Линейная сложность шестеричных бинарных последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.7

А.С.Цурина

ЛИНЕЙНАЯ СЛОЖНОСТЬ ШЕСТЕРИЧНЫХ БИНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

В данной статье представлены результаты расчета линейной сложности шестеричных бинарных последовательностей, сформированных на основе двух и трех циклотомических классов. Линейная сложность последовательности определяется через разложение её периода на сумму квадратов целых чисел.

Ключевые слова: линейная сложность, шестеричные бинарные последовательности, циклотомические классы

Введение

Ли

инейная сложность последовательности определяется как длина самого короткого линеиного регистра

сдвига с обратной связью, который может генерировать последовательность и является её важным показателем [1]. Последовательности, обладающие высокой линейной сложностью, важны для криптографических приложений. Известны алгоритмы определения минимального многочлена последовательности и её линейной сложности, например алгоритм Берлекэмпа-Месси [1]. В [2] был разработан теоретический метод вычисления линейной сложности циклотомических последовательностей, сформированных на основе классов шестеричных вычетов. Он основан на вычислении значений многочлена, соответствующего классу шестеричных вычетов. Далее, в [3] при исследовании след представления последовательностей на классах степенных вычетов линейная сложность была вычислена для любой бинарной последовательности, сформированной на классе шестеричных вычетов и его классах смежности, при нечетном числе элементов в классе.

Цель настоящей статьи заключается в завершении исследования, начатого в [2,3], то есть в определении линейной сложности любой бинарной периодической последовательности, сформированной на основе классов шестеричных вычетов. Линейная сложность последовательности будет определена через разложение периода последовательности на сумму квадратов целых чисел. Метод исследования основан на найденных в [2] соотношениях для многочлена последовательности, соответствующего классу шестеричных вычетов.

1. Основные определения

Пусть p = 6R +1 — простое число, где R - натуральное четное число. Обозначим через H0 - класс вычетов 6 степени по модулю p, то есть H0 = 06 (mod p), t = 0, R -1}, здесь q - первообразный корень по модулю p [4], k = 0, d — 1. Положим Hs = 0 sH0, где s = 0, d — 1 (все действия выполняются по модулю p), тогда Hi П1Hj = 0, i ^ j и порядок |H; | = R .

Hs - называются классами смежности H0 или циклотомическими классами шестого порядка, при этом

0

справедливо разбиение Zp = (0}oiYd_0Hi. Рассмотрим последовательность X = {x}, сформированную по

следующему правилу:

11, если i(mod p) е Y Hk, xt = i keI , (1)

[0, в ост. случаях.

где I — подмножество множества индексов {0,1,K ,5}.

Обозначим через a примитивный корень степени p из единицы в поле разложения многочлена tp — 1 над полем второго порядка. Пусть S6 (t) = > tn

полем второго порядка. Пусть S6 ^) = ^пеН ^ , 86 (а)— ($6 (а), S6 (ав), К , £6(ае )) и Тх (а) — ^ke/Dk Б6 (а), где О — оператор циклического сдвига матрицы на единицу влево. Тогда, согласно

г Р - 1 л

Ь— Р---А-£,

6

/ ч [1, если S(1) = 0,

где А - число нулей в Тх (а), а £ — <

[0, в ост. случаях.

В рассматриваемом случае всегда 8(1)=0, поэтому

Т Р -1 л

Ь = Р--—А-1. (2)

6

Далле, следующие соотношения для р ° 1(шоё12), р = Л2 + 3 В2, Л ° 1(шоё 6) были доказаны в [5] при условии, что тёв 2 ° 1(шоё 3), то есть В ° 2(шоё 3):

• Б, (а) = (1,0,0,0,0,0) , если Л ° 1(шоё 12) и В ° 0(шоё 12), например, р = 433, 601, 1801, ...

• Б, (а) = (1,1,1,0,1,1) если Л ° 7(шоё12) и В ° 0(шоё12) , например, р = 457, 1753, 1777, ...

• Б,(а) = ((,1,1,( +1,1,1), если Л ° 1(шоё12) и В ° б(шоё12), здесь ( - корень уравнения

.X2 + X +1, например, р = 109, 229, 277,.

• Б, (а) = ((,0,0, ( +1,0,0) если Л ° 7(шоё12) и В ° б(шоё12), например, р =157, 397,

997,.

