CC BY
38
Вычислительные технологии
Том 5, № 5, 2000
О РЕШЕНИЯХ СТАЦИОНАРНОЙ ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПЕРЕНОСА ЗАРЯДА В ПОЛУПРОВОДНИКАХ *
А. М. Блохин, Е. В. Мищенко Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН Новосибирск, Россия e-mail: [email protected], [email protected]
The existence of solutions for a gas dynamics model of charge transfer in semiconductors in a stationary case is studied.
1. Предварительные сведения
При математическом описании физических процессов в полупроводниковых устройствах в качестве соответствующих математических моделей часто используют системы гидродинамического типа. К настоящему моменту сконструирован целый класс таких систем (некоторые из которых описаны, например, в [1, 2]). В этой работе мы будем рассматривать наиболее простую систему из этого класса — газодинамическую модель переноса зарядов в полупроводниках (такая модель подробно описана в [3]; там же приводятся результаты ее численных исследований). Нестационарная и одномерная газодинамическая модель в виде законов сохранения может быть записана следующим образом (мы приводим систему сразу в безразмерном виде; сам же процесс обезразмеривания описан в [2]):
Rt + Js(1) = 0,
jT1) + Js(2) = F(2), (1.1)
(RE )r + Js(3) = F(3),
<pss = ß(R - p). (1.2)
Здесь R — плотность электронного газа; J(1), J(2), J(3) — потоки, которые определяются по следующим формулам:
J(1) = Ru,
J(2) = Ru2 + P,
1 -
J(3) = RuÜ, П = - u2 + - tf, 22
* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант №99-01-00486.
© А. М. Блохин, Е. В. Мищенко, 2000.
1 з
где u — скорость электронного газа; P = R§ — давление; E = ^u2 + ^§ — полная энергия;
§ — температура электронного газа; ^ — электрический потенциал; F(2), F(3) — правые части, причем
F(2) = R^ - —, тр
E - 3
F(3) = J(1V. - R-2,
tw
где тр ,tw — времена релаксаций, которые в данной модели считаются функциями от E; р = p(s) — естественная электронная концентрация, причем
р(0) = р(1) = 1;
в — некоторая постоянная; т, s — независимые переменные времени и пространства.
Заметим, что (1.1) — это система уравнений газовой динамики с правыми частями
5
для политропного газа с показателем адиабаты y = — (см., например, [4]). Уравнение
з
(1.2) — это уравнение Пуассона для электрического потенциала Следуя [1, 2], будем изучать газодинамическую модель (1.1), (1.2) на интервале 0 < s < 1, поставив при s = 0,1 граничные условия, соответствующие известной в физике полупроводников тестовой задаче о баллистическом диоде:
R(t, 0) = R(t, 1) = §(т, 0) = 1, (1.3)
р(т, 0) = 0, р(т, 1) = B, (1.4)
где постоянная B > 0 — так называемое напряжение смещения. Количество граничных условий на каждой из границ поставлено для системы (1.1) с учетом предположения о
0 < и(т, 0) < а(т, 0),
(1.5)
0 < и(т, 1) < а(т, 1).
/5 _
Здесь а(т, s) = \ —§ — скорость звука в электронном газе. Численные исследования задачи
V з
о баллистическом диоде подтверждают справедливость неравенств (1.5) (см. [2, 3]).
В данной работе нас будет интересовать получаемая из (1.1)-(1.4) стационарная газодинамическая модель переноса зарядов в полупроводниках на интервале 0 < s < 1
Ru
(Ru)s = 0, (Ru2 + P)s = R^s--,
тр
i 5 A e - 3 a.1')
1 u2 + 5 § J = Ru^s - R-2,
Ru
TW
Pss = в(R - р) (1.2')
с граничными условиями при s = 0, 1
R(0) = R(1) = §(0) = 1,
(1.3')
<(0) = 0, <(1) = В. (1.4')
Можно искать решение краевой задачи (1.1') - (1.4') методом установления, т. е. как предел при т ^ то решения нестационарной задачи (1.1) — (1.4) (добавив к задаче (1.1) — (1.4) начальные данные при т = 0). Однако, как известно (см., например, [4]), эффективность применения метода установления зависит от выполнения некоторых условий. Во-первых, решение краевой задачи (1.1') — (1.4') должно существовать, во-вторых, оно должно быть асимптотически устойчиво (по Ляпунову), по крайней мере, в линейном приближении, т. е. все решения линеаризованной смешанной задачи (1.1) —(1.4) относительно стационарного решения краевой задачи (1.1') — (1.4') должны стремиться к нулю при т ^ то. Оставляя решение вопроса об асимптотической устойчивости (по Ляпунову) на будущее, мы в этой работе рассмотрим вопрос о существовании решения краевой задачи (1.1') — (1.4').
Замечание 1.1. Заметим, что краевая задача (1.1') — (1.4') при В = 0 (т.е. при снятом напряжении смещения) имеет следующее решение (так называемое состояние термодинамического равновесия для задачи (1.1) —(1.4)):
и(з) = и = 0, $(з) = $ = 1, ( )
ад = ад, = (.)
где функции В, < удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
В' = В<', е2<'' = В — р (1.7)
с граничными условиями
В(0) = Д(1) = 1, ¿(0) = <£(1) = 0,
2 1 причем е = —.
Р
Из первого условия системы (1.7) и граничных условий (1.8) следует, что
В(з) = ехрК^)}, а функция <(з) находится как решение следующей краевой задачи:
е2<'' = ехр{<} — р, 0 < 5 < 1,
(1.8)
<(0) = <(1) = 0. (0)
Краевая задача (1.9) подробно изучена в [5]. Вопрос об асимптотической устойчивости (по Ляпунову) состояния термодинамического равновесия (1.6) рассмотрен в [6].
