О множествах с не более чем двузначной метрической проекцией на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

14

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

УДК 517.982.256

О МНОЖЕСТВАХ С НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ДВУЗНАЧНОЙ МЕТРИЧЕСКОЙ ПРОЕКЦИЕЙ НА ПЛОСКОСТИ

А. А. Флеров1

Для множества M на евклидовой плоскости R2 доказывается, что если всякая точка x € R2 имеет одну или две ближайшие точки в M, то любая точка выпуклой оболочки M лежит на отрезке с концами в M.

Ключевые слова: метрическая проекция, теорема Бунта.

For a set M in the Euclidean plane R2, we prove that if any point x € R2 has one or two closest points in M, then each point of the convex hull of M lies in the segment with endpoints in M.

Key words: metric projection, Bunt theorem.

Пусть (X, У ■ У) — банахово пространство. Расстоянием от точки x € X до множества M С X называется величина p(x, M) := inf{Ух — z|| : z € M}. Метрической проекцией элемента x € X на M называется множество Pm(x) = {y € M : p(x, M) = ||x — y||}. Оператор Pm, сопоставляющий элементу x его метрическую проекцию на множество M, называется оператором метрического проектирования. Если для всякого x € X имеет место равенство |Pm (x)| = 1, то множество M называется чебышевским [1].

Одним из первых геометрические свойства чебышевских множеств начал исследовать Л. Бунт.

Теорема (Л. Бунт [2]). Множество в евклидовом пространстве Rn является чебышевским тогда и только тогда, когда оно замкнуто и выпукло.

В двумерном случае (n = 2) эта теорема доказывалась также Т. Моцкином [3].

Таким образом, множества с однозначной метрической проекцией в пространствах Rn получили полное описание в известных геометрических терминах. Возникает вопрос: можно ли сформулировать аналог теоремы Бунта, если допустить, что M обладает следующим свойством: для всякого x € Rn имеет место неравенство 1 ^ |Pm(x)| ^ 2?

Определение. Множество M С X называется p-выпуклым, если для всякого x из выпуклой оболочки Conv M этого множества существует такой набор xi ,...,xp € M, что x = Afc, Afc = 1,Afc ^ 0.

В случае p =1 это определение совпадает с обыкновенным определением выпуклости. Если обозначить класс p-выпуклых множеств через Vp, то справедлива цепочка вложений V1 С V2 С ... С Vp С ... . По известной теореме Каратеодори (см., например, [4, гл. 1, §2]) любое множество в Rn является (n + 1) -выпуклым. В частности, любое множество на плоскости принадлежит классу V3.

Основным результатом данной работы является

Теорема. Пусть M — множество на евклидовой плоскости R2 и для всякого x € R2 имеет место неравенство 1 ^ |Pm(x)| ^ 2. Тогда M замкнуто и 2-выпукло.

Замечание. Легко видеть, что обратное утверждение неверно: окружность C на плоскости является замкнутым 2-выпуклым множеством, но для центра a этой окружности имеем |Pc(a)| = то.

Доказательству теоремы предпошлем несколько вспомогательных утверждений. Во всех дальнейших рассуждениях считаем, что М С К2 и удовлетворяет условиям теоремы. Символами Аи А° мы обозначаем соответственно замыкание и множество внутренних точек множества A. Положим

Ai = {x € R2 : |Pm(x)| = 1}, A2 = {x € R2 : |Pm(x)| = 2}.

Ясно, что R2 = Ai U A 2. Через Up(x) будем обозначать открытый шар радиуса р с центром в x.

Введем также на плоскости векторное поле v(x) по следующему правилу: в случае, когда х G А\ \ М, положим v{x) = nfzfji = Рм(х)\ в случае, когда х е А2, положим v(x) = , {2/1,2/2} = Рм(х)

при условии, что х не лежит на отрезке [2/1,2/2]- В оставшихся случаях положим v(x) = 0.

Лемма 1. Пусть x € R2,y € Pm(x). Тогда для всякого z на интервале (x,y) := {Ax + (1 — A)y : 0 < A < 1} имеем Pm(z) = {y} (в частности, z € Ai).

1 Флеров Александр Алексеевич — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

aflerov@rambler.ru.

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2013. №6

15

Доказательство этой леммы в более общем случае строго выпуклого банахова пространства можно найти в работе [5, предложение 0.3].