• Б,(а) = (е, 0, е2 + е +1,0, е2,0), если Л ° 1(шоё12) и В ° 8(шоё12), где е - корень уравнения / (х) = X3 + X2 +1, например, р = 193, 313, 1201, ...

• Б, (а) = (е +1,1, е2 + е,1, е2 +1,1), если Л ° 7(шоё 12) и В ° 8(шоё 12), например, р = 241, 1153, 1249, ...

• Б, (а) = (у, У2, У4, У8, У16, У32), если Л ° 1(шоё12) и В ° 2(шоё12), где у - корень

уравнений х2 + ех + е4 или /(х) = х6 + х5 + х4 + х + 1 = (х2 + ех + е4)(х2 + е2х + е)(х2 + е4х + е2), например, р = 13, 541, 709, ...

• Б, (а) = (у+1, У2 +1, у4 +1, У8 +1, У16 +1, У32 +1), если Л ° 7(шоё12) и В ° 2(шоё12),

где У +1 - корень уравнения /(х) = хб + х5 + х4 + х2 +1 = (х2 + ех + е2)(х2 + е2х + е4)(х2 + е4х + е), например, р = 37, 61, 373,.

2. Линейная сложность последовательностей на основе двух циклотомических классов

Случай, когда последовательность определена на основе одного циклотомического класса был изучен в [5], поэтому сначала рассмотрим вариант, когда последовательность формируется на основе двух циклотомических классов. Как показано в [2], линейная сложность последовательности не меняется при циклическом сдвиге номеров классов. Если /={0,3}, то (1) определяет последовательность кубических вычетов, линейная сложность которой рассмотрена в [3]. Следовательно, достаточно рассмотреть только случаи, когда /={0,1} , /={0,2}.

Теорема 1. Пусть последовательность X сформирована по и р = Л2 + 3В2, Л ° 1(шоё 6). Тогда:

(1) для /={0,1}

Ь =(р-1)

если В ° 0(шоё12);

• Ь = 2(р3 1) , если В ° 6(шоё12)

• Ь = р -1, если В ° 0(шоё 6). Доказательство. Рассмотрим первый

Б6 (а) = (1,0,0,0,0,0)

случай, когда Л ° 1(шоё12) и В ° 0(шоё12), тогда

3

и

Тх (а) = Б6 (а)+ББ6 (а) = (1,0,0,0,0,0)+(0,0,0,0,0,1) = (1,0,0,0,0,1).

Таким образом, в этом случае А = 4 (число нулей) и утверждение теоремы следует из формулы (2). По аналогии рассмотрим второй и последующие случаи.

Если Л ° 7(шоё 12) и В ° 0(шоё 12) ,то Б6 (а) = (1,1,1,0,1,1) и

Тх (а) = Б6 (а)+ББ6 (а) = (1,1,1,0,1,1) + (1,1,0,1,1,1) = (0,0,1, 1,0,0), здесь, как и в первом,

А = 4 . Эти случаи можно обьеденить в один, когда В ° 0(шоё12) и утверждении теоремы следует из (2). Рассмотрим третий и четвертый случаи.

Если Л ° 1(шоё12) и В ° 6(шоё12) ,то 6 (а) = ((,1,1, ( +1,1,1) и

2

Тх (а) = Б6 (а)+Ш6 (а) = ((,1,1,( +1,1,1)+(1,1, ( +1,1,1, () = (( +1,0,(, (,0,( +1), и,

следовательно, А=2. Для четвёртого случая, когда Л ° 7(шоё 12) и В ° 6(шоё 12),

где Б6 (а) = ((,0,0, ( +1,0,0) и

Тх (а) = Б6 (а)+В2 Б6 (а) = ((,0,0, ( +1,0,0) + (0, ( +1,0,0, (,0) = ((, ( +1,0, ( +1, (,0), и число

нулей, так же как и в третьем случае, в Тх (а) равно А = 2, поэтому эти два случая можно объединить в один,

когда В ° 6(шоё12).

Рассмотрим оставшиеся четыре случая.

Если Л ° 1(шоё 12) и В ° 8(шоё 12), то Б6 (а) = (е, 0, е2 + е +1,0, е 2,0) и

Тх (а) = Б 6 (а) + ВБ6 (а) = (е ,0, е2 + е +1,0, е 2,0)+(0, е2 + е +1,0, е 2,0,е) = (е, е2 + е + 1,е2 + е +1, е 2,е2, е) и А = 0.

