О локальной топологической сопряженности существенно нелинейных систем в окрестности инвариантных поверхностей, состоящих из точек покоя Текст научной статьи по специальности «Математика»

А. А. Боголюбов

О ЛОКАЛЬНОЙ ТОПОЛОГИЧЕСКОЙ СОПРЯЖЕННОСТИ СУЩЕСТВЕННО НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ ИНВАРИАНТНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ,

СОСТОЯЩИХ ИЗ ТОЧЕК ПОКОЯ*

В статье рассматривается нелинейная система, имеющая инвариантную поверхность. Эта инвариантная поверхность состоит из точек покоя и сохраняется при возмущении системы. Доказывается, что данная система локально топологически сопряжена со своим возмущением в окрестности рассматриваемой инвариантной поверхности.

1. Постановка задачи. Рассмотрим две системы дифференциальных уравнений

ж = Р (ж) +

ф = а(ж, ф),

ж = Р (ж) (2)

ф = 0, (2)

где ж € М”, ф € Мт, вектор-функции Р, Q и а непрерывно дифференцируемы по своим аргументам. Относительно правых частей системы (1) предполагается, что

Р (0) = 0, (3)

7*(РХ(ж)) < -А||ж||к, (4)

|^' (ж,ф)|| < 1||ж||к+1, (5)

а.

х,ф

(ж^)|| < /||х||к+1, (6)

а(0,<^)=0, (7)

д(0,^)=0, (8)

где А > 0, 1 > 0, 21 < А, к ^ 0, ||ж|| обозначает произвольную норму в М”, ||^>|| — произвольную норму в Мт, 11(ж, <^>)|| = тах(||ж||, ||^||), матричные нормы понимаются как операторные. Через 7* (А) для (п х п)-матрицы А обозначается верхняя норма

Лозинского, 7*(А) = Ит ^(||Е + ЬА\\ — 1). Пусть 2 = (ж, ср).

Замечание 1. В силу условий (7), (8) поверхность

Т = (г : ж = 0, ір Є Мт}

состоит из точек покоя систем (1) и (2) и, следовательно, является инвариантной для этих систем. Причем на Т эти системы совпадают.

Целью настоящей работы является доказательство локальной топологической сопряженности систем (1) и (2) в окрестности поверхности Т.

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-4609.2006.1).

© А.А.Боголюбов, 2007

Введем следующие обозначения.

Пусть / = (/X*,/‘*) —поток системы (1); /X*, /‘г — соответственно ж- и

^■-компоненты потока /. Аналогично, д‘* = (д£*, г) —поток системы (2); дХг, г — соответственно ж- и ^-компоненты потока д.

Рассмотрим множества

Н(е) = {г : ||ж|| < £, ^ е Мт} и дН(е) = {г : ||ж|| = е, р е Мт|.

Сформулируем основную теорему данной статьи.

Теорема 1. Существует достаточно малое ео такое, что при вышеперечисленных условиях существует гомеоморфизм Н : Н(ео) ^ Н(ео) такой, что

Н(/‘*) = д‘Н(г) У* е Н(ео),

причем

Н(*) = г у* е Т.

2. Вспомогательные результаты. Сначала приведем без доказательства два свойства логарифмических норм Лозинского.

Лемма 1 [3]. Пусть непрерывные матричные функции А(0) и В(0) заданы на конечном промежутке (а, 6), и пусть на этом промежутке 7*(А(0)) ^ 0, 7*(В(0)) ^ 0. Тогда

7* ( / А(0) ¿И < / 7*(А(0)) ¿0, 7* ( / В(0) ¿0) > / 7*(ВД)

\</а / «/а \</а У «/а

(интегрирование матрицы означает ее поэлементное интегрирование), где 7* (А) = —7*(-А) есть нижняя норма Лозинского.

