CC BY
26
УДК 517.983.36
О СПЕКТРЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ
ПРОСТРАНСТВАХ
© В.М. Тюрин
Ключевые слова: пространство Соболева-Слободецкого-Степанова; пространство Соболева-Степанова; усиленная эллиптичность; дифференциальный оператор. Доказано, что резольвентное множество линейного дифференциального оператора в частных производных эллиптического типа в пространствах Соболева-Слободецкого и Соболева-Степанова содержит отрицательную полуось Нв\ < в, при некотором в < 0.
Пусть X - произвольное банахово пространство; ЬР = Ьр(Шп,Х) - лебеговы пространства сильно измеримых (по Бохнеру) функций и : Кп — X с конечной нормой ||и||ю (р > !,и € К); Нт = Нт(Кп, X) - пространство Соболева ([1] с. 60; [2] с. 24) с нормой
Mim = l|Dau||io < гс (М < m),
u € Hm, Da = д^/фх^1 .. .0x0"), a = (м1, ■ ■ ■, мп) - мультииндекс, |м| = а1 + ... + ап, m € NU{0}; в пространстве Соболева-Слободецкого HlmY = HlmY(Rn,X) ([3] с. 228) норма определяется равенством ||1|i^^y = ||u||im + {u)lmY, где
\ i/p
HDau(x) - Dau(yW , , \ - «yj
{u}lmj = Y^ I J
^ - y\n+pl
< ж, 0 <y < 1,
\а\<т \К"хК"
Н107 = н107(Кп, X) - пространство функций и € ЬР, норма в котором задается равенством ||и||ю7 = ||и||10 + (и)107; Мр = Mp(Кn,X) - пространство Степанова ([4] с. 78) сильно измеримых функций и : Кп — X, у которых норма
( \1,Р
11U || 20 = SUp
x€R"
<,
I 11 и(х) 11 Рйх Щх) )
К(х) - единичный куб в Кп с центром в точке х; Шт - пространство Соболева-Степанова функций и € МР, имеющих обобщенные производные Оаи € МР, при этом норма элемента и € Шт задается формулой
||и||2т = ||^аи||20 < ГС, (|а| < т).
Пространство Н207 = Н207(Кn,X) определяется конечной нормой ||и||207 = ||и||20 + (и)207
элемента и € Н207, а пространство Н2т7 = Н2т7(Кn,X) - нормой ||и||2т7 = ||^^||+ (и)2т7 < ГС, где
( \1/Р
{u)2my = У2 SUp
, , „ х,у&R" J
\a\<m
Щх)хК(у)
HDau(x) - Dau(y)Hp
^ - y^+PY
dxdy
u
g H2mY.
/
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор Р : Н3т1 — Н301 (^ = 1, 2) в частных производных, действующий по формуле
Ри = ^ Ла(х)Баи(х)
\а\<т
с коэффициентами Ла(х) € С(Мга, БпёХ).
Оператор Р : Н3т1 — И30~( будем называть усиленно эллиптическим, если существуют такие постоянные а\ и а,2, не зависящие от функции и € Изт1, что
\\и\\т < а1||и11^07 + а2\\Рти\\]01,
где Рт - главная часть оператора Р,
\\и\\'т = ^ \\оаи\\]01.
\а\=т
Рассмотрим оператор Рт = ^ Ла(х)Баи(х) (\а\ = т) в Н301 с областью определения В(Рт,Н3т1) = Нт, т.е. Рт = В(Рт,Нт) — Н^, замкнут и имеет плотную область определения. Предполагается, что отрицательная полуось состоит из его регулярных точек и резольвента удовлетворяет неравенству
\\(Рт - А)-1\\^0^ = \\Рт(\)\\301 < , С - 0, М1 > 0 (1)
не зависит от Л, КеЛ <9 < 0.