Лемма 2. Пусть ж» € К2, у» € Рм(ж»), 2 = 1, 2. Пусть также ж1 не лежит на отрезке [ж2, У2], а Х2 не лежит на отрезке [ж1,у1]. Тогда (ж1,у1) П (ж2,У2) = 0-

Доказательство. Предположим от противного, что г € (ж1,у1) П (ж2,У2) = 0. Тогда г € (ж1, У1), и по лемме 1 имеем Рм (г) = у1. С другой стороны, г € (ж2, У2), а значит, Рм (г) = у2. Получаем, что г € А2, но это противоречит лемме 1. Лемма доказана.

Лемма 3. Пусть ж € А2, Рм (ж) = {У1, У2}, а также ж не лежит на отрезке [у1,у2]. Тогда существует такая окрестность (ж) точки ж, что (ж) П А2 содержит непрерывную кривую с началом в точке х и с касательным, вектором И(х) в точке ж.

Доказательство. Оператор метрического проектирования Рм есть многозначное отображение К2 в 2м и в случае евклидовой плоскости является полунепрерывным сверху [4, следствие 2.3]. Для ж € А2 условие полунепрерывности метрической проекции запишется следующим образом:

V е > 0 3 5 = 5(ж,е) > 0 : ||ж' - ж|| < 5 ^ PM(ж') С U£(yby2) П M,

(1)

где Ue(yi, У2) обозначает объединение е-ок-рестностей точек yi и у2- Для удобства дальнейшего рассуждения положим Yj (е) = Ue(y,-) П M, j = 1, 2.

Очевидно, что существует такое малое ео, что для всякого е < ео множества Y1 (е) и Y2(e) не пересекаются. В дальнейшем будем рассматривать только такие е.

Обозначим через l (рис. 1) луч с началом в точке ж, содержащий на своем продолжении точку (yi + y2)/2 (при этом l ^ (yi + y2)/2). Заметим, что луч l сонаправ-лен вектору v(x), введенному выше. Продолжение луча l является биссектрисой угла yixy2. Пусть угол между лучом l и отрезком [ж, yi] равен а.

Проведем лучи m^ и с началом

в точке ж так, чтобы угол между каждым из них и лучом l был равен Будем считать, что луч m<^ и точка yi лежат в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей луч l, а и y2 — в другой. Кроме этого считаем, что угол ^ выбран настолько малым, что < п — а < а.

Положим р = ||ж — yi|| = ||ж — y21|. Через и (t) будем обозначать пересечение окружности с центром в точке ж и радиусом t с лучами m^ и m_v соответственно.

Покажем, что существуют угол ^о = ^о(е) и величина 5 = 5(е), такие, что для любых ^ > ^>o,t < 5 выполняется

р(ж^(t),Yi(е)) <р(ж^(t),Y2(е)). (2)

Сперва оценим расстояние от точки ж^(t) до множества ^(е). Нетрудно видеть, что р(ж^(t),Yi(е))2 ^ ||ж^(t) — yi|2 = р2 +12 — 2ptcos (а —

Рис. 1

(3)

Пусть дЦр(ж) П дие(у2) = {У21 (е),У22= {У21 ,У22}. Обозначим через 0 центральный угол окружности дЦр(ж), соответствующий дуге от У21 до у2. Угол, соответствующий дуге от У22 до У2, также равен 0. Из треугольника У21 жу2 получаем оценку для угла 0:

е в в п е

— = sin - ^ - => 0 ^ —. 2р 2 2 р

Теперь оценим расстояние от точки до множества Y2(e):

(t), Y2(e))2 ^ min {p2 +t2 — 2pt cos (а + ^ ± ф)} = р2 +t2 — 2pt max {cos (а + ^ ± ф)}, (5)

Ф Ф

где ф — центральный угол, соответствующий дуге от y2 до некоторого y G dUp(x) П Ue(У2), 0 ^ ф ^

Из (3) и (5) следует, что условие (2) выполнено при

0

cos (а + <р — в) = max cos (a+ <p±tp) < cos (а — ф) а + ip — 9 > а — <р <р > -.

Ф 2

Учитывая (4), получаем, что при t < 5, ip > ipo = ^ условие (2) выполнено.

Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что при t < 5,(р > ^ для X-V{t) имеем

p(®-v(i),Y2(e)) < p(x-^(i),Yi(e)).