Если Л ° 7(шоё12) и В ° 8(шоё12) ,то Б6 (а) = (е +1,1, е2 + е,1, е2 +1,1) и

Тх (а) = Б 6 (а)+ББ 6 (а) = (е +1,1, е2 + е ,1,е2 +1,1)+(1,е2 + е ,1,е2 +1,1, е +1) =

е), и А = 0.

У2, У4, У8, У16, У32)

Тх (а) = Б 6 (а) + ББ 6 (а) = (у , У2, У4, У8, У1б, У32 )+(у2, У4, У 8,у1б, У 32,У) = (у2 + У,У2 + У4,У4 + У8,У8 + У16,У16 + У32,У32 + у), и А = 0.

Если Л ° 7(шоё12) и В ° 2(шоё12), то Б6(а) = (у+1, у2 +1, у4 +1, у8 +1, у16 +1, у32 +1) и Тх (а) = Б 6 (а) + ВБ6 (а) = (у +1, у2 +1, у4 + 1,у8 +1, у16 +1, у32 +1)+

(у2 +1,У4 + 1,У8 +1,У16 +1,У32 +1,У +1) = (у2 + У,У2 + У4,У4 + У8,у8 + у16,у16 + У32,У32 + у), и А = 0.

(е + 1,е2 + е, е2 + е ,е 2,е2

Если Л ° 1(шоё 12) В ° 2(шоё 12), то Б6(а) = (у, у2, у4,у8, у16, у32) и

Для четырех вышеприведенных случаев видно, что число нулей в Тх (а) равно А = 0 , поэтому их

объединим в один при В ° 0(шоё 6) и утверждение теоремы следует из формулы (2). Таким образом, теорема 1 доказана.

Ниже приведена таблица, поясняющая первую теорему на числовых значениях.

Таблица 1

Численные примеры для Теоремы 1.

р Ь р Ь р Ь р Ь

433 144 457 152 109 72 157 104

601 200 1753 584 229 152 397 264

1801 600 1777 592 277 184 997 664

р Ь р Ь р Ь р Ь

193 192 241 240 13 12 37 36

313 312 1153 1152 541 540 61 60

1201 1200 1249 1248 709 708 373 372

Результататы расчета линейной сложности по алгоритму Берлекэмпа-Месси, представленные в таблице 1, подтверждают справедливость теоремы 1.

Рассмотрим теперь последовательность для /={0,2}.

Теорема 2. Пусть последовательность X сформирована по (1) для /={0,2} и р = Л2 + 3В2, Л ° 1(шоё 6). Тогда:

ь = <р^>

если В ° 0(шоё 12);

• Ь = 2(р3 1) , если В ° б(шоё 12);

3

• Ь = (Р 2 1)1 , если В ° 8(шоё 12);

• Ь = р -1, если В ° 2(шоё12).

Доказательство. Рассмотрим первый случай, если А ° 1(шоё12) и В ° 0(шоё 12), то (а) = (1,0,0,0,0,0) и Тх (а) = ^ (а)+Б X (а) = (1,0,0,0,0,0)+(0,0,0,0,1,0) = (1,0,0,0,1,0), А = 4. Если А ° 7(шоё12) и В ° 0(шоё12), то £6 (а) = (1,1,1,0,1,1) и

Тх (а) = £6 (а) + Б2 £6 (а) = (1,1,1,0,1,1)+ (1,0,1,1,1,1) =(0,1,0,1,0,0), и в этом случае, как и в первом, А = 4 . Следовательно, для В ° 0(шоё12) утверждении теоремы следует из (2).

Если А ° 1(шоё 12) и В ° 6(шоё12), то £6 (а) = («,1,1,« +1,1,1) и Тх (а) = 5 6 (а) + Б2 £ 6 (а) = («,1,1,« +1,1,1) + (1,« +1,1,1, «,1) = (« +1, «,0,«,« +1,0), и А = 2.

Для четвёртого случая, когда А ° 7(шоё 12) и В ° б(шоё12), £6 (а) = («,0,0,« +1,0,0) и Тх (а) = £6 (а)+Б2 £6 (а) = («,0,0,« +1,0,0) + (0,« +1,0,0, «,0) = («,« +1,0,« +1, «,0), число нулей, так же как и в третьем случае, в Тх (а) равно А = 2, поэтому эти два случая можно объединить в один, когда В ° б(шоё 12).

