CC BY
48
С. Г. Крыжевич
СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ИНВАРИАНТНЫХ МНОЖЕСТВ ВИБРОУДАРНЫХ СИСТЕМ
Введение. Виброударные системы являются одним из наиболее широко встречающихся на практике классов механических задач. К устройствам, движение которых сопровождается ударами, можно отнести часовые механизмы, демпферы ударного действия, машины для погружения и выдергивания строительных конструкций и т. п. Различные аспекты динамики систем с ударами исследовались в работах [2-5, 8-20]. В частности, изучалась структура инвариантных множеств систем с ударами. В работах [2, 3, 8-15, 17-20] на различные виброударные системы приводился ряд условий, достаточных для хаотического поведения решений. Имеются также результаты о наличии у виброударной системы единственного периодического решения, устойчивого в целом [4, 5, 8].
Чаще всего, удар рассматривается как мгновенное изменение вектора скорости. Однако, как отмечено в книге [5], более точным является представление об ударе, как о кратковременном взаимодействии с ограничителем большой жесткости. В ряде работ (см. [5, 13, 14, 17]) первая модель рассматривается как предельный случай второй, когда жесткость ограничителя стремится к бесконечности. В настоящей статье изучается вопрос о корректности такого подхода, а именно вопрос о том, какие инвариантные множества сохраняются при такого рода предельном переходе. Кроме того, исследуется вопрос о сохранении инвариантных множеств при малых изменениях коэффициента восстановления.
1. Постановка задачи. Рассматриваются одномерные колебания точечной массы под действием вынуждающей силы. Предполагается, что рассматриваемая точка имеет соударения с неподвижным ограничителем. В промежутках между ударами движение описывается уравнением
X = /(£, х, х). (1)
Считаем, что / — функция, непрерывная на множестве
Л = {(£, х, у) : £ € М, х > 0} |^|{(£, 0, у) : £ € М, у ^ 0},
С1 —гладкая по х и X, периодичная по £ с периодом Т > 0, аналитическая по своим
аргументам в окрестности каждой из точек (£, 0,0), £ € М. Обозначим /о(£) = /(£, 0,0).
Поскольку функция /о аналитическая, она либо является тождественным нулем, либо имеет конечное число корней на периоде [0, Т).
Условие удара выражается следующим образом.
1. Если х(£0) = 0, а х(£0 — 0) ^ 0, то
х(£о + 0) = —гх(£ о — 0) (2)
для некоторой постоянной г € (0,1].
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-01079), гранта для молодых кандидатов наук Комитета по науке и высшей школе Администрации г. Санкт-Петербурга (№ 150/06) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №НШ-4609.2006.1).
© С.Г. Крыжевич, 2007
2. Если х(£о) = х(£о — 0) = 0 и при этом /о(£о) ^ 0, а I — максимальный промежуток, содержащий точку £о, на котором /о(£) ^ 0, то х(£)|/ = 0.
Условимся обозначать систему, заданную уравнением (1) и условиями удара (2), символом (*г). Отметим, что любая задача Коши для системы (*г) с любыми начальными данными х(£о) = хо, х(£о) = уо, £о € М, (хо,уо) € Л имеет решение. Это решение единственно, если хо + у2 = 0, так как найдется такое число е > 0, что на промежутках (£о — е,£о) и (£о,£о + е) решение рассматриваемой задачи Коши не имеет ударов и, следовательно, совпадает с некоторыми решениями уравнения (1).
Введем в рассмотрение функцию
Х-(х) =
0 если х ^ 0;
1 если х < 0.
Для фиксированного значения г € (0,1] положим а = — 1пг/п. Рассмотрим уравнение вида
х = /(£, х, х) — 2а^Х-(х)х — ^2Х-(х)х(1 + а2), (х, х) € М2.
Функцию /(£, х, у) доопределим на множестве М3 \ Л так, чтобы полученная функция оставалась кусочно-гладкой по второму и третьему аргументам. Величина ^ > 0 считается большим параметром.
В настоящей работе будут изучены следующие вопросы.
1. При каких условиях инвариантные множества системы (*г) сохраняются при малых изменениях коэффициентов уравнения (1) и/или коэффициента восстановления г?