Лемма 3 [3]. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений, записанную в виде

¿Ж -г / \

— = Ф(£, ж)ж + Ф(£, ж),

где Ф есть непрерывная (п х п)-матричная, а Ф —непрерывная векторная функции, определенные при всех £ и ж. Пусть ж(£) есть некоторое ее решение. Тогда справедливо двойное неравенство

7.(Ф(*,ж(*)))||ж(*)|| - ||Ф(*,ж(*))|| < ^ 7*(ф(г,ж(г)))||ж(г)|| + ||Ф(*,ж(*))||.

Из результатов, полученных в работе [2] следует Теорема 2. При ео < щ верны следующие четыре утверждения.

1. Для любой точки покоя *0 е Т существует *1 е Н(е) такое, что

/ ‘*1 *0.

Причем если /‘*2 —► *0, то существует £* такое, что *2 = /‘ *1.

‘—— ^

2. Для любой точки * е Н(ео) существует единственная точка покоя *0 е Т такая, что /—> *0.

‘—— ^

3. Для любой точки покоя *0 е Т существует *1 е Н(е) такое, что

д‘*1 *0.

Причем если д‘*2 —► *0, то существует ** такое, что *2 = д‘ *1.

‘—— ^

4. Для любой точки г е Н(ео) существует единственная точка покоя *0 е Т такая, что д‘г —> г0.

‘—— ^

Получим оценки для норм ж-компонент потоков / и д. Лемма 3. Для потоков / и д верны следующие оценки:

1 + -—;—. ||ж||^ Vt ^ 0, 2 £ Н(ео),

Ш\ < ||ж||[1 + —Ижмч Доказательство. В силу условий (3) и (8) имеем 1 \ /1

У* ^ 0, * е Н(ео).

4^

<и

IРХ(0/Х*)^0| /X* + (/ЗХ(0/Х/*М0| /X*.

ч0 / \0

Тогда, пользуясь леммами 1, 2 и условиями (4), (5), получаем

(9)

(10)

/с/

й+ША

А

< 17*(РХ(0/Х*))^0||/Х*11 + /1Ш0/Х/*)11^0||/Х*11 <

о о

1 1

< -а| ||0/Х*||к^0||/Х*|| + //1|0/Х*||к+1^0||/Х*||<

< --

о

А — к к+ 1

У* е Н(ео).

$и А — /во к+1

Рассмотрим уравнение —- = —------------и . Интегрируя его, получаем

а£ к + 1

и(£) = и(0)

1+(А 1£о)кик(о)г к +1

V* > 0.

(11)

Следовательно, пользуясь теоремой сравнения (см. [5]), получаем оценку (9). Оценка (10) получается аналогично. Лемма доказана.

Следствие 1. Для любой точки г = (ж, у>) е Н(ео) и для любого * ^ 0 верны следующие неравенства:

*|| < ||ж||, ||дХ*|| < ||ж||.

Из оценки (11) следует

Следствие 2. Для потоков / и д верны следующие неравенства.

¿+||/-Хг|

¿+||дХг|

ая(Е)

< 0 У* > 0, е < 2,

ЭЯ(е)

< 0 т > 0, е < 2.

1

1

Для каждой точки г € Т введем в рассмотрение множества 5/(г) = (и € М"+т : и € Н(ео), /Ьи —— Л ,

I Ь^-ж )

(г) = (и € М”+т : и € Н(е0), дЬи —— Л .

I Ь^-ж )

В силу теоремы 2 для каждой точки г € Т множество 5/(г) является полутраек-торией системы (1), стремящейся к точке Аналогично, множество (г) является полутраекторией системы (2), стремящейся к точке г. Из следствия 2 леммы 3 следует следующая лемма.

Лемма 4. Пусть е ^ ео. 1) Если г € дН(е)р| 5/(го) и г1 € дН(е) р| 5/(го), то г = г1; 2) если г € дН(е) р| 5д(го) и г1 € дН(е) р| (го), то г = г1.