Вернемся к краевой задаче (1.1') — (1.4'). Приведем систему (1.1') к нормальному виду, т.е. разрешим ее относительно производных. Далее вместо (1.1'), (1.2') будем рассматривать следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
<' = д,
и' = — иФ,
о' 2^ 1 и2 + 3$ — 3 2 2 т (л 1П,
$' = з д —т-+ з и2Ф, (1.10)
5 5 тщ и 5
ед' = г,
ег' = —р' + (р + ег)Ф,
где
Ф
5$ — 3u2
' 5u u2 + 3$ - 3 3Q--+-
TP TW u
R = p + er.
Система (1.10) получена в предположении, что
5$(s) - 3u2(s) = 0, u(s) = 0, 0 < s < 1.
(1.11)
Из физических соображений ясно, что если В = 0, то второе условие в (1.11) выполняется и в силу неравенств (1.5) и(в) > 0, 0 < в < 1. Первое условие в (1.11) в силу тех же неравенств надо заменить на 5$(в) — 3и2(в) > 0, 0 < в < 1. Окончательно будем полагать, что справедливы следующие предположения:
5$(s) - 3u2(s) > 0, u(s) > 0, 0 < s < 1.
(1.11')
Замечание 1.2. С физической точки зрения первое неравенство в (1.11') означает, что мы будем рассматривать только дозвуковые стационарные течения электронного газа. Понятно, что выполнение этого неравенства должно привести к определенным ограничениям на постоянную В — напряжение смещения.
Граничные условия для системы (1.10) примут такой вид:
р(0) = 0, р(1) = B, $(0) = 1, r(0) = r(1) = 0.
(1.12)
Таким образом, цель работы состоит в нахождении неизвестных u, r, $ из класса непрерывно-дифференцируемых функций на отрезке 0 < s < 1 и потенциала р из класса дважды непрерывно-дифференцируемых функций на отрезке 0 < s < 1. При этом мы будем считать, что а) времена релаксации тр, tw являются постоянными, б) параметр e — малый, в) функция p = p(s) G C2[0, 1], причем
p(0) = p(1) = 1, p(s) = p(1 - s),
min p(s) = p0 (0 < p0 < 1), p(s) > 0, s G [0,1]. se[Q,i]
Краевую задачу (1.10), (1.12) перепишем в векторном виде:
dx
ds
/(x,z)
dz EV \
e— = F (x, z, s, e), ds
Lix(0)^J^, Rix(1) = B, L2z(0) = 0, R2z(1) = 0.
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
Здесь
x = u $
z =
Q
r
/(х,г)
Я
—«Ф
2^ 1 м2 + 3$ — 3 2 2 т
-Я----+ - м2Ф
\ 5 5 тщ м 5
^(х, г, в, е)
—р' + (р + ег)Ф
¿1
100 0 0 1
, #1 = (100 ) , ¿2 =(01 ) , # = (01 ) .
2. Нулевое приближение решения краевой задачи (1.10), (1.12)
Предположим, что решение краевой задачи (1.10), (1.12) непрерывным образом зависит от параметра е. Пусть
Ыв)
х|£=0 = хо(в) = ( мо(в)
^с(в)
г|£=о = го (в)
Яо(в) Го(в)
Полагая формально е = 0 в системе (1.10), мы получим для определения компонент векторов хо(в), го(в) следующие соотношения:
<Ро = ^ «о = — МоФо,
^о = 2 Яо —
1 «2 + 3$о — 3 . 2
5 5 тщ мо
+ 7 «оФо, 5
го = 0, рФо — р' = 0,
(2.1)
где
Из (2.1) следует:
Фо
го(в) = 0
Яо(в) =
5$о — 3«о
3Яо--- +
тр
5мо «о + 3^о — 3
тщ мо
5мо(в) «о(в) + 3^о(в) — 3 5^о(в) — 3м2(в) р'(в)
3тр
3тщ «о (в)
+
р(в)
(2.2)
Подставляя выражение для Яо(в) из (2.2) в первые три уравнения системы (2.1), получаем подсистему для определения ^о(в), ио(в), $о(в). Из второго уравнения системы (2.1) следует:
«о(в)р(в) = то, 0 < в < 1. (2.3)
Здесь то — положительная постоянная. Поскольку с учетом (2.3)
«о(в)
то р(в)!
г
1
то первое и третье уравнения системы (2.1) будут иметь вид:
р р
' С1' i а У i т0
<0 = $0 + $0--1---та,
тр р
0 3 , р3
$'0
2 р
3 р
Р
та,0 т^
$0 + ^ А — -1) +
3р \тр т^ moTw
В силу граничных условий (1.12):
<0(0) = 0, $0(0) = 1. Поэтому, интегрируя уравнения системы (2.4), получаем
8 8
<0«=$0<5)—1+—0+/«0(в р§ *+=*/р§
00
$0(5) = 1 + 3
р(5) р(0
-I
р(<)
т0тк --■ I т0 ( 1
е « х
р(е) V тр 2т,
1 Ч с
w
р(е)
(2.4)
(2.5)
Наконец, с учетом граничного условия <0(1) = В, получим из первого соотношения системы (2.5) следующее выражение для определения постоянной т0:
р'(£)
та«
в = $0(1) — 1+ / ^ + —
р(е)
тр } р(е)' 0
(2.6)
Численный анализ соотношения (2.6) помещен в Приложении.
3. Исследование краевой задачи (1.14), (1.16)
Здесь рассмотрим вопрос о нахождении решения г краевой задачи (1.14), (1.16) при условии, что вектор х пробегает некоторое допустимое множество (это множество будет описано ниже). В соответствии с общей теорией сингулярно-возмущенных уравнений найдем сначала решение предельного векторного уравнения
Е(х, Ф,5,0) = 0.
Это решение легко определяется и имеет следующий вид:
Ф = Ф(х, 5)
Ф1 0
^ р' 5и и2 + 3$ — 3
' 5и 2
(5$ — 3и2)— + — — р тр
^ и
(3.1)
0
С учетом (3.1) будем искать решение задачи (1.14), (1.16)
г = у + Ф =
где д — новая неизвестная функция. Докажем следующую лемму.
