CC BY
24
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. №4(70) 5
МАТЕМАТИКА
УДК 519.999
ОБ ОБРАТИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА В НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
© 2009 Т.Б. Кузнецова, В.М. Тюрин1
В пространствах Соболева — Слободецкого НЯ(Д), Соболева — Степанова ШЯ(ДР) и Степанова — Бесова ШЯ(УР) (0 < в < о) доказана эквивалентность свойств обратимости для линейного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами.
Ключевые слова: дифференциальный оператор, обратимость, корректность, коэрцитивность, функциональные пространства.
Пусть X — банахово пространство; С = С(Еп, X) — пространство непрерывных ограниченных функций и : Кп ^ X с вир-нормой; (п € N) ; Мр = = Мр(Еп,Х) — пространство Степанова сильно измеримых (по Бохнеру) функций и : Кп ^ X с конечной нормой
\и\\МР = йир хеяп
( \
J ||и(х)р^х||
\к(х) )
1 /р
(р> 1),
где К (ж) — единичный куб в Кп с центром в точке ж € Rn, || ■ || — норма в X; Ьр = 1Р(Кп,Х) — лебегово пространство сильно измеримых функций и : Кп ^ X с обычной нормой; = Ьте(Rn,X) — пространство сильно измеримых функций и : Кп ^ X, для которых е5з||и(ж)|| < оо(х € Rn); Ст = = Сm(Rn,X) пространство функций и : Кп ^ X, ограниченных и непрерывных вместе с производными Оаи до порядка т включительно, при этом
да! да„
Ыст =22 вщ^ ^ФЖЯ* = дха ■■■дХОП, |а| = а1 + + ^
I | ^ х 1 п
|а|^т
Кузнецова Татьяна Борисовна ([email protected]), Тюрин Василий Михайлович ([email protected]), кафедра высшей математики Липецкого государственного технического университета, 398600, Россия, г. Липецк, ул. Московская, д. 30.
где а = («!,..., ап) — мультииндекс, т € £+, С0 = С; Со° = Со°(Яп, X) — линейное пространство дифференцируемых функций и : Кп ^ X с компактным носителем.
Если 0 < з < то, то положим [з] + {з} = з, здесь [з] целое число, 0 ^ {з} < 1. Рассмотрим пространство Соболева — Слободецкого Н3 = = Н3(ЕР), 0 < з = (целое число) с нормой
1М1з = ^ + <и>1[з] ,
<и> 1[3] = I] |«|^[3]
|х - у|п+рЫ
1/р
< то,
где х € Н3,
— норма в ЕР [1, с. 60; 2, с. 228].
Пространство Соболева — Степанова Ш3(МР) состоит из функций и € МР, имеющих обобщенные производные Оаи € МР, при этом
\\uww5(мр) = ^ Н^аи||мр + <и>2[3] , и € Ш3(МР), 0 < з = (целое число), |«К[3]
(
<и>2[3] = ^ йиР
|«К[3]
\
1/Р
< то.
х,у&Е" У |х - у|п+рМ
\К(х)хК(у) )
Обозначим через ) одно из пространств Н3(ЕР),Ш3(МР),Ш3(^Р),
при этом ^ = {ЕР,МР,УР}. Определение пространств УР, Ш3(^Р) дано ни-
же. Положим также |ер8}, М{8}, Р{Р} | = — пространства, в которых
гР
{Я}'—{8}' • {8
норма определяется соответственно
\и||Ьр } = |и|0 + <и> 10 , <и> 10 = {в}
и||М р
М {5}
и(х) - и(у)\\Р^х^у \
1/Р
|х - у|п+р{8}
<и>20 = йиР
х,уеяп
"хй"
\\u\mp + <и>20 , \и(х) - и(у)\\Р^х^у
|х - у|п+рМ
< то,
\
1/Р
< то,
\К(х)хК(у)
1\и\\у{рч} = \\и\\ур + <и>з0 { 5 }
<и>30 = 1] йз 3=1
ej-1<|x|^e.j >
\и(х) - и(у)\\Р^х^у
|х - у|п+р{8}
/
\ 1/Р /
< то.