2. Когда инвариантные множества системы (*г) сохраняются при малых изменениях коэффициентов уравнения (1) и замене условий удара на добавление возмущения —2а^х-(х)х^2х-(х) — х(1 + а2), где ^ — большой параметр?
2. Основной результат. Рассмотрим отображение д(£, х, у), периодичное с периодом Т по первому аргументу, непрерывное и С 1-гладкое по второму и третьему аргументам и малое по норме в Со вместе со своими производными по х и по у. Введем в рассмотрение уравнения
х = /(£, х, х)+ д(£, х, х) (3)
и
х = /(£, х, х) + д(£, х, х) +—2а^Х-(х)х — ^2Х-(х)х(1 + а2). (4)
Уравнения (1), (3) и (4) заменой переменной у = х приводятся к виду
х = у, у = /(£, х,у); (5)
х = у, у = /(£, х,у)+ д(£, х,у); (6)
х = у, у = /(£, х,у)+ д(£, х,у) — 2а^х-(х)х — ^2%-(х)х(1 + а2); (7)
Условия удара сохранят свой вид с заменой х на у.
Будем обозначать виброударные системы, описываемые системой (5) и указанными выше условиями удара, тем же символом (*г), а системы, заданные соотношениями (6), символом (*д,т). Положим г = (х,у) и рассмотрим гг(£, £о,£о) —решение задачи Коши для системы (*г) с начальными данными г(£о) = го. Рассмотрим гд,м,г(£,£о, го) и
гд,т (і, І0, 20) —решения соответствующих задач для систем (7) и (*д,т) на тех участках времени, на которых они определены однозначно. Рассмотрим отображения Пуанкаре для систем (*т), (*д,г) и (7), заданные формулами
От (20) 2(Т ^0)? Од,т (20) 2д,т (Т ^0)? Од,^,т (20) 2д,^,т (Т ^0)*
Обозначим символом | • | евклидову норму и соответствующую матричную норму. Основным результатом настоящей работы является следующий.
Теорема. Пусть Г0 Є (0, 1] и отображение О = ОТ0 имеет гиперболическое компактное инвариантное множество К С (0, +то) х М такое, что гТ0 (і, 0,20) = 0 для любого 20 Є К, і Є [0, Т]. Пусть V — окрестность множества К, замыкание которой
11 и его образ С?(£/) не пересекаются с осью Оу. Положим ТУ = {і, 2 : і Є [0, Т],2 = г(і, 0, го), -го Є £/}. Справедливы следующие утверждения.
1. Для любого є > 0 найдется такое 6 > 0, что если
r Є (ro — i, ro + £)П(0, 1], dg
max |g(t, z)| < (5, max
(t,z)eW (t,z)EW
аї(і'г)
< i, (8)
то отображение Gg,r определено в некоторой окрестности Uo компакта K в Л и найдется такой гомеоморфизм hg,r : K ^ Kg,r С Uo, что max |hg,r (ж) — ж| < е,
’ ’ xGK ’
а Kg,r является гиперболическим инвариантным множеством гомеоморфизма Ggr, причем
hg,r (G(x)) = Gg,r (hg,r (ж)) (9)
для любого ж G K.
2. Пусть ro G (0, 1]. Для любого е > 0 найдутся такие ^о > 0, J > 0, что если
> ^о и выполнены условия (8), то найдется такой гомеоморфизм ng,^,r0 : K ^
Kg p ra С R2, что max |ng,^,r0 (ж) — ж| < е, а Kg^r0 — гиперболическое инвариант’ ’ xGK ’ ’ ’ ’
ное множество гомеоморфизма Gg,^,r0, причем ng,^,r0 (G(x)) = Gg,^,r0 (ng,^,r0 (ж)) для любого ж G K.
Замечание 1. При ro = 1 утверждение пункта 2 доказываемой теоремы можно обобщить, взяв в уравнении (4) вместо ^,2х-(ж)ж добавку ^,2F(ж), где кусочно-гладкая функция F обладает следующими свойствами.