Аналогично рассматриваем оставшиеся случаи.

Если А ° 1(шоё12) и В ° 8(шоё12), то £6 (а) = (е, 0, е2 + е +1,0, е 2,0) и

Тх (а) = (а)+Б2 (а) = (е ,0, е2 + е +1,0, е 2,0)+(е2 + е +1,0, е 2,0, е ,0) = (е2 +1,0, е +1,0, е2 + е ,0), А = 3.

Если А ° 7(шоё12) и В ° 8(шоё12), то £6(а) = (е +1,1, е2 +е,1, е2 +1,1) и Тх (а) = £6 (а)+Б2 £6 (а) = (е +1,1, е2 + е ,1, е2 +1,1)+(е2 + е ,1, е2 +1,1, е +1,1) = (е2 +1,0,е +1,0,е2 + е,0), и А = 3.

Пятый и шестой случаи можно объеденить в один, когда В ° 8(шоё12) , так как А=3 и утверждение теоремы следует из (2).

Если А ° 1(шоё12) и В ° 2(шоё12), то £6(а) = (у, у2, у4,у8, у16, у32) и Тх (а) = £ 6 (а)+Б2 ^ (а) = (у, у2, у4, у8, у1б, у32 )+(у4, у8, у1б, у32, у, у2)=

(у + у4,у2 + у8,у4 + у16,у8 + у32,у16 + у,у32 + у2), и А = 0.

Если А ° 7(шоё12) и В ° 2(шоё12), то £6(а) = (у+1, у2 +1, у4 +1, у8 +1, у16 +1, у32 +1) и Тх (а) = £6 (а) + Б2 ^ (а) = (у + 1,у2 +1, у4 +1, у8 +1, у16 +1, у32 +1)+

(у4 +1,у8 +1,у16 +1,у32 +1,у +1,у2 +1) = (у + у4,у2 + у8,у4 + у16,у8 + у32,у16 + у,у32 + у2), и А = 0.

Седьмой и восьмой случаи тоже можно обьеденить, когда В ° 2(шоё12), так как А=0 и утверждение теоремы следует из (2). Теорема 2 доказана.

Ниже приведена таблица, поясняющая вторую теорему на числовых значениях.

Таблица 2

Численные примеры примеры для Теоремы 2.

р Ь Р Ь Р Ь Р Ь

433 144 457 152 109 72 157 104

601 200 1753 584 229 152 397 264

1801 600 1777 592 277 184 997 664

Р Ь Р Ь Р Ь Р Ь

193 96 241 120 13 12 37 36

313 156 1153 576 541 540 61 60

1201 600 1249 624 709 708 373 372

Ученые записки Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого. № 4. 2015 ' -

Результататы расчета линейной сложности по алгоритму Берлекэмпа-Месси, представленные в таблице 2, подтверждают справедливость теоремы 2.

3. Линейная сложность последовательностей на основе трех циклотомических классов

Если d = 6 и порядок|/| = 3 , то возможны четыре циклически независимые подмножества индексов:

I е {{0,1,2}, {0,1,3}, {0,1,4},{02,4}}. Вариант {0,1,4} сводится к {0,1,3} заменой в на в. При / ={0,2,4} получаем последовательность Лежандра, линейная сложность которой известна [6]. Таким образом, необходимо рассмотреть два варианта: /={0,1,2} и /={0,1,3}.

Теорема 3. Пусть последовательность X сформирована по (1) для /={0,1,2} . Тогда:

• Ь = Р-1, если В ° 0(шоё 12);;

• Ь = р-1, если В ° 0(шоё12).

Доказательство. Рассмотрим первый случай, если А ° 1(шоё12) и В ° 0(шоё 12), то Б6 (а) = (1,0,0,0,0,0) и

Тх (а) = Б6 (а)+ББ6 (а)+Б2 Б6 (а) = (1,0,0,0,0,0)+(0,0,0,0,0,1)+(0,0,0,0,1,0) = (1,0,0,0,1,1). Таким образом, в этом случае А = 3.

