CC BY
6
УДК 519.7
ЗАМЕТКИ О ЛИНЕЙНОЙ СЛОЖНОСТИ СБАЛАНСИРОВАННЫХ ЦИКЛОТОМИЧЕСКИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
Н.С.Соколовский, М.А.Колесников
NOTES ABOUT THE LINEAR COMPLEXITY OF BALANCED CYCLOTOMIC SEQUENCES OF ORDER SIX
N.S.Sokolovskii, M.A.Kolesnikov
Институт электронных и информационных систем НовГУ, sokolovskiy.nikita@gmail.com
Вычислена линейная сложность семейства сбалансированных бинарных последовательностей, сформированных на циклотомических классах шестого порядка.
Ключевые слова: линейная сложность, конечное поле, циклотомические последовательности
In this paper, we derived the linear complexity of a family of balanced binary sequences based on cyclotomic classes of order six.
Keywords: linear complexity, finite field, cyclotomic sequences
Введение
Дискретно-кодируемые (кодовые) последовательности применяются при построении математических моделей дискретных сигналов для систем связи, передачи информации и др., в частности, для этого часто используют бинарные последовательности. Линейная сложность и сбалансированность являются важными характеристиками бинарных последовательностей. Сбалансированные последовательности с высокой линейной сложностью важны для криптографических приложений [1]. Один из широко применяемых методов синтеза последовательностей основан на использовании циклотомических классов, в этом случае последовательности называются цикло-томическими [1]. Линейная сложность циклотомиче-ских последовательностей над полем второго порядка хорошо изучена. В последнее время был опубликован ряд работ, посвященных иследованию линейной сложности циклотомических последовательностей над произвольным конечным полем. В частности, линейная сложность последовательностей Холла, формируемых на циклотомических классах шестого порядка, была изучена в [2,3] над произвольным полем.
В данной работе исследуется линейная сложность над конечным полем порядка большего трех сбалансированных циклотомических последовательностей шестого порядка, сформированных другим способом.
1. Основные определения
Пусть р — простое число вида p = 1(mod d), где d — натуральное число, положим R = (p -1)/ d . Обозначим через 8 — примитивный корень по модулю р [4]. Здесь и далее через 8 mod p будем обозначать наименьший неотрицательный вычет 8 по модулю р. Все ненулевые вычеты по модулю р могут
быть разделены на d классов смежности Н1, 0 < 1 < d -1, каждый из которых содержит R элементов. Подгруппа Н0 состоит из степеней порядка d по
модулю р и Н1 получаются как в1 Н0, где все действия выполняются в кольце 2 р. Классы смежности Н1 также называют циклотомическими классами порядка d по модулю р [1]. Таким образом, имеем следующее разбиение 2р = Н0 и• • •и Нй-1 и{0} .
Пусть d = 6 и последовательность 8 сформирована по правилу:
Г1, если 1 е Н0 и Н1 и Н2,
[0, иначе.
и 8 (х) = 50 + ^Х +... + 5р-1ХР-1 .
Пусть а — примитивный корень степени р из единицы в расширении конечного поля GF(д), где q > 3 — простое число. Согласно [2], линейная сложность последовательности 8 определяется числом нулей многочлена Б(х) на множестве |ае ^ = 0,1,.. ,5^, т. е.
(1)
L(s) = p-|{k| S(а8 ) = 0, k = 0,1,...,5}|(p-1)/6-Д (2)
где
Д =
Введем
1, если S(1) = 0, 0, если S(1) * 0. дополнительный
многочлен
Sd (x)=^ X . Согласно определению и введенным
ie-H)
обозначениям, имеем:
5(а*)= 86И+86(ал)+) (3)
и если vеHk, k = 0,1,2,3,4,5, то 8(ау) = Б(ав) [2].
Метод вычисления значений (ау) рассмотрен в [5,2]. Обозначим через (1,j)т, 1, уеЖ циклото-
мические числа порядка d [6]. Тогда, согласно [2], для у,k = 0,...Д-1 имеет место следующее соотноше-
ние:
d-1
Sd (а9' )Sd (а^) = £ (k - у', f)dSd (а9'"')+8, (4)
/=о
Р-1
где 8 = <Г = 'если ^ = 0(mod2), к = у или Л = 1(тоа2),
[о, в остальных случаях. Также отметим, что
,9\ , о /1.92
|=-1 и
95
S3(а) + S3(а9)+ S3(а92 )= S6(а)+S6 (а9 )+...+S6 (а95 )=-1. (5)
2. Линейная сложность последовательности
Формулы для вычисления циклотомических чисел шестого порядка зависят от Вmod3 [6].
