О нахождении решений одной нелинейной краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 4, № 6, 1999

О НАХОЖДЕНИИ РЕШЕНИЙ ОДНОЙ

НЕЛИНЕЙНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

А. М. Блохин Институт математики СО РАН, Новосибирск, Россия e-mail: blokhin@math.nsc.ru

А. С. БУШМАНОВА Новосибирский государственный университет, Россия

Е. В. МИЩЕНКО Институт математики СО РАН, Новосибирск, Россия e-mail: mish@math.nsc.ru

In the paper, solutions are sought to a boundary value problem for a nonlinear ordinary differential equation of the second order with a small parameter at the highest derivative. Three cases are considered: the right-hand side p(s) of the equation belongs to the spaces

L2[0,1], C[0,1], C2[0,1].

Введение

При исследовании гидродинамических моделей переноса заряда в полупроводниках и, в частности, при изучении устойчивости состояния равновесия для этих моделей возникает проблема нахождения решений следующей нелинейной краевой задачи:

еУ = ev - р, 0 <s< 1, m

р(0,е) = р(1,е) = 0. (1)

Здесь ^ = <^(s,e) — искомая функция, имеющая физический смысл потенциала электрического поля, е (е0 > е > 0) — малый параметр, р = p(s) — известная функция от s, имеющая физический смысл плотности легирования, обезразмеренной соответствующим образом (см. [1, 2]). Учитывая физическую направленность задачи (0.1), будем полагать, что функция p(s) имеет следующий конкретный вид, взятый из [1, 2] (рис. 1, а). Здесь t — положительные числа такие, что

0 < t < 1, 0 <£< 1. 2'

© А. М. Блохин, А. С. Бушманова, Е. В. Мищенко, 1999.

Рис. 1.

Поскольку функция p(s) кусочно-непрерывна (ясно, что она принадлежит L2(0,1)), то для такой функции решения задачи (0.1) в обычном классическом смысле не существует. Ниже мы по аналогии с уравнениями в частных призводных определим обобщенное решение задачи (0.1) в случае, когда p(s) £ L2(0,1).

С другой стороны, надо заметить, что при проведении численных расчетов конкретных задач физики полупроводников (см. работы [1-5], в которых численно решается известная задача о баллистическом диоде) часто применяют сглаживание функции p(s) в окрестностях точек разрыва первого рода (s = £ и s = 1 — £). Это может быть непрерывное (C-fitting) либо гладкое (Cm-fitting) или даже бесконечно гладкое (C^-fitting) сглаживание. Фрагменты сглаженных кривых p = p(s) в окрестности точки разрыва первого рода s = £ изображены на рис. 1, б (C-fitting) и 1, в (Cm-fitting). Здесь р > 0 — некоторое, достаточно малое число. Поэтому рассмотрим также краевую задачу (0.1) при p(s) £ W2, (0,1) и в случае, когда p(s) £ Cm[0,1] (или даже p(s) £ C^[0,1], см. рис. 1, б, в).

Цель настоящей работы заключается в конструктивном построении решения р = ^(s,e) задачи (0.1) при малых £ ив выяснении вопроса о существовании предела

lim p(s,£).

е^+0

В разделе 1 рассмотрен случай p(s) £ L2(0,1), раздел 2 посвящен варианту непрерывного сглаживания, раздел 3 содержит результаты для гладкого сглаживания (так называемый случай C2-fitting).

1. Обобщенное решение задачи (0.1)

Итак, вначале рассмотрим ситуацию, когда p(s) £ L2(0,1). Перепишем задачу (0.1) в виде

Г Ар = ф, 0 < s < 1, (.)

\ р(0,£) = р(1,£) = 0, ( )

где

Ар = —£2р" + ev — 1, ф = ^(s) = p(s) — 1.

о

Пусть р £ W21 (0,1) — решение (в смысле теории распределений) задачи (1.1) для ф £ L2(0,1). Тогда для любой функции 7 £ C0^(0,1) имеем (см. [6]):

< Ар,7 >=< ф,7 > .

Отсюда, по определению производных для распределений, получаем: е2 <р/,^/ > + < е^ - 1,7 >=< ф,7 >, 7 € С0°°(0,1),

т. е.

1 1 1

е2 рУ ¿в + (е^ — 1)7 ¿в = ф^йв.

(2)

0

0

0

Очевидно, что (1.2) остается в силе и для любой функции 7 € (0,1). Следовательно, обобщенным решением задачи (1.1) для заданной функции ф € Ь2(0,1) будем называть

о о

функцию р€ (0,1), удовлетворяющую 'равенству (1.2) для любой функции 7€ (0,1). Замечание 1.1. Легко видеть, что на самом деле обобщенное решение р (если оно

о

существует) обладает дополнительным свойством р" € Ь2(0,1), т.е. р € Ж22 (0,1).

Найдем с помощью (1.2) априорную оценку для решения задачи (0.1). В самом деле, полагая в (1.2) 7 = р, последовательно получаем:

е2|И1Ь2(од) + А(р)= фрйв <

фр ¿в

< ¿ИФИ^ + е2||р|'2

¿2(0,1),

или

2

е2 2 1

1 ||р||^1(0)1)+А(р) < "¿2(0,1)-

(3)

Здесь

го = ||р/|И2(0,1) = /(Р/)2 ¿в,

^(0,1)

1 о

А(р) = / р(еУ — 1) ¿в — функционал, определенный на функциях р из (0,1). Кроме 0

того, при выводе (1.3) мы использовали:

а) неравенство Коши — Шварца для функций из Ь2(0,1):

фр ¿в

< ||ф||¿2(0,1) ||P||¿2(0,1),

б) неравенство Коши с е:

аЬ < — а2 + еЬ2 для любых а, Ь, е > 0, 4е

о

1

1

1

1

Рис. 2.

в) неравенство Пуанкаре (см. [6]) для любой функции ^ е (0,1):

I 112 1 11 /112 1 11 112

N^(0,1) < 2№ ||Ь2(0Д) = 2М ^0,1)'

Заметим далее, что функционал А положительно определен на функциях из (0,1),

о

поскольку для любой функции ^ е (0,1) подынтегральное выражение неотрицательно:

^ - 1)

> 0 при > 0, = 0 при ^ = 0

(см. график функции у(х) = х(ех — 1) на рис. 2). Замечание 1.2. При малых |х| : у(х) ~ х2.

Учитывая свойства функционала А(^), из (1.3) получим искомую априорную оценку:

1М1^0.1, <71^2 ^^«Л)- (4)

Легко также оценить В самом деле, поскольку

= 1 [е9 — 1 — Ф],

то

|^//||ь2(0,1) = "2||е9 — 1 — Ф||Ь2(0,1) < -1||е9 — 1||ь2(0,1) + -1 ||Ф||Ь2(0,1) <

< -1 ||е9 — 1||с[0,1] + -22||Ф||ь2(0,1) < -22|М|с[0,1] ехр |М|с[0,1] + \1|Ф11 ^2(0,1) <

1

< —||^|| о ехр |М " '^(0,1)

^1(0,1)

1

+ "2 ||Ф||Ь2(0,1) <

<

1

|Ф||ь2(0,1) ехр

л/2"4 = "2 ||ф||^2(0,1)

1 +

.л/2" 1

71"

"Ф||Ь2 (0,1) } + 12 ||Ф||£2 (0,1) =

1

ехр

л/1е2

|Ф||^2(0,1)

(1.5)

При получении наравенства (1.5) мы использовали:

о

а) неравенство Минковского для функций из L2 (0,1):

Н^ + Y||L2(0,1) < ||^||L2(0,1) + llY||L2(o,I)j

o

1 ,

б) очевидное неравенство для любой функции ^ Е W2 (0,1):

1М|с[0,1] = тах М < ||ь2(0,1) = ,,,-,,

1 ' J о<«<1 ' ' ^(0,1)

в) неравенство вида

|ех - 1| < |ж|еК

Используя оценку (1.4), можно показать единственность обобщенного решения (если оно существует). В самом деле, предположим обратное: одной и той же функции ф Е

о

Ь2(0,1) соответствуют два обобщенных решения , ^11 Е (0,1) задачи (1.1). Тогда их разность

А = р1 —

II

удовлетворяет задаче

—е2А'' + (eA — 1) = 0, 0 <s< 1, ( )

A|s=o = А|8=1 = 0. ( -b)

Повторяя дословно для задачи (1.6) вывод оценки (1.4) (легко видеть, что наличие множителя e* не мешает проведению соответствующих выкладок), заключаем, что функция

o

А Е W2 (0,1) почти всюду равна нулю.