0
эо
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Р : Шр* (Р) ^ Р{3} в частных производных, действующий по формуле
Ри = ^ Ла(х)П
аи
где Ла € Ь?(Кп,ЕийХ),ЕийХ — пространство линейных ограниченных операторов Л : X ^ X.
Оператор Р : (Р) ^ Р{3} назовем корректным [3], если существует такая положительная постоянная к = кр, что имеет место неравенство
(р) < к\\РиЬ^} (1)
для всех и € (Р).
Пространства (Р) хорошо изучены и широко применяются при рассмотрении различных вопросов, связанных с теорией линейных дифференциальных уравнений [1—5].
В работе устанавливается эквивалентность свойств корректности (обратимости) оператора Р : (Р) ^ Р{в] при Р = Ьр, Р = Мр, Р = Ур. Аналогичная задача для натуральных в изучалась в работе [6] (Р = Ьр, Р = Мр).
1. Рассмотрим гладкую финитную функцию ф = ф1(х,£,Т) : Кп ^ [0,1] с носителем в шаре В(£, 2Т) С Кп, причем (р\(х,^,Т) = 1 при х € В(£,Т) и < ЬоТ-1 (Ьо не зависит от параметров Т > тах {и, 2} и £ € Яп,
а = 0), т. е. € 00?. Положим ф = <р(х,£,ц,Т) = ф1(х,£,Т) ■ (х,п,Т).
Лемма 1. Для любой функции и € Ьр справедлива оценка
1/р
\\ф(х, £, П, Т )и(х) — ф,£,п,Т )и(у)\\р \ < |х - у1п+р{*} У 1 <
1/
< а
|\и(х) — и(у)\\р , ,
|х — у|п+рЫ
+ Л 4 + Т-М \\и\
(2)
где а > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от и,Т,£ и п, в = = тах — {в} , п) , 0 < {в} < 1.
Неравенство (2) доказывается прямой непосредственной оценкой интеграла в левой части. В дальнейшем предположим, что п ^ 1. Пусть и € Ш*(Р). Тогда
Р (<ри) = фРи + Я(и,(р), (3)
где Я(и, ф) — некоторый линейный дифференциальный оператор порядка [в] — 1 по переменной и, коэффициенты которого финитны.
о
Лемма 2. Имеют место следующие неравенства (0 < {з} < 1) :
( \ 1/Р
\\д(и,^1)\мр < ^ V 8ПР / ||Яаи(х)\\Р ^х
■ П |х-5|^2Т Л
\К(х)
\\д(и,^1)\0 < Ь2 Т-1 V 8ПР / \\^аи(х)\Р Йх
(
|"К[8] |Х-?К \К(Х)
/
\ 1/Р
У
\\д(и,^1)\[в] < а1Т-1
|а|<[8] /
, и € МР. (4)
, и € ЕР. (5) 1/2
|^аи(х) -
|х-?|^4Т, \|У-«К4Т
|х - У|
п+Р{«}
-^х^у
+
/
+а2Т-1 £ |«НМ
\
1/Р
|£аи(х)\\Р ^х
и € ЕР.
(6)
\[х-£|<4Т
/
1/2
<^(и,^)>2[8] < азТ 1 ^ эир
|^аи(х) -
I 1 |х-?К4Т, 3 |х - у|
НФ] ||у-||<4Г \К(х)хК(У) ' Щ { \ 1/Р
п+РМ
-^х^у
+а4Т 1 ^ вир
|а|<[8]
|х-5|^4Т
\\£аи(х)\\Р Йх
и € МР.
+
(7)
К(х)
/
Положительные постоянные , ^2, а1 - а4 не зависят от и, Т и Неравенства (6) и (7) вытекают из леммы 1.
Теорема 1. Оператор Р : Н8 ^ ЕР8} является корректным тогда и только тогда, когда оператор Р : Ш8 (МР) ^ МР8} корректен.