Замечание 2. Из лемм 3 и 4 следует, что для любого г € Н(ео) существуют единственные гр € дН (ео), / ^ 0, гд € дН (ео), ^ ^ 0 такие, что /Ь/гр = г и дЬа гд = г.

Следовательно, можно определить отображения

т/ : Н(ео) — К1, т/ : г — /,

тд : Н(ео) —— тд : г —— ^р.

Лемма 5. 1) Для любого Т > 0 существует 6 > 0 такое, что если ||ж|| < 6, то

т/(г) > Т; 2) для любого Т > 0 существует 6 > 0 такое, что если ||ж|| < 6, то

тд(г) > Т.

Доказательство. Зафиксируем Т > 0. Так как ||/-т/(х)г|| = ео, из оценки (9) следует, что

'|ж|Гк -||/^Мг||-к _ ||ж||-к - е-к

А А

где А = ■ Возьмем 5 < (АТ + е0 к) ь. Тогда если ||ж|| < 3, то Tf(z) > Т. Пункт

- — к\

к+1 ' у ^ ^ -г с о

2 доказывается аналогично. Лемма доказана.

Лемма 6. 1) Для любого е > 0 существует Т > 0 такое, что

||/г|| <е Ш > Т, г € Н(ео); 2) для любого е > 0 существует Т > 0 такое, что

||дЬг|| < е Ш > Т, г € Н(ео). Доказательство. Из оценки (9) следует, что

\х\\-к+ {х-^1)кч\ к < [е^ * + {х^)кг

Возьмем Т > -—дт2—, где N = ^ к1^к • Тогда при £ ^ Т ||/*-г|| <е. Пункт 2 доказывается аналогично. Лемма доказана.

Получим важную оценку для функции а(ж, у>).

Лемма 7. Пусть /Ьг* = (/г*,/£г*), г = 1, 2, — два решения системы (1), где г* € Н(ео). Тогда существует такая функция а(£), не зависящая от ж*, что

|К/г/г1) - /г2,/‘г2)|| < а(г)||/Ьг1 - /Ьг211 Ш > 0,

к

сю

У a(t)dt ^ Са < то.

а(

о

Доказательство. Возьмем две произвольные точки zi G H(ео), i = 1, 2. В силу

условия (6)

IK/Xz/z1) - a(/tz2,4z2) 11 <

/Ж~17 ./ф~ 1) æ~2} J ф

1

^ j ||a(x,ф)(^(/Xzb z1) + (1 - ^)(/Xz2, z2))d^||f tz1 - / tz2 H ^

0

1

< lj ||/Z1 + (1-0)/tZ2||k+1d^||/XZ1-/XZ2|| < lmax{||/1z^^1, ||/Z2||k+1}||/Xz1-/Xz2||.

Так как z G H(ео), в силу леммы 3

1 + fe + 1 e”<

vt > o, i = i, 2.

Следовательно,

(flzu ffa)-a(/*Z2,4z2)|K l4+1(1+ kJ^l Ф) k Wf zi - f z2\\ Vt > 0.

/ \ ~ fcfc 1 É Положим a(i) = ¿£q+1 il + (Afcl£i)fcgot) • Интегрируя, получаем, что / a(t)dt ^

^ ' о

1(\-Ieo) • Лемма доказана.

Получим оценку для норм ^-компонент потоков / и д.

Лемма 8. Для потоков / и g верны следующие неравенства:

1) ||/ф z|| < |М| + Ca||x|| Vt > 0, z G H (ео);

2) дф z = ^ Vt > 0, z G H (ео).

Доказательство. В силу леммы 7, условия (7) и следствия 1 леммы 3

t t /фz|| < +У ||а(/z/z)||dt < !М! ||a(/tz/z) - a(0,/фz)||dt <

оо

Ь Ь Ь

< нфн +у а(^)||/Ь г|и < нфн+||ж||У а(гм < нфн+||ж||У а(гмг <

о о о

< ||ф|| + Са||ж|| Уг > 0, г € Н(ео).