Перейдем теперь к построению обобщенного решения. Прежде всего заметим, что учитывая конкретный вид функции ^(s), равенство (1.2) можно переписать так:

1 1 1—

е2 ¡ Л ds + Í(e* — 1)y ds = (5 — 1)¡ 7 ds. (1.2')

Рассмотрим три случая:

1) функции 7 Е Со°°(0,1) имеют носители, целиком расположенные на интервале (0,£);

2) функции 7 Е Со°°(0,1) имеют носители, целиком расположенные на интервале (£, 1—£);

3) функции 7Е С0°°(0,1) имеют носители, целиком расположенные на интервале (1—', 1).

о

Следовательно, обобщенное решение ^ Е ЖЗ (0,1) на интервале (0,£) удовлетворяет уравнению

Ар = 0, 0 <5<€, на интервале (£, 1 — £) — уравнению

Ар = 5 — 1, £<з< 1 —

на интервале (1 — 1) — уравнению

А< = 0, 1 — 1.

Таким образом, обобщенное решение можно строить с помощью гладких (классических) решений приведенных выше уравнений. Предлагается такой алгоритм построения обобщенного решения.

Задача (0.1) инвариантна относительно замены переменной £ = 1 — 5, т. е. <(з,е) = <(1 — 5,е). Следовательно, достаточно строить решение <(з,е) только на отрезке [0,1/2], а затем отобразить его симметрично относительно 5 = 1/2.

Обобщенное решение задачи (0.1) ищется в виде

<I(5, е), 0 < 5 < /, <(з,е) = ^ <11 (з,е), I < 5 < 1 — /, <т (5, е), 1 — I < 5 < 1,

где <1 (з,е) — решение задачи

е2<1'(з,е) = еУ1 (*'£) — р(з) = еУ1 (*'£) — 1, < (0,е) = 0, < (/, е) = В,

(1.7)

<11 (з,е) — решение задачи

е2<1/ (5,е) = е^11 (*'£) — р(в) = е^1 (*'£) — 5, <11 (/, е) = В, (1 — /, е) = В,

(1.8)

<111 (5,е) — решение задачи

е2 <Ц1 (5,е) = е^1П (з>е) — р(з) = е^11 (*'£) — 1, <ш (1 — /,е) = В, <т (1, е) = 0,

1п 5 < В < 0.

(1.9)

Точное значение В будет определено ниже из условий непрерывности функции < и ее первой производной.

Уравнения, входящие в задачи (1.7) - (1.9), относятся к сингулярно возмущенным уравнениям, так как при старшей производной они содержат множитель е2, который обращается в ноль, если е ^ 0. В связи с этим отметим, что в теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений большую роль играют свойства решения предельного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного формальным переходом к е = 0). Для задач (1.7)-(1.9) предельное уравнение имеет вид

= р(5), г = /,//,///,

т.е. решения <г(з) предельных уравнений даются формулами

<г(з) = / (5), г = /,//,///,

где /(в) = 1п р(з) на соответствующем отрезке. Заметим, что решение < предельного уравнения на отрезке [0, /] автоматически удовлетворяет граничному условию в точке

в = 0 и не удовлетворяет граничному условию в точке в = /.В силу симметрии функция ф///, определенная на отрезке [1 — /,/], удовлетворяет граничному условию в точке в =1 и не удовлетворяет граничному условию в точке в = 1 — /. И, наконец, функция ф//, определенная на отрезке [/, 1 — /], не удовлетворяет граничным условиям. Таким образом, пограничные слои на левой и правой границах отрезка [0,1] отсутствуют (см. по этому поводу [7]).

Решения ф^, г = /,//,///, на соответствующем отрезке будем искать в виде сумм предельных (е = 0) решений и функций типа пограничного слоя п^, которые устранят возникшие невязки в граничных условиях:

ф/(в,е) = 1пр(в) + п/ ^1——^ = п/ ^1——^ , в € [0,/],

фи(в,е) = 1пр(в) + пп(^= 1п8 + п// ^^^^ , в € [/, 1/2],

ф//(в,е), в € [1/2,/ — 1], ф///(в,е), в € [1 — /, 1] находятся из соображений симметрии. Очевидно, что п < 0, г = I, II, III.

Условие стремления ф(в,е) к предельному решению 1пр(в) при е — 0 дает условие на поведение п^, г = I, II, при т — то, где т — новая "медленная" переменная:

п/(т) — 0,

(п/(т))т — 0, т — (110)

/—в т =-,

п//(т) — 0,

(п//(т))г — 0, т — (1.11)

—>

в—/

т =

е

Для того, чтобы выполнить условие на левом конце (в = 0), переформулируем (1.10) в виде

п/ (т) — 0, (1 10') (п/ (т) )г — 0, т — //е. (1-10)

При т > //е функцию п/(т) продолжим нулем.

Требование непрерывности ф'(в,е) в точке в = 1/2 заставляет переформулировать и (1.11) в следующем виде:

п// (т) — 0,

( ()) 0 / —1/2 а-11')

(п// (т ))т — 0, т —-.

е

При т > -— функцию п// (т) продолжим нулем.

е

Суммируя вышеприведенные рассуждения, приходим к следующим задачам для определения функций п/ (т), п// (т):

(п/ (т ))тт = еП1 — 1,

п/ (т) — 0, (п/ (т ))т — 0, т — //е, (1.12)

п/ (0) = В,

(пц(т))тт = еП11 (т)+1п5 - 5,

I — 1/2

п//(т) ^ 0, (п//(т))т ^ 0, т ^-—, (1.13)

е

пп (0) = В - 1п Каждое из уравнений, входящих в (1.12), (1.13), имеет вид

У" = с(еу - 1),

причем с =1 для г = I, с = 5 для г = II. С учетом условий (1.10'), (1.11') они сводятся к уравнению первого порядка

У2 = 2с(еу - У - 1). Для функции п/ (т) имеем уравнение

(п/(т))г = (т) - П/(т) - 1),

а для функции п// (т) получаем следующее уравнение:

(п//(т))т = 25(еП11 (т) - п//(т) - 1). Знак + в первом уравнении выбран потому, что

Й1ёп((п/ )т) = -81§п((п/ )в)

и п/(в) = п/ ^-^ — убывающая по 5 функция. Знак - во втором уравнении появляется

потому, что

8*ЕП((п// )г) = в1§п((п// )в)

и п//(в) = п//^-^ — убывающая по 5 функция.