г + Ф1
(3.2)
р
8
3
1
1
Лемма 3.1. Вектор у является решением краевой задачи
= А2 (в)У + д2(х,У,в,е)
(3.3)
¿2У(0) = 0, Д2У(1) = 0,
(3.4)
где
А2(в)
0
3р
5$о — «о
0
и д2(х,у, в,е) — вектор-функция, описанная ниже, каждая компонента которой является полиномом второй степени по переменным q, г.
Доказательство. С учетом (3.1), (3.2) перепишем выражения для правых частей /, Р в системах (1.13), (1.14) следующим образом:
Р
/
3р ер' 3е
q 5$ — 3«2 + V + Гq 5$ — 3«2 q + Ф1
— «Ф 1 «2 + 3$ — 3 2
тщ п
+ 7 «2Ф
5
q/l + /2,
(3.5)
причем Ф = q
3
+
р'
5$ — 3«2 р '
/1 = /1(х)
3«
5$ 3«2
2 6
+
«2
5 5 5$ — 3«2
/2 = У^2(х,в)
Ф1
р
р
3 ($р+^
3 р тр
«2 + 3$ — 3 3тщ« /
Принимая во внимание (3.5), перепишем систему (1.14) в виде:
е^У = Р — е
ав
¿Ф1
ав 0
Р — е
д Ф1
дв
+ (У*ФЬ/) 0
Р — е
qФll + Ф12 0
1
г
1
Здесь
( дФ1 \
д Ф1 öu д Ф1
0
д Ф1 du д Ф1
\~dtff J
Ф11 = ^1,A),
дФт
Ф12 = + ^1/2).
ös
V д$ /
Последнюю систему перепишем в виде (3.3), полагая
g2(x, y, s,е) = F — е
?Фц + Ф12 0
— А2У
0
3p
1
1
-tf — 3u2 -tf0 — 3u0
+ er | p I — eq ( Фо11 ) + erq P
0
3
е
-tf- 3u2
Ф12 0
(3.6)
Вывод краевых условий (3.4) очевиден.
В дальнейшем нам понадобятся некоторые оценки для правой части у2(ж, y, s, е). Пусть: _ множество вектор-функций x, причем S%oS = {x(s) : x(s) G C[0,1], ||x — x01| < £}; m = min (5tf — 3u2) > 0 ( см. первое условие в (1.11')), Фц = max |ФН(x,s)|, i = 1, 2,
xeS;
XQ,S
se[0,1],xeSX0,Ä
,P'
n = max I — 8 — некоторая постоянная (0 < 8 < 80). Понятно, что постоянные m, Фц, se[0,i] р
i = 1,2 в конечном итоге определяются величиной 80. Лемма 3.2. Справедливы следующие оценки:
||g2(x,y,s,e)|| < e{M1
+ Ф12 },
||g2(X,y,s,e) — g2(X,y,s,e)|| < eM1(||y|| + ||y||)||y — y|| + N1(||y||, ||y||)||x — x||,
||g2(x,y,s,e) — g2< еМ1(Ш + ||y||)||y — y||,
(3.7)
(3.8)
(3.9)
где х,Х,Х € $£0 $, а агрегаты М1, N описаны ниже.
Доказательство. Какое бы е мы ни взяли, можно выбрать такое что
max
se[0,1],xeSX0,Ä
1
1
-tf — 3u2 -tfo — 3u0
M
< -2e. —2
(3.10)
Здесь М > 0 — некоторая постоянная. Поскольку
||р|1 = тгах |р| = 1 ее [0,1]
то вывод неравенства (3.7) очевидно, причем
М1(||у||) = 3 М + П +-||у|| + Ф11.
—2
—
Покажем теперь, как получается оценка (3.8). Очевидно следующее равенство:
У2(Х,у,5,е) — У2(Х,у,5,е) =
0
q
3р
5-$ — 3«2 5$о — 3n0,
0
, 5"$ — 3«2 5$о — 3«о
+
0 1
+е(г — г) | р' + 3егд
~р ) V 5$ — 3«2
+ег
Фц(х,в) 0
еq
= 3рг
1
0
1
5$ — 3«2 5$$ — 3«2 +3е(гг — гг + гг — гг)
Ф11(х, в) 0
+ 3р(г — г)
0 1
+е
— 3егд
Ф12 (х, в) 0
0
1
+
5*$ — 3«2
е
Ф12 (х, в) 0
р'
+ е—(г — г) 5'$ — 3«2 5$о — 3«2 1 р
+
+ 3ег г
5$$ — 3«2
0
+
5$ — 3«2 5$$ — 3«2
+е(| — Т)(Ф11(0х'в))+ ег(
Фц(х,в) — Фц(х,в)
+е
Ф12(х, в) — Ф12(х, в)
0 0 0
Существуют такие положительные постоянные N, (н, г = 1, 2, определяемые величиной $о, что:
|(5$ — 3«2) — (5$ — 3«2)| < N||х — х||,
|Фп(х,в) — Фп(х,в)| < (311 ||х — х||,
| Ф12 (х, в) — Ф12 (х, в) | < (/12 ||х — х||.
Тогда
3N
||д2(х,У,в,е) — g2(x,y,в,е)|| < —||У||||х — х||+
—2
3М ~ц ц~ ~ц 3е "е||У — У|| + пе||У — У|| + —
т2
т
3е
— У|| + -т
— У||+
3N
т2
е||У||2||х — X|| +Ф 11е||У — У|| + /11е||У||||х — X|| + (/12е||х — X||
еМ1(||У|| + ||У||)||У — У|| + N1
х — х||,
3N 3N
причем NN1 (||У||, ||У||) = —7||У|| +--те||У||2 + е(/111|"У|| + е/12. Легко заметить, что оценка
т2 т2
(3.9) следует из только что доказанной оценки (3.8), при х = х = х.