Если А ° 7(шоё12) и В ° 0(шоё12), то Б6(а) = (1,1,1,0,1,1) и

Тх (а) = Б6 (а) + ББ6 (а) + Б 2Б6 (а) = (1,1,1,0,1,1) +(1,1,0,1,1,1) +(1,0,1,1,1,1) = (1,0,0,0,1,1), и в этом

случаи, как и в первом, А=3, поэтому эти два случая мы обьеденим в один, когда В ° 0(шоё 12) и утверждении теоремы следует из (2).

Если А ° 1(шоё12) и В ° б(шоё12), то Б6 (а) = ((,1,1, с +1,1,1) и Тх (а) = 5 6 (а) + ББ 6 (а)+Б2 £ 6 (а) = (с ,1,1,с +1,1,1)+(1,1,с +1,1,1,с )+(1,с +1,1,1,с ,1) = (с + 1,с +1, с + 1,с, с), и А = 0.

В четвертом случае, когда А ° 7(шоё 12) и В ° б(шоё12), где Б6(а) = (с,0,0,с +1,0,0) и Тх (а) = Б 6 (а) + ББ 6 (а)+Б2 Б 6 (а) = (с ,0,0, с +1,0,0)+(0,0, с +1,0,0, с )+(0,с +1,0,0, с,0) = (с, с +1, с +1, с +1, с, с), следовательно, А = 0.

Если А ° 1(шоё12) и В ° 8(шоё12), то Б6(а) = (е, 0, е2 + е +1,0, е2,0) и Тх (а) = Б6 (а)+ББ6 (а)+Б2 Б6 (а) = (е ,0, е2 + е +1,0, е 2,0)+(0, е2 + е +1,0, е 2,0, е)+ (е2 + е +1,0,е2,0,е,0) = (е2 +1,е2 + е +1,е +1,е2,е2 + е,е), и А = 0.

Если А ° 7(шоё12) и В ° 8(шоё12), то Б6(а) = (е +1,1, е2 +е,1, е2 +1,1) и Тх (а) = Б 6 (а)+ББ 6 (а)+Б2 Б 6 (а) = (е +1,1, е2 + е ,1,е2 +1,1)+(1, е2 + е ,1,е2 +1,1, е +1)+ (е2 + е,1,е2 +1,1,е +1,1) = (е2, е2 + е,е,е2 +1,е2 + е +1,е +1), и А = 0.

Если А ° 1(шоё12) и В ° 2(шоё12), то Б6(а) = (у, у2, у4,у8, у16, у32) и Тх (а) = Б6 (а) + ББ 6 (а)+Б2 ^ (а) = (у,у2, у4, у8, у 1б,у32 )+(у2, у4, у8, у1б, у 32,у )+(у4, у8, у1б, у32, у ,у2) = (у2 + у + у4,у2 + у4 + у8,у4 + у8 + у16,у8 + у16 + у32,у16 + у32 + у,у32 + у + у2), и А = 0.

Если А ° 7(шоё12) и В ° 2(шоё12), то Б6(а) = (у +1, у2 +1, у4 + 1,у8 +1, у16 +1, у32 +1) и Тх (а) = Б 6 (а)+ББ 6 (а)+Б2 Б 6 (а) = (у+1,у2 + 1,у4 +1, у8 +1, у16 +1, у32 +1)

+ (у2 + 1,у4 +1, у8 + 1,у16 +1, у32 +1, у+1)+(у4 +1, у8 + 1,у16 + 1,у32 +1, у+1,у2 +1) =

(у2 + у + у4 +1, у2 + у4 + у8 + 1,у4 + у8 + у16 + 1,у8 + у16 + у32 + 1,у16 + у32 + у + 1,у32 + у + у2 +1), и А = 0.

Во всех случаях, кроме первого и второго, А=0. Все эти случии мы обьеденим при В ° 0(шоё12)и утверждение теоремы следует из (2), что и тебовалось доказать.

Ниже приведена таблица, поясняющая третью теорему на числовых значениях.

Таблица 3

Численные примеры для Теоремы 3.

Р Ь Р Ь Р Ь Р Ь

433 216 457 228 109 108 157 156

601 300 1753 876 229 228 397 396

1801 900 1777 888 277 276 997 996

Р Ь Р Ь Р Ь Р Ь

193 192 241 240 13 12 37 36

313 312 1153 1152 541 540 61 60

1201 1200 1249 1248 709 708 373 372

Результататы расчета линейной сложности по алгоритму Берлекэмпа-Месси, представленные в таблице 3, подтверждают справедливость теоремы 3.

