К обобщенной корректности линейных дифференциальных операторов в пространствах Соболева и Степанова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Tyurin V.M. ON ELLIPTICITY OF PERTURBED LINEAR DIFFERENTIAL OPERATOR The generalized ellipticity of a differential operator with a small parameter given the ellipticity of the operator is studied.

Key words: Sobolev and Stepanov spaces; essential ellipticity; inequalities for distributions.

УДК 517.983

К ОБОБЩЕННОЙ КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА И СТЕПАНОВА

© В.М. Тюрин

Ключевые слова: пространство Соболева-Степанова; обобщенное решение; обобщенная корректность.

Доказано, что обобщенная корректность линейного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами равносильна в пространствах Лебега и Степанова.

Пусть X - пространство Гильберта; С = С (Еп,Х) - пространство непрерывных ограниченных функций и : Кп X с 8ир-нормой ||и||с (п € N); М2 = М2 (Яп, X) - простран-

ство Степанова сильно измеримых (по Бохнеру) функций и : Rn ^ X, у которых

{

\\и\\м 2 — sup

x&Rn

\ 1/2

|| и (х) || dx

< оо,

\K(x)

/

где К(х) - единичный куб в Я с центром в точке х, [1; с. 78]; Ь2 = Ь2 (Я, X) - пространство Лебега сильно измеримых функций и : Яп X с обычной нормой

1

/2

ІМІ0 =

|| и (ж) || dx

< оо.

Через Г = Г (Яп,Х) обозначим одно из пространств М2, Ь2.

Примем также следующие обозначения Ст = Ст (Яп, X) - пространство функций и: Яп ^ X ограниченных и непрерывных вместе с производными Оаи до порядка т включительно, при этом

ilulic = £ WFuWa, D

\а\^ш

д\а\

дх^1 + дхпп’

а = (а1,...,ап) - мультииндекс, т € N; Н т = Нт (Я п, X) - пространство Соболева

функций и € Ь2, обобщенные производные Оаи (|а|) ^ т которых принадлежат Ь2, причем

2714

Ыт = £N<m \\Dau\\0 [2, с. 60; 3, с. 25];

Wpm (M2) — пространство Соболева-Степанова функций u € M2, у которых обобщенные производные Dau € M2. Норма элемента Wm (M2) определяется по формуле

llull^m(M2) = Yh|a|<m \D°U\m2 ■

Одно из пространств Hm, Wm (M2) будем обозначать Wm (F). Рассмотрим дифференциальное выражение (оператор) в частных производных

P = ^ Aa (x) Da,

lal^m

в котором коэффициенты Aa € Cm (Rn, EndX) ; EndX - пространство линейных ограниченных операторов, действующих в X, с равномерной топологией. Очевидно, определен линейный ограниченный оператор P : Wm (F) ^ F, действующий по формуле

Pu = ^ Aa (x) Dau (x).

lal^m

В пространстве L2 скалярное произведение (u, v)0 элементов u, v € L2 определяется обычной формулой. Пространство M2 становится гильбертовым пространством, если ввести скалярное произведение по формуле

(u v)м2 = suW (u (y), v (y)) dy.

x€R JK(x)

Определение 1. Функция u € F называется обобщенным решением уравнения Pu = f, f € F, если для любой последовательности uj € Wm (F) такой, что числовая последовательность \\u,j|| р ограничена и lim uj = u локально в F, то последовательность

j^<x

Puj = fj локально сходится к f в F.

О п р е д е л е н и е 2. Оператор P называется обобщенно корректным относительно пространства F, если найдется K (F) > 0, не зависящая от u, такая, что

\\u\\F = K (F) \\f ||р

как'только Puj = f в обобщенном смысле. Для краткости полагаем Ki = K (L2) , K2 = = K M2 .

Теорема. Оператор P обобщенно корректен относительно пространства L2 тогда и только тогда, когда он обобщенно корректен относительно пространства M2.

Доказательство. Предположим, что оператор P обобщенно корректен относительно пространства M2. Возьмем обобщенное решение u € L2 уравнения Pu = f f € L2) и рассмотрим произведения фт (x, С,) uj (x), где фт: Rn ^ [0,1] - гладкая финитная функция с носителем в шаре B (С, 2T) , причем фт (x, С,) = 1 при x € B (С, T) и \Daфт| ^ b1T-lal ( b1 не зависит от T>n, \a\ =0 ).

