CC BY
73
УДК 330.4
о математизации экономического анализа деятельности предприятия
ПОЗДЕЕВ ВАЛЕРИЙ ЛЕОНИДОВИЧ,
доктор экономических наук, профессор кафедры бухгалтерского учета и аудита Поволжского государственного технологического университета E-mail: [email protected]
аннотация
Экономический анализ сформировался на стыке многих наук и имеет длительную историю своего развития. Уже на первых этапах формирования анализа ученые обратили внимание на необходимость использования экономико-математических методов в анализе, поскольку многие производственные задачи могут быть решены при помощи оптимизационных методов с целью определения наилучших характеристик хозяйственной деятельности. В учебниках рассматривались методы программирования, исследования операций, сетевые графики, что позволяло студентам иметь представление о математических методах и знать области их применения. Однако в последние годы наметилась тенденция снижения внимания к математическим методам, что стало заметно по содержанию учебников и учебных пособий по экономическому анализу. Утратил ценность ряд методов, востребованных ранее. Вместе с этим развитие экономики настоятельно требует усиливать инструментарий экономического анализа, в том числе за счет экономико-математических методов. Только это обстоятельство позволит повысить статус экономического анализа в управлении и стать действенным инструментом принятия хозяйственных решений.
Ключевые слова: экономический анализ, программирование, графы, матричные модели, марковские процессы, экспертные оценки.
about mathematization of economic analysis for companies' activities
VALERY L. POZDEEV
Ph.D., Professor of Accounting and Auditing Department, Volga State Technology University E-mail: [email protected]
abstract
Economic analysis has been formed at the junction of many sciences and has a long history of development. Already at an early stage of its development scientists pointed out the need for using mathematical methods for analysis, since many production problems can be solved by using optimization techniques to determine the best characteristics of economic activities. Methods of programming, operations research, network diagrams were considered in the textbooks, which allowed students to have an understanding of mathematical methods and their applications. However, in recent years there has been a downward trend in drawing attention to mathematical methods, which became apparent in the contents of textbooks and manuals on economic analysis. A number of mathematical methods that have been studied and used before seem to have lost their value. However, economic development requires strengthening the tools of economic analysis, mathematical methods being an inseparable part of it. It is thanks to this fact that the status of economic analysis and its importance in management will be improved and it will become an effective tool for economic decision-making.
Keywords: economic analysis, programming, graphs, matrix models, Markov processes, experts' assessment.
Экономический анализ является одной из функций управления и играет заметную роль в обосновании принимаемых решений по развитию предприятия. «Экономический анализ представляет собой объективно необходимый элемент управления хозяйственной деятельностью и является этапом управленческой деятельности» [1, с. 12]. Это объясняется постоянными управленческими воздействиями на потребляемые в производстве ресурсы, ассортимент продукции, затраты на производство и реализацию, конечные показатели деятельности предприятия, которые невозможны без аналитической подготовки информации. Каждое из принимаемых управленческих решений может рассматриваться в нескольких вариантах, что ставит перед руководителем проблему обоснованного выбора решения, но выбор решения чаще происходит по интуиции руководителя. Каждое из принимаемых решений формируется в условиях неопределенности проявления внешних факторов, что приводит к многочисленным ошибкам в текущем управлении и прогнозировании и, как следствие, развитию на предприятии кризисных явлений. Это значит, что раскрываемый в учебниках по экономическому анализу инструментарий не обеспечивает в полной мере потребности управления производством и должен быть расширен. На наш взгляд, — за счет развития экономико-математических методов.
Наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой, вспоминал о выражении К. Маркса известный французский экономист Поль Лафарг [2, с. 6]. Это относится и к экономическому анализу как науке. При помощи математических моделей достигается формализованное описание явлений и процессов деятельности, становятся возможными четкая постановка хозяйственных задач и получение достоверной информации для руководителей предприятий.
