Научная статья на тему 'Об обратимости линейных дифференциальных операторов эллиптического типа в некоторых функциональных пространствах'

Об обратимости линейных дифференциальных операторов эллиптического типа в некоторых функциональных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
72
25
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Об обратимости линейных дифференциальных операторов эллиптического типа в некоторых функциональных пространствах»

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2009. №4(70) 5

МАТЕМАТИКА

УДК 519.999

ОБ ОБРАТИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА В НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

© 2009 Т.Б. Кузнецова, В.М. Тюрин1

В пространствах Соболева — Слободецкого НЯ(Д), Соболева — Степанова ШЯ(ДР) и Степанова — Бесова ШЯ(УР) (0 < в < о) доказана эквивалентность свойств обратимости для линейного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами.

Ключевые слова: дифференциальный оператор, обратимость, корректность, коэрцитивность, функциональные пространства.

Пусть X — банахово пространство; С = С(Еп, X) — пространство непрерывных ограниченных функций и : Кп ^ X с вир-нормой; (п € N) ; Мр = = Мр(Еп,Х) — пространство Степанова сильно измеримых (по Бохнеру) функций и : Кп ^ X с конечной нормой

\и\\МР = йир хеяп

( \

J ||и(х)р^х||

\к(х) )

1 /р

(р> 1),

где К (ж) — единичный куб в Кп с центром в точке ж € Rn, || ■ || — норма в X; Ьр = 1Р(Кп,Х) — лебегово пространство сильно измеримых функций и : Кп ^ X с обычной нормой; = Ьте(Rn,X) — пространство сильно измеримых функций и : Кп ^ X, для которых е5з||и(ж)|| < оо(х € Rn); Ст = = Сm(Rn,X) пространство функций и : Кп ^ X, ограниченных и непрерывных вместе с производными Оаи до порядка т включительно, при этом

да! да„

Ыст =22 вщ^ ^ФЖЯ* = дха ■■■дХОП, |а| = а1 + + ^

I | ^ х 1 п

|а|^т

Кузнецова Татьяна Борисовна ([email protected]), Тюрин Василий Михайлович ([email protected]), кафедра высшей математики Липецкого государственного технического университета, 398600, Россия, г. Липецк, ул. Московская, д. 30.

где а = («!,..., ап) — мультииндекс, т € £+, С0 = С; Со° = Со°(Яп, X) — линейное пространство дифференцируемых функций и : Кп ^ X с компактным носителем.

Если 0 < з < то, то положим [з] + {з} = з, здесь [з] целое число, 0 ^ {з} < 1. Рассмотрим пространство Соболева — Слободецкого Н3 = = Н3(ЕР), 0 < з = (целое число) с нормой

1М1з = ^ + <и>1[з] ,

<и> 1[3] = I] |«|^[3]

|х - у|п+рЫ

1/р

< то,

где х € Н3,

— норма в ЕР [1, с. 60; 2, с. 228].

Пространство Соболева — Степанова Ш3(МР) состоит из функций и € МР, имеющих обобщенные производные Оаи € МР, при этом

\\uww5(мр) = ^ Н^аи||мр + <и>2[3] , и € Ш3(МР), 0 < з = (целое число), |«К[3]

(

<и>2[3] = ^ йиР

|«К[3]

\

1/Р

< то.

х,у&Е" У |х - у|п+рМ

\К(х)хК(у) )

Обозначим через ) одно из пространств Н3(ЕР),Ш3(МР),Ш3(^Р),

при этом ^ = {ЕР,МР,УР}. Определение пространств УР, Ш3(^Р) дано ни-

же. Положим также |ер8}, М{8}, Р{Р} | = — пространства, в которых

гР

{Я}'—{8}' • {8

норма определяется соответственно

\и||Ьр } = |и|0 + <и> 10 , <и> 10 = {в}

и||М р

М {5}

и(х) - и(у)\\Р^х^у \

1/Р

|х - у|п+р{8}

<и>20 = йиР

х,уеяп

"хй"

\\u\mp + <и>20 , \и(х) - и(у)\\Р^х^у

|х - у|п+рМ

< то,

\

1/Р

< то,

\К(х)хК(у)

1\и\\у{рч} = \\и\\ур + <и>з0 { 5 }

<и>30 = 1] йз 3=1

ej-1<|x|^e.j >

\и(х) - и(у)\\Р^х^у

|х - у|п+р{8}

/

\ 1/Р /

< то.