Рассмотрим последовательность для 1={0,1,3}.

Теорема 4. Пусть последовательность X сформирована по (1) для 1={0,1,3}. Тогда:

Ь = Р-1

если В ° 0(шоё 12);

и в

• Ь = 2(Р3 1) , если В ° б(шоё 12);

• Ь = Р -1 , если В ° 0(шоё12). Доказательство. Рассмотрим первый случай, если А ° 1(шоё12) и В ° 0(шоё 12), то

£6 (а) = (1,0,0,0,0,0) и

Тх (а) = £6 (а)+Б£6 (а)+Б 3£6 (а) = (1,0,0,0,0,0)+(0,0,0,0,0,1)+(0,0,0,1,0,0) = (1,0,0,1,0,1), тогда А = 3 .

Если А ° 7(шоё12) и В ° 0(шоё12), то £6 (а) = (1,1,1,0,1,1)

Тх (а) = £6 (а)+Б£6 (а)+Б3£6 (а) = (1,1,1,0,1,1)+(1,1,0,1,1,1)+(0,1,1,1,1,1) = (0,1,0,0,1,1), и

этом случаи, как и в первом, А=3, эти два случая мы обьеденим в один, когда В ° 0(шоё12) и утверждении теоремы следует из (2).

Если А ° 1(шоё 12) и В ° 6(шоё 12), то £6 (а) = («,1,1,« +1,1,1) и Тх (а) = £ 6 (а)+Б£ 6 (а)+Б3 £ 6 (а) = («,1,1,« +1,1,1)+(1,1,« +1,1,1,«) + (« +1,1,1,«,1,1) = (« +1,0, «,«,0,« +1), и А = 2.

При А ° 7(шоё12) и В ° 6(шоё 12), где £6 (а) = («,0,0,« +1,0,0) и

Тх (а) = £ 6 (а) + Б£ 6 (а)+Б3 £ 6 (а) = («,0,0,« +1,0,0)+(0,0,« +1,0,0,«) + (« +1,0,0, «,0,0) = (1,0,« +1,1,0,«). Здесь А = 2, поэтому этот и предыдущий случая можно обьеденить в один, когда В ° 6(шоё 12).

Если А ° 1(шоё12) и В ° 8(шоё12), то £6 (а) = (е, 0, е2 + е +1,0, е 2,0) и Тх (а) = £6 (а) + Б£6 (а)+Б3 £6 (а) = (е ,0, е2 + е +1,0, е 2,0)+(0, е2 + е + 1,0,е 2,0, е )+(0, е 2,0, е ,0, е2 + е +1)

= (е, е +1, е2 + е +1,е2 + е,е2, е2 +1), и А = 0.

Если А = 7(шоё 12) и В ° 8(шоё12), то £6 (а) = (е +1,1, е2 + е ,1, е2 +1,1)

Тх (а) = £ 6 (а)+Б£ 6 (а)+Б3 £6 (а) = (е +1,1, е2 + е ,1, е2 +1,1)+(1,е2 + е ,1,е2 +1,1, е +1)+ (1,е2 +1,1, е +1,1, е2 + е), и А = 0.

2

и

Ученые записки Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого. № 4. 2015. I '

Если А ° 1(шоё12) и В ° 2(шоё12), то £6(а) = (у, у2, у4,у8, у16, у32) и Тх (а) = £ 6 (а)+ББ 6 (а)+Б3 £ 6 (а) = (у, у2, у4, у8, у1б, у32 )+(у2, у4, у8, у1б, у32, у )+(у8, у1б, у32, у, у2, у4) = (у2 + у + у8, у2 + у4 + у16, у4 + у8 + у32, у8 + у16 + у, у16 + у32 + у2, у32 + у + у4), и А = 0.

Если А ° 7(шоё12) и В ° 2(шоё12), то £6(а) = (у+1, у2 +1, у4 +1, у8 +1, у16 +1, у32 +1) и Тх (а) = £6 (а)+Б^ (а)+Б X (а) = (у +1, у2 +1, у4 +1, у8 + 1,у16 + 1,у32 +1)

+ (у2 + 1,у4 +1, у8 + 1,у16 +1, у32 +1, у+1)+(у8 + 1,у16 + 1,у32 +1, у+1, у2 + 1,у4 +1) =

(у2 + у + у8 + 1,у2 + у4 + у16 +1, у4 + у8 + у32 + 1,у8 + у16 + у+1,у16 + у32 + у2 + 1,у32 + у + у4 +1), и А = 0.

