], что относительно репера нулевого порядка Я0 распределение задается уравнениями
ЮП = Л1Кюк , ю( = М(Кюк , Ю( = НакюК ,
УЛ1К +Л1К ю П =Л 1КЬ ю УМ (к +Л1К ю( = М ^ ю (1.1)
УНаК + НаКЮ П -Л1КЮ( = НаКЬЮ^
Так как -распределение [1] регулярно, то главный фундаментальный тензор | Л у | 1 -го порядка невырожденный, т.е.
Л0 = ёе!
Л;
* 0.
(1.2)
Условие (1.2) позволяет ввести в рассмотрение обращенный фундаментальный тензор {Лу | 1-го порядка, компоненты которого удовлетворяют соотношениям:
Л*Лч = 51 , ЛлЛк = 5; ; УЛ1к -Л1кшп = -Л18Л!кЛ^шь. (1.3)
2. Произвольную НМ-виртуальную нормаль —п_т _х 1-го рода [1] М-
распределения в репере Я0 определим в каждом центре А -распределения векторами
г г ¡г V = е + V е .
а а а 1
Из условия инвариантности плоскости _ 1 следует, что дифференциальные уравнения
vvа +ша=-акшк (1.4)
задают поле инвариантных НМ-виртуальных нормалей — _ х 1-го рода. Используя уравнения (1.1) убеждаемся, что функции
—а Ха ^а]Л
удовлетворяют уравнениям (1.4). Значит, квазитензор |%а | (1.5)
внутренних инвариантных НМ-виртуальных нормалей 1-го рода в окрестности 1-го порядка.
3. Компоненты геометрического объекта |Н** |, определяющего базисную М-плоскость в репере Я 0, имеют следующие значения:
нк=5 к , н а = о .
(1.5)
задает поле
г ьг
Так как векторы Н = На еь, где
н а=-а , на=5а
линейно независимы, то для матрицы
н!
на
р = 5Р ,
аа
существует обратная
(1.6) (1.7)
* *
нк на
* *
нр нк нр а
Компоненты матриц
на
и
* а На
связаны соотношениями
* * нь • на=8 с
Учитывая соотношения (1.6)-(1.8), находим матрицу
ньна=8 ь
н
81
О 8
V
р
а
(1.8)
(1.9)
Ведем в рассмотрение тензор
р„ь =8 Ь - 2нЬн;
компоненты которого найдем из соотношений (1.6), (1.7) и матрицы (1.9). Имеем
>р _ П ТЭР - яР
Ркк=-8 к , РсС=2vа , Ркр=О , рар=8а.
(1.10)
Тензор |Р_Ь |, компоненты которого заданы формулами (1.10), удовлетворяют
условиям
Р^С =8 Ь
(1.11)
Поле аффинора ^^ | (1.11) задает в общем случае неголономную п -структуру
на Н-распределении, базовыми распределениями которой являются распределение плоскостей ^^^_ 1 (распределение НМ-виртуальных нормалей 1-го рода ^^^ х) и М-распределение. Следуя терминологии Р.Ф.Домбровского
[3], будем говорить, что поле аффинора ^^ | (1.11) задает на Н-распределении
неголономную композицию Нордена , внутренним инвариантным обра-
зом присоединенную к -распределению в дифференциальной окрестности 1 -го порядка.
4. В окрестности 1-го порядка рассмотрим функции
1 = -Лц Л;
,1а
(1.12)
удовлетворяющие уравнениям (1.4). Квазитензор | ^ | (1.12) в каждом центре
-распределения задает еще одну НМ-виртуальную нормаль 1-го рода элемента М-распределения, вообще говоря, отличную от ранее построенной НМ-виртуальной нормали % (1.5). Другими словами, тензор
81 =%1
а Ла
1
а
уэа=sак ю
К
(1.13)
не равен тождественно нулю.
Таким образом, имеют место предложения
Теорема 1. В дифференциальной окрестности 1-го порядка к базисному М-распределению данного -распределения внутренним инвариантным образом присоединяется поле однопараметрического пучка (%, ) НМ-вирнтуальных нормалей 1-го рода, которое определяется пучком квазитензоров
ха (л)=%а+лsа , (1.14)
где л - абсолютный инвариант.
Если для -распределения Л1а = 0, то поле однопараметрического пучка (х, ) вырождается в поле НМ-виртуальных нормалей 1-го рода %.
Теорема 2. Н-распределение несет однопараметрическое семейство внутренних инвариантных неголономных композиций Нордена (х^) ,м), определенных в дифференциальной окрестности 1-го порядка пучком аффиноров
{РЪ (л)|, где
-5к2%а(л)
0 5Р
Ра (л)|| =
Базовыми распределениями семейства (х^) ,м) неголономных композиций Нордена являются распределения плоскостей %( л) и М, где %( л) - плоскости пучка (%, ), соответствующие пучку квазитензоров |%^ (л)| (1.14). Если
Л1а = 0, то пучок (%(л) ,М) неголономных композиций Нордена оснащающего Н-распределения вырождается в неголономную композицию Нордена (%,М).
§2. Неголономные композиции Нордена, ассоциированные с оснащающим Н-распределением в дифференциальной окрестности порядка £ > 2
1. Рассмотрим симметрический тензор [1] та = 2(ма + Ма) , Ма = {МЛ,] = МЩ| ; vmа = тшк. (2.1)
т(т +1)
Будем в дальнейшем полагать' что п-тПри этом условии' как
следует из работы [4], можно построить нетривиальный относительный инвариант I = 1(та), удовлетворяющий дифференциальному уравнению
ё 1п1 - 2(п - т)ш 1 + тш^ = 1кш к.