Рассмотрим сначала случай, когда В = 0(mod 3). Лемма 1. Пусть {&)} определена по (1), р = Л2 + 3В2, А =1(той 3) и В = 0(mod 3). Тогда: 1. Если р = 7(mod 12), то
Наоборот, если р = -1(mсdц) и В = 0(mod ц),
то по лемме 1 ^а9)) + S(а9 )= 0 для любого к , значит среди значений £(а9)=-1 при к = 0,1,..,5 три нуля и по (2) при выполнении этих условий L = (р-1)/2+1.
2) Среди значений £ (а9 ) при к = 0,1,..,5 два нуля. Пусть £(а9к )= 0, £(а9к+' )= 0 или £(а9к )= 0,
( 9к+2\
£ 1а 1= 0, тогда получаем системы
2в(- £3 (а9к)+ £3 (а9к+2 )/3 - (р +1) / 4 = 0 2В(- £3 (а9к+')+ £3 (а9к ))/3 - (р +1) / 4 = 0
2В(- £3 (а9к)+ £3 (а9к+2|/3 - (р +1) / 4 = 0 2В(- £3 (а9к+2)+ £3 (а9к+1 ])/ 3 - (р +1) / 4 = 0. Следовательно, £3(а9 )=-1/3 или В = 0(modц) и
/ 9к+2 \
£3^а ]=-1/3 или В = 0(modq) соответственно. Вариант, когда В = 0(mod ц) был исследован ранее. С другой стороны, согласно [7] 53(а9к)£3(а9 )£3(а9к ) корни
(6)
или
^(с/ ))2+ £(а9)=-(2В/3)£3(а9к)+ (2В/3)£3(а9к+2)-(р+1)/4. многочлена г3 + г 2 - ((р-1)/3)г - (3 р+Ьр-1)/27 = 0.
2. Если р = 1(mod 12), то
^(а9к ))2+ £(а9 )= (2В/3)£3(а9к)- (2В/3)£3(а9+2)+ (р-1)/4.
Лемма 1 следует из соотношений (3)-(5) и свойств циклотомических чисел шестого порядка.
Теорема 1. Пусть {&)} определена по (1),
р = А2 + 3В, А = ¡(тс^ 3) и В = 0(mod 3). Тогда:
1. Ь = (р-1)/2, если р = 1(mсd12), р = 1(mсdq) и В = 0(mсd ц).
2. Ь = (р-1)/2+1, если р = 7(mсd12), р = -1(mсdq) и В = 0(mсdq).
3. Ь = 2( р-1)/3+1, если А = 0(mсd ц) и р = 1(mсd12), р = 9(mсd ц) или р = 7(mсd12), р = -9(mсdq).
4. Ь > 5( р -1)/6 в остальных случаях. Доказательство. Докажем теорему для
р = 7(mod 12). Согласно определению
£ (а9к)+ £(а9к+3 )= -1, к = 0,1,..,5 . Таким образом, число
нулей среди значений £(а9)=-1 при к = 0,1,..,5 не
может быть больше трех.
1) Пусть среди значений £ (а9 ) при к = 0,1,..,5
три нуля. По лемме 1 имеем следующую систему уравнений
2В(- £3(а)+£3(а92 ))/3-(р +1)/4 = 0, 2в(- £3(а9)+ £3(а))/3-(р+1)/4 = 0,
Подставляя полученные значение в многочлен, получаем, что Ь = 0(mсd ц), а так как Ь = -2А [6], то
/ 9к+1\ / 9к+2\
А = 0(mod ц). Таким образом, £3 |сх ) и £3 (а. ) или £3(а9 ) и £3(а9 ) будут корнями уравнения
9г2 + 6г - 3р+1 = 0 .
Рассмотрим сначала систему (6). При
£3(а9к)=-1/3 имеем, что £3(а9к+2)=(3р + 3)/8В-1/3.
9 +2 2 Подставляя £31а I в уравнение 9г + 6г - 3 р+1 = 0,
получаем, что 27(р+1)2 = 64 рВ2 или 81(р+1)2 = 64 р2, так как р = 3B2(mсdц). Таким образом, 9(р+1) = 8р или 9(р+1) = -8р . В первом случае р = -9(mсd ц), а во втором случае 17р = -9(mсd ц).
Воспользовавшись (4) и формулами для циклотомических чисел шестого порядка, получаем, что сравнение 17р = -9(mod ц) невозможно. Таким образом, получаем необходимые условия: р = -9(modц) и А = 0(modq).
Система (7) исследуется аналогичным образом, здесь также получаем необходимые условия: р = -9(mсdц), А = 0(mсd ц).