1. F(ж) = 0 для любого ж ^ 0, F(ж) < 0 при ж < 0.
2. F'^) > 0 при ж < 0.
3. Пусть Т(ж) —нечетная функция, совпадающая с F(ж) при ж < 0. Пусть
ж(£, жо, yo) —решение уравнения ж + _Р(ж) =0 с начальными данными ж(0) = жо, ж(0) = yo. Легко видеть, что это решение периодическое. Обозначим его период через T^o,yo). Предполагаем, что найдутся такие значения To, > 0, что
T^o, yo) < To, если ж0 + y2 < а2.
Замечание 2. Условие того, что zr0 (t, 0, zo) = 0 для любого zo G K, t G [0, T], существенно. Для виброударных систем могут иметь место так называемые бесконечноударные режимы (chattering), при которых решения, начинающиеся в некоторый момент времени в малой окрестности начала координат, имеют на конечном временном
отрезке бесконечное число ударов, после чего обращаются в тождественный ноль. Это приводит к неединственности решений [2, 11, 20].
Доказательство теоремы. Установим сначала справедливость пункта 1. Окрестность и можно сузить таким образом, что любое решение системы (*Г0), начинающееся в момент времени Ь = 0 в области £/, будет иметь на промежутке [0, Т] не более некоторого фиксированного числа N ударов. Пусть это не так. Тогда найдется последовательность начальных данных 2^ (Е £/, к (Е М, которым соответствуют решения, имеющие не менее к ударов на промежутке [0, Т]. Не умаляя общности, можем считать, что гь —> го €= и. Если такая точка найдется при любом выборе £/, то можем считать, что го € К. Решение г(Ь,0, го) имеет бесконечное число ударов на отрезке [0, Т], следовательно, моменты этих ударов имеют точку сгущения Ь* € [0, Т]. Тогда г(Ь*, 0, го) = 0, что противоречит предположениям теоремы.
Множество и можно представить в виде и = С) о и • • • Ы гДе каждое из С>т — компактное множество (возможно, пустое) начальных данных, которым соответствуют решения системы (*Г0), имеющие ровно т ударов на промежутке [0, Т], причем значение х в момент каждого из этих ударов отлично от нуля. Соответствующие моменты удара гладко зависят от начальных данных решения. На каждом из множеств Qm, кроме фо, отображение О представим в виде композиции О = То о О1 о ... о От—1 о Т1. Здесь То представляет собой отображение, ставящее в соответствие точке го € Л момент и скорость первого удара, отображения О к, к = 1,..., т — 1, ставят в соответствие моментам и скоростям к-го удара соответствующие значения для удара с номером к +1, отображение Т моменту и скорости последнего удара ставит в соответствие координаты соответствующего решения в момент времени Ь = Т. Как легко видеть, все отображения Ок равномерно непрерывны вместе со своими производными. Следовательно, найдется такое а > 0, что отображение О равномерно непрерывно вместе с производными на множестве и х [г о — сг, г о + <т].
Лемма 1. Пусть М —конечномерное многообразие, и С М —открытое множество. Пусть ф : и ^ М — С1 — гладкое вложение, имеющее компактное инвариантное множество К С и, на котором отображение ф гиперболично. Тогда для любого е > 0 найдется такое 6 > 0, что если отображение ф : и ^ М таково, что ||ф — ф\\а1(и^м) < 6, то найдется такое вложение Н : К ^ М, что IIН — 1^|со(к^м) < е и Н(ф(х)) = ф(Н(х)) для любого х € К. В частности, множество К1 = Н(К) будет гиперболическим инвариантным для отображения ф, если е достаточно мало. Эта лемма является аналогом теоремы о сохранении гиперболических инвариантных множеств диффеоморфизмов при малых возмущениях (см. [1, 7]). В книге [6] утверждение леммы 1 доказывается для случая, когда отображение ф может быть продолжено до диффеоморфизма замкнутого многообразия М (теорема 12.8, с. 126). Однако, доказательство этой теоремы дословно подходит и для сформулированного нами случая.
Применяя лемму 1 к отображению ОГо и его малым возмущениям Од,г, получаем, что найдутся такое 6 > 0 и такая окрестность V С и множества К, что для любого г € (го — 6, го + 6) р|(0,1] и любого возмущения д, удовлетворяющего условиям (8), найдется гомеоморфизм Нд г, топологически сопрягающий О и Од г в смысле соотношения (9). При этом Нд г ^ при 6 ^ 0 и г ^ го.