Вернемся теперь к краевой задаче (3.3), (3.4). В силу (1.11') будем полагать
а(в) =
3р(в)
5$о(в) — 3«2(в)
> 0 при 0 < в < 1
(проверка неравенства (5$(в) — 3«2(в)) > 0 в нулевом приближении обсуждается в Приложении). Заметим, что в [5] подробно изучалась краевая задача вида
еаУ = Ау + д, в € (0,1), ав
¿2У(0) = 0, Д2У(1) = 0,
1
1
1
1
0
0
0
1
1
+
где А = ^ 0 , а = а(з) > 0 при О < 5 < 1, д — некоторая правая часть. Было
показано, что для вышеупомянутой краевой задачи существует матрица Грина С(з,£,е), которая равномерно ограничена по норме для всех 0 < < 1 и 0 < е < ео, где ео — некоторая положительная постоянная. Применительно к краевой задаче (3.3), (3.4) это означает, что существует матрица Грина С2(з,£,е) и постоянные ео, 02(ео) > 0, такие, что
||С2(М,е)|| <&(ео) (3-11)
для всех 0 < < 1 и 0 < е < ео. Используя матрицу Грина С2(з,£,е), перейдем от краевой задачи (3.3), (3.4) к интегральному уравнению
1
У(*) = У С2(М,е)д2(ж(£),у(^,е)^, (3.12)
о
причем х(з) € Бххо $. В операторном виде уравнение (3.12) будет иметь вид
у = Т2(х)У-
Здесь Т2 — нелинейный интегральный оператор. Ниже покажем, что можно указать допустимое множество, которое пробегает вектор у, такое, что для любого х € 5X0 $ оператор Т2 является сжимающим, т.е. существует вектор-функция у(з) — решение уравнения (3.12), а значит, и краевой задачи (3.3), (3.4).
Пусть 5У Ке — множество вектор-функций у(з): Ке = {у(з) : у(з) € С[0,1], ||у|| < Ке}. Здесь К > 0 — некоторая постоянная.
Теорема 3.1. Существует число е2 > 0, такое, что для любых е: 0 < е < е2 существуют числа 5, К > 0 и, следовательно, определено множество 5УКе вектор-функций у(в), на котором оператор Т2(х) будет сжимающим для любой вектор-функции
х(з) € 5Х0, $ •
Доказательство. Подберем числа е, 5, К так, чтобы выполнялись условия: 1 Т2 (х)у € 50,Ке для всех у € Ке и Х € 5Хо,$.
2. ||Т2(х)у - Т2(х)у|| < С||у - У||, 0 < С < 1, для всех у,у € Ке и Х € 5Хо,$. Пусть у € 5^Ке. Тогда в силу неравенств (3.7), (3.11) получаем:
||Т2(х)у|| = || / 1С2(5,^,е)д2(х,у,^,е)а^|| <^2(ео)е{М1(Ке)Ке + Ф12}. ./о
м1(Ке)е + !т} < • (313)
то условие 1 выполнено. С учетом неравенств (3.9), (3.11) имеем:
||Т2(х)у - Т2(х)у|| < 02(ео)еМ1 (2Ке)||у - у||,
т. е., если
еМ1(2Ке) < ^^, (3-14)
то выполнено условие 2. Докажем теперь, что неравенства (3.13), (3.14) совместны.
Если
Лемма 3.3. Неравенства (3.13), (3.14) выполняются одновременно, если
1
е<
12Ф12 3М
+ — + ф11 + п
т т2
е0,
(3.15)
2ф и&Ы
1
3М
т2
+ ф11 + п ^2(е0)е
< К <
3М
1 — 02(е0) —г + ф11 +
т2
пет
3 3М Ф Доказательство. Пусть а = —, О = —- + ф11 + п, с
&Ы6Ф 12е2 1
(3.16)
т т2
(3.13), (3.14) будут иметь вид:
Из (3.14') следует
Следовательно,
Если потребовать, чтобы то достаточно положить
В свою очередь, неравенство выполняется, если
2 Л
аКе2 + Ое + — < с, К
2аКе2 + ое < с.
с ое с
К< ^аж • е<о-
Л = ф 12. Тогда неравенства
(3.13') (3.14')
аКе2 + Ое + — <
Л с + Ое Л
К 2 К
с + Ое Л
— + К <с к> м
с Ое
2Л с — Ое
<
с — Ое 2ае2 с
е <
+ О
что и требовалось доказать.
Замечание 3.1. Ограничения (3.15), (3.16) являются достаточными. Например, при е = 0 неравенства (3.13), (3.14) выполняются, если
К > £2Ыф 12. В то же время, из (3.16) следует оценка
К > 2фи&Ы.
Вернемся к доказательству Теоремы 3.1. Выберем такое е2, что
0 < е2 < е0
и
0 < £2 <
1
£2(^0)
12Ф12 3М .
+--- + Ф11 + п
т
т
2
■(= Фо).
Тогда для любого ф: 0 < £ < £2 можно указать число 8ь 0 < 81 < 80, такое, что для любого 8: 0 < 8 < 81 справедлива Лемма 3.2, а, следовательно, и оценки (3.7), (3.8), (3.9). В силу этих оценок по Лемме 3.3 мы можем указать и число К (т.е. множество ^Уке)- Теорема 3.1 полностью доказана.
4. Система (1.13) на интегральном многообразии х(х, е)
В предыдущем разделе мы показали, что краевая задача (1.14), (1.16) имеет решение вида
г (в, х, ф) = у (в) + Ф(х, в),
т. е. каждому значению в соответствует некоторое множество точек г, которые задаются соотношением г = г(в,х,£). Согласно [7], мы построили интегральное многообразие г(в,х,ф) для краевой задачи (1.13) - (1.16) (система (1.13), (1.14) состоит из 5 уравнений), а, стало быть, можем свести исследование к рассмотрению краевой задачи для подсистемы (1.13) меньшей размерности.
