Массо-скоростные меры механического движения Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.112.1

И. П. Попов

Курганский государственный университет, г. Курган Массо-скоростные меры механического движения

Рассматриваются меры движения в связи с формальным аналогом волновой функции. Показано, что дифференциальные уравнения аналога волновой функции порождают меры движения различных рангов. Установлена связь между различными мерами движения.

Ключевые слова: ранг, мера, масса, скорость, волновая функция.

Введение. В настоящее время известны и широко используются две меры механического движения — импульс и кинетическая энергия [2]. Они содержат одни и те же параметры — массу и скорость. Формальное различие между ними состоит в значении показателя степени скорости и в числовом коэффициенте. Для описания движения тел этих величин, как правило, вполне достаточно. Меры механического движения, отличающиеся от импульса (количества движения) и кинетической энергии, в литературе не описаны.

Целью последующего рассмотрения является установление возможности существования мер механического движения с другими показателя степени скорости и числовыми коэффициентами. При этом задача исследования заключается в определении источников возникновения формул и их конструкции. Актуальность разработки этой темы обусловлена тем, что при описании более сложных видов движения, таких как движение механической энергии могут появляться величины, включающие массу и скорость в степени, отличающейся от 1 и 2.

Далее рассматривается единый формализованный подход к обоснованию мер механического движения различных рангов.

Формальный аналог волновой функции. Уравнение равномерного движения инертного тела может быть последовательно преобразовано следующим образом.

г = г0 + уГ, (1)

г0 = -(уГ - г), —туг0 = -—(ту2Г - туг), Н Н

—рхп — (ту Г-туг)

СеН = =е Н ©(г,Г).

Последняя величина является формальным аналогом волновой функции (ФАВФ). Для нее справедливы выражения:

д© — 2 — (ту2г-туг)

-= — ту Се Н

дГ Н

х ¡Н.

1 0 — (ту2Г-туг)

А© —-т2у1 Се Н = Н2

-Н2

т

(3)

(4)

Правые части (3) и (4) с учетом множителей равны, поэтому левые образуют следующее уравнение:

д©

Н2

¡Н— =--А© .

дГ т

(5)

Это уравнение почти идентично уравнению Шредингера для свободной частицы:

¡Н

Н

дГ

=--

2т

(6)

(2)

Здесь г — радиус-вектор, определяющий местонахождения тела в М3; у — скорость тела; т — масса тела; р — импульс; Ъ — постоянная Планка.

где ^ — волновая функция [1]. (6) от (5) отличается тем, что в знаменателе правой части стоит множитель 2.

ФАВФ (2), прообразом которой является (1), почти идентичен волновой функции

— ,ту2 —(-Г-туг)

4 = Се Н 2 .

Построение прообраза волновой функции подобно прообразу ФАВФ дает формулу:

у

г = г0 + — Г.

0 2

Это выражение существенно не совпадает с (1).

Недостатком (5) является отсутствие информации о скорости тела. Этот недостаток легко исправим. Вместо (3) и (4) можно использовать другие производные. Это не должны быть производные одного порядка, иначе теряется информация о массе тела.

2

И. П. Попов

17

8 © 1 2 -7(тЛ-туг) —— = —-т V Се Й 8г2 Й2

X /Й ,

(7)

из примера центрального удара двух шаров, один из которых первоначально покоился. При этом

г — (mv г-туг)

V© =- ту Се Й Й

х (-mv2у) .

Эти два выражения порождают еще одно дифференциальное уравнение для ФАВФ (ДУФАВФ).

82©

7Й—— = -mv2 vV© .

8г2

(8)

= mlvl2 + m2V2,

Волновой аспект последнего выражения лежит за рамками настоящей работы. В то же время результатом синтеза (8), как ДУФАВФ, учитывающего скорость частицы, является возникновение величины mv2v. Физический смысл этой величины рассмотрен ниже.

Движение кинетической энергии. Начало исследованиям движения энергии положил Н. А. Умов [6]. Кинетическая энергия инертного тела, движущегося со скоростью у, локализована в самом теле. Это очевидным образом следует из возможности ее преобразования при взаимодействии с другими телами [3-5]. Таким образом, кинетическая энергия движется со скоростью у.

Вектор Умова в дифференциальной форме может быть записан в виде:

«и = ^^у, где w — объемная плотность энергии.

Применительно к кинетической энергии

«и = ^^«у, 2V

и = — у, (9)

где V — объем тела.

Таким образом, величина mv2у = 3!^ характеризует движение кинетической энергии, и выражение (8) не лишено физического смысла.

Третье ДУФАВФ. Далее для упрощения прямолинейное движение рассматривается в М1. Сопоставление выражения

83© г 3 (тЛ-тх) —- = —- т у Се Й 8х Й3

и (7) дает уравнение:

82© „ v 83©

7—Т~ = Й--Г,

8г2 т 8х

которое характеризуется появлением величины

mv~1. Представление о физическом смысле этой величины может быть установлено, в частности,

(10)

При равенстве масс шаров = 0, v2 =

и левая часть (10) равна mv— .

