О квазипериодических решениях дифференциальных уравнений 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.925.52

О КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ - 2

© С.М. Дзюба, Т. Б. Заусонина

Dzyuba S.M., Zausonina T.B. On a quasiperiodic solutions of differential equations - 2. The article proposes a new definition of quasiperiodic solutions of normal systems of ordinary differential equations. The existence theorem of quasiperiodic solutions is proved and its typical behavior is stated.

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим нормальную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, векторная запись которой имеет вид

Х = fit, X) ,

(1)

где х = (х1 ,...,хп) - векторная функция действительного переменного а / = (/'- векторная

функция, определенная и непрерывная вместе со своими частными производными

Э/' . . ,

-------, і, / =

dxJ

на прямом произведении К хХ действительной оси К и некоторого открытого подмножества X евклидова векторного пространства К" Кроме того, будем считать, что функция / периодична по / с периодом, равным единице.

Вопрос о существовании у системы (1) периодических решений весьма важен как для собственно теории дифференциальных уравнений, так и для приложений Одним из основных результатов здесь является следующее утверждение, принадлежащее Х.Л. Массера (см. [1 или 2]). Пусть порядок п системы (1) равен двум и каждое решение этой системы определено

для всех значений ? > ?0 . Тогда, если система (1) имеет некоторое решение, ограниченное при этих значениях Г, то данная система имеет также и периодическое решение ф(/) периода, равного единице. В многомерном же нелинейном случае, как известно, из существования у системы (1) ограниченного решения следует существование только лишь инвариантного интегрального множества (см., например. [3]). Вместе с тем в работах [4-6] показано, что последнее утверждение может быть утотаено. Именно, в общем случае из существования у системы (1) ограниченного решения 2,(0 следует существование квазипериодического решения ф(/). Оказалось, однако, что результаты,

приведенные в [4-6], носят не вполне законченный характер и могут быть усилены.

Основная цель настоящей работы - дальнейшее развитие результатов работ [4-6]. Данное развитие следует работе [6] и основано на новом по сравнению с [4, 5] определении квазипериодического решения. Это определение не только даег возможность несколько продвинугься в указанном направлении, но и позволяет в известной мере по-новому взглянуть на структуру предельных множеств, содержащихся в ограниченной области.

ОГРАНИЧЕННЫЕ И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Прежде всего, введем следующее

Определение 1. Пусть ф(/) - некоторое решение системі,і (1), определенное для всех значений Г Є К и ограниченное при этих значениях I. Решение ф(/)

назовем квазипериодическим, если для каждого положительного числа е можно указать такое натуральное число Лге, что при / є К выполнено неравенство

|ф(Г)-(ф(/ + Л'Е)|

< £ .

Несложно заметить, что простейшим примером квазипериодического решения может служить периодическое решение рационального периода. В качестве несколько менее тривиального примера отметим иррациональную обмотку тора. Существование же квазипе-риодических решений в общем случае устанавливает Теорема 1. Пусть ^(/) - некоторое решение системы (1), определенное для всех значений / > 0 и ограниченное при I >0 . Тогда система (1) имеет также и квазипериодическое решение ф(?). Более подробно, из каждой последовательности

NX,N2............Nk,..„ llin Nk

k—^oо

натуральных чисел можно выбрать такую ее

Mkl,Nki.Nki.lim Nk/ =°o ,

(2)

(3)

Нт гф + Ык -1) = ф(0 (4)

/-» о»

равномерно на каждом из отрезков [а, Ь] а К и Нт ф(Г + N. -N,1) = ф(0 (5)

/—>ео "1 '

равномерно на всей оси К. Если при этом решение.

ограничено на всей оси К, то подпоследователь-

ность (3) может быть выбрана так, что наряду с (4) «(5)

равномерно на каждом из отрезков [а, Ь] С К и

(6)

(7)

последовательности (8) выберем подпоследовательность

ХЩ 'ХЫ1<-"’ХМк ’

(10)

Поскольку множество!; компактно, множество (10) равномерно ограничено на отрезке [0, 1]. Кроме того, поскольку оператор £ непрерывен по г, из равенства (9) следует, что тожество (8) и, следовательно, (10) равностепенно непрерывно на [0, I]. Поэтому из этого множества можно выбрать равномерно сходящуюся на отрезке [0, 1 ] последовательность

(П)

пределом которой является функция ф , определенная и непрерывная для всех значений 0 < / < 1, т. е.

Ііт хы (/) = ф(/)

равномерно на всей оси К, где \|/(?) - некоторое ква-зипериодическое решение системы (1).