Рассмотрим краевую задачу (1.13), (1.15) на многообразии г(в,х,е). С помощью формулы Тейлора представим правую часть в следующем виде:
/(х,г) = /2(и,#,в) + /!(«,$) = /2(^0, $0, в) + В(в)8х + /1(^0, $0)+
(8и)2
+д[8и/1„(и*,$*) + 8/,« Г)] + /2ии(и**,Г*,в) + 8и8$/2и,(и**,$**,в)+
(8$)2
/2^(«**, $**, в) = /2К $0, в) + В(в)8х + 01 (8и, 8$, в).
Здесь
В(в) =
( 0 612 613 \
0 - Р 0 Р
0 632 633
8х
- ^0
и — и0 | = х — х0, $ — $0
6
1
12 =
5 П 2 р' , Р2($0 — 1)
---— 2т0-2 +--2—,
тр тщ / Р2 тщ т0
13
6
32
3 V тр
— I +
тщ
5 р' Р 3 р т0тщ
Р2 ($0 — 1)
2 ' тщ т0
6 =2Р'
633 = ---
3Р
Р
т0тщ
(4.1)
Остаточные члены в (4.1) взяты в некоторых промежуточных значениях и*, $*, и**, $**. Ясно, что и* = и* (8и, 8$), $* = $*(8и, 8$) и т. д. В дальнейшем, не нарушая общности, будем полагать, что все промежуточные значения помечены одной звездочкой.
2
3
1
Докажем теперь следующую лемму.
Лемма 4.1. Решение краевой задачи (113), (1.15) можно искать в следующем виде:
х(з,е) = хо(з) + 5х(з,е), (4.2) где вектор 5х в свою очередь является решением такой краевой задачи:
а
—5х = В(з)5х + д1(5м,5^,^), 5 € (0,1), (4.3) аз
5х(0)
0
0 (4.4)
Д15х(1) = 0.
Доказательство. Доказательство леммы очевидно, если подставить выражения (4.1), (4.2) в краевую задачу (1.13), (1.15) и вспомнить, что
а
а-хо(з) = /2(мо,^о,з), з € (0,1), ¿1хо(0) = ^ 1
Д1хо(1) = В.
Ниже покажем, что решение краевой задачи (4.3), (4.4) существует и единственно. Схема доказательства такова. Сначала найдем фундаментальную матрицу решений (ф.м.р.) X(з) для однородной системы (4.3) (без правой части д1). Затем с ее помощью построим матрицу Грина С1(з,^) для задачи (4.3), (4.4). Зная матрицу Грина С1(з,^), мы сможем перейти от краевой задачи (4.3), (4.4) к интегральному уравнению:
1
5х(з) = У С1(а,г)д1(5и(г),50(г),д(г),г)^.
о
Далее, как и в разделе 3, покажем, что можно построить допустимое множество для вектора 5х такое, что нелинейный интегральный оператор
1
№ = у С1(М)д1(5м,5^,;£)а£ (4.5)
о
будет сжимающим на этом множестве.
5. Построение матриц X(в) и 01(в,Ь)
Приступим теперь к доказательству. Докажем следующую лемму. Лемма 5.1. Матрица
X (з)
1 0
ад 0
ад
то Р(з)
\
\0 рз (з)Ео(5) рз (з)Ео(5)/э(5) /
где
Ео (з) = ехр <( -I ае
тог^
11 (з) =
3р (е) - ^
3 р то т^
р 3 (е )Ео(е)ае,
12(з)
1з(з)
0
1
то
ме) р(еу + &1з(е)р з (е)Ео(е )ш
ае,
р 3 (е )Ео(е)
_ п т + р(е)(^о(е) -1)
3 V тр т^/ р(е) т^то
ае,
является ф.м.р. системы (4.3), т. е.
аХ (з)
аз
В (з)Х (з).
(5.1)
Доказательство. Пусть х^(з), г, = 1, 2, 3 — элементы искомой матрицы X(з). В силу (5.1) функции ху (з) являются решениями системы:
ахь- 7 ах2?
- 012х2^- + 013хз^ ,
р'
аз
аз
ах
з.?
аз
Ьз2х2^- + Ьззхз^-, = 1, 2, 3.
(5.2)
Легко найти общее решение системы (5.2)
р(з)
хз^- (з) = Сз^- р 3 (з)Ео(з) + р 3 (з)Ео(з)
ые)ае
р 5 (е)Ео(е)'
(з):
ме)
р(е)
^+&1з (е)рз (е)Ео(е)
Сз ^ + С2^'
Ы*)а*
р 5 (*)Ео(*)
ае + Су, = 1, 2, 3, (5.3)
где Су, г,^ = 1, 2, 3 — произвольные постоянные. Выберем их так, чтобы максимально упростить выражения (5.3). Если с11 = сз2 = 1, С2з = то, а остальные Су = 0, то в итоге получим ф.м.р. X(з), вид которой приведен в формулировке Леммы 5.1.
Матрица Грина С1(з,^), как известно, строится по матрице X(з) следующим образом:
где
^(з,*) =
Я (*)
X(з)Я(*), 0 < з < X(з)Я(*) + X(з^-1(*), * < з < 1
X-1(*),
(5.4)
" ^ (0) " -1 0
_ (1) _ _ (1) _
3
3
3
«
если при этом выполнено условие
В нашем случае
det
^Х (0) ^Х (1)
= 0.