0

эо

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Р : Шр* (Р) ^ Р{3} в частных производных, действующий по формуле

Ри = ^ Ла(х)П

аи

где Ла € Ь?(Кп,ЕийХ),ЕийХ — пространство линейных ограниченных операторов Л : X ^ X.

Оператор Р : (Р) ^ Р{3} назовем корректным [3], если существует такая положительная постоянная к = кр, что имеет место неравенство

(р) < к\\РиЬ^} (1)

для всех и € (Р).

Пространства (Р) хорошо изучены и широко применяются при рассмотрении различных вопросов, связанных с теорией линейных дифференциальных уравнений [1—5].

В работе устанавливается эквивалентность свойств корректности (обратимости) оператора Р : (Р) ^ Р{в] при Р = Ьр, Р = Мр, Р = Ур. Аналогичная задача для натуральных в изучалась в работе [6] (Р = Ьр, Р = Мр).

1. Рассмотрим гладкую финитную функцию ф = ф1(х,£,Т) : Кп ^ [0,1] с носителем в шаре В(£, 2Т) С Кп, причем (р\(х,^,Т) = 1 при х € В(£,Т) и < ЬоТ-1 (Ьо не зависит от параметров Т > тах {и, 2} и £ € Яп,

а = 0), т. е. € 00?. Положим ф = <р(х,£,ц,Т) = ф1(х,£,Т) ■ (х,п,Т).

Лемма 1. Для любой функции и € Ьр справедлива оценка

1/р

\\ф(х, £, П, Т )и(х) — ф,£,п,Т )и(у)\\р \ < |х - у1п+р{*} У 1 <

1/

< а

|\и(х) — и(у)\\р , ,

|х — у|п+рЫ

+ Л 4 + Т-М \\и\

(2)

где а > 0 — некоторая постоянная, не зависящая от и,Т,£ и п, в = = тах — {в} , п) , 0 < {в} < 1.

Неравенство (2) доказывается прямой непосредственной оценкой интеграла в левой части. В дальнейшем предположим, что п ^ 1. Пусть и € Ш*(Р). Тогда

Р (<ри) = фРи + Я(и,(р), (3)

где Я(и, ф) — некоторый линейный дифференциальный оператор порядка [в] — 1 по переменной и, коэффициенты которого финитны.

о

Лемма 2. Имеют место следующие неравенства (0 < {з} < 1) :

( \ 1/Р

\\д(и,^1)\мр < ^ V 8ПР / ||Яаи(х)\\Р ^х

■ П |х-5|^2Т Л

\К(х)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

\\д(и,^1)\0 < Ь2 Т-1 V 8ПР / \\^аи(х)\Р Йх

(

|"К[8] |Х-?К \К(Х)

/

\ 1/Р

У

\\д(и,^1)\[в] < а1Т-1

|а|<[8] /

, и € МР. (4)

, и € ЕР. (5) 1/2

|^аи(х) -

|х-?|^4Т, \|У-«К4Т

|х - У|

п+Р{«}

-^х^у

+

/

+а2Т-1 £ |«НМ

\

1/Р

|£аи(х)\\Р ^х

и € ЕР.

(6)

\[х-£|<4Т

/

1/2

<^(и,^)>2[8] < азТ 1 ^ эир

|^аи(х) -

I 1 |х-?К4Т, 3 |х - у|

НФ] ||у-||<4Г \К(х)хК(У) ' Щ { \ 1/Р

п+РМ

-^х^у

+а4Т 1 ^ вир

|а|<[8]

|х-5|^4Т

\\£аи(х)\\Р Йх

и € МР.

