CC BY
7
УДК 519.7
А.С.Цурина
О ЛИНЕЙНОЙ СЛОЖНОСТИ ОБОБЩЕННЫХ ЦИКЛОТОМИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
ХОЛЛА С ПЕРИОДОМ ^
Представлены результаты расчета линейной сложности обобщенных циклотомических последовательностей Холла с периодом р"+1. Метод расчета линейной сложности основан на использовании значений многочлена классических циклотомических последовательностей с периодом р .
Ключевые слова: линейная сложность, обобщенные циклотомические последовательности
1. Введение
Линейная сложность последовательности $ = s0, •],... над полем (2) является важной
характеристикой её качества и определяется как наименьшее натуральное число Ь , для которого существуют константы с1,...,сЬ из С¥(2) такие, что выполняется рекуррентное соотношение
= с1 ^-1 + С2^-2 +... + -ь для всех g > Ь .
Последовательности, обладающие высокой линейной сложностью (Ь >
N/2), важны для
криптографических приложений.
Обобщенная циклотомия, включающая в себя классическую как частный случай, была предложена в [1].
Здесь рассмотрим циклотомические последовательности с периодом N = р"+1.
Пусть р = ёЯ +1 — нечетное простое число, ё, Я — натуральные числа. Обозначим через g
примитивный корень по модулю р"+1. Мультипликативный порядок g равен р" (р — 1) и
gp-1 ° 1(шоё р) [2].
Введем D0 = (gd), где (gd) — подгруппа порядка р"Я, порожденная gd в мультипликативной группе ZN кольца классов вычетов по модулю N. Пусть Пк = gkD0; к = 0,1,...,ё — 1 и ртВк = {рта|а еDk}, т = 0,1,..", где умножение выполняется в кольце ZN, тогда порядок
|р^к| = р" тЯ. Как и в [1], Dk — назовем обобщенными циклотомическими классами. Согласно [1],
справедливы разбиения
ё-1 " ё-1
ZN =YDк и ZN = ууpmDk и {0}.
к=0 т=0 к=0
Линейная сложность последовательностей, сформированных на основе обобщенных циклотомических классов, исследовалась в целом ряде работ, обзор которых приведен в [3] . В частности, в [4] была изучена
линейная сложность ряда обобщенных циклотомических последовательностей с периодом N = рп+1 на основе классов шестеричных вычетов ( = б), в заключение работы [4] отмечено, что также представляет интерес исследование линейной сложности обобщенных циклотомических последовательностей Холла. Решению этой проблемы и посвящена статья.
Пусть ё = б , то есть р ° 1(шоёб) , тогда справедливо разложение р = А2 + 3В2, где А , В —
целые числа и А ° 1(шоё3) [2].
Рассмотрим последовательность, сформированную по следующему правилу
Г1, если I ° а(шоё N), а е С0 и С и С3,
• =10 0 1 3 (1) [0, в ост. случаях,
где Ск = Dk иPDk и...ир"^Ок.
В [4] был предложен метод вычисления линейной сложности обобщенных циклотомических роследовательностей с периодом N = р"+1. Кратко напомним его основные положения. Пусть Н0 = — подгруппа, порожденная g в поле С¥(р), g является и первообразным корнем по модулю р [5]. Введем
многочлен — T(x) = 2 xl, то есть T(x) — многочлен характеристической последовательности с периодом
feH0
p , соответствующей H 0. Обозначим через ¡3 примитивный корень степени p из единицы в расширении поля GF (2).
Согласно [3], если последовательность сформирована по формуле (1), то её линейная сложность
L =
pn+1 _ -1 _ 1, если Rl/1 ° 0(mod2),
,pn+1 _1
pn+1 _ E
d
pn+2 _ 1 ^ p" _ 1
_ Fp -, если R Л = 1(mod2), n ° 0(mod2),
d(p+1) d(p+1)
(2)
РП+1 _1 _ 1
n+1
где
pn+1 _ Ep
E=
._ F-d(p+1) d(p +1)
_1, если R|/| ° 1(mod2), n ° 1(mod2),
h
2T(b) = 0, h = 0,1,...,5
ie{0,1,3}
F=
h
2T(b^) = 1, h = 0,1,...,5
ie{0,1,3}
Я = (р -1)/6.