Доказательство I. Пусть оператор Ш8 (МР) ^ МР8} является корректным. Возьмем производную функцию и € Н8 Очевидно, что <^и € Ш8 (МР). В силу корректности Р : Ш8 (МР) ^ МР8} согласно (3) имеем
\\^1и\^(МР) ^ ^2 \\^1Ри\мР + ^2 \\д(и,^1)\мр +
+Й2 <^1Ри>20 + ^2 <^(и,^1)>20 . (8) Величина <^Ри>20 оценивается сверху следующим образом:
/
<^чРи>20 ^ С1 вир
|х-5|^4Т:
\\ри(х) - ри(у)\\Р
\
1/Р
|у-£|<4Т \К(х)хК(у)
|х - у|
п+Р{«}
^х^у
+
/
+С2Т-1 8Ир
|х-?|<4Т
(9)
( Х/р
J \\Ри(х)\\р йх
\к(х) )
Постоянные С1, С2 не зависят от и, Т и На основе неравенств (4), (7)—(9) получаем ([в] = т).
( \1/р
Е -ир т
|а|^ш |х ?1 ^ 2
\\£аи(х)\\р йх
+
\к (х)
(
+ ^ 8Ир
\Баи(х) —
а,Л,ЛИр
\
1/р
\х — у\
п+р{«}
-йхйу
<
< (а4к2 + Ь2к2) Т-1 V 8ир / раи(х)\\р йх
|Х-?|^4Т У
/
I |х-?К —
\К(х)
/
\ 1/р /
+
1/р
+азк2Т-1 ^
8Ир
.\к(х)хК(у) |х — у1
|^аи(х) — Даи(у)"р
п+р{«}
йхйу
+
(
+ (к2 + С2Т-1) 8Ир
|х-5|^4Т
1/р
(
+С1 8Ир |х-?|<4Т,
I ЦРи(х)\\р йх\ +
\К(х) )
\ 1/р
\\Ри(х) — Ри(у)\\р
|у-?К4Т \К(х)хК(у)
По индукции из (10) находим
(
\х — у\
п+р{«}
йхйу
)
(10)
Е
|а| ^ш
\
1/р
\\£аи(х)\\р йх
+
\К (?)
(
+
|а| ^ш
1/р
\К (?)хК(?)
IОаи(х) — £аи(у)\\р , , . *-^—, г йхйу I <
|х — у|п+р{«} ^
/
1/р
< 8-с2к0Т-^ ^ I ЦЯаи(х)\\р йЛ +
|аКш \|х-5|^104т
+8-С Т-
|а| ^т
(
|х-5|^104т, \|у-5К104т
1/р
|^аи(х) -
а,л,лир
|х - у|
п+р{«}
-^х^у
+
4-1
/7
+ ^ 8-С2 ■ Кд Т^
^=0
\
1/Р
\\Ри(х)\\Р Йх
+
у \|х-£|<104т
/
1/р
+
\\Ри(х) - Ри(у)\\Р
|х-5|^104т, |у-5|^10'т
|х - у|
п+р{«}
^х^у
где £ € Ж, с! = ^ 2) , = шах(Ь2й2 + а4й2,а3й2), = шах(с2й2Т 1,С1 , &2) Отсюда, используя выпуклость функции § ^ §Р, получим
£ ] \\^и(х)\\Р ^х + £ ] Н^тк(?) |а|^тк(5)хк(?)
]-—-, г , " Йх^у <
|х - у|п+р{8}
< Й18-рС2Т-р4( £ J \\£аи(х)\\Р Йх+ |аКт|х-?К104Т
+ Е
|^аи(х) -
а,ЛЛ11р
|аКт|х-5К104Т, |х у|
^"и(у)\Г , , \
^у) +
|у-^104Т
+^2
\\Ри(х)\\Р ^х +
|Раи(х) - Раи
«*,Л.Л11Р
|х-?|^104Т
V
|х-5|^104т, |у-^104Т
|х - у|
п+р{«}
-^х^у
где = 4Р-1^РЖР-1, й2 = 4Р-1^Р^Р ( 1 8-с* ■ А$Т, N —
\0=0 /
(11)
число произ-
водных (|а| ^ т).