+

(7)

К(х)

/

Положительные постоянные , ^2, а1 - а4 не зависят от и, Т и Неравенства (6) и (7) вытекают из леммы 1.

Теорема 1. Оператор Р : Н8 ^ ЕР8} является корректным тогда и только тогда, когда оператор Р : Ш8 (МР) ^ МР8} корректен.

Доказательство I. Пусть оператор Ш8 (МР) ^ МР8} является корректным. Возьмем производную функцию и € Н8 Очевидно, что <^и € Ш8 (МР). В силу корректности Р : Ш8 (МР) ^ МР8} согласно (3) имеем

\\^1и\^(МР) ^ ^2 \\^1Ри\мР + ^2 \\д(и,^1)\мр +

+Й2 <^1Ри>20 + ^2 <^(и,^1)>20 . (8) Величина <^Ри>20 оценивается сверху следующим образом:

/

<^чРи>20 ^ С1 вир

|х-5|^4Т:

\\ри(х) - ри(у)\\Р

\

1/Р

|у-£|<4Т \К(х)хК(у)

|х - у|

п+Р{«}

^х^у

+

/

+С2Т-1 8Ир

|х-?|<4Т

(9)

( Х/р

J \\Ри(х)\\р йх

\к(х) )

Постоянные С1, С2 не зависят от и, Т и На основе неравенств (4), (7)—(9) получаем ([в] = т).

( \1/р

Е -ир т

|а|^ш |х ?1 ^ 2

\\£аи(х)\\р йх

+

\к (х)

(

+ ^ 8Ир

\Баи(х) —

а,Л,ЛИр

\

1/р

\х — у\

п+р{«}

-йхйу

<

< (а4к2 + Ь2к2) Т-1 V 8ир / раи(х)\\р йх

|Х-?|^4Т У

/

I |х-?К —

\К(х)

/

\ 1/р /

+

1/р

+азк2Т-1 ^

8Ир

.\к(х)хК(у) |х — у1

|^аи(х) — Даи(у)"р

п+р{«}

йхйу

+

(

+ (к2 + С2Т-1) 8Ир

|х-5|^4Т

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1/р

(

+С1 8Ир |х-?|<4Т,

I ЦРи(х)\\р йх\ +

\К(х) )

\ 1/р

\\Ри(х) — Ри(у)\\р

|у-?К4Т \К(х)хК(у)

По индукции из (10) находим

(

\х — у\

п+р{«}

йхйу

)

(10)

Е

|а| ^ш

\

1/р

\\£аи(х)\\р йх

+

\К (?)

(

+

|а| ^ш

1/р

\К (?)хК(?)

IОаи(х) — £аи(у)\\р , , . *-^—, г йхйу I <

|х — у|п+р{«} ^

/

1/р

< 8-с2к0Т-^ ^ I ЦЯаи(х)\\р йЛ +

|аКш \|х-5|^104т

+8-С Т-

|а| ^т

(

|х-5|^104т, \|у-5К104т

1/р

|^аи(х) -

а,л,лир

|х - у|

п+р{«}

-^х^у

+

4-1

/7

+ ^ 8-С2 ■ Кд Т^

^=0

\

1/Р

\\Ри(х)\\Р Йх

+

у \|х-£|<104т

/

1/р

+

\\Ри(х) - Ри(у)\\Р

|х-5|^104т, |у-5|^10'т

|х - у|

п+р{«}

^х^у

где £ € Ж, с! = ^ 2) , = шах(Ь2й2 + а4й2,а3й2), = шах(с2й2Т 1,С1 , &2) Отсюда, используя выпуклость функции § ^ §Р, получим

£ ] \\^и(х)\\Р ^х + £ ] Н^тк(?) |а|^тк(5)хк(?)

