CC BY
22
УДК 517.983.36
ЗАМЕЧАНИЕ ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ ТИПА СОБОЛЕВА
© Тюрин В.М.
Ключевые слова: пространство Соболева-Слободецкого-Степанова; дифференциальные Е -операторы; оценки решений дифференциальных уравнений. Показано, что при определенных условиях линейные дифференциальные операторы одновременно являются Е -операторами в пространствах Соболева-Слободецкого и Соболева-Степанова-Слободецкого.
Пусть X — банахово пространство с нормой || • ||; С = С(Мга,Х) — пространство непрерывных ограниченных функций и : Кп — X вир -нормой (п > 1); Нт = Нт(Кп,Х) — пространство Соболева, состоящее из функций и € Ьр = Ьр(Кп,Х), имеющих обобщенные производные Оаи € Ьр и конечную норму
||и|| 1т = 11Паи11ю, т € 1 <р< ж,
\а\<т
||и|| 10 — норма функции и € Ьр ( [1] с. 60; [2] с. 37). В пространстве Соболева-Слободецкого Н 1т~( = н1т7 (Мп,Х) ( [3] с. 228) норма определяется равенством ||и||1т7 = ||^^|| + {и)1т1,
гДе 1/
V- ( [ ЦОаи(х) - Ваи(у)Цр \ {и)т = £ ( ] ^—X - у[п+Р1 ху1 < ж, о <у< 1 \а\<т \/ Н107 = Н107(Мп,Х) - пространство функций и € Ьр, норма в котором задается равенством ||и||107 = ||и|| 10 + {и)101; Мр = Мр(Кп,Х) - пространство Степанова ( [4] с. 78) сильно измеримых (по Бохнеру) функций и : Кп — Х, у которых
||и||20 = вир ( [ Ци^^йх^) 1 < ж,
К (х)
К(х) - единичный куб в Кп с центром в точке х; Шт = Шт(Кп,Х) пространство Соболева-Степанова функций и € Мр, имеющих обобщенные производные Оаи € Мр, при этом норма элемента и € Шт находится по формуле
||и||2т = £ ||^"и||20 < ж;
\а\<т
пространство Н207 = Н207(Кп,Х) определяется конечной нормой ||и||20т = ||и||20 + {и)20п (и € Н207), а пространство Нт = Н2т(Кп,Х) - нормой Ци^ = ||и|| 2т + {и)2т-у < Ж, где
I ^
{и)2т1 = £ виР
\а\<т
ЦВаи(х) - Баи(у)Цр „ х - у\п+р7 у
\К (х)хК(у) )
и
н 2т1.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Р : И^т1 — И^01 (^ = 1, 2) в частных производных, действующий по формуле
Ри = ^ Ла(х)Баи(х)
\а\<т
с коэффициентами Ла(х) € С(Жп,ЕпЖХ).
Оператор Р : Н^т1 — И^1 будем называть Е -оператором (энергетическим оператором), если существуют такие числа й\ > 0 и > 0, не зависящие функции и € Нзт1, что
\\и\\т < Ж[\\Ри\\т + 4\\и\\, (1)
для всех и € И^т7.
Теорема. Для того, чтобы оператор Р : И2т1 — И207 являлся Е -оператором, необходимо, а при п > р и достаточно, чтобы оператор Р : И1т1 — И107 был также Е -оператором.
Доказательство. Для произвольного Т > 1 определим на Мга гладкую неотрицательную финитную функцию фт(х,£) = фт < 1 с носителем в шаре В(2Т), причем фт(х,£) = 1 при х € В(£,Т) и \Баф\ < Ь1Т-1 (Ь1 не зависит от Т, а = 0, £ € Мга - параметр).
Пусть оператор Р : И2т7 — И207 есть Е -оператор. Возьмем произвольную функцию и € И1т1. Очевидно, что фти € И2т1. Согласно неравенству (1) имеем оценку
\\фти\\2т1 < Ж1\\фтРи\\207 + + Ж'2\\фти\\201, (2)
где Q = Q(u, фт) дифференциальный оператор порядка не выше п — 1 по переменной и. Непосредственные вычисления дают:
\\фтРп\\201 < 2 sup ( I' \\Pu(x)\\pdx)/P +
\x-£\<4T\ J J
K (x)
( r \\Pu(x) - Pu(y)\\P , \1/p + C1 sup [ -—r^ —, dxdy) , (3)
\x-*\<4T,\ J \x - У\П+Р^ V W
\y-n\<4T K(x)xK(y)
при этом число Т выбрано достаточно большим;
\ 1/Р
\\Q\\20Y < b2T-1 V sup ( i \\Dau(x)\\Pdx) P + ,77 \x-t\<2T\ J J
\a\<m K (x)
+ b3T-1 V sup ( I dxdy) ; (4)
■ „ _____п |x-£|<4T,\ J ™
\\Dau(x) - Dau(y)\\p \ l/p;
I I i dxdy I
, 77 ] \x-i\<4T,\ J \x - y\n+pi J
N<H \y-v\<4T K(x)xK(y)
\\^tu\\207 < a1 sup ( f \\u(x)\\pdx^\ +
\x-t\<4T\ J J
K(x)
( r \\u(x) - u(y)\\p J \1/p + a2 sup —, 1 dxdy) . (5)
2 \x-t\<4т\ J \x - y\n+PY V W
\y-n\<4T K(x)xK(y)
Величины a1 > 0, a2 > 0, b2 > 0, b33 > 0 и C1 > 0 не зависят от функции и числа T.