Возьмем куб К(0, Я), ребра которого имеют длину Я € N и соответственно параллельны осям координат Яп. Разобьем этот куб на V = Яп единичных кубов К(^). Применим к каждому кубу К(^) неравенство (11):
У \\^аи(х)\\Р йх+ Н^тк(0,я)
+ £ / йхйу < ад-рс? Т-рТ X
Н^шК(0,Я)хК(0,Я) |х у|
( V [
х Е Е у \\^аи(х)\рйх+
\
+
+ ЕЕ / ^Г"0 йхйу
|а|^ш|х-?. |<10*т, |х у1
|у-?л |<104Т )
+й2
\
V . V „
£ ] \\Ри(х)\р йх + £ ]
\\Ри(х) — Ри(у)\Р
^ = 11х-? ,1/<104Т . ^~ — |х — у|
йхйу
|п+р{«}
I 1 I— I \х и1
\ |у-К10£т у
(12)
Считая Т € Ж, шар В , 10*Т) в (12) заменим кубом К , 2 ■ 10*Т) и разобьем его на р = (2 ■ 10*Т)п единичных кубов К) (кубы К), К , 2 ■ 10*Т) расположены так же, как и куб К(0, Я)). Нетрудно проверить, что
Е Е / \\^аи(х)\\рйх < р Е \\^аи(х)\р , (13)
v Г
£ ] \\Ри(х)\\рйх < р \\Ри(х)\0, (14)
" и(х) — ^аи(у)\р
|х — у\
V V и(х) — ^ ц(у)н йхйу <
у |х — у|п+р{«}
■] I
а,Л,Л11р
[ №аи(х) — £аи(у)\\р , , . .
< ^Е У |х — у\п+р» " Лхйу' <15>
^ Г \\Ри(х) — Ри(у)\\р < 2 Г \\Ри(х) — Ри(у)\\р ^ У |х — у\п+р{5} йхйу < р У
йхйу.
|х — у|п+р{-} ^ } |х — у|п+ру
(16)
Так как Я произвольно и р не зависит от Я, то из оценок (12)—(16) получаем
\Баи(х) — Паи(у)\\р |х—у|
ЕМ +Е I 11 Г'у^т йхйу<
< 8-Р^^Т-Р^| ^ ||Яаи\\р + ^ ^ у
\\Даи(х) -
|х - у|
п+р{«}
-^х^у +
+¿2^ \\Ри\0 + -<Ри>Р . (17)
Выберем числа Т достаточно большими, таким образом, чтобы выполнялись неравенства > 2п и < 2 В этом случае из (17)
следует
£ \\^и(х)\\0 + £
|а| ^т
и(х) - £аи(у)\\Р , , ]-—-, г , " йх^у <
|х - у|п+р{8}
< 2^2 \\Ри(х)\Р + 2^2 ■ <Ри>
1
(18)
Очевидно, неравенство (18) показывает, что оператор Р : Н3 ^ ЕР8} корректен.
Доказательство II. Пусть оператор Р : Н3 ^ ЕР8} корректен. Возьмем произвольный элемент и € Ш8 (МР) и рассмотрим функцию <^и € Н Так как <^и € Нто в силу корректности оператора Р : Н3 ^ получаем неравенство
\\^1и\в < \\^1Ри\0 + \№, Ы \\0 + <^1Ри>10 + <£(и, ^1>>10 , (19)
причем
<^1Ри>10 < с3
(
|х-£|<4Т +|5-м|, \|у-чК4Т +|5-М|
\
1/Р
\\Ри(х) - Ри(у)\\Р
|х - у|
п+р{«}
^х^у
+
(
+с4Т
-{8}
\
1/Р
\\Ри(х)\\Р йх
(20)
\|х-«|^4Т
/
Постоянные &1 > 0, сз > 0 в (20) не зависят от и, Т и п, а С4 не зависит от и, но зависит от |£ - п|в ■ Т-1. Предположим, что |£ - п|в < Т-1. При таких условиях неравенство (20) запишется в виде
<^1Ри>10 < сз
/
|х-5|^5Т, \|у-пК5Т
\
1/Р
\\Ри(х) - Ри(у)\\Р
|х - у|
п+р{«}
^х^у
+
(
+с4Т
-{8}
\
1/Р
\\Ри(х)\\Р ^х
(21)
\|х-£|<4Т
/
Р
где С4 уже не зависит от |£ - п|в ■ Т 1.
