О корректности и фредгольмовости линейных дифференциальных операторов на r n в пространствах Соболева-Слободецкого Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.46

О КОРРЕКТНОСТИ И ФРЕДГОЛЬМОВОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ НА /Г В ПРОСТРАНСТВАХ

СОБОЛЕВА - СЛОБОДЕЦКОГО

© В.М. Тюрин

Ключевые слова: функциональные пространства Соболева — Слободецкого; дифференциальный оператор; эл. іиігіи'ііі<к:іч»; фредгол.моиость.

При некоторых дополнительных условиях показано, что из корректности дифференциального оператора и 11] к кіраї к: гиах Соболева следует его корректность и щюстраї їства х Соболева Слободецкого, и приведены условия компактности дифференциального оператора тта Н" ті последних пространствах.

Введение

Обозначим произвольно!; банахово пространство через А'; I/' //(//“, А") пространство

Лебега сильно измеримых но Бохперу функций и:П”-*х <' конечной нормой || и ||0 (р> 1, п.-є еЛг); ІГ" = ІГп{К", X) - пространство Соболева [1, е. 60; 2. е, 21; 3, е. 228]. норма в которой за, (,аегея формуло й

II Пт, = Е II 1Ги По < 00 ’ Є А )-\а І <т

а («і, ...,пп) мультнпндеке, |а| его длина. />*« —т^т—■

Пространство Соболева Слободецкого П"п //"*"( II", X) |3. с. 228| состои т из функций II Є и’ с конечной нормой

II " IIт- ІІ«ІІпх I <«>7»» I ('О,о ■

ГДЄ и и

£ вир ^ гельдоровская полунорма. {и}^0 — (и)^. (0<7< I):

' ' |«|<»; т.і/ЄЯ” |- т

1)‘*и(х) - 1)пи{у)\\ру/р

ип 1/'!(Нп.Х) банахово пространство функций и-.Н"->х г нормой || и ||п. | и ||0 | (и)^ I

I <?/}()< 00.

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Р: Птп —> Ьр'! в частных производных, действующий но формуле

Пи ^ Ла(х) 1Ги(х)

\<у\<т

е коэффициентами Ла Є С(В", ЕпйХ).

Оператор Р: И™ —г и’~: назовем существенно эллиптическим на /і’" . если существуют оператор ,4о 1 є С(П'\ ЬШХ), числа Ао Є II и А є II такие, что найдется число п (А), для которого выполняется неравенство

(«)«, 1 (П)-;,п ^ «1 (д) (ЛЦ11т.и - А«)0

{и),

-= £

/,

х н:"

при ПеХ < Ли , Рт главігая часті» оператора Р |4|.

Оператор // будем считать корректным [Г>. е. 100]. т. е. найдется такая постоянная

к і > 0. что выполняется неравенство

II «IIт < к-і || / ||о

как только и є //"' . / є I/' и Р« = / . Т1ис.ю Агх по зависит от •«..

Аналогично определяемся корректность оператора Р: //'”*'—*■ //’*' . Именно существует такая постоянная к2 > 0. ттто

II « II,< к2 || / Но, -

если и є ІІт^ , / є и Ри = /. при этом ка ие зависит от и.

В статье исследуется вопрос корректности оператора Р: //"'*’ —»17’*' и ехч) фредгольмово-

Корректпость оператора Г : Н"п —> /У'

Лемма. Пусть оператор /’: /У”*7—* /,/>т существенно эллиптичен на //№ и существу('т

оператор Д71 (-Ю ИРП всех х є і?” , причем .4(71 с С ‘(/Г'. А’). Положим

«0 ІМо ‘ <і4оІ}10 < эс,вз X] <^4о'^а')0 < °С’°2 £ II і4а \\с •

0<|и|<ш.-1 0<| а |<ггг— 1

Тогда справедливо неравенство

(и)т + (и)-.т — ООП (А) (])0 + аки (А) ^2 (у),# + а || У ||0) +

I (А) {•«)(ш_1) I а.ч«| (Л) (г I я||«||,г.) I с\ (А) (І I |А|)(т/>0 (3.1)

ири ЕсХ < Ао для решения и Є ІІт'>' уравнения Ри = / . /є і/*'. Постоянная « > О зависит «. р и числа г < < 1.

Д о к а з а г е л і» с т в о. Так как Р Рт ,4<і , і’де ^ ЛаІУ'и (0 < « < т — 1), то п силу существенной эллиптичности имеем

I <«)„, < П (А) (Л7і/>т,)о I «1 (А) (Ио А0»')о 1

ІП(А)(І I |Л|) <«>0 - (3.2)

Несложные выкладки показывают, что

(V Ри)0 < «о </)() + 2а 1 (/), + «1« II / ||0 . (3.3)

(.4о1д?/)о < а0а2 <«}(»*_ о І 2«:1 («)-.„, I аа-л ||ч/ ||ш. (3.1)

Неравенства (3.2)—(3.4) дают искомую оценку (3.1).