Доказательство. Прежде всего, заметим, что в некоторой окрестности Т каждой точки Ґ0 є К. определен оператор сдвига gt~t^> интегральным кривым х(ґ) системы (1). Этот оператор непрерывен по / во всех точках множества X, непрерывно отображает X в себя при ? Є Т и (по определению) задается равенством

г

g^-^ох(Г0) = х(?0) + I/От,х(т))Л .

10

Пусть х0 - некоторая точка множества X и х\ (О ~ решение системы (1) с начальным условием

*1 (0) = х0 ,

определенное для всех значений І є К и при Г > 0 содержащееся в некотором компактном множестве £сХ Для всех значений (е К положим

хы(?) = х, (? + (Л,г-1)), Л^ = 1,2,3,...

(8)

Тогда, очевидно, при этих значениях / и N имеет место равенство xN(t) = gt(g'...g^)x0,

ы-\

которое, как легко видеть, может быть переписано в следующем эквивалентном виде:

% (О = Я'%((>)■

(9)

Пусть теперь (2) - произвольная последовательность натуральных чисел, в соответствие с которой из

равномерно на [0, 1]. При этом функция ф содержится в Ю -предельном множестве

12 = П 1) х, (Г + Т)

(>0 т>(

сужения решения х,(/) на полуось [0,») (см. [3, с. 101]).

Поскольку при (е К оператор ^ непрерывно отображает множество 12 в себя, заметим, что

Нт я'хд, (0) = £'ф0

/_»« ч

равномерно на [0, 1], где ф(| - точка множества 12 , такая, что

<р(0) = фо

(12)

Тогда, переходя в формуле (9) к пределу при ДГ _). оо вдоль множества (11), получим равенство

ф(О=£'ф0>

справедливое для всех значений 0 < Г < 1 и означающее, что ф(?) - непрерывно дифференцируемое решение системы (1) с начальным условием (12).

Для простоты будем считать, что выбранная подпоследовательность (11) совпадает с последовательностью (10). Обозначим через

Л(^),Л(Л/2Х...,Д(Л^),

(13)

множество, элементы которого при всех значениях Ыи из тожества (2) определим по формуле

MNk) = Nk+,-Nk.

При этом будем считать, что

Нт Д( Ык) = °°; к—

последнего всегда можно добиться, удалив из тожества (10) соответствующие элементы при сохранении его счетности.

Заметим теперь, что функция ф(г) является решением системы (1), определенным для всех значений (6 К и содержащимся при этих значениях Г в множестве 12 . Но так как по построению при 0 < ? < 1 справедливо равенство (12), то из непрерывности оператора £*X по Г, х следует, что

1Ш1 хм СО = ф(0 (14)

’

равномерно на каждом из отрезков [а, Ь] С К. Поскольку для всех значений Л/*

XNt+S0) = xNk(A(Nk)) > (15)

то имеем

Фо = Нт Хд, (Л(А^)) • (1б)

к —)°°

Более того, согласно способу построения функции ф без какой-либо потери общности можем считать,

что существует предел

Нт ф(Д(Л^)) = ф|5, к->°°

где ф0 - некоторая точка множества 12 Если Фо 7е фо >

то в силу условий (15) и (16) найдется такое положительное число 8 и такое натуральное число /со, что

|х^(Д(ЖА.))-Ф(Д(^))|>е

при к ко. Поэтому для всех значений к ко справедливо неравенство

1пах|хд, (/ + ДСА'ь))- ф(? + Д(Л^.))| > е. (17)

о<г<г * 1

Легко видеть, что множество М функций

ф(/), ф(/+1),..., ф(? + Лг),...,

определенных на отрезке [0, 1], по построению равностепенно непрерывно и равномерно ограничено на

[0, 1]. Поэтому замыкание М тожества М - компактное в топологии равномерной сходимости на отрезке [0, 1] тожество.

Для всех значений 0 < ? < 1 положим

Х*(0= Нт хы (1 + А(ЫкУ),

И-»оо *

причем по построению можем принять, существование такого предела. Пусть при этом

Г, =(Д(Д^) + 1), к = 1,2,3,...