Теорема. Для усиленно эллиптического оператора Р : Н3т1 — Н30~( найдется число 91 < 0 такое, что при КеЛ < 91 оператор Р — Л : Н3т1 — Н301 имеет непрерывный обратный, определенный на всем пространстве Нзт7.
Доказательство. Пусть ] = 1. Неравенства о промежуточных производных ( [5], с. 245; [6], с. 200) приводят к оценке
т—2 т-1 т-1
\\и\\1{т-1)1 < £т—1\\и\\1т1 + ^ £к П Ь(£3)\\и\\ 1(к+1)7 +Ц Ь£)\\и\\107,и € Н1т, (2)
к=1 3=к+1 3=1
где величины Ь(£з) > 0 не зависят от функции и, при этом, вообще говоря, Ь(£з) не ограничены при £3 — 0.
В силу усиленной эллиптичности оператора Р : Н1т7 — Н107 имеет место неравенство
\\и\\ 1т7 < а1\\и\\з(т—1)1 + а2\\Рти\\107. (3)
Отсюда согласно (2) при 2а1т£т—1 < 1,..., 2а1тЬ(£2) ■ ■ ■ Ь(£т—1) < 1 получаем
т— 1
\ \ и\ \ 1(т—1)7 < 2а1 Л Ь(£з ) \ \ и\ \ 107 + 2а2£т— 1 \ \ Рти\ \ 107. (4)
3=1
С помощью резольвенты Кт(Л) и ее оценки (1) неравенство (4) запишем следующим образом
\ \ Кт(Л)и \ \ 1(т—1)7 < С+М1 1П Ь(£3 ) \ \и \ \ Ю7 + 2а2£т—1 \ \и \ \ 107 + \ \и \ \ ^. (5)
Положим Q = Р — Рт и рассмотрим оператор QRm(А) : И107 — И301 Проверим его непрерывность. Согласно (5) имеем
№т(А)и||107 < ат^т(\)п\\Ят-1Ъ < Д Ъ(б, )||и||107 +
+ |А| 3=1
+2а(^)а2ет-1Ыт + И^. (6)
2U(Q)U'2\ 1 + M^1|X|(C + |Л|) 1
возьмем таким образом, чтобы
Выберем em-1 так, чтобы 2a(Q)a2( 1 + M^X^c + |Л|) ^em-1 < 1/4, а затем ReX < в
2а^)а1М1|А| 1
СТА < 4 •
Тогда из (6) получим ||QRm(А)u||10Y < 2-1||и||107, т.е. оператор QRm(А) : И107 — И107 непрерывен и ||QRm(А)u||107 < 1/2. Поэтому оператор I + QRm(А) : И107 — И107 имеет непрерывный обратный. Так как
(Р — А)и = (I + QRm(А))(Pm — А)и (и € Ит),
то оператор Р — А : И1т1 — И107 непрерывно обратим. Случай ^ =2 рассматривается аналогично. Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. 3-е изд., доп. и перераб. М.: Наука, 1988.
2. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1985.
3. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.
4. Левитан Б.М., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978.
5. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.
6. Мизоката С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.
Поступила в редакцию 8 апреля 2015 г.
Tyurin V.M. ABOUT SPECTRUM OF LINEAR DIFFERENTIAL OPERATOR IN PARTIAL DERIVATIVES IN SOME FUNCTIONAL SPACES
Proved that resolvent set of linear differential operator in partial derivatives of elliptical type in spaces of Sobolev-Slobodetcky and spaces of Sobolev-Stepanov include negative semiaxis ReX < в, at some в < 0.
Key words: Space of Sobolev-Slobodetcky; spaces of Sobolev-Stepanov; strengthened ellipticity; differential operator.
Тюрин Василий Михайлович, Липецкий государственный технический университет, г. Липецк, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, e-mail: [email protected]
Tyurin Vasily Mikhaylovich, Lipetsk State Technical University, Lipetsk, Russian Federation, Doctor of Physics and Mathematics, Professor, e-mail: [email protected]