В силу сказанного выше, отображение Од г —диффеоморфизм и множество Кд г = Нд г (К) является гиперболическим инвариантным, что и доказывает первую часть теоремы. Приступим к доказательству второй части.
Лемма 2. Для любых у++ > у— > 0, любого Ьо € М и любых функций / и д, удо-
влетворяющих условиям теоремы, существует такое м1 > 0, что если м > м1, то решение системы (7) с начальными данными
хЫ=0, у(Ьо) = уо е (—у+ —у—) (10)
пересекает ось Ох в некоторый момент времени £1 € (£о,£о + 2п/м). При этом найдется такое Д > 0, не зависящее от уо, что для любого м > м1
|у(£1)+ гоуо| < Д/м. (11)
Доказательство. Замена независимой переменной в = М приводит уравнение (4) при х ^ 0 к виду
// , О 2\ f(s/ц,x,цx,)+g(s/ц,x,цx,) _п /1гл
х Н- 2(У,х -\- (1 -\- о, )х —--------^------------— 0. ( ±Л)
М2
Здесь и далее мы обозначаем штрихом производную по в, в отличие от производной по £. Начальным данным (10) соответствуют следующие:
во = м£о, х(во)=0, х'(во) = уо/м € (—у+/м, —у—/м). (13)
Уравнение (12) на любом множестве, на котором функции / и д ограничены вместе со своими производными по второму и третьему аргументу, является при больших значениях м малым возмущением уравнения
х" + 2ах + (1 + а2)х = 0. (14)
Общее решение уравнения (14) имеет вид х = А ехр(—ав) 8ш(в + у>). Расстояние между соседними корнями нетривиальных решений этого уравнения равно п, следовательно, если м достаточно велико, то для любого решения уравнения (12) с начальными данными вида (13) расстояние между соседними корнями лежит в промежутке от п/2 до 2п. Возвращаясь к уравнению (4), получаем, что независимо от выбора £о и уо при достаточно больших м выполнено соотношение £1 — £о < 2п/м. Значения производных решений уравнения (14) в точках соседних корней отличаются в —го раз. По теореме об интегральной непрерывности найдется такое м2 > 0, что если м > м2, то для любого решения х(£) уравнения (12) с начальными данными (13) существует такое Д > 0, что |х'(м^1) + гох'(во)| ^ Д/м2. Это означает справедливость (11). Лемма 2 доказана.
Пусть число т € {0,. .., N} таково, что го € фт. Если т = 0, вектор-функция гд,ц,г (£, 0, го) есть решение системы (6). В противном случае, в силу сказанного выше, для достаточно больших м и достаточно малых 6 > 0 таких, что |го| < 6, первая компонента хд,^,г (£, 0, го) решения гд,^,г (£, 0, го) имеет на отрезке [0, Т] ровно 2т нулей, удовлетворяющих неравенству £1 <01 < £2 < $2 < ... < < вт. При этом вторая ком-
понента уд,^,г (£, 0, го) решения гд,^,г (£, 0, го) положительна в точках £к и отрицательна в точках вк, а величины м и 6 могут быть выбраны независимо от го и т. Отображение Од,^,г имеет вид
Од,^,т = 5о о Й1 о Н1 о Я2 о Н2 ... о Ит_ 1 о Нт—1 о 51.
Отображение 5о ставит в соответствие начальным данным го € Л, взятым в момент времени £ = 0, первый корень £1 решения хд,^,г (£, 0, го) и соответствующее значение
yi = yg,^,r(ti, 0, zo), отображения Hk, k = 1,..., m — 1, ставят в соответствие моментам tk и значениям yk, отвечающим корню с номером 2k — 1, соответствующие значения Ok и yk для корня с номером 2k, отображения H'k, k = 1,..., m — 1, ставят в соответствие моментам Ok и значениям y'k, отвечающим корню с номером 2k, соответствующие значения tk+i и yk+i для корня с номером 2k + 1, отображение Si моменту и значению y2m = yg,^,r (t2m, 0, zo) последнего корня ставит в соответствие положение соответствующего решения в момент времени t = T.
