О МЕРАХ МЕХАНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2014

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Математика. Механика. Информатика

Вып. 3(26)

УДК 531.112.1

О мерах механического движения

И. П. Попов

Курганский государственный университет Россия, 640669, Курган, ул. Гоголя, 25 popov_ip@kurganobl.ru; (3522)429-458

Рассматриваются меры движения в связи с формальным аналогом волновой функции. Показано, что дифференциальные уравнения аналога волновой функции порождают меры движения различных рангов. Установлена связь между различными мерами движения.

Ключевые слова: ранг; мера; масса; скорость; волновая функция.

Величины количество движения и кинетическая энергия содержат одни и те же параметры - массу и скорость и являются мерой движения инертного тела. Далее рассматривается единый формализованный подход к обоснованию этих и других величин.

1. Формальный аналог волновой функции

Уравнение равномерного движения инертного тела может быть последовательно преобразовано следующим образом:

г = г0 + \t,

(1)

г0 = -(у| - г), — туг0 = - — (ту21 - туг), к к

— —' 2 ч

—рх0 — (ту t-туг)

Сек = Се к )

= ©(г, t). (2)

50

— = — ту Се к дt к

—(ту t-туг)

х ¡к,

(3)

© Попов И. П., 2014

1

Д0 = ~ т\2Се к2

—(ту 1-туг) к

-к2

т

. (4)

Правые части (3) и (4) с учетом множителей равны, поэтому левые образуют следующее уравнение:

Здесь г - радиус-вектор, определяющий местонахождения тела в К3, у - скорость тела, т - масса тела, р - импульс, Ъ - постоянная Планка.

Последняя величина является формальным аналогом волновой функции (ФАВФ). Для нее справедливы выражения:

ч-д0 к2

—к— =--Д0 .

дt т

(5)

Это уравнение почти идентично уравнению Шредингера для свободной частицы

д^ к2 —к— = -— дt 2т

(6)

где ^ - волновая функция [1]. Уравнение (6) отличается от уравнения (5) тем, что в знаменателе правой части стоит множитель 2.

ФАВФ (2), прообразом которой является (1), почти идентичен волновой функции

—

—(-1-туг)

¥ = Се к 2 .

Построение прообраза волновой функции подобно прообразу ФАВФ дает формулу

г = г0 +-t.

у

—I 2

Это выражение существенно не совпадает с (1).

Недостатком уравнения (5) является отсутствие информации о скорости тела. Этот недостаток легко исправим. Вместо (3) и (4)

х

И. П. Попов

можно использовать другие производные. Это не должны быть производные одного порядка, иначе теряется информация о массе тела.

д2& 1 2 "7(mv2t-mvr)

■ = —m2v4Ce Й dt2 Й2

V®=- mvCe Й Й

i , 2

—(mv t-mvr)

Xi7, (7) {-mv2 v ).

Эти два выражения порождают еще одно дифференциальное уравнение для ФАВФ (ДУФАВФ)

д2®

ifr—— = -mv2 vV® . dt2

(8)

2V

mv U =-v,

3!V

(9)

где V - объем тела.

Таким образом, величина шу2 у = 3!Ги

характеризует движение кинетической энергии, и выражение (8) не лишено физического смысла.

3. Третье ДУФАВФ

Далее для упрощения прямолинейное движение рассматривается в К1. Сопоставление выражения

а3© i 3 -7(шу2-шух)

—_ = —- Ш У Се Й сХ3 Й3

и (7) дает уравнение

.а2© V а3©

dt2

= Й-

m dx

Волновой аспект последнего выражения лежит за рамками настоящей работы. В то же время результатом синтеза (8) как ДУФАВФ, учитывающего скорость частицы, является возникновение величины mv2v. Ее физический смысл рассмотрен ниже.

2. Движение кинетической энергии

Начало исследованиям движения энергии положил Н.А. Умов [2]. Кинетическая энергия инертного тела, движущегося со скоростью v, локализована в самом теле. Это очевидным образом следует из возможности ее преобразования при взаимодействии с другими телами [3-5]. Таким образом, кинетическая энергия движется со скоростью v.

Вектор Умова в дифференциальной форме может быть записан в виде

dU = wdv,

где w - объемная плотность энергии.

Применительно к кинетической энергии

du = dv,

которое характеризуется появлением величины шу 1. Представление о физическом смысле этой величины может быть установлено, в частности, из примера центрального удара двух шаров, один из которых первоначально покоился. При этом

ШУ11 = ШУ12 + Ш2У2,

m

m

(10)

У2 У11 - У12

При равенстве масс шаров у12 = 0, у2 = у11, и левая часть (10) равна шу- .

4. Ранги меры движения

Определение. Мера движения ранга п -это величина

/п) = k

mv

где ^ - безразмерный коэффициент.

Мера движения любого ранга определяется соответствующим ДУФАВФ.

В таблице представлены ранги меры движения и порождающие их ДУФАВФ.

Меры движения по рангам ДУФАВФ

p(n) = knmvn dn-1® dn-2® ( 1)nin ~ = mvn Г dtn-1 dxn-2 при n > 2

p(3) = k3mv3 „ d2® 3 d® -in—— = mv — dt2 dx

p(2) = k2mv2 d® 20 in-= mv ® dt

p(1) = kimvl ■t,d® о -in — = mv® dx

О мерах механического движения

Окончание таблицы

p(0) = k0mv° „ a2© a© in—— = m— cx2 at

p( 1 = k_ 1mv^1 „ a3© 1 a2© -in—— = mv —— ax3 at2

p(~2) = k_ 2mv~2 „ a4© 2 a3© in—- = mv —— ax4 at3

p(-3) = k-3mv— „ a5© 3 a4© -in —— = mv —— ax5 at4

p(-n) = k_nmv-n an+2© an+1© ( 1)ni^ ~ = mv-n 7 axn+2 atn+1 при n > -1

5. О мерах движения третьего и произвольного ранга

Мера движения нулевого ранга (масса) является производной по скорости от меры движения первого ранга (количества движения), которая в свою очередь является производной от меры движения второго ранга (кинетической энергии) (к0 = 1, ^ = 1, ^ = Л). Индуктивно можно предположить, что мера движения второго ранга является производной от меры движения третьего ранга. Действительно, из уравнения (9) следует:

иг = р(3) = -

3!

Обобщение на произвольный неотрицательный ранг имеет вид

p(n) =

n! '

p(n) = _^p(n+l)

dv

Таким образом, ДУФАВФ являются обоснованием не только количества движения и кинетической энергии, но и мер движения других рангов.

Список литературы

1. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1976.

2. Умов Н.А. Уравнения движения энергии в телах. Одесса: Типогр. Ульриха и Шульце, 1874.

3. Попов И.П. Свободные гармонические колебания в системах с однородными элементами // Прикладная математика и механика. 2012. Т. 76, вып. 4. С. 546-549.

4. Попов И.П. Колебательные системы, состоящие только из инертных или только упругих элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 1(21). С. 95-103.

5. Попов И.П. Колебательные системы с однородными элементами // Инженерная физика. 2013. № 3. С. 52-56.

About measures of mechanical motion

I. P. Popov

Kurgan State Universitate, Russia, 640669, Kurgan, Gogol st., 25 popov_ip@kurganobl.ru; (3522)429-458

Examines measures movement in connection with the formal analogue of the wave function. It is shown that the differential equation analog wave functions generate measures movement of various ranks. The connection between the various measures of movement.

Key words: rank; measure; mass; velocity; wave function.