Из оценок (6), (19) и (21) следует неравенство
Е
| а| ^т
(
1 /р
£аи(х)\\р йх +
| а| ^т
/
*-«К Т2,
1/р
|£аи(х) - £аи(у)\\р
|х - у|
г+р{я}
-йхйу
<
(
\
1/Р
+
< (*1 + С4Т-{*}) У \Ри(х)\
\|х-£|<5Т )
( у/Р
+ (А^Т-1 + а2^1Т-1) ^ У ||Яаи(х)\\Р ^х
|аКт \|х-5|^5Т )
(
Г \\Ри(х) - Ри(у)\\Р
+
+^1Сз
|х-5|^5Т, \|у-п|<5Т
|х - у|
п+р{«}
1/Р
+Л1а1 Т-1 ^
|^аи(х) -
а,Л,Л11р
11^ ^ |х - у|
|у-п|^5Т
Индукцией по Т устанавливаем, что
/
п+р{«}
-^х^у
(22)
1/р
Е
| а| ^т
/
1/р
|£аи(х)\\р йх + ^
| а| ^т
\\£аи(х) - £аи(у)\\г |х - у|"+р{я}
йхйу
<
\|у-пК Т2
< 12-с2 ^з Т-1
( ( Е
\
1/Р
+
£аи(х)\\Р ^х
\ 1/р\
+
|^аи(х) -
а,ллир
|х-€|<12Т , \|у-ч|^12Т'
|х - у|
п+р{«}
-^х^у
+
t-1
12-c^ ' kfT
\
1/p
||Pu(x)HP dx
+
/
+
||Pu(x) - Pu(y)||p
\|y-iKioT
|x - У1
n+p{s}
dxdy
/
(23)
/
k3 = max(b2k1 + a2, k1a-1), Ь3 = max (c4T {s} + кт, c3k1) .
Рассмотрим куб K (£j, 2 ■ 12*T) D B 12* ■ T) и разобьем его на р = = (2 ■ 10*ТТ" кубов k(j) (j = 1,...,р). Очевидно,
||Dau(x)||p dx < р ||Dau|Mp (|а| < m)
(24)
||Dau(x) - Dau(y)HP , , 2 . 11 v 7 -dxdy < р2 (u)2,
|x - У1
n+p{s}
(25)
||Pu(x)||p dx < р ||Pu||Mp ,
// ^^dxdy < р2 (Pu)p
2p
|ж-£|<12(-Т,
Неравенства (23)—(27) приводят к оценке
(26) (27)
Е
|а| ^m
(
\
1/p
||Dau(x)||p dx
+
(
1/p
+ £
|a| ^m
||Dau(x) - Dau(y)||p
My-nKf
|x - у1
n+p{s}
dxdy
<
C 2 t 1 2 ^ 12- 1 k3 T- р p 11u | w m(M P)
(28)
t-1
+ Ь^ 12-c^ ■ kfT-*рp -|Pu|{S}.