Устремляя к бесконечности, а S к нулю, получаем, что моменты tk стремятся к моментам ударов соответствующего решения уравнения (1) равномерно по zo, So,i ^ Jo,i в метрике Ci. В силу результата леммы 2 и формулы (11), Hk ^ Gk, H'k ^ id. Для завершения доказательства теоремы остается воспользоваться утверждением леммы 1.
Summary
S. G. Kryzhevich. Structural stability of invariant sets of vibro-impact systems.
The problem of persistence of invariant sets of vibro-impact systems when one slightly changes parameters of the system or passes from one model of impact to another, is studied. It is theoretically checked, that the impact may be considered as a limit case of the interaction with a delimiter of a big stiffness.
Литература
1. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны. М.: Наука, 1967. 210 с.
2. Горбиков С. П., Меньшенина А. В. Бифуркация, приводящая к хаотическим движениям в динамических системах с ударными взаимодействиями // Дифференц. уравнения, 2005. Т. 41, №8. С. 1046-1052.
3. Крыжевич С. Г., Плисс В. А. Хаотические режимы колебаний виброударной системы // Прикладная математика и механика. 2005. Т. 69. Вып. 1. С. 15-29.
4. Крыжевич С. Г., Плисс В. А. Пример хаоса в системе с ударами // Международная конференция «Четвертые Окуневские чтения», 22-25 июня 2004 г., Санкт-Петербург, Россия. Материалы докладов. Том III. Симпозиум «Пуанкаре и проблемы нелинейной механики». СПб., 2005, C. 65-75.
5. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л.: Изд-во «Политехника», 1990. 272 с.
6. Пилюгин С. Ю. Введение в грубые системы дифференциальных уравнений. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. (Pilyugin S. Yu. Introduction to Structurally Stable Systems of the Differential Equations. Birkhauser-Verlag: 1992. 184 pp.)
7. Смейл С. Дифференцируемые динамические системы // Успехи мат. наук, 1970. Т. 25, №1. C. 113-185.
8. Фейгин М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994. 288 c.
9. Banerjee S., Yorke J. A., Grebogi C. Robust chaos // Physical Review Letters. 1998. Vol. 80. N14. P. 3049-3052.
10. Budd C. Grazing in impact oscillators // Branner B., Hjorth P. Real and Complex Dynamical Systems. Kluwer Academic Publishers, 1995. P. 47-64.
11. Budd C., Dux F. Chattering and related behavior in impacting oscillators // Phil. Trans. Roy. Soc. 1994. Vol. 347. P. 365-389.
12. Chin W., Ott E., Nusse H. E., Grebogi C. Universal behavior of impact oscillators near grazing incidence // Physics Letters A. 1995. Vol. 201. P. 197-204.
13. Holmes P. J. The dynamics of repeated impacts with a sinusoidally vibrating table // J. Sound. Vib. Vol. 84, N 2. P. 173-189.
14. Nguyen D. T., Noah S. T., Kettleborough C. F. Impact behavior of an oscillator with limiting stops. Part I: A Parametric Study // J. Sound Vib. 1986. Vol. 109. N 2. P. 293-307.
15. Nordmark A. B. Non-periodic motion caused by grazing incidence in an impact oscillator // J. Sound Vib. 1991. Vol. 145. N2. P. 279-297.
16. Schatzman M. Uniqueness and continuous dependence on data for one-dimensional impact problem // Math. Comput. Modelling. 1998. Vol. 28. N 4-8. P. 1-18.
17. Shaw S. W., Holmes P. J. A periodically forced piecewise linear oscillator // J. Sound Vib. 1983. Vol. 90. N 1. P. 129-155.
18. Thomson J. M. T., Ghaffari R. Chaos after period-doubling bifurcations in the resonance of an impact oscillator // Physics Letters. V. 91A, N1. 1982. P. 5-8.
19. Thomson J. M. T., Ghaffari R. Chaotic dynamics of an impact oscillator // Phys. Rew. A. Vol. 27, N 3.
20. Whiston G. S. Global dynamics of a vibro-impacting linear oscillator // J. Sound Vib. 1987. Vol. 118. P. 395-429.
Статья поступила в редакцию 12 октября 2006 г.