Следуя работе [5], при помощи инварианта I построим симметрический тензор 1-го порядка {та |, где
alni , alni
= ^ = 2 T-r ; Vml = ш^шK. (2.2)
ам ® 2 am®
Компоненты тензоров |ш1$ | и |M¡j удовлетворяют следующим соотношениям [5] :
m¡M$ = m6¡ , m¡kM¡ = (n - m)6j , = IK .
2. Совокупность величин
T¡ = M¡ -AijV¡;.
образует в общем случае невырожденный тензор порядка t > 2, где t - порядок охвата квазитензора |v^ |, задающего инвариантную нормаль первого рода -
распределения. Введем для тензора |т^| обратный симметрический тензор |T¡k | [5] порядка t > 2, компоненты которого удовлетворяют условиям
T¡"rj£ = mS¡ , T¡¡kTjk = (n - m -1)6" ; VT¡c = TjюK.
С помощью тензоров |Ti¡¡ | и |Tc"k | введем в рассмотрение следующий тензор | порядка t > 2 :
tí = TCkTkC ; vT = Tj ШK. (2.3)
Можно показать [5], что тензор | невырожденный. Следовательно, для тензора существует обратный тензор | :
TkT_k = 6 i , T^Tj = 6" ; VTij = Tj юK.
Теперь последовательно вводим в рассмотрение два квазитензора порядка t > 2 3¡x = (л ka Vn - M ka)TpkjTi , V3*a + Ю c = ^CK ю K; (2.4)
a = ta - mSjTkfk , V ^ + © ® = ^ ©K (2.5)
где
fk =
'Mka + MkX« "(лка + лtlXi,)vn 1. n" mi- v ' J
Квазитензоры (2.4) и (2.5) в общем случае различны и определяют соответственно разные НМ-виртуальные нормали 3(Л) и (A) текущего элемента М-
распределения, которые в свою очередь отличны от ранее построенных НМ-виртуальных нормалей х(A) и (A).
Резюмируя, приходим к следующим теоремам.
Теорема 3. В дифференциальной окрестности порядка t > 2 ( порядок t определен порядком охвата объекта jv^ | нормали 1-го рода Н-распределения )
к М-распределению внутренним инвариантным образом присоединяются в общем случае пять полей однопараметрических пучков ( , х), ( , ), ( , 3),
(3, х), (3, ) НМ-виртуальных нормалей 1-го рода, а при Aia = 0- только три
поля НМ-виртуальных нормалей 1-го рода ( , х), (3, х), ( , 3).
Теорема 4. В дифференциальной окрестности порядка t > 2 к Н-распределению внутренним инвариантным образом присоединяются ( при Aia Ф 0 ) в общем случае пять однопараметрических семейств неголономных композиций Нордена, соответствующих полям однопараметрических пучков ( , х), ( , ), ( , 3), (3, х), (3, ) НМ-виртуальных нормалей 1-го рода, а при Aia = 0 - три однопараметрических семейства неголономных композиций Нордена, соответствующих полям однопараметрических пучков ( , х), (3, х), ( , 3) НМ-виртуальных нормалей 1-го рода.
Библиографический список
1. Попов Ю.И. Поля геометрических объектов гиперполосного -распределения аффинного пространства / Калинингр. ун-т. Калининград, 1987. Деп. в ВИНИТИ 21.09.87. № 6807-В87.
2. Норден А.П. Теория композиций // Проблемы геометрии. М., 1987. Т.10. С. 117-145.
3. Домбровский Р.Ф. О неголономных композициях на поверхностях в Pn // Все-
союз. науч. конф. по неевклид. геометрии "150 лет геометрии Лобачевского". Казань: Тезисы докл. М., 1976. С. 69.
4. Швейкин П.И. Нормальные геометрические объекты поверхности в аффинном пространстве // Тр. геометр. семинара / ВИНИТИ. М., 1966. Т. 1. С. 331-424.
5. Лаптев Г.Ф., Остиану Н.М. Распределения m-мерных линейных элементов в пространстве проективной связности. I // Там же, 1971. Т. 3. С. 49-94.
Ju. I. P o p o v
ON NONHOLONOMIC NORDEN'S COMPOSITIONS OF H-DISTRIBUTIONS OF AFFINE SPACE
Regular hiperstrip distribution H(M) of m-dimensional linear elements of affine space An(n-1>m) is considered in the article, which is shortly denoted as H-distribution. The H-distribution represents a pair of distributions consisting of the base M-distribution of the first kind of m-dimensional linear elements and of the equipping
distribution of the second kind of hyperplanar elements with incidence relation of their corresponding elements at the general centre of the form A e M(A) e H(A).
It is proved that in the differential neighbourhood of the first order a field of one-parameter bundle (x , ) of interior HM-virtual normals is joined to the base M-distribution and in the differential neighbourhood of the order t > 2 five fields of one-parameter bundles ( , x ), ( , ), ( , ), ( , X ), ( , ) of the interior HM-virtual normals of the first kind are joined to the same base M-distribution.
Constructed fields of the interior HM-virtual normals of the first kind generate respectively in the differential neighbourhood of the first order a bundle of interior non-holonomic compositions of Norden (x^), M ) of H-distribution, and in the differential
neighbourhood of the order t > 2 five one-parameter families of nonholonomic compositions of Norden.
It becomes clear, that if regular H-distribution is mutual ( Aia = 0 ) then in the
neighbourhood of the first order bundle (x^) ; M) degenerates in the nonholonomic
composition of Norden (x, M), and in the neighbourhood of the order t> 2 from five one-parameter families of nonholonomic compositions remain only three families corresponding to the fields of one-parameter bundles ( , x ), ( , x ), ( , ) of HM-virtual normals of the first order.