]-—-, г , " Йх^у <

|х - у|п+р{8}

< Й18-рС2Т-р4( £ J \\£аи(х)\\Р Йх+ |аКт|х-?К104Т

+ Е

|^аи(х) -

а,ЛЛ11р

|аКт|х-5К104Т, |х у|

^"и(у)\Г , , \

^у) +

|у-^104Т

+^2

\\Ри(х)\\Р ^х +

|Раи(х) - Раи

«*,Л.Л11Р

|х-?|^104Т

V

|х-5|^104т, |у-^104Т

|х - у|

п+р{«}

-^х^у

где = 4Р-1^РЖР-1, й2 = 4Р-1^Р^Р ( 1 8-с* ■ А$Т, N —

\0=0 /

(11)

число произ-

водных (|а| ^ т).

Возьмем куб К(0, Я), ребра которого имеют длину Я € N и соответственно параллельны осям координат Яп. Разобьем этот куб на V = Яп единичных кубов К(^). Применим к каждому кубу К(^) неравенство (11):

У \\^аи(х)\\Р йх+ Н^тк(0,я)

+ £ / йхйу < ад-рс? Т-рТ X

Н^шК(0,Я)хК(0,Я) |х у|

( V [

х Е Е у \\^аи(х)\рйх+

\

+

+ ЕЕ / ^Г"0 йхйу

|а|^ш|х-?. |<10*т, |х у1

|у-?л |<104Т )

+й2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

\

V . V „

£ ] \\Ри(х)\р йх + £ ]

\\Ри(х) — Ри(у)\Р

^ = 11х-? ,1/<104Т . ^~ — |х — у|

йхйу

|п+р{«}

I 1 I— I \х и1

\ |у-К10£т у

(12)

Считая Т € Ж, шар В , 10*Т) в (12) заменим кубом К , 2 ■ 10*Т) и разобьем его на р = (2 ■ 10*Т)п единичных кубов К) (кубы К), К , 2 ■ 10*Т) расположены так же, как и куб К(0, Я)). Нетрудно проверить, что

Е Е / \\^аи(х)\\рйх < р Е \\^аи(х)\р , (13)

v Г

£ ] \\Ри(х)\\рйх < р \\Ри(х)\0, (14)

" и(х) — ^аи(у)\р

|х — у\

V V и(х) — ^ ц(у)н йхйу <

у |х — у|п+р{«}

■] I

а,Л,Л11р

[ №аи(х) — £аи(у)\\р , , . .

< ^Е У |х — у\п+р» " Лхйу' <15>

^ Г \\Ри(х) — Ри(у)\\р < 2 Г \\Ри(х) — Ри(у)\\р ^ У |х — у\п+р{5} йхйу < р У

йхйу.

|х — у|п+р{-} ^ } |х — у|п+ру

(16)

Так как Я произвольно и р не зависит от Я, то из оценок (12)—(16) получаем

\Баи(х) — Паи(у)\\р |х—у|

ЕМ +Е I 11 Г'у^т йхйу<

< 8-Р^^Т-Р^| ^ ||Яаи\\р + ^ ^ у

\\Даи(х) -

|х - у|

п+р{«}

-^х^у +

+¿2^ \\Ри\0 + -<Ри>Р . (17)

Выберем числа Т достаточно большими, таким образом, чтобы выполнялись неравенства > 2п и < 2 В этом случае из (17)

следует

£ \\^и(х)\\0 + £

|а| ^т

и(х) - £аи(у)\\Р , , ]-—-, г , " йх^у <

|х - у|п+р{8}

< 2^2 \\Ри(х)\Р + 2^2 ■ <Ри>

1

(18)

Очевидно, неравенство (18) показывает, что оператор Р : Н3 ^ ЕР8} корректен.

Доказательство II. Пусть оператор Р : Н3 ^ ЕР8} корректен. Возьмем произвольный элемент и € Ш8 (МР) и рассмотрим функцию <^и € Н Так как <^и € Нто в силу корректности оператора Р : Н3 ^ получаем неравенство

\\^1и\в < \\^1Ри\0 + \№, Ы \\0 + <^1Ри>10 + <£(и, ^1>>10 , (19)

причем

<^1Ри>10 < с3

(

|х-£|<4Т +|5-м|, \|у-чК4Т +|5-М|

\

1/Р

\\Ри(х) - Ри(у)\\Р

|х - у|

п+р{«}

^х^у

+

(

+с4Т

-{8}

\

1/Р

\\Ри(х)\\Р йх

(20)