det " ¿1Х(0) " = det
_ Д1Х (1) _
1 0 0 0 1 0 1 11(1) 12(1)
12 (1)
т0
612(0 р^у + 613(С)Р 3 (№(£ )Ш
с
(5.5)
Численные расчеты показывают (см. Приложение), что в интересующей нас области изменения напряжения смещения В
12(1) = 0. (5.6)
Следовательно, можно продолжить построение матрицы Грина С1(в,^). Лемма 5.2. 1. Матрица Грина С1(в,^) имеет вид:
где
С1(в,*) =
м
X (в)МХ-1(г), X (в)МХ-1(г),
(
0 0
0 0
11(1) V 12(1) 12(1)
0 < в < г, г < в < 1,
0 0
(5.7)
1
1
/
М = М + 1, 1 — единичная матрица порядка 3. 2. Справедлива следующая оценка:
1|С,(М)||<,/1+12(2)+12(1) (2+4+Ц+Ц+132
12(1)
где 1 = тах |1Дв)|, г = 1, 2, 3. «е[0 ,1]
Доказательство. Поскольку
Р0
) т<,е>(1)
£1 для любых в, г € [0,1],
(5.8)
(
% (г)
1 0
0 1
11(1)
0 0 1
\ 12(1) 12(1) 12(1) /
0 0 0 0 0 0
1 —11(1) —12(1)
х-1(г) = мх-1(г)
то первое утверждение леммы очевидно. Для получения оценки (5.8) обратимся вновь к работе [5], в которой мы показали, что для матриц вида (5.7) справедливо неравенство
||Х (в)||||х (г)||
||^1(в,г)|| < <
тт |detX (г)| ге[0 ,1]
||Х (в)||||х (г)||
тт |detX (г)|
*е[0 ,1]
0 < в < г,
к в< 1,
1
1
для любых s,t G [0,1]. Поскольку
m0E0 (t) |detX (t)| = ■
и Eo(t) — убывающая функция, то
11
<
|detX(*)| - тоЕо (1)'
Очевидно, что:
IX(з)||2 < тах (2 + 4 + /?(з) + ^ + 7|(зЛ < (2 + 4 + + ^ + ^
•^[М V ро / V ро
для всех з € [0,1]. Поэтому
т
ро
для любых з,* € [0, 1].
Наконец, без труда находим, что
2 „й, ,2 Л л 1 + 1?(1)+ 12(1)
2
l|X(s)|| ||X(t)||< ( + 12 + I22 + I32
Amax (M*M) = Amax(M*M)
12 (1)
Отсюда следует оценка (5.8).
6. Нахождение решения краевой задачи (4.3), (4.4)
Приступим теперь к доказательству того, что T (см. (4.5)) — сжимающее. Вначале докажем лемму, в которой будут получены некоторые оценки для вектор-функции gi(5ù, 5J, q, s). Лемма 6.1. Пусть 5x,5X,5X G SX0 g, y G Sy Ke. Справедливы оценки:
||gi(5ù,5J,q,s|| < [Ke(1 + 25) + 252]gb (6.1)
||gi(5ù, 5J, q, s) - gi(5ù, 5J, q, s) || < 2[Ke(1 + 5) + 5(2 + 5)]gi ||5X - 5X||. (6.2)
Постоянная gi описана ниже.
Доказательство. Через gi обозначим постоянную, которая равномерно ограничивает вектор-функции fi, /iu, /2uu, /2u$, /2$$. Справедливы также следующие неравенства:
||fiu(ù*,J*) - /i„(ù*>)|| < g i||5x - 5X||,
|| /2^(ù*, J*, s) - /2^(ù*, J*, s) || < gi||5x - 5X||.
Здесь ù* = u*(5ù, 5J), ù* = ù*(5ù, 5J) и т. д. Заметим также, что постоянная gi определяется через величины 50, е0. Дальнейшие рассуждения по поводу оценок (6.1), (6.2) очевидны. Наконец, сформулируем и докажем теорему о сжимаемости оператора Ti.
Теорема 6.1. Пусть Т — отображение, задаваемое формулой (4.5), и пусть у € Б^ Ке.
Тогда существует такое число ^ > 0, что для всех £ : 0 < £ < ^ оператор является
сжимающим на множестве Б£ $.
Доказательство. Для сжимаемости оператора Т1 надо доказать, что 1
1. ||7\8ж|| = || / С1(в, 8!, д, ¿)^£|| < 8 для любых 8ж € 5) $, у € Ке.
о
1
2. ЦТ18Ж - Т\8Х|| = ||/ - 01(8йД < ||8ж - 8Ж||.
о
В силу оценки (5.7) условия 1, 2 будут иметь вид
г
1. ||01(8и,80,д,*)||<—,
2. ||У1(8й, 8!, д, *) - 01(8й, 8!, д, *) || < .
С учетом оценок (6.1), (6.2) приходим к неравенствам
г
Ке(1 + 28) + 282 < (6.3)
&01
2[Ке(1 + 8) + 8(2 + 8)] < -1-. (6.4)
&01
Из (6.3) следует: 8
Ке < --——. (6.5)
(1 + 28)^101 1 ^
При условии (6.5) неравенство (6.4) заведомо выполняется при малых 8. С учетом (3.16) приходим к неравенству
2Ф12 £&(£о) < 8
1 « 3М Ф N . . (1 + 28)^101
1 -( т + Ф11 + П) ^2(ео)е ; У1
или, усиливая неравенство,
» 3М * . „ . . Л 1 - —г + Ф11 + га &(£о)£о
£ V т2 , , . - < -----с-(= х).
8 2Ф12^2(£о)^101
Следовательно, можем выбирать £ и 8 так, чтобы
£
- = ах, 0 < а < 1. 8
Отсюда, в частности, следует, что постоянная М в неравенстве (3.10) определяется через величину 8о.
Суммируя вышеизложенное, приходим к выводу, что нами доказано следующее утверждение:
При сделанных выше предположениях относительно функций и постоянных, входящих в (1.10), (1.12), эта задача имеет единственное решение следующего вида
ж(в) \ _ / жо(в)
для всех 0 < £ < £*, где £* = ш1п{£1,£2}.
Авторы признательны аспирантке НГУ А. С. Бушмановой за большую помощь при выполнении этой работы.
Приложение
В Приложении помещены численные результаты проверки выполнения условий (1.11') (в нулевом приближении), (5.6); исследован характер зависимости В от т0 и получены так называемые вольт-амперные характеристики для конкретных приборов.
Обозначим Л(з) = $о(з) — 1 и перепишем формулу для функции $0(з) (см. (2.5)):
Л(т)
v
Р 3 (s) 2 Г , Ф (£)
Ф m0 (s)3 0 Р3 (е)
Здесь
Ф(т) = exp | у р(е)ае |,
1 1 v
m0 = p(s)u0(s) = const > 0 — поток электронного газа, v = —, ^ = —, ^ = ^--.