Утверждение пункта 2 очевидно, так как второе уравнение системы (2) имеет вид ф = 0. Лемма доказана.

Получим оценки для разности решений систем (1) и (2).

Лемма 9. Пусть п = тах{2, Са}. Для потоков / и д верны следующие оценки:

1) ||дЬг2 - дЬг111 < тах{||ф2 - ф11|, ||ж111 + ||ж21|} Уг > 0, гь г2 € Н(ео), (12)

2) ||/Ьг - дЬг|| < п||ж|| Уг > 0, г € Н(ео), (13)

3) ||/Ьг2 - /Ьг111 < п(||ж2 || + ||ж1||) + ||ф2 - ф111 Уг > 0,г1,г2 € Н(ео). (14)

Доказательство. Так как второе уравнение системы (2) имеет вид ф = 0,

||д^г2 - д^г111 = ||ф2 - Ф111 Уг > 0,г1,г2 € Н(ео). (15)

В то же время в силу леммы 3

||д^г2 -д^г1Н < ||д^г2|| + ||д^гl|| < ||жl|| + ||ж2Н Уг > 0,г1,г2 € Н(ео).

Следовательно, неравенство (12) выполняется. Пункт 1 доказан.

В силу леммы 7, условия (7) и следствия 1 леммы 3

||f^z - 4zll < J ||a(/z/z) - a(0,4z)||dt = / ||a(/z/z) - a(0/z)||dt ^

0 0 t

^ J a(t)||/tz||dt ^ max ||/z||Ca < Са||ж|| Vt ^ 0, z G H(eo). (16)

0

В то же время в силу леммы 3 имеем

||ftz - gtzH < ||ftz|| + ||gtz|| < 2||жН Vt > 0, z G H(eo)•

Следовательно, неравенство (13) выполняется. Пункт 2 доказан.

В силу неравенств (15), (16)

Н/(^ z1 — z2 11 ^ ||f(^ z1 — 5^ z1|| + ||g^ z1 — z2 11 + ||g^ z2 - /£ z2 11 ^

< П(| |X2 11 + ||X1||) + ||^2 - ^1|| Vt > 0, z1, z2 G H (eo).

В то же время в силу леммы 3

||ftz2 - ftz1|| < ||ftz2 11 + ||ftz1|| < ||ж1|| + | |ж2 11 < П(||ж1Н + | |ж2 11) Vt > 0,z1,z2 G H(e0).

Следовательно, неравенство (13) выполняется. Лемма доказана.

Лемма 10. 1) Пусть z1 G H (eo). Для любого e > 0 существует S > 0 такое, что если ||z2 — z111 < S, то ||gtz2 — gtz111 < e Vt ^ 0.

2) Пусть z1 G H (eo). Для любого e > 0 существует S > 0 такое, что если | |z2 — z111 < S,

то ||/tz2 — /tz111 < e Vt > 0.

Доказательство. Докажем пункт 2. Зафиксируем произвольное e > 0. По лемме 6 существует T > 0 такое, что

e

WfiM\ <¥r/ Vt^T, (17)

где n = max{2, Ca}. По теореме об интегральной непрерывности для фискированного z1 и указанного T существует S = S(z1, T) > 0 такое, что если ||z2 — z111 < S, то

e

WfZl-fZ2\\<- Vt G [0, Т]. (18)

В то же время в силу неравенств (17), (18) и леммы 9 ||/Ьг1 - /Ьг2|| = ||/Ь-Т/Тг1 - /Ь-Т/тг21| <

< П(||/Т г1Н + ||/Т г2 ||) + ||/Т г1 - /Т г2 11 < е Уг > Т.

Таким образом, ||/Ьг1 - /Ьг211 < е Уг ^ 0. Следовательно, выбранное 6 искомое. Пункт

1 доказывается аналогично. Лемма доказана.