\|х-«|^4Т

/

Постоянные &1 > 0, сз > 0 в (20) не зависят от и, Т и п, а С4 не зависит от и, но зависит от |£ - п|в ■ Т-1. Предположим, что |£ - п|в < Т-1. При таких условиях неравенство (20) запишется в виде

<^1Ри>10 < сз

/

|х-5|^5Т, \|у-пК5Т

\

1/Р

\\Ри(х) - Ри(у)\\Р

|х - у|

п+р{«}

^х^у

+

(

+с4Т

-{8}

\

1/Р

\\Ри(х)\\Р ^х

(21)

\|х-£|<4Т

/

Р

где С4 уже не зависит от |£ - п|в ■ Т 1.

Из оценок (6), (19) и (21) следует неравенство

Е

| а| ^т

(

1 /р

£аи(х)\\р йх +

| а| ^т

/

*-«К Т2,

1/р

|£аи(х) - £аи(у)\\р

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|х - у|

г+р{я}

-йхйу

<

(

\

1/Р

+

< (*1 + С4Т-{*}) У \Ри(х)\

\|х-£|<5Т )

( у/Р

+ (А^Т-1 + а2^1Т-1) ^ У ||Яаи(х)\\Р ^х

|аКт \|х-5|^5Т )

(

Г \\Ри(х) - Ри(у)\\Р

+

+^1Сз

|х-5|^5Т, \|у-п|<5Т

|х - у|

п+р{«}

1/Р

+Л1а1 Т-1 ^

|^аи(х) -

а,Л,Л11р

11^ ^ |х - у|

|у-п|^5Т

Индукцией по Т устанавливаем, что

/

п+р{«}

-^х^у

(22)

1/р

Е

| а| ^т

/

1/р

|£аи(х)\\р йх + ^

| а| ^т

\\£аи(х) - £аи(у)\\г |х - у|"+р{я}

йхйу

<

\|у-пК Т2

< 12-с2 ^з Т-1

( ( Е

\

1/Р

+

£аи(х)\\Р ^х

\ 1/р\

+

|^аи(х) -

а,ллир

|х-€|<12Т , \|у-ч|^12Т'

|х - у|

п+р{«}

-^х^у

+

t-1

12-c^ ' kfT

\

1/p

||Pu(x)HP dx

+

/

+

||Pu(x) - Pu(y)||p

\|y-iKioT

|x - У1

n+p{s}

dxdy

/

(23)

/

k3 = max(b2k1 + a2, k1a-1), Ь3 = max (c4T {s} + кт, c3k1) .

Рассмотрим куб K (£j, 2 ■ 12*T) D B 12* ■ T) и разобьем его на р = = (2 ■ 10*ТТ" кубов k(j) (j = 1,...,р). Очевидно,

||Dau(x)||p dx < р ||Dau|Mp (|а| < m)

(24)

||Dau(x) - Dau(y)HP , , 2 . 11 v 7 -dxdy < р2 (u)2,

|x - У1

n+p{s}

(25)

||Pu(x)||p dx < р ||Pu||Mp ,

// ^^dxdy < р2 (Pu)p

2p

|ж-£|<12(-Т,

Неравенства (23)—(27) приводят к оценке

(26) (27)

Е

|а| ^m

(

\

1/p

||Dau(x)||p dx

+

(

1/p

+ £

|a| ^m

||Dau(x) - Dau(y)||p

My-nKf

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|x - у1

n+p{s}

dxdy

<

C 2 t 1 2 ^ 12- 1 k3 T- р p 11u | w m(M P)

(28)

t-1

+ Ь^ 12-c^ ■ kfT-*рp -|Pu|{S}.