Тем самым мы установили, что Рм (xv(t)) С Y\(e), Рм (X-V(t)) С Y2(e) при t < 5,(р > Тогда для любого t G (0,5) на отрезке (t)] существует такая точка z(t), что p(z(i),Y1(e)) = p(z(t),Y2(e))

при ||z(t) — ж|| < 5, из чего в силу (1) следует, что z(t) G A2. Покажем, что такая точка только одна, т.е. для любого t G (0, 5) не существует двух различных точек zi, Z2 G A2 на отрезке (t)]. Для этого

достаточно заметить, что, поскольку для выбранного нами малого e пересечение Yi(e) П Y2(e) = 0, для некоторых y' G Pm(zi) и y'' G Pm(z2) получим (zi,y') П (Z2, y'') = 0, что противоречит лемме 2.

Таким образом, для всякого t G (0,5) на отрезке [ж_^(t),x^(t)] мы нашли точку z(t), содержащуюся в A2, притом только одну. Значит, в Us (ж), где 5 выбрано в зависимости от е так, что Yi)£nY2)£ = 0, возникает некоторая кривая с началом в ж, целиком лежащая во множестве A2. Покажем, что она непрерывна.

Пусть tn ^ t G (0,5) и точки z(tn) сходятся к точке z' G [x-^(t),x<^(t)]. В силу непрерывности расстояния имеем p(z', Yi(e)) = p(z', Y2(e)), что вместе с включением Pm(z') С Yi(e)U Y2(e) влечет z' G A2. Из уже доказанной одноточечности пересечения A2 П [ж_^(t), ж^(t)] получаем z' = z(t), что и требовалось.

В итоге в некоторой малой окрестности точки ж мы имеем непрерывную кривую, состоящую из точек, принадлежащих множеству А2. Гладкость этой кривой в точке ж получается из того, что ipo = ^ 0 при е ^ 0. Тогда для всякого ^ > 0 существует такое 5 = 5(^>), что при любых ф > t < 5 имеем Pm (жф(t)) С Yi(e),PM (ж_ф(^) С Y2(e). А значит, биссектриса l является касательной к кривой z(t). Лемма 3 доказана.

Лемма 4. Длл. всякого х £ А\ \ М существует такое 5 > 0, что либо [/¿(ж) П Ai, либо [/¿(ж) П А2 содержит непрерывную кривую с началом в точке ж и с касательным вектором v(x) в точке х, причем во втором случае элементы метрической проекции точек этой кривой лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей отрезок [ж, Pm (ж)].

Замечание. Утверждение леммы для ж G (Ai\M)° можно получить как простое следствие теоремы 1 работы [6]. При этом для ж G (Ai\M)° указанная в лемме кривая есть часть луча, продолжающего отрезок [ж, Pm (ж)].

Доказательство. Обозначим y = Pm (ж). По лемме 1 имеем Pm (z) = y для всякого z G [ж,у], т.е. отрезок [ж,у] целиком содержится в Ai. Рассмотрим некоторую e-окрестность UE(y) точки у. Величину e мы выберем в дальнейшем. Положим UE(y) П M = Ye. В силу непрерывности метрической проекции

3 50 = 50(e) > 0 : V ж' : ||ж — ж'|| = 5 < 50 ^ PM(ж') С Ye. (6)

Проведем прямую l (рис. 2) через точку ж перпендикулярно отрезку [ж,у]. Пусть l П dUs(ж) = {ж!(5),ж2(5)} = {ж!, ж2}. Отметим, что в силу леммы 2

(ж*,Рм(ж*)) П (ж, у) = 0, i = 1, 22. (7)

Далее, проведем прямую l', такую, что l' Э (ж + у)/2, l' ± [ж,у]. Пусть теперь ж — точка из Us0(ж), у G Ye. Рассмотрим пересечения всех возможных отрезков [ж, у] с прямой l'. Ясно, что эти пересечения образуют некоторый отрезок на прямой l', содержащий точку (ж + y)/2. Обозначим через bi тот из его концов, что лежит в одной полуплоскости с точкой ж^ а через b2 — другой. Наконец, обозначим через

2В данном случае метрическая проекция точек XI и х2 может быть как однозначна, так и двузначна, поэтому (х1, Рм(®г)) обозначает либо интервал, либо объединение двух интервалов.

в1 =

¡3\ интервал (Ьь2-^), а через /32 интервал (^-у^Ьг)- Ясно, что оба этих интервала зависят от е в1 (е), в2 = в2(е). Выберем е настолько малым, чтобы в1 П М = 0,в2 П М = 0.