Выберем точку £1 € Яп таким образом, что
( \1/Р
|^аи\\мр < 4
\\£аи(х)\\Р ¿х
\к (Ы
/
Затем возьмем такую точку (£2,П2), что
<и>^ = sup х,уеДп
(
V (х)хК (у)Т
1/Р
\\£аи(х) -
|х - у|
п+р{«}
-^х^у
<
^ 4
|^аи(х) -
\
1/Р
\к («2)хК (?2)Т
|х - у|
п+р{«}
-^х^у
<
^ 4
/
\ 1/р
|^аи(х) -
«*,Л.Л11Р
|х-?2К|
\|у-Ч2| Тогда из (28) получаем
\\^аи\\МР + <и>1 < 4
|х - у|
(
п+р{«}
-^х^у
\
1/Р
£аи(х)\\Р ^х
+
\|х-?1|С Т
+4
/
\ 1/Р
|^аи(х) -
|х-?1|< Т,
\|у-П1|< Т
|х - у|
п+р{«}
-^х^у
+
/
+4
\
1/Р
|£аи(х) - £аи(у)\\Р ^х
\|х-?2|С 4
/
+
1/Р
+4
|^аи(х) -
|х-6К Т, \|у-Ч2К Т
|х - у|
п+р{«}
-^х^у
<
4-1
< 8 ■ 12-с' 4рр ||и|
Ж т(М р)
+ 863^ 12-с^ ■ к!т-Зрр .||Ри||ы
3=0
Отсюда
Е ^
|а| ^т
и|
Мр
4-1
< 8Ж 12-с' ■ к3Т-4рр ||и|
Ж т(М р)
+ 8Ж6з ^ 12-с^ ■ к|Т-ЗрР ■ ||Ри||ы . (29)
3=0
Число Ь возьмем достаточно большим, чтобы выполнялось неравенство
2 , , 2 1 8Ж12-с' ■ к3Т-4р р < ^.
Согласно (29) получим
4-1
|Ы|^т(мр) < 166^ Е 12-'" ' кзТ-3Рр ■ ||Ри||м,
3=0
т. е. оператор Р : ^5(Мр) ^ Мр5} корректен и теорема доказана.
2. Пусть 0 < ¿1 < ¿2 < ...йп < ... — последовательность чисел такая, что для некоторой постоянной М > 0 /М ^ dj+l ^ Mdj, ] = 1,2,... Рассмотрим расходящуюся последовательность 0 < в1 < в2 < ... < еп... чисел. Положим Х1 = {х : ||х|| ^ е1} , Xj = {х : ej•-1 ||х|| ^ ej} , ] =2, 3,.... Определим пространство Ур, состоящее из всех функций и € Ьък(Яп) таких, что
/ \ 1/р
|и|У р =
Edj j=1
||и(х)||р йх
< то.
/
Пространство Ур является банаховым пространством [6, с.264].
Введем пространство Шв(Ур) типа Степанова — Бесова, которое состоит
из таких функций и € Ьък (Яп), что
и|
Ж'
(Ур) =
те
Е !>
|а|<[«] j=1
(
\
1/р
|£аи(х)||р йх
+ <и>3{з} < ТО
где
<и>з{^} = Е Е^
|а|<[«] j=1
1/р
\Оаи(х) - Баи
— 1<|х|| ^е^,
|х - У1
п+р{«}
-йхйу
те
р
^ Я^} эквивалентна кор-
Пространство Ш5(УР) также является банаховым пространством. Далее норма
||и||у;\ = 1Ы1ур + (и)30 {в}
определяет банахово пространство уР}. По аналогии с теоремой 1 доказывается следующая
Теорема 2. Корректность оператора Р : Н5 ректности оператора Р : Ш5 (УР) ^ У{Р}.
В доказательстве теоремы 2 существенную роль играет оценка
(^1и)30 < Ь3 (и)30 + Ь4Т-{5} ||и||^(УР) ,
где 63,64 — некоторые постоянные, не зависящие от и(ж) и ^аи(ж).
Теорема 3. При сделанных предположениях относительно коэффициентов р и п корректность операторов Р : Н5 ^ Р : Ш5(МР) ^ и Р : Ш5(УР) ^ эквивалентна.