2. Линейная сложность обобщенных циклотомических последовательностей Холла
При исследовании линейной сложности обобщённых циклотомических последовательностей Холла ограничимся случаем, когда Я — четное.
Теорема. Если последовательность формируется по правилу (1) при р = Л + 3В2, где Л ° 1(mod 6) и четном значении Я , то при п > 0 её линейная сложность
L=
pn+1 _ 1
2
2( pn+1 _ 1)
если B ° 0(mod12), , если B ° 6(mod 12),
3
pn+1 _ 1, если B ° ±2 (mod6).
Доказательство. Воспользуемся формулой (2), так как Я — четное, то линейная сложность последовательности определяется следующей формулой:
nn+1 _ 1
L = pn+1 _ E—-1 _ 1,
6
где E =
h
(3)
. Значения T (bg ) были вычислены в [5].
2T(bg ) = 0, h = 0,1,...,5 j
ie{0,1,3}
Воспользовавшись ими получаем, что
3, если B ° 0(mod12), E = j 2, если B ° 6(mod12), 0, если B °±2(mod6). Подставляя значения E в формулу (3) и получаем утверждение теоремы.
Результаты расчетов для p = 433,457,601,... (B ° 0(mod12)), p = 109,157,229,... (B ° 6(mod12)), p = 13,97,241,... ( B ° ±2 (mod 6)) подтверждают справедливость теоремы.
Заключение
Таким образом, в статье частично решена проблема, поставленная в [4], а именно рассчитана линейная сложность обобщенных циклотомических последовательностей Холла с периодом рп+1 при р ° 1(mod12). Показано, что последовательности, сформированные по (1) обладают высокой линейной сложностью.
1. Ding C., Helleseth T. New generalized cyclotomy and its applications // Finite Fields. 1998. Appl. 4. P. 140-166.
2. Ireland K., Rosen M. A Classical introduction to modern number theory. Berlin: Springer-Verlag, 1982. 341 p.
3. Edemskiy V.A. About computation of the linear complexity of generalized cyclotomic sequences with period pA(n+1) // Designs, Codes and Cryptography. 2011. Vol. 61. Iss. 3. P. 251-260.
4. Du X., Chen Z. A generalization of the Hall's sextic residue sequences // Information Sciences. 2013. Vol. 222. P. 784-794.
5. Цурина А.С. Линейная сложность шестеричных бинарных последовательностей [Электр. ресурс] // Ученые записки НовГУ. 2015. № 4. URL: http://www.novsu.ru/univer/press/eNotes1/i.1086055/?id=1203418 (дата обращения: 01.10.2017).
References
1. Ding C., Helleseth T. New generalized cyclotomy and its applications. Finite Fields, 1998, appl. 4, pp. 140-166.
2. Ireland K., Rosen M. A Classical introduction to modern number theory. Berlin, Springer-Verlag, 1982. 341 p.
3. Edemskiy V.A. About computation of the linear complexity of generalized cyclotomic sequences with period pA(n+1). Designs, Codes and Cryptography, 2011, vol. 61, iss. 3, pp. 251-260.
4. Du X., Chen Z. A generalization of the Hall's sextic residue sequences. Information Sciences, 2013, vol. 222, pp. 784-794.
5. Tsurina A.S. Lineynaya slozhnost' shesterichnykh binarnykh posledovatel'nostey [Linear complexity of senary binary sequences]. Memors of NovSU, 2015, no. 4. Available at: http://www.novsu.ru/univer/press/eNotes1/i.1086055/?id=1203418 (accessed: 01.10.2017).
n +1
Tsurina A.S. On the linear complexity of generalized cyclotomic Hall's sequences with period p . This article presents
n+1
the results of the calculation of the linear complexity of generalized cyclotomic Hall's sequences with period p . The method of calculation of the linear complexity based on values of a polynomial classical cyclotomic sequences with period p .
Keywords: linear complexity, generalized cyclotomic sequence.
Сведения об авторе. А. С.Цурина — магистрант, Институт электронных и информационных систем, направление «Прикладная математика и информатика»; [email protected]. Статья публикуется впервые. Поступила в редакцию 29.11.2017.