Пусть т — прямая, содержащая отрезок [ж, у], и пусть ж' = ж'(5) е т П дЦ(ж),ж' е [ж,у]. Покажем теперь, что тогда для всякого 5 < 5о либо у е Рм(ж'), либо на дуге ж1 ж'ж2 окружности дЦ(ж) существует такая точка г(5) = ж', что |Рм(г(5))| = 2, причем элементы множества Рм(г(5)) лежат по разные стороны от прямой т.

Действительно, исходя из (7), получаем, что [ж1,Рм (ж1)] пересекает только интервал в1, а [ж2,Рм(ж2)] пересекает только интервал в2. Но тогда в силу непрерывности метрической проекции либо на дуге ж1ж'ж2 существует точка г(5), метрическая проекция которой двузначна, причем один из отрезков, соединяющих эту точку с одним из ее ближайших элементов, пересекает въ а другой — в2, а значит, ближайшие элементы ле- Рис. 2

жат по разные стороны от прямой т, либо для некоторой точки г' этой дуги отрезок (или два отрезка) [г', Рм (г')] содержит точку (ж+у)/2, откуда в силу леммы 2 имеем г' = ж'(5) и у е Рм (ж'(5)). Но последнее означает, что (ж',у] С А, причем для всякого и> е (ж',у] получаем Рм(эд) = у, так что мы можем указать нужную окрестность, в которой утверждение леммы выполнено, что автоматически влечет непрерывность и нужную нам гладкость кривой. Если же у е Рм(ж'(5)) для любого 5 < ¿о, то рассмотрим указанную точку г(5) е А2, такую, что Рм(г(5)) = {г1(5),г2(5)}. Имеем [г(5),г1 ] П в1 = 0, [г(5),г2] П в2 = 0.

Используя лемму 2, нетрудно заключить, что для каждого 5 < ¿о на дуге ж1 жж2 точка г(5) е А ровно одна, т.е. не существует двух различных точек на соответствующей дуге, каждая из которых содержится в А2 и для каждой из которых точки метрической проекции лежат по разные стороны от прямой т.

Непрерывность кривой г(5),5 е (0,5о), следует из непрерывности метрической проекции и доказывается так же, как и в лемме 3.

Обозначим через щ = П1(^>) и щ = П2(^) прямые, проходящие через точку ж под углом ^ к прямой т, и рассмотрим пересечение этих прямых с прямой I'. Для каждого угла ^ выберем такое малое е = е(^), что интервалы в1(е) и в2(е) не пересекаются с щ и П2, и в зависимости от этого е в соответствии с условием (6) выберем 5 = 5(е). В дальнейшем рассматриваем 5 < 5.

Пусть (5) — точка пересечения прямой щ с дугой ж1(5)ж'(5)ж2(5), г = 1, 2. Будем считать, что точки ж1 и ж1,<(5) лежат в одной полуплоскости относительно прямой т, а точки ж2 и ж2,<(5) — в другой соответственно. Заметим, что если [ж1;<(5),Рм(ж1;<(5))]Пв2 = 0, то [ж1;<(5),Рм(ж1;<(5))]П[ж,у] = 0, что противоречит лемме 2, а значит, для любого 5 <5 имеем [ж1;<(5),Рм(ж1;<(5))] Пв1 = 0, [ж1;<(5),Рм(ж1;<(5))] Пв2 = 0. Аналогично для любого 5 < 5 имеем [ж2,<(5),Рм(ж2,<(5))] П в2 = 0, [ж2,<(5),Рм(ж2,<(5))] П в1 = 0. Таким образом, точка г(5) лежит на дуге ж1,<(5)ж'(5)ж2,<(5). Поскольку угол ^ был выбран произвольно, то, устремляя его к нулю, получаем, что прямая т есть в точности касательная к кривой г(5) в точке ж = ,г(0), причем совпадающая по направлению с вектором И(х). Лемма 4 доказана.

Замечание. Обе указанные в лемме 4 возможности реализуются. Парабола М1 = {(ж, у) е К2 : у = ж2} является примером, когда точка ж е А1, будучи предельной для А2, продолжается кривой г(5) из А2. При 0 ^ Ь ^ 1/2 каждая из точек с координатами (0,Ь) принадлежит множеству А1, причем элементом наилучшего приближения для всех этих точек является точка (0, 0). В то же время при Ь > 1/2 точки с координатами (0,Ь) уже принадлежат А2, т.е. точка (0,1/2) принадлежит А1, но является предельной для А2. Приведем пример, когда точка ж, являясь предельной для А2, продолжается прямой, содержащейся в А1. Рассмотрим К2 с декартовыми координатами, и пусть множество М2 есть замыкание последовательности точек жп = ((1/2)п, 0). Тогда всякая точка ж вида (0,Ь) принадлежит множеству А1, при этом любая окрестность точки ж содержит точки из А2, т.е. точка ж является предельной для множества А2.