Следовательно, от задач (1.12), (1.13) переходим к задачам Коши

(п/(т))г = \/2(еП1 (т) - п/(т) - 1), п/ (0) = В,

(1.14)

(п//(т))т = -V25(еП11 (т) - п//(т) - 1), (1 1 5)

п// (0) = В - 1п 5. (1'15)

Теперь мы можем определить В. Как было замечено выше, необходимо выполнение условий

р/ (/, е) = р// (/,е) = В, р/ (/,е) = р// (/,е)

что эквивалентно таким соотношениям:

п/(0) = В, п//(0) = В - 1п 5, (п/)т |т=0 = (п//)т |т=0

или

В

2 (еБ - В - 1) = 25 (е(Б-1п 5) - (В - 1п 5) - 1)

Значит

В = -1- 81п8

1 - 8

Итак, задачи для нахождения п/, п// определены полностью:

1-8

Исследуем теперь уравнение

(п/(т))т = \/2(еП1 (т) - п/(т) - 1),

,п. 1 81п 8 (1.14')

п/ (0) = -1 - 1-8,

(п//(т))т = -у/28(еП11 ) - п//(т) - 1),

(0) 1 1п 8 (1-15')

п// (0) = -1 -

у' = 2с(еУ - у - 1), с> 0. (1.16)

Очевидно, что у = 0 является решением уравнения (1.16). Выражение 2с(еу - у - 1) при у < 0 имеет смысл, дифференцируемо по у, а значит, задачи Коши (1.14'), (1.15') имеют решения.

2. Случай непрерывного сглаживания

Для дальнейшего исследования удобно ввести новую зависимую переменную и(з,е) = р(з,е) - / (в), где / (з) = 1пр(з). Тогда задача (0.1) перепишется так:

Ари = е2/'', 0 <з< 1, и(0,е) = и(1,е) = 0.

(1)

Здесь Ари = -е2и'' + р(еи - 1). Потенциал р находится по формуле

р(в,е) = и(в,е) + / (в). (2)

о

Будем полагать далее, что / € ЭД^1 (0,1). Тогда /'' € ЭД^1 '(0,1), где ^^'(0,1) — простран-

оо

ство, сопряженное к ЭД^1 (0,1) (см. [6]). Пусть и € ЭД^1 (0,1) — решение (в смысле теории распределений) задачи (2.1). В таком случае для любой функции 7 € С0°(0,1) имеем

< Ари,7 >= е2 < /'',7 > .

Отсюда, по определению производных для распределений, имеем:

е2 < и',У > + < р(еи - 1),7 >= -е2 < /',7' >, 7 € С0°°(0,1),

т. е.

1 1 1

е2 У и'7' ^ + I р(еи - 1)7 ^ + е2 J /'7' ^ = 0. (3)

0 0 0

о

о

о

Очевидно, что (2.3) остается в силе и для произвольной функции 7 Е Р^1 (0,1). Следо-

о

вательно, обобщенным решением задачи (2.1) для заданной функции / Е (0,1) будем

о

называть функцию и Е (0,1), удовлетворяющую рравенству (2.3) для любой функции

о

7 Е ^ (0,1).

Как и в разделе 1, с помощью (2.3) легко получить априорную оценку обобщенного решения задачи (2.1) (если оно существует). Полагая в (2.3) 7 = и, получаем:

в21М11(од) + Ар(и) = -в 2 /и'/' ds < в 2

и'/' ds

<

или

в2 в2 < 2l|u'|||2(o,i) + у||/111(0,1)

в | | | 12 л / \ , в I I „ I 12

-|Ы1° 1 + Ар(и) < -1|/||2о 1 . (4)

WW) 2 W21(0,1)

о

Здесь Лр(и) = /p(eu — 1)uds — функционал, определенный на функциях и из W2 (0,1). 0

Учитывая, что Ар (и) > 0 (см. раздел 1), получим из (2.4) искомую априорную оценку:

||и|| о < ||/1| о . (5)

11 11 Wl(0,1) - "^1(0,1) v J

Кроме этого, обобщенное решение и обладает дополнительным свойством, которое выражается в виде неравенства

в2

Ар (и) < -1|/||2о 1 . (6)

2 Wi(0,1)

Понятно, что из (2.5) легко вывести единственность обобщенного решения (если оно существует).

Оценки (2.5), (2.6) позволяют ответить на вопрос, поставленный во введении, о существовании предела

lim u(s, в)

(при условии, что мы можем находить решение и^,в) для любого в).

В самом деле, пусть последовательность (в^}, k = 1, 2,..., такова, что ^ +0 при

о

k ^ то. Тогда (и^,в&)} — ограниченная последовательность функций из W2 (0,1) в силу априорной оценки (2.5). По теореме Реллиха (см. [6]) существует подпоследовательность (u(s, )}, p = 1, 2,..., которая фундаментальна в L2(0,1). В силу оценки (2.6) и свойств подынтегрального выражения для функционала Ар(и) (см. раздел 1) эта подпоследовательность сходится почти всюду к нулю, т. е. к решению предельного уравнения

1

1

1

eu(s) = 1.

В силу формулы (2.2) ^(з,екр) ^ f (в) в среднем при р ^ то.

Легко видеть, что на самом деле и(з,е) ^ 0 при е ^ +0 равномерно на отрезке [0,1]. Действительно, поскольку

о

Ш1 (0,1) с с[0,1],

о

то для любой функции 7 Е Ш^1 (0,1) справедливо неравенство (см. раздел 1)

||сМ<||71| ^ (7)

Тогда из (2.7) и (2.5) следует, что последовательность {и(з,ек)} равномерно ограничена. Покажем, что эта последовательность равностепенно непрерывна в любой точке во Е (0,1). Действительно, поскольку

и(з, ек) — и(в0, ек) = J и'(£, ек) ^,

«0

то

|м(5,"к) — М(50,"к)| < |з — в0 | ■ ||и(в, "к) || ° < — в01 - || /1| о .

1(0,1) 1(0,1)

- (- " \

Следовательно, для любого е > 0 существует - > 0 $ = -—--:- такое, что если

V ||/1| 1^1(0,1)/

|з — в0| < то |м(5,"к) — м(50,"к)| < е

одновременно для всех к = 1,1, 3,... . Поэтому, в силу теоремы Асколи — Арцела некоторая подпоследовательность этой последовательности {и(з,екр)}, р = 1,1,---, сходится равномерно. Легко видеть, что предельная функция равна нулю, ибо в противном случае мы приходим к противоречию с оценкой (2.6).

о

Перейдем теперь к вопросу о построении обобщенного решения из Ш1 (0,1) задачи (2.1). Прежде всего заметим, что учитывая конкретный вид функции f (в) (см. рис. 1, б) равенство (2.3) можно переписать в виде

1 1 «+1 1-«+1 е2^ и'У ^ + у р(еи — 1)7^ + е2 ^ f У ^ + е2 ^ f У ^ = 0. (1.3')

0 0 е-1 1-е-1

Рассуждая так же, как в разделе 1, приходим к выводу, что обобщенное решение и(з, е) Е

о

Ш1 (0,1) на интервалах

(0, — 1),(, +1,! —, — 2), (1 —, +1,!)

удовлетворяет уравнению

Ари = 0,

Рис. 3.

а на интервалах

(< - f +f) ■ 0 -< - f •1 - <+ю

уравнению

Ари = /.

Можно указать несколько случаев, когда обобщенное решение легко строится. I) Пусть на интервалах

(< - f-<+ю-о -< - f1 -<+f)

f'(s) = const (рис. 3). Тогда f''(s) = 0 на этих интервалах. Следовательно, в качестве

о

обобщенного решения из W2 (0,1) можно взять функцию u(s, е) = 0, первая производная от которой почти всюду равна нулю. По формуле (2.2) находим потенциал

^(s) = f (s) для любого е.