TW тр 2
С учетом (0.1), соотношение (2.6) примет такой вид:
1 1
B = Л(1) + / ¿¿^(s^s + ^m^ ds
p(s)
p(s)'
(0.1)
(0.2)
Введем в рассмотрение функцию $(s) + 1:
s
) m0
од +1 = ™ Г л(()рщm^л - ^ f Р^ф^Мdt.
Ф m0 (s) 0 m0 р 3 (t) 3Ф m0 (s) 0 р3 (t)
В этих обозначениях условие (5.6) будет иметь вид
В + (ад + 1) + / щ Щ ^ = 0.
J рсо
о
Опишем теперь постоянные V и функцию р(з). Сначала приведем значения необходимых параметров, которые для удобства сведены в табл. 1 (в круглых скобках указана размерность).
Таблица 1
То (K) m (Kg) l (met) ln+ (met) ln (met) N+ (cm-3) Nn (cm-3)
300 0.26 ■ me 6■10-7 3■10-7 10-7 4■10-7 10-7 5■1017 2 ■ 1015
77 0.24 ■ me 12 ■ 10-7 10-7 10-6 1018 1015
s
s
s
Здесь Т0 — температура окружающей среды, т — эффективная масса электрона, те — масса электрона: те = 9.11 • 10-31(Kg); I — длина п+ — п — п+ канала баллистического диода,
— длина п+-области диода, /га — длина п-области.
Значения безразмерных постоянных тр, тw возьмем из работы [2], полагая тр,w = { ар,w + Ьр, w 2 + ср,w ехр ^ - 2(р,^ | 10-12 С.
(0.3)
Здесь ар = 0.1153, Ьр = -0.0068, ср = 0.4988, (р = 1.5137, аw = 0.4076, ^ = 0.0075, ^ = 3.1546, ^ = 1.4833, Со = \/ —° (ттеС1)' ^ постоянная Больцма-
т
—в = 1.38 • 10-23 (ЯК-1 = Kg^К-1). Величина В связана с напряжением смещения V
д
В = ИС^оН) —(Уо11-1), —в—о
(0.4)
где д — заряд электрона: д = 1.6 • 10-19(Си1).
В наших расчетах функция р(в) является сглаженной версией кусочно-постоянной функции, приведенной на рис. 1 (для —о = 77(К) график выглядит аналогично), и за-
Рис. 1.
дается следующим образом (рис. 2):
Р(в) =
1, если 0 < в < ( - А, Р1(в), если ( - А < в < ( + А, Ро, если ( + А < в < 1 - ( - А,
1 - ( - А < в < 1 - ( + А, 1 - ( + А < в < 1,
р2(в), если 1 , если
v. ;
где
Р1(в) = -- Ро)
1
2
.пг*° _ _т от*
-X «л/ | -X
53
+
1 + Ро
в — (
ж =
Р2(в) = 16(1 - Ро)
1 5 2 3
_'т» _ _'т» 'у»
-X •X' | .X
53
+
1 + Ро 2 '
ж =
А
в - (1 - ¿) А
и значения необходимых параметров приведены в табл. 2.
И, наконец, получим ограничения на то. Первое условие в (1.11') для нулевого приближения будет иметь вид
5!о(в)Р2(в) - 3то > 0.
(0.5)
2
Тогда
0 < то <
(0.6)
Таблица 2
То ро = Л - — 1 Д
300 0.004 1/6 1/3 1/12
77 0.001 1/12 1/24
Рис. 2.
Расчеты проводились для режимов 1-111 (табл. 3-5 соответственно) на равномерной сетке с шагом Л:
То = 300, I = 6- 10-7,
ро = 0.004,
И' 1
То = 300, I = 3 • 10-7, ро = 0.004,
-=3,
131
Л = —, Л = —, 12' 240
То = 77, I = 12 • 10-7,
ро = 0.001,
г-1
Л = — = —
24 360
(I)
(II)
следующим образом. Отрезок [0,1] был разбит на 1/Л равных отрезков с узлами 5 = ¿Л, г = 0, ... , 1/Л. Пусть Р — функция, которую необходимо найти, — имеет вид:
р (5) = / f т. о
В узлах сетки значение Р ищем по формуле:
Si i
F (*)=/ f (t)dt = E (Sk )+/ (Sk-i))
Если же F имеет вид
F(s) = -(s) / f(t)dt,
то
-(si)h
F (Si) = -(«)E hf (sk >+/ (Sk-1^ =
fc=1 ^ '
fM+fis-) j + g(Si) g h (f (sk )+2f (sk-i) j
h (g(si)f (Si) + g(si)f (Si-i)) + -gS^F(Si-i). 2 -(si-i)
Следовательно, по этой формуле
h /2
1 2
p2/3 (si) ( $(si-i) jv/m0
2 \ 3 p(si) 3 p5/3(si_i) V Ф^)
+ j2/3 (jv/m0 A(si-i).
+
p(si-i
ф(*)
i/h
B = Л(1) + £ h f P(S4A(Si) + Р^Цл^-О ) + pmoint,
i=i
2\ p(si)
P(Si-i)
где
+
167, для режима I, int = ^ 84, для режима II,
833.5, для режима III;
од)+1=h (UsiMSi) m - 3 щ j+
2 V V mo 3 p(Si) у
P(si) j2/3 ($(Si-i) jv/m0 (Л( )( ) v 2p'(Si-i)
p(si-i^ V $(si) У V mo 3 p(si-i)
p(si) j2/3 (^(Si-i) jV/m0
+
+
p(Si-i)
ФЫ
(l?(Si-i) + 1),
S
/2(1) = B + ($(1) + 1) + £ h (Щ$(*) + PN)^(Si-!))