Далее, заметим, что объединение

и [о,/,]

к< 1

отрезков [0, tk] исчерпывает всю полуось [0, оо )5 а на каждом из этих отрезков имеет место равномерная сходимость

Нт хд, = ф(/),

/—>оо

*

где / к. Поэтому в силу неравенства (17) х £ М . Последнее, однако, противоречит условию (16). Следовательно,

фо = Нш ф(Д(ДГ*)). (18)

к—»<*>

Легко видеть, что в силу соотношений (14) и (18) для всех значений ? 6 К справедливо равенство

ф(/) = Нт ф(г + А(Ик)) , (19)

к—>°°

в котором сходимость равномерна на каждом из отрез-ков [а, 6]е К. Но в силу компактности тожества М несложно заметить, что в равенстве (19) равномерная сходимость имеет место на всей полуоси [0, °о ). При

этом, согласно (19), видим, что М - инвариантное тожество, т. е.

gкM<=:M, £ = ±1+2+3,...

(см. [3, с. 103]). Следовательно, сходимость в равенстве (19) равномерна на всей оси К.

Сказанное, как несложно заметить, означает, что ф(?) - квазипериодическое решение. Поэтому в силу соотношений (14) и (19) первая часть теоремы 1 доказана.

Если решение ^(Г) определено и ограничено на всей оси к, то, сделав замену переменного Т на -Г и повторяя рассуждения теоремы 1 для предыдущего случая, получаем существование квазилериодического решения \|/(?), удолетворяющего условиям (6) и (7). Таким образом, теорема 1 доказана.

АВТОНОМНЫЙ СЛУЧАЙ

Предположим теперь, что система (1) автономна, т. е.

х = /(х); (20)

здесь /- гладкое векторное поле, определенное в каждой точке л: множества X . Поскольку правая часть системы (20) периодична по / с любым периодом Т > О, несколько изменим в автономном случае определение квазипериодического решения.

Определение 2. Пусть Т - некоторое положительное число и ф(?) - некоторое решение системы (20), определенное для всех значений / е К и ограниченное при этих значениях I. Будем говорить, что ф(Г) - ква-

зипериодическое относительно сдвига Т решение, если для каждого положительного числа е можно указан. такое натуральное число Лге, что при / 6 К выполнено неравенство

|ф(0-ф(/ + ЛуГ)|<е.

Несложно заметить, что простейшими примерами квазипериодических относительно каждого сдвига Т решений могут служить периодическое решение и иррациональная обмотка тора. В качестве несколько менее тривиального примера отметим почти периодическое решение; при этом обратное неверно (сказанное, вообще говоря, следует из [7, с. 321] и приводимой ниже теоремы 2).

В общем случае существование квазипериодических относительно сдвига Т решений устанавливает следующая теорема, которая непосредственно вытекает из теоремы 1 настоящей работы и теоремы 2 работы [5] или [б].

Теорема 2. Пусть ^(Г) - некоторое решение системы (20), определенное для всех значений ? 6 К и ограниченное при t>0. Тогда для каждого положительного числа Т СО -предельное множество решения с;(?) содержит траекторию К, описываемую квази-периодическим относительно сдвига Т решением ф(/). Более полно, каковы бы ни были значение Т 0 и последовательность

Кх,Ы2,...,Ык,...,Ххт Мк =<*> (21)

натуральных чисел, найдется такая ее подпоследовательность

=°= (22)

и такое квазипериодическое относительно выбранного сдвига Трешение ф(?) системы (20), что

1ип£(/ + (Л^ -1)Г) = ф(0 (23)

/—>оо

равномерно на каждом из отрезков [а, Ь] С К и Нт ф(? + (ЛГ* - Ык )Т) = ф(г) (24)

/-* со

равномерно на всей оси К.. Если при этом решение <^(/) ограничено на всей оси К., то подпоследовательность (22) может быть подобрана так, что наряду с (23) и (24)

Нт ^(/-(^ -1)Г) = ф(0

/_>°о

равномерно на каждом из отрезков [а, Ь] а К и Нт \|1(1 -(Ык - Мк )Т) = \|/(?)

о

равномерно на всей оси К, где ф(0 - некоторое квазипериодическое относительно сдвига Т решение системы (20), содержащееся СХ. -предельном множестве решения ^(/).

ЛИТЕРАТУРА

1. Massera J.L. The existence of periodic solutions of systems of differential equations//Duke Math. J. 1950. V. 17. P 457-475.

2. Красносельский M.A. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. С. 53.

3. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. С. 105.

4. Афанасьев А. П., Дзюба С.М. К вопросам управления в периодических процессах // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. № 4. С. 15-20.

5. Дзюба С.М. Об условно-периодических решениях дифференциальных уравнений //Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35. № 8. С. 1020-1023.

6. Дзюба С.М. О квазипериодических решениях дифференциальных уравнений // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 2000. Т 5. Вып. 4. С. 440-442.

7. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. M.-JL, 1947. С. 321.

Поступила в редакцию 15 мая 2002 г.