II) Если на интервалах

(< - f-<+f)-О -< - f-1 -<+f)

вместо одного отрезка прямой линии мы имеем ломаную линию, составленную из отрезков

о

прямых, то вновь в качестве обобщенного решения из Ж^1 (0,1) можно взять и(з,е) = 0, первая производная от которой почти всюду равна нулю. Далее будем полагать, что на интервалах

(—$•<+I) ■ О—<—I1—<+I)

функция /(з) бесконечно дифференцируема. Предлагается такой алгоритм построения обобщенного решения:

1) на интервалах

(0.,—2), (,+2,1—,—I), (1—,+2.1)

полагаем и(в,е) = 0; 2) на интервалах

, — 2,, + 2) , (1 — , — 2,1 — , + 2 . 2' 2) V 2' 2

находим гладкое решение следующих краевых задач:

Л(и = е2/') , - 2 <в<, + 2,

—2 =+2 ,е)=0,

(8)

(9)

Ар« = е2/'', ) — , - 2 <в< 1 —, + 2,

« (1 — , — 2 ,е) = « (1 — , + 2 =0,

что можно сделать в соответствии с теоремой, доказанной в следующем разделе.

3. Случай С

Для изложения результатов этого раздела нам потребуется ввести обозначения для норм матрицы, вектора и функции. Сделаем это следующим образом. Для произвольных матриц А(в), В(£) с элементами а^(в),6у(¿) € С[0,1], г,= 1, 2, положим

2

11|Л(в)|||2 = Лтах(Л*(в)Л(в)) (в)|2,

1|Л|| = шах |||Л(в)Ш, ||АВ|| = паах |||Л(в)||| ■ |||В(*)|||;

0<а<1 0<а,4<1

для произвольного вектора «(в) = («1(в)«2(в))* с элементами «¿(в) € С[0,1], г = 1, 2

2

ш«(в)ш2 = £ |«г(в)|2, = шах нжш;

*-* 0<а<1

¿=1

для произвольной функции д(в) € С[0, 1]

0< а< 1

Кроме того, верно соотношение

Л(в)

11|Л-1 (в) ||| =

|авъЛ(в)|

которое можно легко получить, сравнив характеристические уравнения для определения собственных значений матриц Л*(в)Л(в) и (Л-1)*(в)Л-1(в).

3.1. Формулировка основной теоремы. План доказательства теоремы

Случай Спредполагает, что р(в) € С2[0,1] (по крайней мере), причем мы сохраним

свойство симметричности р(в) относительно в = ^: р(в) = р(1 - в). В этих предположениях верна следующая теорема.

Теорема. Если р(в) € С2[0,1], р(в) = р(1 - в), то можно указать такое е0 > 0, что для всех 0 < е < е0 существует единственное решение краевой задачи (0.1) вида р(в, е) = / (в) + О(е).

Доказательство. Мы будем придерживаться следующего плана доказательства.

1. От задачи (0.1) перейдем к краевой задаче для системы из двух уравнений первого порядка:

еу'(в,е) = А(в)у(в,е) + Е (в,у(в,е),е),

Ру(0,е) = 0, (3.1)

^у(1,е) = 0,

где у(в, е) — искомый вектор, А(в) — матрица 2 х 2 с переменными коэффициентами, Р = Q =(10), Е(в,у(в,е),е) — правая часть. Конкретные выражения для у,А,Е будут приведены ниже.

2. Для задачи (3.1) найдем матрицу Грина С(в,£,е). По определению, это матрица порядка 2 х 2 со свойствами:

а) еСДв,^е) = А(в)С(в,£,е) (т.е. матрица С(в,£,е) удовлетворяет однородной системе еу' = Ау по переменной в);

б) | РС(М,е) = 0,

QG(1,í,е) = 0

(т.е. (С(в,¿,е) удовлетворяет граничным условиям по в);

в) С(в + 0, в,е) - С(в - 0, в,е) = I

(коэффициенты матрицы Грина С(в, е) терпят разрыв при переходе через прямую в = ¿).

После того как матрица Грина найдена, задача (3.1) переписывается с ее помощью в виде интегрального уравнения

1

у(в, е) = 1 У С(в,£,е)Е (¿,у(*,е),е)& (3.1')

0

3. Докажем, что существует число е0 > 0 такое, что для всех 0 < е < е0 отображение

1

У ^ е/С(в,^,е)Е(¿,у(*,е),е)^

0

является сжимающим. Понятно, что величина е0 определяется значениями, которые принимает функция р(в). Из свойства сжимаемости следует, что решение интегрального уравнения (3.1') и соответственно задачи (3.1) существует, единственно и может быть найдено с помощью метода последовательных приближений:

У0(в,е) = °

1

Уп(з,е) = 1У С(М,е)^ (¿,уп-1(*,е),е)^, п = 1, 2,.... о

4. Отдельно следует заметить, что для построения матрицы Грина е) надо знать

фундаментальную матрицу решений У(в,е) для однородной системы

=

В [8] указано, что для нахождения фундаментальной матрицы решений (ф.м.р.) удобно с помощью невырожденного преобразования

у(в,е) = Я(з,е)п(з,е)

перейти к системе вида

еп'(«, е) = [Л(в, е) + е2С (в, е)]п(в, е). (3.1")

Здесь приняты следующие обозначения: е) — вектор-функция, Д(з, е), Л(в, е), С (в, е) — матрицы 2 х 2.

Преобразование Д(з,е) выбираем так, чтобы Л была представима в виде суммы двух диагональных матриц Л0, Л1:

Л(в,е) = Ло(в) + еЛ^),

а матрица С(з,е) являлась ограниченной по норме

||С|| <

При нахождении ф.м.р. У(в,е) используем следующие факты. Для системы

еп'(з,е) = Л(^,е)п(з,е)

найдем семейство ф.м.р., зависящих от параметра £ £ [0,1]. Обозначим пока через Л"(з, е) ф.м.р., составляющие это семейство, и Л(в,е) — ф.м.р. для системы (3.1") (в дальнейшем будем использовать другие обозначения). Докажем, что Л"(з,£,е) и Л(в,е) связаны интегральным уравнением

Л(в,е) = е^ Л"(М,е)С(£,е)Л(£,е)^ + Л(а,е), а £ [0,1]

а

при выполнении определенных условий на Л"(з, е) и Л (а, е). При более подробном изложении этого пункта мы приведем эти условия.

Далее, используя ограниченность ||С|| и малость е, доказываем, что интегральный оператор

Л^ е^Л/>,£,е)С(£,е)Л(£,е)^

а

сжимающий, что дает нам существование ф.м.р. Л(в,е). Вспоминая сделанную замену, находим У(в,е).

Таков вкратце план доказательства. Переходим теперь к его подробному изложению.

3.2. Сведение задачи (0.1) к краевой задаче (3.1)

Введем следующие обозначения:

у1(в,е) = Р(в,е) - / у2(в) =

где /(в) = 1п р(в), и перепишем задачу (0.1) в виде

еу' (в, е) = А(в)у(в, е) + Р (в, у(в, е), е), Ру(0,е) = 0, ^у(1,е) = 0.

(3.1)

Здесь

*.)=( Д ^ . р =(Ю), « = (10). = ( ЙЙ) • ^ (8-у<8'е)'е) = ( -^м.-^-)+1]

Рассмотрим соответствующую "однородную" задачу

еу' = ау,

Ру(0,е) = 0, (3.2)

ду(1,е) = 0.

В монографии [8] указано: если

1 — собственные значения Л1(8),Л2(8) матрицы А(в) таковы, что

а) ИвЛ^) < ИвЛ^),

б) Л1 (в) = Л2(8),

в) ИвЛ^) < 0, Л1(в) = 0, И^в) > 0 (либо ИвЛ^) > 0, Л2(в) = 0, И^в) < 0);

2 — существует матрица

В(в) =( Ьи(в) &12(в) В(в) V Ы*) Ь22(в)

со свойствами

) в-млмод = ( Л2.0.0 ,

) Ьп = 0, 622 = 0,

то найдется такая матрица Д(з,е), что с помощью замены

у(в,е) = Д(8,е)п(5,е) (3.3)

получим вместо еу' = Ау квазидиагональную систему вида

еп'(в, е) = [Ло(в) + еЛ1(в) + е2С (в, е)]п(в, е), (3.4)

где Л0, Л1 — диагональные матрицы.