Последние случаи, с пятого по восьмой включительно, можно обьеденить в один, когда В ° 0(шоё12) , так как А=0 и утверждение теоремы следует из (2). Теорема 4 доказана.

Ниже приведена таблица, поясняющая четвертую теорему на числовых значениях.

Таблица 4

Численные примеры для Теоремы 4.

p L P L P L P L

433 216 457 228 109 72 157 104

601 300 1753 876 229 152 397 264

1801 900 1777 888 277 184 997 664

P L P L P L P L

193 192 241 240 13 12 37 36

313 312 1153 1152 541 540 61 60

1201 1200 1249 1248 709 708 373 372

Результататы расчета линейной сложности по алгоритму Берлекэмпа-Месси, представленные в таблице 4, подтверждают справедливость теоремы 4.

Таким образом, значения £6 ^ав / = 0,5 позволили рассчитать линейную сложность шестеричной

бинарной последовательности, сформулированной по (1) на основе классов шестеричных вычитов, в зависимости от разложения Р = А2 + 3В2, при В ° 2(шоё 3).

Заключение

В работе было завершено исследовании, начатое в [2, 3]. Определена линейная сложность последовательностей, формируемых на основе двух и трех циклотомических классов, через разложение периода последовательности на сумму квадратов целых чисел.

1. Cusick T. W, Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. 474 р.

2. Едемский В.А. О линейной сложности двоичных последовательностей на основе классов биквадратичных и шестеричных вычетов // Дискретная математика. 2010 . Т. 22. Вып. 1 . С. 74-82.

3. Dai Z., Gong G., Song H.-Y., Ye D. Trace Representation and Linear Complexity of Binary eth Power ResidueSequences of Period p. // IEEE Trans. Inf. Theory. 2011. V. 57. P. 1530-1547.

4. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир, 1987. 416 с.

5. Едемский В.А., Гантмахер В.Е. Синтез двоичных и троичных последовательностей с заданными ограничениями на их характеристики. Великий Новгород.: НовГУ, 2009. 189 с.

6. Ding C., Helleseth T., Shan W. On the linear complexity of Legendre sequences// IEEE Trans. Inform. Theory. 1998. Vol. 44. P. 1276-

1278.

References

1. Cusick T. W, Ding C., Renvall A. Stream Ciphers and Number Theory. Amsterdam: Elsevier, 1998. 474 р.

2. Edemskii V.A. On the linear complexity of binary sequences on the basis of biquadratic and sextic residue classes. Discret. Math. Appl., 2010, vol. 20, no. 1, pp. 75-84.

3. Dai Z., Gong G., Song H.-Y., Ye D. Trace Representation and Linear Complexity of Binary eth Power ResidueSequences of Period p. IEEE Trans. Inf. Theory, 2011, vol. 57, pp. 1530-1547.

4. Ireland K., Rosen M. A. Classical Introduction to Modern Number Theory. Springer, Berlin, 1982. 416 p.

5. Edemskiy V.A., Gantmakher V.E. Sintez dvoichnykh i troichnykh posledovatel'nostey s zadannymi ogranicheniyami na ikh kharakteristiki. Velikiy Novgorod, NovGU, 2009. 189 p.

6. Ding C., Helleseth T., Shan W. On the linear complexity of Legendre sequences. IEEE Trans. Inform. Theory, 1998. , vol. 44, pp. 12761278.

Tsurina A.S. the linear complexity of sextuple binary sequences. This article presents the results of the calculation of the linear complexity of sextuple binary sequences formed on the basis of two or three cyclotomic classes. The linear complexity of the sequence is determined by the expansion of its period, the sum of squares of integers.

Keywords: linear complexity, sextuple binary sequences, cyclotomic classes.

Сведения об авторе. А.С.Цурина — студент 3 курса, Институт электронных и информационных систем НовГУ, направление «Прикладная математика и информатика», aleksandra. curi [email protected].

Статья публикуется впервые. Поступила в редакцию 10.12.2015.