Из неравенств (2) — (5) следует
\ 1/р
Y^ sup ( f | | Dau(x) | |pdx) + \a\<m \x-?\<^K{x)
+ £ SUP ( /
^ф) — ^jyW dxdyY/P <
< 2d2 sup ( I ||Pu(x)||pdx) +
\x-£\<4T\ J J
K(x)
l2 if HPu(x) — Pu(y)Hp \1/p
+ ad2 sup -—r^ — , dxdy) +
\x-i\<4T\ J x — y\n+PY
\y-n\<4T K(x)xK(y)
+ b2d2T-1 Е sup (/
t^ \x-t\<2T\ J \a\<m ' K(x)
\ 1/P
HDau(x)HPdA +
,2™ 1 v- I I HDau(x) — Dau(y)Hp , \1/p
\ sup --r^ —, dxdy) -
\x-t\<4T\ J X — y\n+PY V
\a\<m \y-n\<4T K(x)xK(y)
+ b^dfT-1 V sup ( I
|x-£|<4tA J
+ a1d2 sup I / ||u(x)||pdx) +
\x-t\<4T\ J J
K(x)
2 ( f ||u(x) — u(y)HP , \1/p
+ a2d2 sup —, dxdy) . (6)
22 \X-<T\ j x — у^ j
\y-n\<4T K(x)xK(y)
Положим в (6) x = y = n, а затем, если взять такое T, что b2d2 < T и b3d2 < T, то из (6) получим
Е ( / UD^xWdxf + Е( / <
< 4d?(J ^u^^xy1'+ 2c1d?( J ^(x— y|p+up(y)||PdxdyУ\ K (0 K(£)xK(V)
+ 2a1d|( j ||u(x)||pd^/P + 2a2d|( j dxd^. (7)
K(0 K (£)xK(V)
Рассмотрим куб К(0, Я) в Кп с центром х = 0, ребра которого имеют длину Я € N и параллельны осям координат. Разобьем этот куб на V = Яп единичных кубов К(^) расположенных подобно кубу К(0, Я). Применим к каждому кубу К(^) неравенство (7):
Е ( I и^тх)11" + Е( / <
\а\<т К(^) \а\<т К (^ )хК(^)
< 4d?( J \\Pu(x)\\Pd^P + 2c1d?( J \^ux-ry\Puy^dxd^/P+
K(j) K (j )xK (j)
+ 2a1d2( f \\u(x)\\Pd^P + 2a2d2^ j \\^- \ \'dxd^.
K (j) K(j )xK(j)
Отсюда следует
W/\ \ D'u{x) \ \J*f + W j \\y^w x,yf <
\a\<m K(0,R) \a\<m K(0,R)xK(0,R)
< 4d?( J \ \ Pu(x) \ \ PdxfP + 2Cld?( j \ \ Pux]_y \ P^ \ \ P dxd^'P+
K (0,R) K (0,R)xK (0,R)
+ 2a1df \\u(x)\\Pd^P + 2a2d2^ f \\U^ \ ^\"dxd^.
22
K(0,R) K(0,R)xK(0,R)
Устремляя в последнем неравенстве R — ж, получим
\ \ и \ \ 1т1 < 6,2(4 + 201) \ \ Ри \ \ 107 + 2(0,1 + 0,2)6% \ \ и \ \ Ю1, (8)
т. е. оператор Р : И1т7 — И107 есть Е -оператор.
Аналогично доказывается достаточность, при этом нужно воспользоваться неравенством (и € Ит) :
¿1 \
\ \ фти \ \ 1mY < d\ \ \ фт Pu \ \ 107 + d1 \ \ Q \ \ 107 + d\ \ \ фtu \ \ 107, J \\Dau(x)\\Pdx < ¡1 \\Dau(x)\\р20, \а\ < m, ц = (2 • !2lT)n
\x-S,\<12tT
J \DZ-dxdy << ,2^,
\x-^\<12tT, \y-n\<12lT
J \ \ Pu(x) \ \ Pdx < Ц \ \ Pu \ \ 20, \x-^\<12tT
I ^^ dxdy < ¡V
\x-£\<12tT, \y-n\<12tT
Теорема доказана.
Замечание. Обратимость и корректность операторов P : HjmY — Hj0Y изучалась в [5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. 3-е изд., доп. и перераб. М.: Наука, 1988. 333 с.
2. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985. 468 с.
3. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.
4. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978. 205 с.
5. Кузнецова Т.Б., Тюрин В.М. О корректности линейных дифференциальных операторов эллиптического типа в некоторых функциональных пространствах. Современная математика и ее приложения. 2007. Т. 57. С. 19-28.
Поступила в редакцию 27 ноября 2014 г.
Tyurin V. M.
REMARK ABOUT THE ONE PROPERTY OF LINEAR DIFFERENTIAL OPERATORS IN SPACES OF SOBOLEV TYPE.
Is shown that under certain conditions the linear differential operators are also an E -operators in Sobolev-Slobodetsky spaces and Sobolev-Stepanov-Slobodetsky spaces.
Key words: Space of Sobolev-Slobodetcky-Stepanov; differential E -operators; estimates for solutions of differential equations.
Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный педагогический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики, e-mail: [email protected]
Tyurin Vasily Mikhaylovich, Lipetsk State Pedagogical University, Lipetsk, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor of Mathematics Department, e-mail: [email protected]