Выберем точку £1 € Яп таким образом, что

( \1/Р

|^аи\\мр < 4

\\£аи(х)\\Р ¿х

\к (Ы

/

Затем возьмем такую точку (£2,П2), что

<и>^ = sup х,уеДп

(

V (х)хК (у)Т

1/Р

\\£аи(х) -

|х - у|

п+р{«}

-^х^у

<

^ 4

|^аи(х) -

\

1/Р

\к («2)хК (?2)Т

|х - у|

п+р{«}

-^х^у

<

^ 4

/

\ 1/р

|^аи(х) -

«*,Л.Л11Р

|х-?2К|

\|у-Ч2| Тогда из (28) получаем

\\^аи\\МР + <и>1 < 4

|х - у|

(

п+р{«}

-^х^у

\

1/Р

£аи(х)\\Р ^х

+

\|х-?1|С Т

+4

/

\ 1/Р

|^аи(х) -

|х-?1|< Т,

\|у-П1|< Т

|х - у|

п+р{«}

-^х^у

+

/

+4

\

1/Р

|£аи(х) - £аи(у)\\Р ^х

\|х-?2|С 4

/

+

1/Р

+4

|^аи(х) -

|х-6К Т, \|у-Ч2К Т

|х - у|

п+р{«}

-^х^у

<

4-1

< 8 ■ 12-с' 4рр ||и|

Ж т(М р)

+ 863^ 12-с^ ■ к!т-Зрр .||Ри||ы

3=0

Отсюда

Е ^

|а| ^т

и|

Мр

4-1

< 8Ж 12-с' ■ к3Т-4рр ||и|

Ж т(М р)

+ 8Ж6з ^ 12-с^ ■ к|Т-ЗрР ■ ||Ри||ы . (29)

3=0

Число Ь возьмем достаточно большим, чтобы выполнялось неравенство

2 , , 2 1 8Ж12-с' ■ к3Т-4р р < ^.

Согласно (29) получим

4-1

|Ы|^т(мр) < 166^ Е 12-'" ' кзТ-3Рр ■ ||Ри||м,

3=0

т. е. оператор Р : ^5(Мр) ^ Мр5} корректен и теорема доказана.

2. Пусть 0 < ¿1 < ¿2 < ...йп < ... — последовательность чисел такая, что для некоторой постоянной М > 0 /М ^ dj+l ^ Mdj, ] = 1,2,... Рассмотрим расходящуюся последовательность 0 < в1 < в2 < ... < еп... чисел. Положим Х1 = {х : ||х|| ^ е1} , Xj = {х : ej•-1 ||х|| ^ ej} , ] =2, 3,.... Определим пространство Ур, состоящее из всех функций и € Ьък(Яп) таких, что

/ \ 1/р

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

|и|У р =

Edj j=1

||и(х)||р йх

< то.

/

Пространство Ур является банаховым пространством [6, с.264].

Введем пространство Шв(Ур) типа Степанова — Бесова, которое состоит

из таких функций и € Ьък (Яп), что

и|

Ж'

(Ур) =

те

Е !>

|а|<[«] j=1

(

\

1/р

|£аи(х)||р йх

+ <и>3{з} < ТО

где

<и>з{^} = Е Е^

|а|<[«] j=1

1/р

\Оаи(х) - Баи

— 1<|х|| ^е^,

|х - У1

п+р{«}

-йхйу

те

р

^ Я^} эквивалентна кор-

Пространство Ш5(УР) также является банаховым пространством. Далее норма

||и||у;\ = 1Ы1ур + (и)30 {в}

определяет банахово пространство уР}. По аналогии с теоремой 1 доказывается следующая

Теорема 2. Корректность оператора Р : Н5 ректности оператора Р : Ш5 (УР) ^ У{Р}.

В доказательстве теоремы 2 существенную роль играет оценка

(^1и)30 < Ь3 (и)30 + Ь4Т-{5} ||и||^(УР) ,

где 63,64 — некоторые постоянные, не зависящие от и(ж) и ^аи(ж).

Теорема 3. При сделанных предположениях относительно коэффициентов р и п корректность операторов Р : Н5 ^ Р : Ш5(МР) ^ и Р : Ш5(УР) ^ эквивалентна.