В нашем случае Л1 (в) = - у/р(в), Л2 (в) = л/р(в),

11

В(в)Ч -л/Р(в) ущ)

т. е. условия 1, 2 выполнены.

Матрицу Я будем искать в виде

Я(в,е) = В(з) + еВ^з),

где В^з) — матрица, подлежащая определению. Делая в системе еу' = Ау замену (3.3), получаем

еп' = [В + еВВ1]-1[АВ + еАВВ: — еВ' — е2(ВВ1)']п. Сравнивая это выражение с (3.4), делаем вывод, что должны выполняться тождества

АВ = В Л0, АВВ: — В' = ВЛ: + ВВ:Л0, — (ВВ1)' = ВС + ВВ1Л1 + еВВ1С.

Первое, очевидно, будет выполнено при таком выборе Л0:

Л = ( Ах 0

Л° \ 0 А2

С учетом первого тождества второе можно переписать в виде

В Л0 В1 — В' = В Л1 + ВВ1Л0,

или

Л0В1 — В1Л0 = В-1В' + Ль Диагональные элементы матрицы Л0В1 - В1Л0 равны нулю, следовательно,

Л= ( (—В-1В')и 0

Л1 = 0 (-В-1В')22

и

В

1

( 0 Т 1 7 (В- 1В') 12 ^

А1 - А2

1 (В-1В')21 0

А2 - А1

Наконец, из последнего тождества получаем выражения для определения матрицы С:

С = —[В + еВВ1]-1((ВВ1)' + ВВ1Л).

Таким образом,

МЮ = \ГрЩ{^ (З1 0 ) , Л1(в) = А(в) ( 1 1 )

В1(з) = Ф)( 0 Л , С(з,е) 1 ^ С12

— 1 0 у у } ' 1 + е2Ь2(з) V С21 С22

1 /— А(з)6(з)+ е6(з)6'(з) Ь'(з) — еА(з)62(з) 1 + е2Ь2(з) I —Ь'(з) — еА(з)Ь2(в) А(з)Ь(в) + е6(з)6'(з)

где

В частности,

= , А(в) = - /,(в)

4

||С|| = швх ^Атах(С*(в,е)С(в,е)) =

0<в<1

швх 0<в<1

* швх1 У^2«*2«)* = с.

3.3. Построение ф.м.р. для системы ву' = Ау

Рассмотрим вновь квазидиагональную систему (3.4). Через ЛДз,е) обозначим собственные значения матрицы Л(в,е). Столбцы Пг(з,е),г = 1, 2, фундаментальной матрицы решений для (3.4) можно искать в виде

Пг(з, е) = «¿(в, е)ехр I - [ Л(т, е)^т I , г =1, 2.

(3.5)

Тогда вектора аДз,е), г = 1, 2, находятся как решения дифференциальных уравнений:

еа^з, е) = [Л(в, е) — ЛДз, е)/]аДз, е) + е2С(в, е)аДз, е), г = 1, 2. (3.6)

тз Л Г- ер Л Г- ер

В нашем случае Л1 = —л р--—, Л2 = л/р--—.

у 4р у 4р

От системы (3.6) перейдем к интегральному уравнению. Для начала заметим, что системам

еа, = [Л — Лг/]<5г, г =1, 2

(в развернутом виде

еа1

0 0

а1, еа2

— 2^ 0

0 2^ у 2 \ 0 0

соответствуют фундаментальные матрицы решений

10

¿Ь),

Х1(М,е) =

1

V

0 ехр ( - у ^у/р^ГУ^т

/

( ( х] \ \

ехр | — 2л/р(т)^т I — 0

V 4 0 м

причем Х1(в,в,е) = Х2(з,з,е) = I. Далее зададим значения компонент векторов аДз,е), г = 1, 2, в некоторой точке а. Ниже мы обсудим, как выбрать точку а и значения компонент

в

3

векторов. Сейчас можно утверждать, что ai(s,e) (решение системы (3.6)) находится как решение интегрального уравнения

s

a1(s,e) = а1(а,е)+ ej X1(s,t,e)C (t, е)а1 (t, e)dt. (3.7)

a

Действительно,

s

ea1(s,e) = e2X1(s, s,e)C(s,e)a1 (s,e) + e J(X1)s(s,t,e)C(t,e)a1(t,e)dt =

a

= e2C (s,e)a1(s,e) + |A(s,e) — A1(s,e)/](a1(s,e) — a1(a,e)) =

= e2C (s,e)a1(s,e) + |A(s,e) — A1(s,e)/]a1(s,e)

при условии, что [Л(й) — A1(s,e)/])a1(a,e) = 0. Для этого достаточно взять a1(a,e) = (const 0)*.

Далее для существования решения (3.7) необходимо, чтобы отображение

s

а ^ e f X1(s,t,e)C(t, e)a(t, e)dt было сжимающим. Для этого, в частности, матрица X1(s,t,e)

a

должна быть ограничена сверху по норме. Рассмотрим интервал интегрирования [a, s]. Ес-

s _

ли a < s, то a < t < s и, следовательно, функция exp( 1 J 2^/р(т)) не ограничена. Если

^ е

8 _

же наоборот в < а, то в < £ < а, и тогда / 2^/р(т)^т < 0, ||Х1|| < 1. Следовательно,

достаточно взять а = 1 и а1(1,е) = (1 0)*.

Аналогично, рассматривая а2(в,е), получаем, что надо взять а = 0 и а2(0,е) = (0 1)*. Итак,

а1 (в,е) = ^ 0 ^ + ^УХ1 (в,£,е)С(¿,е)а1(£,е)^£ = е1 + Т£1а1(в,е),

1

02

а2(в,е)= ^ 1 ^ + еу Х2(в,£,е)С(¿,е)«2(*,е)^ = в2 + Г2а2(в,е). (3.7')

0

Как было отмечено выше, для существования решений (3.7') необходимо, чтобы операторы Т£г, г = 1, 2, были сжимающими, т. е.

||Т£га - Т£га|| < £||а - а|| для любых функций а, а € С[0,1],

причем 0 < £ < 1. Очевидно,

У Х1 ■ С ■ (а - а)^ 1

< е||С|| ■ ||а-а||.

l|TeAa - Т>|| = е

Аналогично для T2

||T2â- T2â||< е||с|| ■ ||a- a||. Необходимое условие сжимаемости

е||С|| < eci < 1. (3.8)

3.4. Свойства матрицы [а1,а2]

Обозначим через [а1,а2] матрицу, где а^ — г-й столбик матрицы. В данном разделе приведем свойства, которыми обладает эта матрица. Напомним, что

еа1 = ^ Ц ^ а1 + е2Саь а1(1,е)=^0

еа2 = ^ 0 ^ а2 + е2Са2, а2(0,е) = ^ ^ ^

а|(в,е) = ^ ^ ^ (в,е).

Обозначим

Тогда

К' I 0 0 А I , е / С22 С21 \ I

2 ) =( 0 — 2^Г2 + 1+^4 С12 С11 >а2

Свойство 1. Для детерминанта матрицы [а1 , а2] справедлива формула

аефьа2](в,е) = а1(0,е)(1 + е2Ь2(в)).