Из леммы 10 следует

Лемма 11. 1) Пусть го € Н(ео). Возьмем последовательность г к € Н(ео) такую, что гк —— го. Тогда /Ьгк =5 /Ьго, дЬгк =5 дЬго при к — то равномерно относитель-

к—►ж

но г ^ 0.

Замечание 3. Из теоремы 2 следует, что через каждую точку г € Н(е) проходит решение /Ьг, стремящееся к некой точке го € Т. Следовательно, можно определить отображение

р/ : дН(ео) — Т, р/ : г — Пт /Ьг.

Ь—ж

В силу теоремы 2 и леммы 4 отображение р/ определено корректно и существует обратное отображение р-1. Аналогично можно определить отображение

р„ : дН (ео) — Т, р„ : г — Пт дЬг,

Ь—ж

и обратное отображение р— 1.

Лемма 12. Отображения р/, рд являются гомеоморфизмами.

Доказательство. Докажем непрерывность р/. Возьмем произвольную точку г € дН(ео) и произвольную последовательность гк -— г. В силу леммы 8 последова-

к—►ж

тельность р/ (гк) принадлежит компакту. Следовательно, она имеет точку сгущения г* = (0, ф*) и подпоследовательность р/(гк-) —— г*.

к- —►ж

В то же время в силу замечания 3

/ЬгкЬ—> р/(гк). (19)

Ь—ж

Так как гк —— г, в силу леммы 11 при к — то /Ьгк -5 /Ьг равномерно относительно

к—►ж

г ^ 0. Следовательно, переходя в выражении (19) к пределу при к' — то, получаем, что /Ьг —— г*. Таким образом, г* = р/(г). Следовательно, так как мы брали произвольную

Ь—ж

точку сгущения, р/(гк) сходится к р/(г). Непрерывность р/ доказана.

Докажем непрерывность р-1. Возьмем произвольную точку г € Т и последовательность гк € Т такую, что гк —— г. Из определения р-1 следует, что

к—►ж ^

/Ь(р-1(гк)) Ь—► гк. (20)

■' Ь—ж

Из леммы 8 следует, что последовательность р-1(гк) принадлежит компакту. Следовательно, у нее есть точка сгущения г* и подпоследовательностьр-1(гк-) —— г*. Тогда

^ к- —►ж

в силу леммы 11 при к' — то /Ь(р-1(гк3-)) -5 /Ьг* равномерно относительно г ^ 0. Следовательно, переходя в выражении (20) к пределу при к' — то, получаем, что /Ьг* —— г. С другой стороны, /Ь(р-1(г)) —— г. Следовательно,р-1(г) € 5/(г) р| дН(ео)

Ь—►ж ^ Ь—►ж ^

и г* € 5/(г) р| дН(ео). Следовательно, по лемме 4 г* = р-1(г). Следовательно, так как мы брали произвольную точку сгущения, последовательность гк сходится к г. Непрерывность р-1(г) доказана.

Непрерывность рд и р—1 доказывается аналогично. Лемма доказана.

Перейдем к доказательству теоремы 1.

3. Построение гомеоморфизма. Определим отображение ш : дН (ео) — дН (ео), ш(г) = р-1р/(г)

и

обратное отображение ш (г) = р- рд(г), где р/ и рд определены в замечании 3.

Из леммы 12 следует, что ш — гомеоморфизм. Определим отображение Н следующим образом:

Н(г) = дт/(г)ш(/-т'(х)г) Уг € Н(ео) \ Т

и отображение

Н-1(г) = /т»(2)ш-1(д-т»(2)г) Уг € Н(ео) \ Т, где т/ и тд определены в замечании 2. Так как т/(Н-1(г)) = тд(г),

НН-1(г) = дт/ (^-1(2))ш(/-т/ (^-1(2))/т8(2)ш-1(д-т»(2)г) = г.

Так как тд(Н(г)) = т/(г), получаем Н-1Н(г) = г. Аналогично показывается, что НН-1(г) = г. Следовательно, отображение Н-1 является обратным к отображению Н. Определим Н на Т следующим образом:

Н(г) = г Уг € Т.