Нельзя сказать, что теоретики экономического анализа обошли стороной экономико-математические методы. Так, рассматривая связь экономического анализа с другими науками, С.Б. Барнгольц и М.В. Мельник указывают, что анализ широко использует математику. Необходимость в этом, по мнению ученых, заключается в том, что при анализе деятельности изучается влияние множества факторов и для количественной оценки отдельных факторов на результат их взаимодействия применяются соответствующие математические методы [3, с. 51-52]. М.И. Баканов и А.Д. Шеремет отмечают,
что в экономике приходится иметь дело с переменными величинами, которые могут быть в функциональной зависимости друг от друга, а изучение таких зависимостей является одной из задач математики [4, с. 36].
Учеными была определена и классификация экономико-математических методов, которые могут найти применение для аналитических целей. Укрупненно эти методы можно разбить на следующие группы:
• методы математического анализа;
• методы математической статистики;
• эконометрические методы;
• методы математического программирования;
• методы исследования операций;
• методы теории графов;
• методы экспертных оценок.
Каждая группа методов предназначена для решения определенного класса аналитических задач. Это позволяет выполнить анализ сначала на математической модели, а потом перенести результаты анализа на конкретное предприятие. Для успешной реализации этого процесса необходима разработка комплекса задач и экономико-математических моделей, при помощи которых будут выполнены эти задачи. Названные выше методы основаны на использовании статистических, трендовых, оптимизационных, балансовых, имитационных и графических моделей.
Если в учебниках по теории экономического анализа можно найти материал по раскрытию содержания экономико-математических методов (классическим примером является указанная выше книга М.И. Баканова и А.Д. Шеремета), то в учебниках по экономическому анализу этот материал практически не используется. Многие примеры в учебниках по экономическому анализу могут рассматриваться с применением экономико-математических методов и моделей, но авторы по каким-то причинам избегают этого. В результате методология экономического анализа в последние десятилетия не получила должного развития.
Безусловно, в рамках одной статьи не представляется возможным изложить весь потенциал экономико-математических методов, поэтому остановимся на рассмотрении ключевых приемов экономического анализа и экономико-математических методов, которые способствуют реализации этих приемов.
Прием сравнения. Среди приемов сравнения в экономическом анализе есть прием сравнения
показателей хозяйственной деятельности предприятия с моделью предприятия. Поскольку модель предприятия направлена на поиск оптимальных параметров деятельности, следовательно, данный прием позволяет понять, насколько характеристики хозяйственной деятельности предприятия отклоняются от оптимальных характеристик.
Для определения оптимальных параметров предприятия применяются методы математического программирования и исследования операций.
Использование моделей линейного программирования возможно при изучении тем, связанных с анализом использования производственных ресурсов, выпуска и реализации продукции, финансовых результатов деятельности предприятия. При этом возможно использование критериев либо максимума прибыли, либо минимума затрат на выпуск и реализацию. Линейное программирование можно использовать для оптимизации ассортимента продукции предприятия либо товарооборота торговой организации, при формировании кормов (рационов) для животных либо приготовлении удобрений (смесей) при анализе деятельности сельскохозяйственных предприятий. Для предприятий, работающих на фондовом рынке, метод линейного программирования может быть использован для оптимизации портфеля ценных бумаг.
В общем виде математическая модель задачи оптимизации ассортиментной программы может быть записана следующим образом:
n
F - ^ PjXj ^ max
j -1
n
XajXj <b, i = 1,2,...,m,
j=1
Xj >0, j = 1,2,...,n,
где Pj — прибыль, получаемая от производства единицы продукции j-го вида;
Xj — количество производимой продукции j-го вида;
aj — норма расхода i-го производственного ресурса на производство единицы j-го вида продукции;
Ь — запасы г-го вида производственного ресурса.
Динамическое программирование позволяет находить оптимальные решения в рамках прогнозного анализа деятельности предприятия. Это может касаться распределения капитальных вложений (инвестиций) в новые направления деятельности,
распределения финансовых, материальных, топливно-энергетических ресурсов, загрузки транспортных средств, программы замены основных средств.
Для магистров и аспирантов следует расширить инструментарий методов математического программирования за счет включения задач нелинейного программирования. Любую задачу линейного программирования можно отнести к области задач нелинейного программирования, если ограничения или целевая функция выражены в нелинейной форме. Это может происходить при рассмотрении вопросов выпуска продукции при недостаточном объеме ресурсов, непропорциональной зависимости между объемом производства и затратами или если цена реализации товара зависит от объема партии.