Определение. Будем называть к-выпуклой оболочкой множества М С Кп и обозначать Сопуд. М множество, определенное следующим образом:

(К К ч

Сопук М = \ ж = ^ А,ж, : ж, е М, А, ^ 0, ^ А, = 1 I.

Легко видеть, что Convi M = M и верна цепочка вложений

Convi M С Conv2 M С ... С Convn+1 M = Conv M. Кроме того, заметим, что p-выпуклость множества M равносильна равенству Convp M = Conv M. Доказательство теоремы. Доказательство замкнутости множества M очевидно и дословно повторяет соответствующее доказательство в теореме Бунта (см., например, [7]). Для доказательства 2-выпуклости покажем, что в условиях теоремы для любого xo £ M верно одно из следующих утверждений: либо xo £ Conv2 M, либо xo £ Conv M. Тем самым мы в точности установим, что M £ V2. Положим

S(x0) = sup \ Ух — xo|| : x0 £ Conv {x,PM(x)}

Предположим, что S(xo) < то. В этом случае множество {x : xo £ Conv { x,Pm(x)}} =: E(xo) компактно и существует такое xi £ E(xo), что ||xi — xo|| = S(xo). Возможно несколько ситуаций.

1) xi £ A2. Пусть Pm(xi) = {yi,y2}. Выпуклая оболочка Conv {xi,Pm(xi)} есть треугольник с вершинами xi,yi, y2. Если xo принадлежит его основанию [yi, У2], то получаем xo £ Conv2 M, что и требуется.

Пусть теперь xo содержится во внутренности треугольника или принадлежит одной из его боковых сторон, т.е. xo £ [xi,yi) или xo £ [xi, У2). По лемме 3 в некоторой окрестности точки xi существует непрерывная кривая, содержащаяся в с началом в Х\ и касательным вектором v(x\). Немного сдвинувшись по этой кривой до некоторой точки x' £ A2, мы получим, что xo £ Conv {x', Pm(x')} и ||x' — xo|| > ||xi —xo||, но это противоречит определению S(xo).

2) xi £ Ai. Пусть Pm(xi) = {y}. Тогда Conv {x1,Pm(xi)} есть отрезок [xi,y], а xo — точка на этом отрезке, xo = y. Пользуясь леммой 4, мы сдвигаемся вдоль определенной кривой до некоторой точки x' с очевидным увеличением нормы: ||x' — xo|| > ||xi — xo||. Необходимо лишь пояснить, что xo не перестанет лежать в Conv {x',Pm(x')} . В случае, когда x' £ Ai, это очевидно. Если же x' £ A2, то по лемме 4 элементы Pm(x') лежат в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей отрезок [xi, y], причем известно, что [x', Pm(x')] П [xi, y] = 0. А значит, xo £ Conv {x', Pm(x')} . Таким образом, мы вновь смогли увеличить значение величины S(xo), что противоречит ее определению.

Пусть теперь S(xo) = то. Покажем, что в этом случае существует такая прямая l, что l П M° = 0 и I разбивает плоскость на две полуплоскости Щ и П2, для которых TTi П М° = 0,П2 П М = М, причем xo £ l. Если нам удастся показать это, то, очевидно, либо xo £ Conv2 M, либо xo £ Conv M .

Рассмотрим такую последовательность точек xn, что xo £ Conv {x„, Pm(xn)} , ||x„ — xo|| ^ S(xo) = то. Введем полярные координаты с центром в точке xo и рассмотрим последовательность полярных углов точек xn (рис. 3). Можно считать, что последовательность стремится к некоторому направлению ^o. рис. 3 Проведем прямую l через xo перпендикулярно это-

му направлению. Без ограничения общности можем считать, что прямая l горизонтальна, ^o = п/2 и |<рга — п/2| мало для всех n. Прямая l разбивает плоскость на две полуплоскости, одна из которых содержит все точки xn, назовем ее Щ.