15 не, і,ем обозі іачеп и я:

(ц гпах .4«||г . а-у тах{і4а)0,

|а|— т ‘ |о|—гп

С-2 гпах (щ).на і, 2(1, і. ((ні і «4 | (ш \ а~) I аа-,) к і).

с-л = шах («4)0.2; ). <-л = шах {а\щ, '2«\Чт,. 2«з).

Теорема 1. Если оператор Р: //”* —*• № корректен, выполнены условия леммы, а также пещвепстьа

•1о.ч«| (Л) І 2л*і (А) (1 І |А|)си< \,'2п0(і2С\ (Л) І «і(А)(1 I |А|)сн< 1,

то оператор //”*'■' —► 1/п корректен.

Доказ а т с л ь с т в о. 11уеть «€ Н"п , /€ I/1 и !*и / - 11рямым подсчетом убеждаемся, ттто имеют место следующие опенки:

АТ1 (*)/(*) -47 '(у)Яу ""

< «о(/)о I 2а | (/)т I «г.|« и ^ мо,

I /р

Ео<|„<т-|| А) (х)Ла(х)1Г[и(х) - Д, (у)Ла(у)1Ги(у)

<

С XII"

< а0а2 {«)(,„_,) + 2в3 + о«з ||« ||„,;

1/р

<

IЛ0 1(.Г)/>„1«(.Т) - Л0 1(?/)/т0;

V

|а' - у\11+ю

{"■хП"

< а0а 1 («},„ + («104 + 2а|ап + а5) (о),.,,,, + (001Я.1 + ища-, + аа5) || « ||,м .

0'1’сюда следует

(«>о < «а || 7' Но-,. + ся (и) 1 т + (,4 (и)-,,п • (3-5)

Согласно (3.1) и (3.5); получаем

<«},„ I <«),.т<2г2||/||0т. (3.0)

('2 = шах («ОС! (А). 2а, сл (А), аал с, (А). аа;1с, (А) кл. е, (А) (1 I | А|) е2).

Неравенство (3.0) дает опенку

|| и ||ш.. < к-2 II / ||0,,. к-2 = кл I 2с2.

Дифференциальные Ф-операторы в Цп

Оператор Р : II"1 —» // называется Ф-онератором (фредгольмоным), если его области значений .//»(/’: Н"п —> МГ!) замкнута и ядро кег(/’: /У”17 —> У/7) конечномерно [0, с. 210].

I'аеемотрим функцию у'/'{т. 0 'т'г- Нп—► Ц), I], при этом £7 гладкая финитная функция

с носителем вирр ут в шаре В (£, 2Т), причем ут {%, 0 = 1, если х€.В (£. Т) и | Оа у т\ 5:

< бо'У’-1 (6о не зависит от Т>п, £ € , от / 0 ). т.е. € 0^° .

'Георема 2. Для того чтобы оператор Р: //"*' —* М*1 был Ф-онератором, необходимо существовали такие постоянные к > 0 и К > п. для которых

|| и ||т7 < к || Ра ||()7 | к || упи ||0„. , (3.7)

и достаточно при конечномерном X , если

II и II,,гт < к II Ри ||0 + к II упи ||0 . (3.8)

Доказательство. 11усть известно, что оператор Р: Нт~ —► У,/г' является Ф-оператором и Ц> - его ядро. По теореме Хапа-Бшхаха можно представить банахово пространство Пр~! в виде прямой суммы /Р"'! 1о + V'! замкну тых подпространств. Согласно |б, с. 247| существует такая

IЮСТОЯ1111ая к' > 0 ; 1110

II «II,г,7 < к'\\ 1>и 11о7 (И е К')-

В силу конечномерное ГМ V'O имеет место нераиеистио

II'" II „„7 < II и ||0, (и Є Vo).

І Іроизіюлі>иую функцию и Є И”п предсталим и ннде и »о + «1, «о Є Vo : Ui Є V i. Тогда II « 11 тл < II «о II m-у 1 II '"І 11 тл < k> II «0 ||(Ь I k> II l>V ll(b <

< k' || «о Ho-,. + {k + klc1’) || Pu Ho-..

i.e. оператор P: IP"1 —*• //7 есть К оператор.

Допустим, что неравенство (3.7) для оператора Р: Цт'’—> Un не выполняется. Тогда можно иаіітн носледонате.,11>пости элементов и і Є IP"'- и чисел Hj Є К. обладающих свойствами

II vi Lw 1’ ,lirr‘ II Ги:> По-, °» Лі» II v/f," Нот °-

J * 's\-' Jl ' Ov

гГак как P:Hmr)—fLP1 <х:ть Ф оператор, а последовательность Рщ сходится, то из последовательности v,j можно выбрать сходящуюся последовательность в IP”7. Будем считать, что в IF"'’ сходится последовательность щ и Нш щ = и. ()човидио: || и ||m-. = 1, Ра = 0 .

