О построении квазипериодических движений динамических систем* Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика. Физика

УДК 517.925.52

О ПОСТРОЕНИИ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ДВИЖЕНИЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ*

А.П. Афанасьев1, С.М. Дзюба2, А.П. Пьянов2

Институт системного анализа РАН, г. Москва (1); кафедра распределенных вычислительных систем, ТГТУ (2)

Представлена членом редколлегии профессором Г.М. Куликовым

Ключевые слова и фразы: динамические системы; квазипериодические движения; минимальные множества; построение движений.

Аннотация: Приведен общий метод построения квазипериодических движений динамических систем в компактных метрических пространствах.

1 Введение

Рассмотрим автономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

X = / (х), (1)

считая, что х еЕ и / - гладкое векторное поле, определенное в каждой точке х

некоторого открытого подмножества Е евклидова векторного пространства М” .

Одной из важнейших в теории динамических систем, как известно, является проблема изучения поведения траекторий системы (1) на инвариантных и минимальных множествах. Многие классические результаты в данной области так или иначе относятся к случаю, когда порядок рассматриваемой системы п = 2, и связаны с теоремой Пуанкаре-Бендиксона и ее обобщениями [1, 2]. Что же касается многомерных систем, то характерными результатами здесь являются теоремы Биркгофа о рекуррентных траекториях и минимальных множествах, теоремы возвращения Пуанкаре-Каратеодори и Хинчина, а также эргодические теоремы [1]. Вместе с тем, в работах [3 - 5] показано, что каждое непустое компактное минимальное множество содержит рекуррентные траектории, описываемые квазипе-риодическими решениями.

Таким образом, квазипериодические движения определяют ситуацию типического поведения в компактных метрических пространствах. Вместе с тем, структура большинства из таких движений весьма сложна, так что проблема их построения в каждом конкретном случае совсем нетривиальна. Поэтому основной целью настоящей работы является именно разработка общего метода построения квазипериодических движений.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты №№ 06-01-00821, 06-07-89350).

2 Квазипериодические движения

Пусть Е - компактное метрическое пространство с метрикой й; Ж. - действительная ось (- да, да) и gt - однопараметрическая группа гомеоморфизмов на Е, определенная и непрерывная при всех значениях t е Ж.. Рассмотрим динамическую систему

/ (t, р) = gtp, (1)

характеризуемую группой gt [1, с. 267].

Теорема 1 Пусть д - фиксированная точка из Е и /(1, д) - соответствующее движение. Тогда для каждого положительного числа Т из каждой последовательности

Щ,Ы2,...,Ык,..., Иш Ык = <», (2)

к

натуральных чисел можно выбрать такую ее подпоследовательность

Щ,Ы2,-,,..., Иш Ык =«, (3)

1 2 1 1 что выполняются равенства

/ (t+(Мк1-1)Т, д )=/ (t, р)

равномерно на каждом из отрезков [а, Ь\ е Ж и

Ит / ^ + (+1 - Щ), р) = / (t, р) (4)

равномернона всей оси Ж, где /(1, р) - некоторое устойчивое по Пуассону движение.

Доказательство теоремы 1 содержится в работе [5]. Отметим только, что в ее условиях выбор последовательности (2) не зависит от выбора числа Т и обратно.

Определение 1 Пусть р - фиксированная точка из Е и /(1, р) - соответствующее движение. Будем говорить, что /(1, р) - квазипериодическое движение, если для каждой пары е, Т положительных чисел можно указать такое натуральное число Ы, что при t е Ж выполнено неравенство

й (/( + ЫТ, р), / (1, р) )<е.

Простейшим примером квазипериодического движения может служить любое периодическое движение. В качестве несколько менее тривиального примера отметим почти периодическое движение. При этом следует иметь в виду, что, несмотря на внешнее сходство определений, квазипериодическое движение совсем не обязано быть почти периодическим [5]. Отметим также, что каждое квазипе-риодическое движение устойчиво по Пуассону. Обратное, вообще говоря, неверно.