Доказательство. По определению, det[а1, а2](в, е) = «1«2 — а1 а1. Продифференцируем это выражение по в (точка означает дифференцирование по в):

1 2 I 1-2 -21 2-1 ( • 12 1 • 2) | / • 2 1 2-1^

1 а2 + а1 а2 — а 1 а2 — а1 а2 = (а 1а2 — а2аА + (а2а1 — а1<а2 \

(det[а1, а2])' = а1 а2 + а^2 — а2а1> — а2^1 = ((¿{а2 — а^2) + (а^¿Оу — а2^2) (сца1 + С12а1) а2 — ^2^а2 + 1 +ее2&2 ^а1 + С22а2)^ а1+

1 + е2Ь2 у ' 2 V е 1 1 + е2Ь2

е ( ) 2е

+ 1 + е2Ь2 (с21а1 + с22а2) а1 — а2 ^— 2еРа2 + 1 +^^252 (с"а1 + С12а2)^)

£

(сца1а2 — С22а2а1 + С22а1а1 — сца^1) = --— (сц + С22^е^аь а2].

1+ е26^11 12 -12 ■11 11 127 1 + е2Ь2 Поскольку

сц + С22 = (—ЛЬ + еОО' + ЛЬ + е&&') = 2е66',

то

2е2ЬЬ'

(det[аl,а2])' = ——^ det[аlа2]. 1 + е2 о2

Следовательно,

det[аl а2](в,е) = <7(1 + е2 Ь2(в)). Постоянную С находим из условия

а1(0,е) 0

С = det[а1а2](0,е) = det Г 2( , ) 1 = а1(0,е)

V а2(0,е) 1 )

а2(0,е) 1 ' ^

С другой стороны,

С = det[а1, а2](1, е) = det Г 2( , ) )= а2(1,е).

V 0 а2(1,е)

Значит, а1(0,е) = а^(1,е).

Следующее утверждение устанавливает связь между а1 и а2. Свойство 2.

а1(з,е) = а2 (1 — з,е), а2(з,е) = а1(1 — з,е).

Иными словами, а^^е) = а^~(1 — з,е).

Доказательство. Коэффициенты с^ (з) матрицы С(з) обладают свойствами:

Ь(з) = 1ГТп (з) = — 1ГТп (1 — з) = —Ь(1 — в),

А(з) = — Р (з) = (1 — з) = —А(1 — з),

6'( ) Р'' ( ) 3(Р')2 ( ) р'' (1 ) 3(р')2 (1 ) )

6 (з) = 8Р3/2(з) — ^(з) = 8Р3/2(1 — з) — ^(1 — з) =6 (1 — з),

—(А6)(з) = — (А6)(1 — з), е(6'6)(з) = —е(6'6)(1 — з),

(—А6 + е6'6)(з) = — (А6 + е6'6)(1 — з), т.е. сп (з) = — 022(1 — з),

(6' — еА62)(з) = (6' + еА62)(1 — з), т.е. 012(з) = —021(1 — з).

Поэтому

е(а2 М'Н 0 —107^)а2(s,е) + TT-J^( 022 %) ^е),

а22(0,е)= ( 0

е(а2х(1 — 8,е))' = ( ( 1л/Р(з) ) а2(1 — з,е) + е2С(5)а2(1 — з,е). Начальные данные и уравнения совпали, следовательно, совпадают и решения. Значит,

а1(з,е) = а2 (1 — з,е), а2(з,е) = а1(1 — з,е).

3.5. Построение матрицы Грина

Прежде всего введем обозначения:

е0(е, з) = ехр ^1 J /р(т), е:(е, з) = ехр ^1 J /р(т)^ ,

е(е) = ехр | - \/р(т)^т | = е0(е, ^е^е, з), = -Т£гаг, г = 1,1,

Vе 0 ) е

с(е) = а}(0,е) + а2(0,е) = 1 + ею1(0,е) + ею2(0,е), £(е) = е2(е)с2(е) — 1. В силу свойства 2

с(е) = а2(1,е) + а2 (1,е) = 1 + ею21(1,е) + ею2(1,е).

Вспоминая замены (3.3), (3.5), можем утверждать, наконец, что мы построили ф.м.р. для системы еу' = Ау:

У (в,е) = [В + еВВ1](в)[а1,а2](5,е)

ео1(5, е) 0

1

0 во(в,е^ р(5)1/4' Замечание 3.1. Аналогично описанному выше, мы можем искать п», я = 1, 2, в виде

Тогда ф.м.р. для системы еу' = Ау имеет вид

У(в,е) = [В + еВВ1](в)[а1,а2](5,е)

Матрицы У, У связаны соотношением

е1(в,е) 0

0 е-1(в,е^ р(5)1/4"

У = У

е-1(е) 0 0 е(в)

Из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что матрица Грина для краевой задачи

у' =

Ру(0) = 0,

^у(1) = 0

строится так:

У(£) при ^ < У(^(¿) + У(в)У-1(£) при £ < в,

где У (в) — любая ф.м.р. для системы у' = Ау, а Z (£) находится как решение алгебраической системы

РУ (0) 1 ( 0

дУ (1)

Таким образом, матрица Грина существует, если матрица

Z(£) = Ч дУ(1) )У-1 (£).

РУ (0)

ду (1)

невырождена, при этом сама матрица Грина не зависит от выбора ф.м.р.

Возвращаясь к нашему случаю, замечаем, что в систему входит параметр е; это означает, что матрица Грина О и вспомогательная матрица Z будут зависеть от е. Выберем в качестве ф.м.р. У(в,е). Тогда

-1е) 1

е 1(е) е(е)с(е)

" РУ(0,е) "

дУ (1, е)

Следовательно,

det

РУ (0, е) дУ (1,е)

с2(е)е(е) - е-1(е).

1

Очевидно, необходимым условием существования С(8,£,е) является неравенство нулю функции Д(е):

Я(е) = с2(е)е2(е) - 1 = 0. (3.9)

Вычисляя Z(¿,е), находим С(8,^,е):

G(s,t,e) = <

Г pt)1/4

p(s)1/4 p(t)1/4

Y (s,e)M7(t,e)

Y (s,e)M Y(t,e)

ieo(s1£) eo(t,e)

eo(t,e)

где

Y(s,e) = [B (s) + eB (s)Bi(s)][ai,a2](s,e), M =

s < t,

t < s,

(3.10)

e2(e)c(e) -1 -1 c(e)

Л-i = M

00 1M-1 0 -1 M

e2(e)c(e) -1 c(e)

1

00 01

1

e2(e)c(e) 22

M = M( 0 0 ^M"1

-c(e) -e2(e)c2(e) ^ D(e) e2(e)c(e) -1

1

c(e)

10 00

c(e) 1

1 e2(e)c(e) ; D(e)

c(e) 1 _

1 e2(e)c(e) ; D(e)

e2(e)c2(e) e2(e)c(e) -c(e) -1

D(e)'

Выясним, для каких е имеем Д(е) = 0. Нам нужно, чтобы с2(е) = ^ или с(е) =

1

e2(e)

± . Поскольку точные значения для a1(0,e), a2(0,e) неизвестны, можно лишь указать e(e)

область возможных значений c(e). Оценку значений c(e) проведем следующим образом. По определению v, имеем

||vi|| = 1 ||ЗД| < ||C|| ■ ||ai|| < C1||ei + evi|| < d(1 + e||v»||), г = 1, 2.

e

Отсюда получаем Далее, поскольку

M<

C1

-,г = 1, 2.

1 - c1e

-||vi||< vj <||vi||, г =1, 2, j = 1, 2,

то

1 - 2e||v1|| < c(e) = 1 + e(v1(0,e)+ v2(0,e)) < 1 + 2e||v11|. Окончательная оценка для c(e) выглядит следующим образом:

1 - 3ec1 , . 1 + ec1 < c(e) <

1 - ec1

1 - ec1

Очевидно с(0) = 1. При малых е значения с(е) близки к единице. В то же время при е ^ 0 функция е-1(е) стремится к нулю, причем гораздо быстрее, чем с(е) стремится

1

1

1

Рис. 4.