В общем виде задача нелинейного программирования описывается с помощью следующей оптимизационной модели:
F (x) ^ max, g. (x) < b, i =1, 2,..., m, x > 0,
где x = (x1, x2,..., x) — вектор переменных задачи.
Данная модель выражает задачу нелинейного программирования в стандартной форме на максимум целевой функции.
Если переменные задачи x1, x,..., xn принимают только целые значения, то возникает задача дискретного программирования. Разумеется, задачи нелинейного и дискретного программирования являются более сложными, чем задачи линейного программирования, и требуют серьезной математической подготовки магистров и аспирантов при их рассмотрении.
Рассмотрим такой прием, как сравнение фактических показателей деятельности с прогнозными данными развития предприятия.
Чаще всего в учебниках по экономическому анализу используется инструмент экстраполяции, позволяющий по линейному тренду выйти за пределы анализируемого периода и получить прогнозные значения показателей деятельности.
Однако часто возникают задачи, когда требуется определить то или иное состояние хозяйственной деятельности предприятия в перспективе. Для этого достаточно иметь вероятностные оценки. Тогда
возникают модели со случайными процессами, которые относятся к классу марковских моделей. Исследование случайных процессов здесь сводится к изучению матриц переходных вероятностей (Р Каждый элемент такой матрицы представляет собой вероятность перехода из заданного состояния (которому соответствует строка) к следующему состоянию (которому соответствует столбец). В матрице предусмотрены все возможные переходы данного множества состояний. Следовательно, процессы, которые можно описывать и моделировать с помощью матриц переходных вероятностей, должны обладать зависимостью вероятности конкретного состояния от непосредственно предшествующего состояния. Так выстраивается цепь Маркова. При этом цепью Маркова первого порядка называется процесс, для которого каждое конкретное состояние зависит только от его предшествующего состояния. Цепью Маркова второго и более высоких порядков называется процесс, в котором текущее состояние зависит от двух и более предшествующих. Исследуя марковские процессы, можно определять, с какой вероятностью предприятие получит в следующем месяце прибыль, а с какой — убыток, будет ликвидным или неликвидным, финансово устойчивым или нет и т.п.
Можно привести такой пример. При прогнозном анализе выпуска продукции выделено три состояния показателя: увеличение (1), стабилизация (2), снижение (3). Эксперты определили вероятности переходных состояний, что позволяет представить граф, показанный на рис. 1.
Рассматривая задачу, можно определить вероятность снижения объемов выпуска продукции через два и три перехода.
Более сложным инструментом выступают сети Петри, позволяющие получить информацию
0,7
3
J к
0,3
Рис. 1. Граф переходных состояний выпуска продукции
о структуре и долгосрочном развитии хозяйственной деятельности. Хозяйственная деятельность состоит из различных компонент: кадры, техника, производство, финансы, экология. Для сетей Петри важно определить параллелизм в развитии компонентов. Примером могут выступить дорожные карты — новый инструмент долгосрочного прогнозирования. Фрагмент дорожной карты развития предприятия представлен на рис. 2.
Не представляется возможным в рамках статьи продемонстрировать математический аппарат сети Петри, но можно предложить ее вид для фрагмента дорожной карты (рис. 3).
На рис. 3111,..., 124обозначают временные переходы между событиями, кружки — позиции, соответствующие дорожной карте. Начальный и конечный кружки обозначают входную и выходную позицию рассматриваемой задачи. Срабатывание перехода происходит мгновенно, причем не допускается срабатывание двух переходов одновременно. Таким образом, граф содержит полную информацию, что позволяет проводить анализ развития предприятия.
к
Периоды
t2
Рынок (Р)
Продукция (П)
Рис. 2. Фрагмент дорожной карты развития предприятия
+1-► (к л—*\—► (нк
Ц Пр
t23
Рис 3. Граф сети Петри для рассмотрения дорожной карты
Прием детализации. Под детализацией в экономическом анализе понимают разложение изучаемых явлений, процессов, показателей на составные части. При этом детализация может проводиться по временному, пространственному, структурному признаку и по признаку влияния факторов.