Теорема 2 В условиях теоремы 1 устойчивое по Пуассону движение /(1, р) является квазипериодическим.

Доказательство. Пусть /(1, р) - квазипериодическое движение и К - описываемая им траектория. Тогда замыкание К траектории К - компактное минимальное множество [5]. Поэтому для доказательства теоремы 2 остается показать,

что в условиях теоремы 1 К - компактное минимальное множество. Последнее тривиально.

В самом деле, зафиксируем некоторое положительное число Т и последовательность (2). Для простоты обозначений положим, что выбранная подпоследовательность (3) совпадает с (2). Тогда равенство (4) примет вид

Иш / (1 + (Ык+1 - Ык )Т, р) = /(1, р), (5)

где для любого натурального числа N сходимость равномерна на каждом из отрезков [-N7, N7]. Более того, сходимость в равенстве (5) равномерна относительно Ы, а объединение

ТО

У [-ты, ты]

N=1

расширяющихся отрезков

[-Т,Т ] с [-27, 27] с ... с [-N7, N7 ] с ...

исчерпывает всю ось Ж.. Поэтому К - минимальное множество, компактное в силу компактности пространства Е.

Таким образом, теорема 2 доказана.

3 Устойчивость по Пуассону в дискретных динамических системах

Пусть теперь Е - метрическое пространство с метрикой й и пусть иЫ - дискретная динамическая система, характеризуемая гомеоморфным отображением и пространства Е в себя.

Определение 2 Точку р еЕ назовем положительно устойчивой по Пуассону (относительно действия на на р системы иЫ), если для каждой ее окрестности Е и каждого натурального числа к можно указать такое натуральное число

Ык > к , что иЫк р е Е. Аналогичным образом, точку р е Е назовем отрицательно устойчивой по Пуассону, если для каждой ее окрестности Е и каждого натурального числа к можно указать такое натуральное число Ык > к, что

и Ык р е Е. И, наконец, будем говорить, что точка р е Е устойчива по Пуассону, если она одновременно и положительно, и отрицательно устойчива.

Легко видеть, что точка р еЕ положительно устойчива по Пуассону тогда и только тогда, когда найдется такая последовательность вида (2), что

Иш и Ык р = р. (6)

к ^-то

Прежде всего, осуществим построение устойчивых по Пуассону точек в системе иЫ. Для этого предположим, что пространство Е сепарабельно. Далее, следуя [1], рассмотрим некоторое множество Е с Е и посредством равенства

^ = Е\(Еп и_1Еи.и и~кЕи...)

введем в рассмотрение множество ¥, очевидно, являющееся той частью множества Е, которая не содержит точки множеств

и_1Е, и~2Е,..., и~кЕ,....

Тогда

и ~кЕ п ^ = 0, к = 1,2,3,.

Но так как по построению Г с Е, отсюда следует, что

и~к¥ п Г = 0, к = 1,2,3,.

Поэтому, как легко видеть,

икЕ п Г = 0, к = 1,2,3,.

и

икГ п Г = 0, к = 1,2,3,.

Пространство Е сепарабельно, т. е. в Е существует счетное всюду плотное множество Р. Пусть

Е1, Е2, ..., Ек, ... (7)

счетное множество окрестностей точек рк е Р, таких, что рк е Ек и, следовательно, объединение множеств (7) покрывает пространство Е. Действуя, как и ранее, для каждого множества семейства (7) построим соответствующее множество Гк и положим

О + = Г и Г2 и... и Гк и...

и

Н + =Е\О +.

Тогда множество Н + будет содержать положительно устойчивые по Пуассону

Г 7" -Ы /'"'’ +

точки системы и , а множество О - нет.

В самом деле, пусть р е Н + и пусть Е, - любая окрестность, содержащая точку р. По определению множества Н + точка р не принадлежит множеству Г и, потому, для некоторого значения к принадлежит множеству Е] п и~кЕ,. Поэтому, применив отображение и к к включению

р е Е, п и~кЕ,,

получим

икр е Е,,

откуда непосредственно следует, что точка р положительно устойчива по Пуассону.