к 1. Таким образом, мы можем выбрать некоторое число й < 1/3 (рис. 4) такое, что для

любого 0 < е < е1 = — выполнено условие (3.9). На рисунке кривая I — график функции

1

1 — 3х

'х ' ' ' ' '

exp ^—ci 0 VP^dr/x), кривая II — график функции

1 — x

Помимо этого заметим, что для любого 0 < е < е1 верно ec1 < d < 1, т. е. выполнено условие сжимаемости (3.8).

1 — 3Х

И наконец, поскольку функция--убывающая по x на отрезке [0,1/3], то

1x

1 — 3ес1 1 — 3е1с1 1 — 3d min -=-=--.

o<£<£i 1 — ес1 1 — е1с1 1 — d

Тогда мы имеем равномерную оценку

1 1- d

<

с(е) 1 — 3d

которая понадобится нам в дальнейшем.

для всех е £ [0, е1],

(3.11)

3.6. Некоторые дополнительные оценки

В этом разделе получим оценку нормы

G(s,t,e)

dt

o

, которая затем будет использована

для доказательства сжимаемости оператора

1

У ^ I G(S,t,e) F(t, y(t, е), e)dt

е

(см. раздел 3.3).

Разобьем процесс получения нужной нам оценки на несколько шагов. 1. Выражение (3.10) перепишем следующим образом:

G(s,t,e) = <

, , * 7(s, e)M7-1(t, e)p(t)1/2, s < t, (p(s)p(t))1/4 /V ' ' 1 V ' ;" ' eo(t, е) " '

1

, 7(s,e)M7-1(t,e)p(t)1/2, t < s.

{ (p(s)p(t))1/4 /V ' ' 1 V ' ;" ' eo(s, е) "

(3.10')

1

е

Последовательно оценим нормы матриц, входящих в (З.Ю^. 2. Получим оценки для норм матриц М, М. Заметим, что

mm = i ^ /+,c2 2,„ ^ 1

e2(£)c(f)(1+ c2(e)) e4(£)c(£)2(1 + c2(e)); D(e)2'

Поскольку

Ai(M*M) = О, Л2(М-= ,

то

||M||2 = Amax(M*M).

Аналогично для M получаем

Ai(M-M) = o. Л2(^ - = .

Поэтому

2 л I \А - КЛ\ I I Л А 112

Amax(M *M)

3. Оценим норму матрицы B + eBB^ Очевидно, что

IIB + eBBi||2 <||B||2||/ + eBi||2,

B = ( * l ^ , B*B = ( 1 + p 1 - p

—vp vw v 1 — p 1 + p

Тогда

Ai(B-B) = 2, A2(B-B) = 2p, и ||B ||2 = 2

4. Найдем ||T + eB1||2. Так как

T + rR = f 1 £b(.) то

(T + ^i)-(T + f(s) 1 + Ач.)

и, следовательно,

Ai,2 = 1+ e2b2(s), ||T + eBi||2 = 1 + е2Ь2(в),

где в — точка максимума функции b(s).

5. Оценим ||[а1, а2]||2:

2

||[ai,a2]||2 <|Ы|2 + ||«21|2 <

1 — ec1

6. Используя свойство 1, находим определитель матрицы 7(¿,e): detY(t,e) = detB(t) det[T + eBi(t,e)] det[aia2](t,e) = e)(1 + eV(í))2.

С помощью рассуждений, аналогичных использованным в разделе 3.4 при оценке с(е), получаем:

1 2ес1 1 1

1 < а1(0) <

1 — ес1

1 — ес1

Следовательно,

det7(£,е) > 2^1 2еС1 (1 + е2Ь2(£))

2 2 2

1 - ес1

7. Далее, в силу оценок, полученных выше в 2, 3, 4, 5, при в < £ имеем 7 (в,е)Мт-1(£,е)

поэтому

(р(в)р(£))1/4 7 (в, е)М7-1(£, е)

1|М||-Ш7(в,е)Ш-

7 (£,е)

|detY (£,е)|

(р(в)р(£))1/4

<

2(1 + е262(0)) /(1 + с2(е))(1 + с2(е)е4(е))

8(1 — 2ес1)

(е2(е)с2(е) — 1)

8. В силу оценки, полученной в 2, при переходе через прямую в = £ будем иметь то же самое неравенство:

7 (в,е)М 7-1 (£,е)

(р(в)р(£))1/4

<

2(1 + е262(0)) /(1 + с2(е))(1 + с2(е)е4(е))

8(1 — 2ес1)

(е2(е)с2(е) — 1)

9. Введем в рассмотрение следующую функцию:

£(е)

2(1 + е262(0)) /(1 + с2(е))(1 + е4(е)с2(е))

8(1 — 2ес1)

(е2(е)с2(е) — 1)2

Тогда

С(в,£,е)

< 2(е)у 0

' УРМ ео(в,е)

е ео(£,е) УРМ ео(£,е)

е ео(в,е)'

Вычислим интеграл, входящий в это неравенство справа:

в <

£ < в

>

' \/Р(*) ео(в,е)

е во(£,е): у/р(£) ео(£,е) , е ео(в,е):

в <

£ < в

иг = /^ ео^4 + / ^ еоМ

J е ео(£,е) J е ео(в,е)

ао

( ) Г л/РСг) -, 1 г уРШ

ео(в,е) —-е 0 +---- —-е 0

J е ео(в,е) у е

= ео(в,е) / а'(г,е)е-ст(4'£)(г +

ео(в,е)

а'(г,е)ест(4'£)(г

1

1

е

1

1

а

1

сг(1, е) <j(s,e)

= e0(s,g) I e-vdv +----- [ evdv =

J eo(s,e) J

<r(s, е) ст(0, е)

= eo(s,g) (-e-CT(1'e) + e-CT(s'e)) + —^(eCT(s'e) - вст(0'е)

eo(s,g)

= eo(s,g) 1 = eo(s,g) + ei(s,g)

e(g) eo(s,g) e(g) '

где

s

1

a(s,g) = -/ VPMdr, a(Q,g) = Q, ест(0'е) = 1, ест(1'е = e(g), eCT(s'e) = eo(s,g).

, _ - ,, = e(g) eCT(s,e)

g 0

10. Далее нам понадобятся равномерные по s и g оценки. Поэтому найдем

eo(s,g) + e^s,g)\ . (eo(s,g) + e1(s,g))

max 2--—- = 2 — min

o<s<1 у e(g) J o<s<1 e(g)

Поскольку

(e0(s,g) + e1(s,g))/ = ^p(s) (e0(s, g) — e1(s,g)) = Q при s =1

2

и

e0(s,g) <e1(s,g) при s< ^, e0(s,g) >e1(s,g) при s> ц, то s =1 — точка минимума. Следовательно,

. eo(s) + e1(s) ( ^

2 — min -—-= 2 1--;—— < 2 для любого g.

o<s<1 e(g) V e(g/2)/ A

rr < /(1 + c2(g))(1 + e4(g)c2(g))

Преобразовав агрегат W---—-и применив (3.11), получим следую-

и (e2(g)c2(g) — 1)2

щую равномерную по g оценку:

'(1 + c2(g))(e4(g) + c2 (g)) = /(1 + c2(g))(e-4(g) + c2(g)) /(1 + c2(g))(u + c2 (g)) (e2(g)c2(g) — 1)2 =V (e-2(g) — c2(g))2 — V c4(g)

1 + c2(g)) 0 + c^J - \

1- d 2\ Л ( 1- dx2

1 - 3d J \ \ 1 - 3d

1+и i-m для любого Q <g — g1,

где

-4

и = e (g1).