Лемма 13. Отображение Н является гомеоморфизмом на всем Н(ео) и является сопряжением потоков / и д, т. е.

Н(/Ьг) = дЬ(Нг) Уг € Н(ео).

Доказательство. Так как т/(/Ьг) = т/(г) + г,

Н(/Ьг) = дт/ (/‘2)ш(/-т/(/‘2)/Ьг) = дт/(/‘г)ш(/-т/ (*)-Ь+Ьг) = дЬ+т/ (г)ш(/-т/(г) г) = дЬН(г).

Следовательно, Н является сопряжением. Докажем, что Н непрерывно на Н(ео). Так как ш гомеоморфизм, Н непрерывно на Н(ео) \ Т как композиция непрерывных функций. Следовательно, достаточно доказать его непрерывность на Т, т. е. что для любой точки го = (0, ф) € Т и е > 0 существует 6 > 0 такое, что если ||г - го|| < 6, то ||Н(г) - го|| < е. По определению Н

||Н(г) - го|| = ||дт/(г)ш(/-т/(г)г) - го|| = ||дт/(г)р-1(р/(/-т^(х)г)) - го|| Уг € Н(ео).

Из замечания 3 следует, что

дЬр-1(р/(/-т/(2)г)) р/(/-т^(2)г).

Ь—►ж

Следовательно, существует Т > 0 такое, что если т/(г) > Т, то

-ыгт/(2М11<

Из леммы 5 следует, что существует такое ¿1 > 0, что если ||ж|| < ¿1, то т/ (z) > T. Так как Z° является ТОЧКОЙ ПОКОЯ, ИЗ оценки (14) следует, ЧТО если ||z — Z°|| < 2(Т7+1) ’ т0

||/‘/-Tf(z)z - z0|| = ||/‘/-Tf(z)z - /‘/-Tf(z)z0|| <

< „||*|| + lb - /II < („ + l)||z - z°|| < I Vi > Tf(z) (21)

и тогда, переходя в неравенстве (21) к пределу при t — то, получаем

IM/-T/(z)z) -Z°|| <

Возьмем <5 = min{(5i, 2(^+1) }• Тогда если ||z — z°|| < S, то

||h(z) - z0|| = ||gTf(z)p-1(p/ (/-Tf(z)z)) - z0|| < (22)

< ||gTf(z)p-1(p/(/-Tf(z)z) -Р/(/-Tf(z)z)|| + ||p/ (/-Tf(z)z) - z0|| < £. (23)

Непрерывность h доказана. Непрерывность h-1 доказывается аналогично. Таким образом, мы доказали, что существует гомеоморфизм h, локально сопрягающий потоки систем (1) и (2). Теорема 1 доказана.

Summary

A. A. Bogolyubov. On local topological conjugacy of nonlinear systems in the neighbouhood of invariant surfaces which consists of equilibrium points.

Nonlinear systems having an invariant surface is analyzed in the article. This invariant surface consists of equilibrium points and is preserved under system perturbation. This system is proved to be locally conjugate with it’s perturbation in the neighbouhood of that invariant surface.

Литература

1. Волков Д. Ю., Ильин Ю. А. О существовании инвариантного тора у существенно нелинейной системы дифференциальных уравнений // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1992. Вып. 1. С. 118-119.

2. Боголюбов А. А., Ильин Ю. А. Существование расслоения в окрестности инвариантного тора одной существенно нелинейной системы // Нелинейные динамические системы. Вып. 5 / Под ред. Г. А. Леонова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. С. 45-54.

3. Ильин Ю. А. О применении логарифмических норм к нелинейным системам дифференциальных уравнений // Нелинейные динамические системы. Вып. 2 / Под ред. Г. А. Леонова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1999. С. 103-121.

4. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977. 304 с.

5. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Мир. 1970.

Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.