Пусть теперь р е О +. Тогда найдется некоторая окрестность и, точки р, такая, что р е Гу. Так как для всех значений к = 1, 2, 3. по построению

икЕ} п иу =0,

то, тем более,

икр п и} =0,

т.е. точка р покидает свою окрестность и, и не возвращается в нее. Последнее, очевидно, означает, что точка р не может быть положительно устойчивой по Пуассону.

Таким образом, множества положительно устойчивых Н + и неустойчивых

О+ по Пуассону точек построены. Очевидно, что аналогичным образом строятся множества отрицательно устойчивых Н- и неустойчивых О- точек. Положим

Н = Н+пН-,

завершая тем самым построение множества H устойчивых по Пуассону точек в

ttN

системе U .

4 Построение квазипериодических движений

Вновь предположим, что пространство Е компактно. Пусть f(t, p) - движение в динамической системе gt и пусть

f (N, p), N = 0, ±1, ±2,. (8)

- множество положений этой системы в дискретные моменты времени N. Тогда

дискретной динамической системой вдоль движения f(t, p) системы gl будем

называть семейство отображений g N , определяющих положения (8).

Переходя к построению квазипериодических движений в системе gl заметим, что имеет место следующая теорема.

Теорема З Следующие два утверждения эквивалентны:

1) точка p устойчива по Пуассону в системе gN ;

2) f (t, p) - квазипериодическое движение в системе g1.

Доказательство. Если справедливо утверждение 2, то очевидно, что справедливо также и утверждение 1. Обратно, если справедливо утверждение 1, то найдется такая последовательность вида (2), что имеет место равенство (6). Тогда в силу теоремы 1 из последовательности (2) можно выбрать такую ее последовательность (3), что равенство (4) выполнено равномерно на всей оси R. Следовательно, по теореме 2 f(t, p) - квазипериодическое движение.

Таким образом, теорема 3 доказана.

Если принять компактность пространства Е, то в силу теорем 1 и 2 несложно заметить, что в Е существуют квазипериодические движения системы gt . Следовательно, согласно теореме 3 построенное выше множество H (применительно, конечно, к системе gN) не пусто и содержит точки p, для которых f (t, p) - квази-периодическое движение.

Список литературы

1 Немыцкий, В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений I

B.В. Немыцкий, В.В. Степанов. - М.; Л.: ОГИЗ, 1947.

2 Хартман, Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения I Ф. Хартман. -М.: Мир, 1970.

3 Дзюба, С.М. Об условно-периодических решениях дифференциальных уравнений I С.М. Дзюба II Дифференц. уравнения, 1999. - Т. 35. - № 8. - С. 10201023.

4 Афанасьев, А. П. Периодический оператор сдвига и квазипериодические кривые I А.П. Афанасьев, С.М. Дзюба II Дифференц. уравнения, 2004. - Т. 40. -№ 10. - С. 1367-1372.

5 Афанасьев, А.П. О рекуррентных траекториях, минимальных множествах и квазипериодических движениях динамических систем I А.П. Афанасьев,

C.М. Дзюба II Дифференц. уравнения, 2005. - Т. 41. - № 11. - С. 1544-1549.

To the Construction of Quasi-Periodic Movements of Dynamic Systems A.P. Afanasyev1, S.M. Dzyuba2, A.P. Pyanov2

Institute of System Analysis RAS, Moscow (1);

Department of Distributed Calculating System, TSTU (2)

Key words and phrases: dynamic systems; minimal sets; motions formation; quasi-periodic movements.

Abstract: The general method of construction of quasi-periodic movements of dynamic systems in compact metric spaces is given.

Uber die Konstruktion der quasiperiodischen Bewegungen der dynamischen Systeme

Zusammenfassung: Es ist die allgemeine Methode der Konstruktion der quasiperiodischen Bewegungen der dynamischen Systeme in den kompakten metrischen Raumen angefuhrt.

Sur la construction des mouvements quasiperiodiques des systemes

dynamiques

Resume: Est proposee la methode de la construction des mouvements quasiperiodiques des systemes dynamiques dans les espaces compacts metriques.