Нередко в анализе в порядке детализации выстраиваются схемы (деревья) факторов, показателей, ресурсов, решений, что относится к математической теории графов. На предприятии в виде графов также можно представлять организационные структуры, комплексы взаимосвязанных работ, бизнес-процессы, целевые установки и др.
Самыми распространенными из теории графов были сетевые графики, о которых, к сожалению, приходится говорить в прошедшем времени, поскольку современные учебники по экономическому анализу не дают информацию о них. С математической точки зрения сетевой график — это связный ориентированный граф без контуров, другими словами — сеть. Это удобный инструмент детализации во времени при обосновании различных проектов и плановых заданий по выполнению тех или иных работ, а также их оптимизации.
Основными элементами сетевого графика являются событие, работа и путь. Работа — это процесс, требующий затрат времени и ресурсов. На графике работа изображается стрелкой, которая соединяет два события. Событие характеризует факт выполнения одной или нескольких работ. Путь — это цепочка следующих друг за другом работ, соединяющих начальное и конечное события. Важнейшими показателями сетевого графика являются резервы времени. Поскольку каждый некритический путь сетевого графика имеет свой полный резерв времени, то и каждое событие этого пути имеет свой резерв времени. Для оптимизации сетевых графиков оценивается степень напряженности выполнения всех работ, что позволяет проводить оптимизацию сетевого графика и соответственно решаемой задачи.
В качестве примера представим комплекс работ по проведению маркетингового анализа для обеспечения реализации нового продукта [5, с 151]. Аналитик выделил работы для выполнения анализа и их продолжительность (см. таблицу).
На основе работ строится сетевой график исследования, который отражает последовательность выполнения работ (рис. 4).
виды и продолжительность работ по провед ению маркетингового анализа
Работа Предшествующие работы Продолжительность, дней
А. Формулирование проблемы - 1
В. Определение необходимой информации и источников ее получения А 2
С. Выбор методики исследования А 5
D. Согласование методики С 3
Е. Изучение рыночной среды В 4
F. Опрос респондентов С 2
С. Обработка и анализ данных Е, F 7
Н. Подготовка отчета ^ С 2
Рис. 4. сетевой график проведения маркетингового анализа
Выделим пути в сетевом графике: путь (продолжительность 1 + 2 +
4 + 7 + 2 = 16 дней);
путь (продолжительность 1 + 5 +
2 + 7 + 2 = 17 дней);
путь (продолжительность 1 + 5 + 3
+ 2 = 11 дней).
Второй путь имеет наибольшую продолжительность в днях и является критическим. На графике (см. рис. 4) он выделен утолщенными стрелками. Быстрее, чем за 17 дней, исследование выполнить нельзя, так как для достижения завершающего события критический путь должен быть пройден обязательно.
Анализ резервов времени в сетевом графике показал наличие резерва времени в работе 4-6 (согласование методики маркетингового анализа). За счет уплотнения времени по этой работе возможно сокращение длительности критического пути и оптимизация сетевого графика.
Балансовый метод. Этот метод в экономическом анализе используют при составлении балансов трудовых, материальных, денежных ресурсов и продуктовых балансов. Однако необходимо назвать еще один инструмент, основанный на балансовом методе, — матричные модели.
Матричные модели удобны для анализа благодаря своей простоте и наглядной форме. Они расширяют возможности экономического анализа, позволяя оценивать взаимное влияние факторов на результаты деятельности, применять методы линейного программирования для анализа оптимальности плана и т.д.
Примером матричной модели может выступить техпромфинплан предприятия, который обеспечивает балансовую увязку основных показателей хозяйственной деятельности и имеет вид прямоугольной таблицы, разделенной на четыре взаимосвязанные части (квадранты).
В I квадранте отражаются взаимосвязи подразделений предприятия по затратам и выпуску промежуточной и готовой продукции. II квадрант характеризует итоговые показатели деятельности предприятия — реализуемую продукцию и валовой оборот — как сумму реализуемой продукции и внутризаводского оборота. В III квадранте указываются затраты производственных ресурсов предприятия. В IV квадранте отражается реализация на сторону или передача своим непроизводственным службам покупных материалов и изделий.