Теорема 4. Пусть выполнены предположения теоремы 3. Тогда обратимость одного из операторов Р : Н5 ^ Я? }, Р : Ш5(МР) ^

Мрг и Ы

Р : Ш5(УР) ^ У{Р} влечет обратимость двух остальных операторов.

Доказательство. Пусть оператор Р : Н5 ^ ЯР5} обратим и / € У{5}. Тогда уравнение Ри = / имеет единственное решение и € Нибо уР} С рР5}. Покажем, что и € Ш5(УР). Обратимый оператор Р : Н5 ^ ЯР5} корректен, так как Н5 и — банаховы пространства. По теореме 2 оператор Р : Ш5(УР) ^ У{Р} корректен. Тогда имеет место неравенство

Е

з

1/р

|£аи(ж)||р +

+ Е Е^

1«км ^=1

1/р

||£аи(ж) -

Iх - У1

™+р{«}

<

< N1 ||Ри|и + N ||Ри||н. ,

М

где постоянные N1, ограничены относительно Отсюда следует, что

и € Ш5(УР), т. е. оператор Р : Ш5(УР) ^ у^ обратим.

Если оператор Р : Ш5(УР) ^ уР} обратим, то возьмем произвольный элемент / и положим /3 = <^(ж, 0^3-)/. Очевидно, /3 € уР}, и уравнение Ри = /3 имеет единственное решение из € Ш5(УР). По теореме Банаха оператор Р : Ш5(УР) ^ уР,} непрерывно обратим и, следовательно, корректен.

V

V

Р

Тогда согласно теореме 2 оператор Р : Н5 ^ ¿{а} корректен, и справедливо по формуле (22) неравенство ([з] = т)

£

(

\

1/р

\Бащ(х) - ват(х)\\р йх

+

+ Е

|а|<[в]

\Оа (и(х) - щ(х)) - (и(у) - и

< Ь ^ 2 '

^ 2

|х - У1

^ а5

\

1/р

- /г\ йх

+

/

+

МОД-

УЛ (х) - /г (х) - /j (У) - /г

|х - У1

п+ру

1/р

-йхйу

<

а.6

м

При этом постоянные й6, Об не зависят от ], и(х) (г > ].) Так как Uj ограничена в Ня(Ьр), то отсюда следует, что последовательность Uj локально фундаментальна в Н5 (Ьр). Так как оператор Р : Н5 ^ ¿{^ локально непрерывен, то Ри = /. Поскольку / — произвольный элемент из то Р : Н5 ^ обратим (непрерывен). Согласно теореме 2 операторы

^ и Р : Ш5(Ур) ^ У{5} обратимы одновременно. Теорема

доказана.

Р : Н5

■р

j

р

j

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Литература

[1] Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 336 с.

[2] Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.

[3] Жиков В.В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. Сер.: Матем. 1976. Т. 40. № 6. С. 1380—1408.

[4] Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985. 472 с.

[5] Тюрин В.М. К обратимости линейных дифференциальных операторов с частными производными в некоторых пространствах функций на Мга // Дифференц. уравнения. 1997. Т. 33. № 10. С. 1419—1425.

[6] Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными: в 4 т. Т. 2. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами. М.: Мир, 1986. 456 с.

Поступила в редакцию 9////2009; в окончательном варианте — 22/V//2009.

ABOUT THE REVERSIBILITY OF LINEAR DIFFERENTIATION OPERATORS OF THE ELLIPTICAL TYPE IN SOME FUNCTION SPACES

© 2009 T.B. Kuznetsova, V.M. Tyurin2

In the spaces of Sobolev — Slobodetzky Hя(й), Sobolev — Stepanov Ws(Rp) and Stepanov — Besov Ws(Vp) (0 < s < то), the equivalence of invertibility properties for the linear differentiation operator with limited coefficients is proved.

Key words and phrases: differentiation operator, invertibility, correctness, coercitivity, functional spaces.

Paper received 9/77/2009. Paper accepted 22/V7/2009.

2Kuznetsova Tatyana Borisovna ([email protected]), Tyurin Vasiliy Michailovich ([email protected]), Department of Higher Mathematics, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, 398600, Russia.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.