Если е* — некоторое фиксированное число и е* < е1, то для любого 0 < е < е* верно следующее:

g(e) <

2(1 + e*2b2(tf))

8 (1 - 2d) \ Окончательно получаем

1+

1 - d 1 - 3d

1 + и

1 - d 1 - 3d

G(s,t,e)

dt

< G (e*) для любого 0 < e < e*

где

G (e*)

4(1 + e*2b2(fl)) 8 (1 - 2d) \

1+

1 - d 1 - 3d

1 + и

1 - d 1 - 3d

3.7. Завершение доказательства теоремы

Чтобы завершить доказательство теоремы 1, надо доказать, что существует такая пара — число eo и постоянная K, что для всех 0 < e < eo оператор T, определенный формулой

(Ty)(s)

G(s,t,e)

F (t,y(t,e),e)dt,

отображает шар В0,ке = {у Е С[0,1] : ||у|| < Ке} в себя и является сжимающим. Иными словами,

1. ||Ту|| < Ке для любых функций у Е В0,ке, 1. ||Ту — Ту|| < ^||У — У|| для любых функций у, у Е В0,Ке,

причем 0 < £ < 1. Понятно, что е0 не может быть больше е1, выбранного в разделе 3.5. и обеспечивающего выполнение условий (3.8), (3.9). Таким образом, предполагая, что е0 < е1, мы можем использовать равномерные по е оценки, полученные в предыдущем пункте, заменив е* на е0. Заметим, что

= р(Р — у1 — 1) = Р^у1)2, 0 <^< 1. Тогда для любого 0 < е < е0 1

l|Ty||

G(s,t,e)

e

F (t, y(t, e), e)dt

<G(eo)||F|| < G(eo) llf'll + K2e„ — e

=K£q

и требование 1 выполнено, если

G(eo) llf'll + KV

,Ker

< K.

2

2

i

e

2

2

i

e

Далее, для любых у, у £ В0;ке справедлива оценка

1 рКе°

||ту - Ту||<£(ео)||(у1)2 - (у1 )2||— <

£

< £(ео)Цу1 - у1|| Цу1 + у1||< £(ео)КеоеК£°||у - у||.

£(ео)еК£°Кео < 1.

Требование 2 выполнено, если

"'ео)е "лео

Итак, нам нужно доказать, что существует пара (ео,К), удовлетворяющая одновременно двум неравенствам:

/ ° \ £(ео) ( ||/'|| + К] < К, £(ео)еК£°Кео < 1.

Заметим, что для этого достаточно одновременного выполнения неравенств

К

£(ео)||/'||< у, (3.12)

£(ео)еК£°Кео < 1. (3.13)

Для краткости записи введем постоянную 01 следующим образом:

01

5(1 - 2^) \

Тогда

Ч Л+ У1 -^2

1 - 3^ / \ \ 1 - 3^

£ (ео) = 01(1 + ео^)). Обозначим через ф функцию от ео,К:

ф(ео,К ) = 01(1 + е2Ь2(0))КеовК£ °,

а через Г1, Г2, Г3 — следующие множества:

Г1 = {(ео, К) : К - любое, 0 < ео < е1},

Г2 — множество точек (ео,К), удовлетворящих неравенству (3.12),

Г3 = {(ео, К) : ео, К > 0, ф(ео, К) = с, 0 < с < 1}.

Перейдем теперь к анализу неравенств (3.12), (3.13). Понятно, что Г2 — это "внутренность" параболы

К (ео) = 201||/ '||(1 + е^)),

а Г3 — множество точек (ео,К), удовлетворяющих неравенству (3.13).

Заметим, что прямые К = 0 и ео = 0 лежат в Г3. Поскольку фо(ео, К) — непрерывная по ео функция, то можно утверждать, что при достаточно малых ео значения ф(ео,К) также мало отличаются от нуля. Таким образом,

Г1 П Г2 П Г3 = 0,

4

что и требовалось доказать.

Можно рассуждать и по-другому. С этой целью выясним, какой вид имеют кривые ф(е0,К) = с, 0 < с < 1, образующие множество Г3. Поскольку

^ф = ф£0 + фк ^К =

KeKs° [2gib2(0)e2 + gib2 (0)е§(1 + Ke0)]de0 + e0eK£° gi(1 + + Ke0)dK = 0,

то

dK d£0

K

£0

1 +

262(0)e0

(1 + £0 b2(^))(1+ K£0)J

(3.14)

Значит, интегральные кривые К(е0) выглядят как "возмущенные" гиперболы К(е0) = еопя^^. Из уравнения (3.14) видно, что при малых е0 эти возмущения малы, и мы снова приходим к утверждению

Гх П Г2 П Гз = 0. Рис. 5 иллюстрирует наши рассуждения.

Рис. 5.

Здесь кривая I — график функции К(е0) = 2дх||/;||(1 + е0&2($)), кривая II задана уравнением ф(К, е0) = дх(1 + е2&2($))Ке0ееок = с, с < 1 — некоторая постоянная. Теорема доказана.

3.8. Пример

В качестве иллюстрации к теореме рассмотрим случай конкретного сглаживания p(s) £ C2 и вычислим £0 по заданному 5.

Возьмем l = 1/6, ß = 1/12. На участках [l — ß/2,l + ß/2] и [1 — l — ß/2,1 — l + ß/2] сглаживание производится с помощью полинома

s — А 5 /s — А 3 /s — l

p(s)=Ч + Ч + Ч а4,

где

a1 = —16(1 — 5) a2 = 8(1 — 5) a3 = —16(1 — 5) = .

При таком выборе коффициентов

p(l — ß/2) = p(1 — l + ß/2) = 1, p(l + ß/2) = p(1 — l — ß/2) =

р'(/ - р/2) = р'(/ + р/2) = р'(1 - I - р/2) = р'(1 - I + р/2) = 0,

р"(/ - р/2) = р"(/ + р/2) = р"(1 - I - р/2) = р"(1 - I + р/2) = 0

и функция р(з) действительно принадлежит С2[0,1]. По результатам численных расчетов получаем:

5 85 Too 2 3 3 TO T To 4 TOO 4 TOOO

Cl 6,72 20,2 115 580,4 1900 30230

0,057 0,41 6,83 76,35 434,66 23974

II/ II 1,83 4,58 14,06 29,55 46,27 116

4,4 -TO-3 1-TO-3 8,69 -TO-5 5 -TO-6 5,26 -TO-7 2 -TO-9

Список литературы

[1] Blokhin A.M., Iohrdanidy A. A., Krymskikh D. A. Numerical investigation of the hydrodynamic model equations for charge transport in semiconductors. Preprint No. 26. Sobolev Inst. of Math. Siberian Branch of the Russian Acad. of Sci., Novosibirsk, 1995.

[2] Blokhin A.M., Iohrdanidy A. A., Merazhov I. Z. Numerical investigation of the gas dynamic model equations for charge transport in semiconductors. Preprint No. 33. Sobolev Inst. of Math. Siberian Branch of the Russian Acad. of Sci., Novosibirsk, 1996.

[3] Gardner C. L., Jerome J. W., Rose D. J. Numerical methods for hydrodynamic device model: subsonic flow. IEEE Trans. Computer-aided Design, 8, No. 5, 1989, 501-507.

[4] Gardner C. L. Numerical simulation of a steady-state electron shock wave in a submicrometer semiconductor device. IEEE Trans. Electron Devices, 38, No. 2, 1991, 392-398.

[5] Anile A. M., Maccora C., Pidatella R. M. Simulation of n+ — n — n+ devices by hydrodynamical model: subsonic and supersonic flows. COMPEL, 14, No. 1, 1995, 1-18.

[6] МизохАтА С. Теория уравнений с частными производными. Мир, М., 1977.

[7] Васильева А. Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. Наука, М., 1973.

[8] Ломов С. А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. Наука, М., 1981.

Поступила в редакцию 7 декабря 1998 г.