Математическая модель матричного техпром-финплана будет иметь вид [6]:
n
S at jXj + yi = xt, i e 1: n;
j=i
X ruXj + rt = R, i e n + 1: n + 5;
j=i
Xd¡ ]х] + d¡ - Dl, i е п + 6: п + 9;
1 -1 '
п
X РХ = Р;
1=1
п п+5 п+9
X 1 + X г 1х; + х < 1х 1+Р]Х 1 = х,1 е 1: n,
I=1 I=п+1 I=п+6
где а, 1 — коэффициенты прямых затрат продукции вида I на выпуск единицы продукции вида 1;
XI — объем продукции вида 1;
у — конечный выпуск продукции вида I; Г, 1 — коэффициенты затрат поставок со стороны вида I на выпуск единицы изделия 1;
Г — потребление поставок со стороны вида I в непроизводственной сфере;
— потребность в поставках со стороны вида I для выполнения производственной программы;
di у. — коэффициенты затрат денежных ресурсов вида i на выпуск единицы изделия у ;
di — потребление денежного ресурса вида i в непроизводственной сфере;
Di — потребность в денежном ресурсе вида i в программе предприятия;
Ру — прибыль от выпуска единицы изделия у ;
Р — суммарная прибыль на всю программу.
Матричная модель техпромфинплана выражает пропорции между ресурсами предприятия, произведенной и реализованной продукцией.
Поскольку речь идет о разработке плана работы, возникает задача анализа по осуществлению контроля за выполнением плана. Выявление отклонений от плановых заданий и своевременное определение причин отклонений обеспечивают не только выполнение техпромфинплана, но и успешное развитие предприятия.
С равновесными состояниями связаны задачи теории игр. Это исходит из того, что в условиях игровой ситуации может быть найдено решение, которое позволяет противоборствующим игрокам (предприятиям) выбрать наиболее выгодную стратегию. Такие задачи целесообразно решать при обосновании выпуска продукции.
Возможные варианты игры сводятся в платежную матрицу, в которой строки соответствуют различным стратегиям игрока А, столбцы — стратегиям игрока В. В общем виде матричная игра может быть записана следующей платежной матрицей:
с другим игроком при игре двух лиц или другими игроками при игре п лиц. При игре двух лиц рассматриваются минимаксные и максиминные стратегии игроков. Если значения минимаксной и максиминной стратегий совпадают, возникает так называемая седловая точка, что характеризует равенство интересов игроков.
Более сложным случаем равновесия выступает равновесие по Нэшу, когда ни одному из игроков невыгодно изменять свою стратегию при условии, что остальные игроки придерживаются равновесных стратегий.
С понятием «равновесие» связано понятие «устойчивость» как способность хозяйствующего субъекта возвращаться в равновесное состояние, если он каким-то образом отклонился от него.
Факторный анализ. В экономическом анализе он связан с понятиями «детерминированный факторный анализ» и «стохастический факторный анализ». Оба вида позволяют определить влияние факторов на тот или иной результат деятельности: в первом случае — когда значения всех факторов в модели известны; во втором случае — когда значения факторов могут носить случайный характер.
Математическим инструментом, применяемым для измерения влияния факторов, могут выступать производственные функции. Производственная функция описывает взаимосвязь используемых ресурсов с объемом выпуска продукции. Такая функция может быть построена для отдельно взя-
В 2 . . Вп того предприятия. Традиционно производственная
А ' а11 а12 . .. а1п " функция имеет следующий вид:
Л а 21 а 22 .. а 2 п у = f (*1, х2,..., хп), где у — объем выпуска (объем продаж);
Ат ^ ат1 а 2 . т 2 .. а тп X — объем г-го ресурса.
где А. — стратегия первого игрока;
— стратегия второго игрока; а.. — значения выигрыша первого игрока при выборе им г-й стратегии, а вторым игроком — ;-й стратегии. Если игра является игрой с нулевой суммой, значение выигрыша для второго игрока является величиной, противоположной по знаку значению выигрыша первого игрока.
Независимо от вида платежной матрицы в игре требуется выбрать такую стратегию игрока, которая была бы для него наиболее выгодной по сравнению
При построении производственной функции решающим является выбор производственных ресурсов и определение размерности входящих величин так, чтобы можно было численно оценить влияние производственных факторов на объем выпуска. Выбор производственных факторов в производственной функции зависит от задач исследования.