Покажем достаточность данных условий. Пусть р = -9(mсd д), А = 0(mсd д), тогда Ь = 0(modq)
£3 (а9к), £3 (а9к+1) £3 (а9к+2)
2в(- £3 (а92)+ £3 (а9))/3- (р +1)/4 = 0. Суммируя, получаем, что 3(р+1)/4=0 , тогда р=-1(modq), так как по условию ц > 3 и В = 0(mсdq).
корни многочлена (z+1/3)(г2 + 2/3z+28/9). Не нарушая общности, можно считать, что £3(а9 )=-1/3, тогда £3(а9к+1 )=-/-3-1/3 и £3(а9к+2 3-1/3 или
£3(а9к+1 )^л/-3 -1/3 и £3(а9к+2)=-Т-3-1/3, где V-3 вычисляется в поле GF (ц).
Согласно (4) имеем, что, если )=-1/3,
^(а^1 )=—/-3 -1/3 и 83(а^+2)=л/-3-1/3, то В = л/-3 .
Тогда (? (авk ))2+ 8 (авk )= 0, (ф^1 ))2+ 8 (а^+1 )= 0 и
8"(ав ))2 + 5"(ав )= 6. Второй случай получается таким же образом.
Следовательно, если р = -9(mod д) и
А = 0(mod д), то среди значений 5"(ав ) при k = 0,1,..,5 два нуля и по (2) L = 2(р-1)/3+1.
Для р = 1(mod 12) теорема 1 доказывается аналогично.
Лемма 2. Пусть } определена по (1),
р = А2 + 3В2 и В = ±1(mod3). Тогда для р = 7(mod 12) получаем, что при В = -1(mod3)
(?(ав ))2 + )=-А+В ^)+А+В ^+2)- (р+1)/4
3 s3 уа )+ з оз\1
(S(a8k ))2 + S(a8k )=AB S3(a8k)-)- (p +1)/4
3
з
при В = 1(mod3).
Таким образом, аналогичные результаты о линейной сложности последовательности {^1} имеют место и при В = ±1(mod3).
Заключение
Исследована линейная сложность семейства сбалансированных бинарных последовательностей, сформированных на циклотомических классах шестого порядка. Определено, когда рассматриваемые последовательности обладают высокой линейной сложностью.
1. Cusick T.W, Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. 474 р.
2. Edemskiy V.A., Sokolovskiy N.S. On the linear complexity of Hall's sextic residue sequences over GF(q) // J. Appl. Math. Comput. 2016. №1. P.1-9.
3. He X., Hu L., Li D. On the GF(p) Linear Complexity of Hall's Sextic Sequences and Some Cyclotomic-Set-Based Sequences // Chin. Ann. Math. 2016. V.37B(4). P.515-522.
4. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 416 с.
5. Едемский В.А. О линейной сложности двоичных последовательностей на основе классов биквадратичных и шестеричных вычетов // Дискр. мат. 2010. Т.22. №1. С.74-82.
6. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970. 423 с.
7. Edemskiy V.A., Sokolovskiy N.S. Notes about the linear complexity of the cyclotomic sequences order three and four over finite fields // International journal of pure mathematics. 2016. Vol.3. Р.46-51.
References
1. Cusick T.W, Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam, Elsevier, 1998. 474 р.
2. Edemskiy V.A., Sokolovskiy N.S.. On the linear complexity of Hall's sextic residue sequences over GF(q). Journal of Applied Mathematics and Computing, 2016, no. 1, pp. 1-9.
3. He X., Hu L., Li D. On the GF(p) linear complexity of Hall's sextic sequences and some cyclotomic-set-based sequences. Chinese Annals of Mathematics, 2016, vol. 37B(4), pp. 515522.
4. Ireland K., Rosen M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer, Berlin, 1982. 416 p. (Russ. ed.: Aierlend K., Rouzen M. Klassicheskoe vvedenie v sovre-mennuiu teoriiu chisel. Moscow, 'Mir" Publ., 1987. 416 p.).
5. Edemskii V.A. O lineinoi slozhnosti dvoichnykh posle-dovatel'nostei na osnove klassov bikvadratichnykh i shes-terichnykh vychetov [On the linear complexity of binary sequences on the basis of biquadratic and sextic residue classes]. Diskretnaia matematika - Discrete Mathematics and Applications, 2010, vol. 20(1), pp. 75-84.
6. Hall M. Combinatorial Theory. Wiley, New York, 1975. 423 p. (Russ. ed.: Kholl M. Kombinatorika. Mosocow, "Mir" Publ., 1970. 423 p.).
7. Edemskiy V.A., Sokolovskiy N.S. Notes about the linear complexity of the cyclotomic sequences order three and four over finite fields. International Journal of Pure Mathematics, 2016, vol. 3, pp. 46-51.
и