Ранги меры движения. Определение. Мера движения ранга п — это величина

р( п) = ктп, где кп — безразмерный коэффициент.

Мера движения любого ранга определяется соответствующим ДУФАВФ.

В таблице представлены ранги меры движения и порождающие их ДУФАВФ.

Ранги меры движения и порождающие их ДУФАВФ

Меры движения по рангам ДУФАВФ

р(п) = ктп 8п-1© 8п-2© ( 1)пгЙ 7= mvn 7 при п > 2 8г 8хп-2

р(3) = k3mv3 „ 82© 3 8© -гЙ—— = mv - 8г2 8х

р(2) = k2mv2 ■*,8© 2© гЙ-= mv © 8г

р(1-1 = к1гт'1 -гЙ 8© mv© 8х

р(0) = k0mv0 82© 8© гЙ—— = т- 8х 8г

р(-1) = k—1mv4 , 83© 1 82© -гЙ—- = mv —— 8х 8г

р(-2) = k—2mv~—l , 84© 2 83© гЙ—- = mv —— 8х 8г

р(-3) = k-3mv~3 , 85© 3 84© -гЙ—г = mv —— 8х5 8г4

р(-"> = к-т-п 8 п+2© 8п+1© (-1)пгЙ-— = mv п-- при п >-1 ^ ' 8х 8Г

О мерах движения третьего и произвольного ранга. Мера движения нулевого ранга (масса) является производной по скорости от меры движения первого ранга (количества движения), которая, в свою очередь, является производной от меры движения второго ранга (кинетической энергии) (к0 = 1, к1 = 1, к2 = 1/2). Индуктивно можно предположить, что мера движения второго

ранга является производной от меры движения третьего ранга. Действительно, из (9) следует:

3

ш = /3> =

3!

Обобщение на произвольный неотрицательный ранг имеет вид:

(n )

p

p (n) = dp (n+1) dv

(11)

(12)

Выводы. Рассмотрение ДУФАВФ позволило получить формулы для меры механического движения произвольного ранга (11) и связи между мерами движения различных рангов (12). В настоящее время известно пять частных случаев выражения (11): мера движения первого ранга (импульс), второго (кинетическая энергия), нулевого (масса), минус первого (характеризующего центральный удар двух шаров) и третьего (характеризующего движение кинетической энергии). Этот список может в дальнейшем пополниться. Искусственно расширять его нет необходимости. Актуальность выражений (11) и (12) указанными примерами не ограничивается. Основное значение этих выражений состоит в том, что они переводят формулы для импульса и кинетической энергии из разряда самостоятельных выражений в частные случаи более общих формул, подобно тому как нерелятивистская масса является частным случаем выражения для релятивистской массы.

1. Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1976. 664 с.

2. Маркеев А. П. Теоретическая механика: Учебник для университетов. М.: ЧеРо, 1999. 572 с.

3. Попов И. П. Колебательные системы с однородными элементами // Инженерная физика. 2013. № 3. С. 52-56.

4. Попов И. П. Колебательные системы, состоящие только из инертных или только упругих элементов, и возникновение в них свободных гармонических колебаний // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 1(21). С. 95-103.

5. Попов И. П. Свободные гармонические колебания в системах с однородными элементами // ПММ. 2012. Т. 76. Вып. 4. С. 546-549.

6. Умов Н. А. Уравнения движения энергии в телах. Одесса: Типогр. Ульриха и Шульце, 1874. 56 с.

1. Blokhintsev D. I. Osnovy kvantovoy mekhaniki. M.: Nau-ka, 1976. 664 s.

2. Markeev A. P. Teoreticheskaya mekhanika: Uchebnik dlya universitetov. M.: CheRo, 1999. 572 s.

3. Popov I. P. Kolebatelnye sistemy s odnorodnymi elementami // Inzhenernaya fizika. 2013. № 3. S. 52-56.

4. Popov I. P. Kolebatelnye sistemy, sostoyashchie tolko iz inertnykh ili tolko uprugikh elementov, i vozniknovenie v nikh svobodnykh garmonicheskikh kolebaniy // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika. 2013. № 1 (21). S. 95-103.

5. Popov I. P. Svobodnye garmonicheskie kolebaniya v sistemakh s odnorodnymi elementami // PMM. 2012. T. 76. Vyp. 4. S. 546-549.

6. Umov N. A. Uravneniya dvizheniya energii v telakh. Odessa: Tipogr. Ulrikha i Shultse, 1874. 56 s.

n

mv

Igor P. Popov Kurgan State University, Kurgan The Weight and Speed Measurements for Mechanic Movement

The article considers measurements of movement in connection with a formal analogue of the wave function. The differential equations of the wave function analogue are demonstrated to give rise to movements of various ranks. The correlation between different measures of movement has been established.

Key words: rank, measurement, weight, speed, wave function.