Произведение ф^^ есть решение уравнения

P (фтuj) = фтfj + Q (A, фт) uj,

где Q (A, фт) - некоторый линейный дифференциальный оператор порядка не больше n — 1 с коэффициентами, зависящими от A ж Dßфт■ Если Q* (A, фт) - двойственный оператор к оператору Q (A, фт) и ф € Wm (M2) , то

(uj, Q* (Д фт) Ф)м2 = (gjт, Ф)м2 ■

2715

Очевидно, Р (фти,) = фт/з + 9]Т•

Так как Шт (М2) - гильбертово пространство, то существует такой вектор

Ът € Wm (М2) , что (д^т, ф)м2 = (Ъзт, Ф)щт(ы2) • Поскольку

Ь2

||ф* (А, фт) ф|м2 ^ т НфН^т(м2), то |(щ ,Я (А, фт Ф))1м 2 < Т 11ф4Т из ||

м2 ' ИФИшт(м2) , постоянная Ь2 не зависит от ф, Т.

Отсюда получаем

Ь2

11ЪЗт||^т(м2) ^ Т 11ф4ти3 IIм2 •

Из соотношений

1фтиз 11м2 < к2 ||фт/з IIм2 + к2 1дт IIм2 ,

11ЪЗт IIм2 = Ыт IIм2

следует

Ь2К2

IIфтиз IIм2 < к2 ||фтЛ' IIм2 + 11ф4ти3 11м2 •

Рассмотрим произведение фт и € М2, которое является обобщенным решением уравнения Р (фт и) = фт / + Я (А, фт) и. Для фт и имеем неравенство

||фти|м2 < 11фти - фти IIм2 + к2 ||фт/IIм2 + к2 ||фтЛ' - фт/IIм2 +

+ ^ф4ти3 - ф4ти\м2 + ЪЬк ^ф4ти^м2 • (1)

Так как последовательность из локально сходится в Ь2 к и и последовательность /з

локально сходится к / в Ь2, то, согласно (1), получаем

Ъ2К2

11фти|м2 < К2 ||фт/IIм2 + ~Т^~ ^ф4ти^м2 • (2)

Аналогично выводится оценка

\\фти\\0 < Лі ||фт/1|0 + ||ф4ти|1о (3)

для обобщенного оператора Р относительно пространства Ь2.

Обозначим шах(К2, Ь2К2) = а.

Рекуррентное соотношение (1) по индукции позволяет установить неравенство

Ь-1

\\фти\\м2 ^ а^+14-°2Т- \ф»т/\\м2 +

и=0

+аЧ-СТ- \\ф4»ти\\м2 , (4)

Со2 = С2 = 1, С% - биноминальные коэффициенты и = 2, .... ,і і Є N. Оценка (4) приводит к неравенству

/ \\и (х)||2 йх < аі ар(и+1)4-рсиТ-р" \ф»т/\\М2 +

+а2а*4-сТ-р фтиМ . (5)

2716

Постоянные аі, а2 не зависят от Т Є N и и.

Рассмотрим куб К (Я, 0), ребра которого параллельны осям координат и имеют длину К. Разобьем этот куб на й = Яп подобно расположенных кубов К (^). Согласно

d t-1

/ ||u (x)||2 dx < ap(v+1)4-pCU T-pv,

JkR0) j=0 v=0

d

a2apt4-pCtT-pt V f Ци (x)||2 dx. (6)

>\x-j \<4‘T j=J\x-j \<4‘T

Каждый шар В , 4* ■ 2Т) в (6) заменим куб К , 4* ■ 4Т) , а затем разобьем его на р = (4* ■ 4Т)п куба К (£у). Причем кубы К ,и* ■ 4Т) и К (^¿з-) расположены также как К (К, 0) . Так как

V (х)|2 Лх < р У ||0 ,

3=^\x-Zj\^2Г

^2 ии (x)||2 Лх ^ р 1М1,

3=\-3\x-ij \<4‘^2т

то, согласно (6),

Отсюда следует

/ lu (x)||2 dx ^ aia3ц ||f ||0 + a2a4ц ЦиЦО I к (r,o)

ЦиЦО < aafi If Il0 + a2a4^ ||u||0 . (7)

Считая, что t>n можно выбрать T таким образом, что

В этом случае из (7) получаем

1

a2a4i < 2.

ІМіО < 2aia3i llf ||0

т. е. оператор Р обобщенно корректен относительно пространства Ь2.

Аналогично доказывается, что из обобщенной корректности оператора Р относительно пространства Ь2 следует обобщенная корректность оператора Р относительно пространства М 2, при этом вместо неравенства (2) используется неравенство (3).

ЛИТЕРАТУРА

1. Массера Х. Шеффер Ч. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. Мир, 1970. 456 с.

2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

3. Тейлор. M. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985. 472 с.

Tyurin B.M. TO THE GENERALIZED WELL-POSSEDNESS OF LINEAR DIFFERENTIAL OPERATORS IN SOBOLEV AND STEPANOV SPACES

It is proved that the generalized well-possedness of a linear differential operator with bounded coefficients in a Lebegue space is equivalent to that in a Stepanov space.

Key words: Sobolev-Stepanov space; generalized solution; generalized well-possedness.

2717