J

Оператор Р: Пт~'L,n ес'1’1» 10 оператор, поэтому, учитывая, что lira || фц.и ||,, || ы||0. ,

j—ЮС 1 - ■

будем иметь.

I IIII ||от-, < к' II и ||0, < lim_ к' || tpjijii - PltjUj Но-,. + к' ,lim_ || їи-Щ ||0_..

Устремляя j —» ос, полупим I <0, что невозможно, т.е. неравенство (3.7) справедливо. Необходимость доказана.

В другую сторону. Пусть X конечномерно и у j ограниченная последовательность в

, для которой последовательность Рщ сходится и к1П . Возьмем последовательность положительных чисел £j—>0 при ,/ —>• ос и для каждой функции И;. Найдем гладкую функцию vjeC^{B,\X) такую, что

II a.l - Vj IL7 < £j.

Положим Vj=<p (а?, 0, Т) vj (х) (Т > R).

І Іоеледовательность i'j обладает свойствами:

1. || vj ||m„. < М (число М не зависит от j );

2. j II Vj (-т)Ц dx < М ;

І х\>Г

3. Для любого ->() существует такое д (=) >0. ттто при |j/|<d(t) выполняется неравенство

j Il*j0 І У) - ®j(ar)||prfar < с.

Ті:"

Свойс тва І ) и '2) очевидны, а сіюистію 3) следует из неравенства

/ \\Ы* I V) - Ы*)Г <!■>■< U М’»" '•

11о теореме 1’исса Колмогорова |7, с. 3791 множество функции {Vj} предкомпактпо is //. І Іоетому. не ограничивая общности, считаем, что последовательность r:j фундаментальна в I/ . Согласно (3.8). имеем

II ,!J — Vi ІІ/ПЛ — к II 1’Ч ~ ^>t:' Но- I к II V/|’ C'j — fi) ||() <■

< Л (i-j - ti) II Р II I щк ({Vj - Uj)m I (vj - щ)т) I І 2ацк ((vj - Uj),m I (Vi - I аи*,к (|| i-j и, m I || i\ - щ ||m) I

+k || vj - гц ||0 + || Piij - Рщ ||(h..

Отсюда видно, что последовательность Vj фундаментальна в Н"п . и, следовательно, имеет предел limrj v (j —юс) в Нтг':. Последовательность iij также сходится в Нт~! и Urn Uj = v 0’—> эс). В этом случае, как известно, оператор Р: Пт~! —> IP1 является Ф-онератором. Теорема доказана.

ДИТКРЛТУРЛ

1. Соболев С.Л. Некоторые применения функлиопа.'іьпот анализа в математической физике. М.: Паука, 1988. 60 с.

'2. Тейлор М. Пеевдо-дифферопгшальттьте операторы. М.: Мир, 1985. 21 с.

.4. 'ГриГнипі X. Теории интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 228 с.

4. Тюрин В.М., Шмырин А.М. О корректности и обратимости линейных дифференциальных оиреаторов в пространствах Соболева Слободе пкого // Всстпик Тамбовского гоеударствеппого уттиворсіттота. Серия: Есто-ствсппт.те и технические пауки. Тамбов, 2018. Т. 18. Вып. 2013. С. 818-851.

Лсттшн П.М.. Жипои IS. IS. Почти мі:риодически<: функции и дифференциальные уравнения. М.: Ичд-во МГУ. 1978. 166 с.

6. Хермапдер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: в 4 т. Т. -3. ГГсевдодифферепгшалт.ттые операторы. М.: Мир, 1987. 21(3 с.

7. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1907. 379 с.

Поступила в редакцию 21 ноября 2013 г.

Tyurin V..YI.

ABOUT WELLPOSEDNESS AND FREDHOLYI PROPERTY OF LINEAR DIFFERENTIAL OPERATORS ON R" IN SPACES OF SOBOLEV SLOBODEISKIY

Under some additional conditions, it is shown that, the well posodness of a differential operator in the Sobolev spaces implies wdlposedness in tlie Sobolev - Slobodetskiv spaces. The conditions of compactness of a differential operator on R“ in the Sobolev Slobodetskiv spaces are given.

Key words: function spaces of Sobolev - Slobodetskiv: differential operator; ollipticity; Fredholm property.

Тюрин Василий Михаилович. Липецкий государственный технический университет, і’. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических ттаук. профессор, e-mail: tuviri Sstu.lipetsk.ru

Tyurin Vasily Mikhaylovich, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, e-mail: tuvniSistu.lipetsk.ru