Обозначим рп =: р(хп,М). Покажем, что П1 С 1J пВ(хп, рп), откуда в точности будет следовать, что ЩПМ0 = 0, а значит, искомая прямая I построена. Заметим, что рп > ||ж,г —Жо|| =: гП) в противном случае xo £ Conv {x„,Pm(xn)} . Поэтому B(xn,rn) С B(xn,pn) и пересечение шара B(xn,rn) со множеством M пусто. Пусть z £ ni, полярный угол точки z равен а £ (0,п), ||z — xo|| = s. Покажем, что существует такой номер n, что ||xn — z|| < rn. В самом деле,

|2 гП — 2r„s cos — а) + s2

xn z I

2s ч / 1 .

= 1 —— cos (ipn - a) + о I — ) < 1

rn \ rn .

при достаточно больших n, поскольку cos (^>n — a) ^ sin a > 0. Таким образом, для взятой произвольно точки г из П1 получили, что найдется такой номер п, что г £ В(хп,гп), а значит, в силу вышесказанного г £ В{хп,рп), откуда очевидно следует, что Щ С UпВ(хп,рп). Теорема доказана.

x

2

2

Г

r

n

n

Полученный результат естественно приводит к задаче: для различных n и k (k ^ n) доказать, что если для множества M С Rn выполнено неравенство 1 ^ \Pm(x)\ ^ k для всякого x G Rn, то M замкнуто и принадлежит классу Vk.

На плоскости с не строго выпуклой нормой теорема уже не будет верна. Так, для 3-выпуклого, но не 2-выпуклого множества M = {(0, —1), (0,1), (1/2, 3/2)} в пространстве l2 = (R2, ||x|| = \xi\ + \x2\) условие 1 ^ \Pm(x)\ ^ 2 выполнено для всякого x G l2. Таким образом, представляет интерес задача о характеризации норм в пространстве R2, для которых имеет место утверждение доказанной нами теоремы. Автор приносит благодарность П. А. Бородину за постановку задачи и внимание к работе. Работа поддержана грантом РФФИ (проект № 11-01-00952а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ефимов Н.В., Стечкин С.Б. Некоторые свойства чебышевских множеств // Докл. АН СССР. 1958. 118, № 1. 17-19.

2. Bunt L.N.H. Bijdrage tot de theorie der convexe puntverzamelingen // Thesis. Univ. Groningen. Amsterdam, 1934.

3. Motzkin Th. Sur quelques proprietes caracteristiques des ensembles convexes // Rend. Accad. Naz. Lincei. 1935. 21. 562-567.

4. Лейхтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1985.

5. Власов Л.П. Аппроксимативные свойства множеств в линейных нормированных пространствах // Успехи матем. наук. 1973. 28, № 6. 3-66.

6. Карлов М.И. Чебышевские множества на многообразиях // Тр. Ин-та матем. и механ. УрО РАН. 1996. 4. 157-161.

7. Алимов А.Р. Всякое ли чебышевское множество выпукло? // Матем. просв. Сер. 3. 1998. 2. 155-172.

Поступила в редакцию 31.08.2012

УДК 000

Д-ГРАФЫ МНОГОГРАННИКОВ В K-ТЕОРИИ БРУНСА-ГУБЕЛАДЗЕ

М. В. Приходько1

В. Брунс и И. Губеладзе ввели аналог алгебраической K-теории, в котором K-группы дополнительно параметризованы многогранниками определенного типа. Для изучения K-групп многогранников высокой размерности предлагается использовать понятие стабильной E-эквивалентности. Стабильно E-эквивалентные многогранники имеют схожие внутренние структуры и одинаковые K-группы. Кроме того, для каждого многогранника можно определить некоторый ориентированный граф, который называется Д-графом и является инвариантом стабильной E-эквивалентности.

Ключевые слова: алгебраическая K-теория, сбалансированные многогранники, E-экви-валентность.

W. Bruns and J.Gubeladze introduced a new variant of algebraic K-theory, where K-groups are additionally parametrized by polytopes of some type. In this paper we propose a notion of stable E-equivalence which can be used to calculate K-groups for high-dimensional polytopes. Polytopes which are stable E-equivalent have similar inner structures and isomorphic K-groups. In addition, for each polytope we define a Д-graph which is an oriented graph being invariant under a stable E-equivalence.

Key words: algebraic K-theory, balanced polytopes, E-equivalence.

Введение. В серии работ В.Брунса и И. Губеладзе [1, 2] исследован новый аспект связи алгебраической K-теории с многогранниками. Отправной точкой их конструкции служит коммутативное кольцо R с единицей и многогранник Р, удовлетворяющий некоторым свойствам. Брунс и Губеладзе построили

1 Приходько Михаил Владимирович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

m_prix@mail.ru.