Теорема 4. Пусть выполнены предположения теоремы 3. Тогда обратимость одного из операторов Р : Н5 ^ Я? }, Р : Ш5(МР) ^
Мрг и Ы
Р : Ш5(УР) ^ У{Р} влечет обратимость двух остальных операторов.
Доказательство. Пусть оператор Р : Н5 ^ ЯР5} обратим и / € У{5}. Тогда уравнение Ри = / имеет единственное решение и € Нибо уР} С рР5}. Покажем, что и € Ш5(УР). Обратимый оператор Р : Н5 ^ ЯР5} корректен, так как Н5 и — банаховы пространства. По теореме 2 оператор Р : Ш5(УР) ^ У{Р} корректен. Тогда имеет место неравенство
Е
з
1/р
|£аи(ж)||р +
+ Е Е^
1«км ^=1
1/р
||£аи(ж) -
Iх - У1
™+р{«}
<
< N1 ||Ри|и + N ||Ри||н. ,
М
где постоянные N1, ограничены относительно Отсюда следует, что
и € Ш5(УР), т. е. оператор Р : Ш5(УР) ^ у^ обратим.
Если оператор Р : Ш5(УР) ^ уР} обратим, то возьмем произвольный элемент / и положим /3 = <^(ж, 0^3-)/. Очевидно, /3 € уР}, и уравнение Ри = /3 имеет единственное решение из € Ш5(УР). По теореме Банаха оператор Р : Ш5(УР) ^ уР,} непрерывно обратим и, следовательно, корректен.
V
V
Р
Тогда согласно теореме 2 оператор Р : Н5 ^ ¿{а} корректен, и справедливо по формуле (22) неравенство ([з] = т)
£
(
\
1/р
\Бащ(х) - ват(х)\\р йх
+
+ Е
|а|<[в]
\Оа (и(х) - щ(х)) - (и(у) - и
\Ы
< Ь ^ 2 '
^ 2
|х - У1
^ а5
\
1/р
- /г\ йх
+
/
+
МОД-
УЛ (х) - /г (х) - /j (У) - /г
|х - У1
п+ру
1/р
-йхйу
<
а.6
м
При этом постоянные й6, Об не зависят от ], и(х) (г > ].) Так как Uj ограничена в Ня(Ьр), то отсюда следует, что последовательность Uj локально фундаментальна в Н5 (Ьр). Так как оператор Р : Н5 ^ ¿{^ локально непрерывен, то Ри = /. Поскольку / — произвольный элемент из то Р : Н5 ^ обратим (непрерывен). Согласно теореме 2 операторы
^ и Р : Ш5(Ур) ^ У{5} обратимы одновременно. Теорема
доказана.
Р : Н5
■р
j
р
j
Литература
[1] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.
[2] Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.
[3] Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. Сер.: Матем. 1976. Т. 40. № 6. С. 1380—1408.
[4] Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985. 472 с.
[5] Тюрин В.М. К обратимости линейных дифференциальных операторов с частными производными в некоторых пространствах функций на Мга // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 10. С. 1419—1425.
[6] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: в 4 т. Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1986. 456 с.
Поступила в редакцию 9////2009; в окончательном варианте — 22/V//2009.
ABOUT THE REVERSIBILITY OF LINEAR DIFFERENTIATION OPERATORS OF THE ELLIPTICAL TYPE IN SOME FUNCTION SPACES
© 2009 T.B. Kuznetsova, V.M. Tyurin2
In the spaces of Sobolev — Slobodetzky Hя(й), Sobolev — Stepanov Ws(Rp) and Stepanov — Besov Ws(Vp) (0 < s < то), the equivalence of invertibility properties for the linear differentiation operator with limited coefficients is proved.
Key words and phrases: differentiation operator, invertibility, correctness, coercitivity, functional spaces.
Paper received 9/77/2009. Paper accepted 22/V7/2009.
2Kuznetsova Tatyana Borisovna ([email protected]), Tyurin Vasiliy Michailovich ([email protected]), Department of Higher Mathematics, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, 398600, Russia.