^ 2V P(si) P(si-!) /
В первом столбце табл. 3-5 помещены значения т0, такие, что выполняется условие (0.6) и
0.45 < Vb < 2.
Во втором столбце помещены значения Vb, в третьем — значения min, где
min = min (5$0(s)p2(s) — 3m0),
se[o,i]
в четвертом — значения I2(1).
Как нетрудно заметить, Vb зависит от т0 практически линейным образом.
Таблица 3
Режим I
то Vb min 12(1)
8■10-5 0.454 8.53 ■ 10-5 34.42
8.5 ■ 10-5 0.4823 8.56 ■ 10-5 34.714
9■10-5 0.51 8.59 ■ 10-5 35.1
9.5 ■ 10-5 0.539 8.63 ■ 10-5 35.556
10-4 0.567 8.66 ■ 10-5 36.08
1.1 ■ 10-4 0.624 8.73 ■ 10-5 37.28
1.2 ■ 10-4 0.681 8.79 ■ 10-5 38.645
1.3 ■ 10-4 0.7374 8.86 ■ 10-5 40.14
1.4 ■ 10-4 0.8 8.92 ■ 10-5 41.73
1.5 ■ 10-4 0.85 8.99 ■ 10-5 43.4
1.6 ■ 10-4 0.91 9.05 ■ 10-5 45.14
1.7 ■ 10-4 0.964 9.12 ■ 10-5 46.93
1.8 ■ 10-4 1.02 9.18 ■ 10-5 48.766
1.9 ■ 10-4 1.077 9.25 ■ 10-5 50.64
2■10-4 1.134 9.31 ■ 10-5 52.54
2.5 ■ 10-4 1.41 9.64 ■ 10-5 62.41
3■10-4 1.7 9.96 ■ 10-5 72.64
3.2 ■ 10-4 1.8145 1.01 ■ 10-4 76.8
3.4 ■ 10-4 1.927 1.02 ■ 10-4 80.97
3.5 10-4 1.984 1.03 • 10-4 83.07
Таблица 4
Режим II
то Vb min 12(1)
3.5 ■ 10-4 0.499 8.55 ■ 10-5 19.873
4■10-4 0.57 8.62 ■ 10-5 22.58
4.5 ■ 10-4 0.64 8.7 ■ 10-5 25.29
5■10-4 0.71 8.78 ■ 10-5 28.02
5.5 ■ 10-4 0.78 8.87 ■ 10-5 30.75
6■10-4 0.855 8.95 ■ 10-5 33.49
6.5 ■ 10-4 0.926 9.04 ■ 10-5 36.23
7■10-4 0.998 9.14 ■ 10-5 38.97
7.5 ■ 10-4 1.069 9.24 ■ 10-5 41.71
8■10-4 1.14 9.34 ■ 10-5 44.45
8.5 ■ 10-4 1.212 9.45 ■ 10-5 47.2
9■10-4 1.28 9.57 ■ 10-5 49.95
9.5 ■ 10-4 1.35 9.68 ■ 10-5 52.7
10-3 1.426 9.81 ■ 10-5 55.45
1.05 ■ 10-3 1.497 9.93 ■ 10-5 58.2
1.1 ■ 10-3 1.568 1.01 ■ 10-4 60.94
1.15 ■ 10-3 1.639 1.02 ■ 10-4 63.7
1.2 ■ 10-3 1.711 1.03 ■ 10-4 66.45
1.25 ■ 10-3 1.782 1.05 ■ 10-4 69.20
1.3 ■ 10-3 1.853 1.06 ■ 10-4 71.96
1.35 10-3 1.924 1.08 • 10-4 74.71
Таблица 5
Режим III
mo V, min 12(1)
1.8 ■ 10-5 0.496 5.38 ■ 10-5 93.33
2■10-5 0.551 5.42 ■ 10-5 100.284
2.5 ■ 10-5 0.69 5.52 ■ 10-5 118.6
3■10-5 0.826 5.63 ■ 10-5 137.73
3.5 ■ 10-5 0.964 5.73 ■ 10-5 157.31
4■10-5 1.102 5.83 ■ 10-5 177.2
4.5 ■ 10-5 1.24 5.94 ■ 10-5 197.257
5■10-5 1.377 6.04 ■ 10-5 217.458
5.5 ■ 10-5 1.515 6.14 ■ 10-5 237.756
6■10-5 1.653 6.25 ■ 10-5 258.128
6.5 ■ 10-5 1.79 6.35 ■ 10-5 278.557
7■10-5 1.93 6.45 ■ 10-5 299.03
Список литературы
[1] Blokhin A.M., Iohrdanidy A. A., Krymskikh D. A. Numerical Investigation of the Hydrodynamic Model Equations for Charge Transport in Semiconductors. Prepr. No. 26, Sobolev In-te of Math. SB RAS. Novosibirsk, 1995.
[2] Blokhin A. M., Iohrdanidy A. A., Merazhov I. Z. Numerical Investigation of the Gas Dynamic Model Equations for Charge Transport in Semiconductors. Prepr. No. 33, Sobolev In-te of Math. SB RAS. Novosibirsk, 1996.
[3] Blokhin A. M., Iohrdanidy A. A. Numerical investigation of a gas dynamical model for charge transport in semiconductors. COMPEL, 18, No. 1, 1999, 6-37.
[4] Блохин А. М. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Наука, Новосибирск, 1986.
[5] Блохин А. М., Бушмлновл А. С., Мищенко Е. В. О нахождении решений одной нелинейной краевой задачи для сингулярно возмущенного дифференциального уравнения. Вычисл. технологии, 4, №6, 1999, 27-57.
[6] Блохин А. М., Бушмлновл А. С. Исследование устойчивости состояния равновесия для газодинамической модели переноса заряда в полупроводниках. Сибирский журнал индустриальной математики, январь-июнь, 1, №1, 1998, 41-56.
[7] Митропольский Ю. А., Лыковл О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. Наука, М., 1973.
Поступила в редакцию 28 февраля 2000 г., в переработанном виде 24 мая 2000 г.