Часто рассматривают производственную функцию, в которой зависимая переменная определяется двумя факторами: основные производственные
фонды или капитал (К) и численное выражение объема трудовых ресурсов ^), т.е. строится производственная функция вида
у=! (К, I).
Производственные функции могут иметь различный вид, например:
• линейная производственная функция вида
у - а0 + а1К + а2 L ;
• степенная производственная функция (Коб-ба-Дугласа)
у=с • ка • а,
где а0, а1, а2 — оцениваемые параметры модели; с — постоянный параметр производительности; параметры а и Ь выражают эластичность уровня производства по отношению к факторам К и L, т.е. показывают относительный прирост продукции (в процентах), связанный с относительными приростами основных фондов и кадров предприятия.
Сложность современной экономики не позволяет с использованием группы факторов дать однозначную формулировку ситуации на предприятии, поскольку всегда существует степень неопределенности происходящих событий. В этом случае целесообразным становится использование теории нечетких множеств. Математический аппарат нечетких множеств хорошо описан в книге М.И. Ба-канова и А.Д. Шеремета [4, с. 184-190] и в данной статье не приводится.
Можно отметить еще один инструмент факторного анализа — метод анализа иерархий, разработанный американским ученым Т. Саати. Метод основан на суждениях экспертов и помогает структурировать проблему в виде иерархии, построить набор альтернатив, выделить характеризующие их факторы, задать значимость этих факторов, сравнить и выполнить количественную оценку альтернативных вариантов решения, найти неточности и противоречия в суждениях эксперта, проранжировать альтернативы, провести анализ решения и обосновать полученные результаты [7, с. 2080-2084]. Метод может быть использован для комплексной оценки деятельности, финансового состояния, рисков хозяйствования и целого ряда других аналитических вопросов.
Таким образом, математические методы и модели позволяют существенно расширить
инструментарий экономического анализа при решении различных производственных задач, что создает новые возможности для эффективного управления развитием предприятия.
Литература
1. Шеремет А.Д. Анализ и диагностика финансово-хозяйственной деятельности предприятия: учебник. М.: ИНФРА-М, 2008. 367 с.
2. Лафарг П. Воспоминания о Марксе. М.: Изд-во полит. лит-ры, 1967. 35 с.
3. Барнгольц С. Б., Мельник М. В. Методология экономического анализа деятельности хозяйствующих субъектов: учеб. пособие. М.: Финансы и статистика, 2003. 240 с.
4. Баканов М.И., Шеремет А.Д. Теория экономического анализа: учебник. 4-е изд., доп. и пе-рераб. М.: Финансы и статистика, 1997. 416 с.
5. Мельник М.В., Поздеев В.Л. Теория экономического анализа: учеб. для магистров. М.: Юрайт, 2014. 261 с.
6. Власов М.П., Шимко П.Д. Моделирование экономических процессов. Ростов н/Д: Феникс, 2005. 409 с.
7. Чусавитин М. О. Использование метода анализа иерархий при оценке рисков информационной безопасности образовательного учреждения // Fundamental research. 2013. № 10.
References
1. SheremetA.D. Analysis and diagnosis of the financial and economic activity of the enterprise: Textbook. Moscow, INFRA-M, 2008, 367 p.
2. Lafargue P. Reminiscences of Marx. Moscow, Political Literature Publishing House, 1967, 35 p.
3. Barngolts S.B, Melnyk M. V The methodology of economic analysis of economic entities: Textbook. Moscow, Finance and Statistics, 2003, 240 p.
4. Bakanov M.I, Sheremet A.D. Theory of Economic Analysis: Textbook. 4th ed., Ext. and rev. Moscow, Finance and Statistics, 1997, 416 p.
5. Melnyk M. V., Pozdeev V.L. Theory of Economic Analysis: A Textbook for the Masters. Moscow, Publishing Yurait, 2014, 261 p.
6. Vlasov M.P, Shimko P.D. Modeling of economic processes. Rostov n / D: Phoenix, 2005, 409 p.
7. Chusavitin M. O. Using the analytic hierarchy process in the risk assessment of information security educational institution // Fundamental research, 2013, no. 10.
