О некоторых энергетических оценках в для линейных дифференциальных операторов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

О НЕКОТОРЫХ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ОЦЕНКАХ В Еп ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

© В. М. Тюрин

Ключевые слова: пространства Бесова; пространство Соболева; энергетическая оценка. Установлена эквивалентность свойств обратимости линейного дифференциального оператора в пространствах Бесова и Бесова-Степанова.

Обозначим произвольное банахово пространство через X; Ьр = Ьр (Кп, X) — пространство Лебега сильно измеряемых (по Бохнеру) функций и : Кп ^ X (р > 1,п € N) с обычной нормой ||и||0 ; Мр = Мр (Кп,Х) — пространство Степанова, при этом

\и\\мг = яир

х€Яп

(

\К(х)

\

1/р

\и(х)йх\р

< ж,

)

где К(х) — единичный куб в Кп с центром в точке х, || • || в X [1]; р = Ьр, р = Мр. Пространство Соболева Шш(Ег) [2, 3] состоит из функций и € Ег (г = 1,2), которые имеют обобщенные производные Баи € Ег, |а| ^ т € N, с нормой

=

Ъ \\паиЬг

\а\^.ш

д\а\

дха1 дх

ап

п

а = (су,]^, ..., ап), |а| = а1 + ... + ап. Если Ег = то ||и|тт(^1) = 1М|

Пространство Бесова В]3 = В^ (Еп,Ьр) [3, 4] определяется нормой

/

^2(-1)к гСгкБаи(х + г(у — х))

г=0

\

1/р

Кпх Еп

У — х1п+р<

-йхйу

\

= ||и||о + {и) 1з < ТО,

/

к € N, в = т + 0 < ^ < 1, Сгк — биноминальные коэффициенты.

Пространство Бесова-Степанова В23 = В23 (Еп, Мр) состоит из функций и € Мр

имеющих обобщенные производные Оаи € Мр , при этом

и

м Р

+ Е

8Ир

, , . х, у € Яп \а\^ш *

к

к

^ (—1)к к Сгк Баи (х + г (у — х))

1/р

К (х)хК(у)

|х—у|

п+ру

-йхйу

=и

мР

+ {и)2в <

ш

р

р

Для произвольных Т > п , £ € Яп построим гладкую финитную функцию ф](х,£,Т) = = ф1 : Яп ^ [0,1] с носителем в шаре В (£, 2Т) С Яп , при этом ф1 (х, £,Т) = 1, если х € В (£,Т), а || Оаф1Ц с ^ Ь0Т— 1 (Ь0 те зависит от Т, а = 0), т. е. ф1 € С0ю (Яп, Я) , С = С (Rn,X) — пространство непрерывных ограниченных функций и : Яп ^ X с вир-нормой. Положим ф (х, £, п, Т) = ф1 (х, £, Т) х ф1 (х, п,Т), п € Яп .

Лемма 1. При любых Т > п, £,п € Яп для и € В]3 имеет место неравенство

(

{фи)и < а1Т 7 £ I /

||Баи (х)Цр йх

\

1/р

\«Кш У^х-^КбТ

+

+а1 ^ \а\^.ш

(

1/р

к

^ (—1) г СгкБаи (х + г (у — х))р йхйу

г=0

1х — у1

п+ру

а1 > 0 не зависит от и, Т, £ и п •

Доказательство. Возьмем произвольную функцию и € Вр3 и рассмотрим

(1)

А =

Е (—1)к г Скф (х + г (у — х) ,£,п,Т) и (х + г (у — х))

г=0

Япх Еп

1х — у1

п+ру

1/р

-йхйу

<

(2)

ГД6

^ А] + А2 + Аз

А] = Е

г=0

Япх яп

СУ | ф1 (х + г (у — х), £, Т) 1р х х \ ф1 (х + г (у — х), п, Т) — ф] (х, п, Т) ^ х х || и (х + г (у — х)) ||р

п+ру

1/р

-йхйу

р

А2 =

г=0

япх яп

(Ск)р ф (х, п, Т) Г х

х| ф] (х + г (у — х), £, Т) — ф] (у, £, Т) ^ х

х || и (х + г (у — х)) ||р

1/р

п+ру

-йхйу

Аз =

^1(х, £, Т) ф] (у, п, ^

к

(—1)

г=0

к—г

сг и (х + г (у — х))

1/р

Япх Яп

|х—у|

п+ру

-йхйу

р

Оценим

Л. — £ Л

і=0

Если г = 0, то А] = 0. При г = 1,..., к в интеграле А\ сделаем зам ену х = г. у = (1 + г—1)г — г—1шг. В результате будет иметь

Лі — Сі іЧ А1 — Ск і

г?пх Еп

\ ф. І, Т) \р ■\ ф. (ші, п, Т) — ф. (г, п, Т) \р ■ У и (ші)

\г - шг\п+р7

1/р

-йгйші

— Е 4

3 = 1

Величина Л. оценивается сверху таким образом:

\

1/р

и (ші) ||р йші,

\\ ш— \^2Т

а\ — С і і1 Ъ0 (р — р7) /р ■ (п жп)1/р , жп - объем единичного шара в Кп . При условии

І — п\ ^ 2Т справедлива оценка

(3)

1/р

иШі \\Р йШі

\\ ш— \ ^4Т +\ — \

/

(4)

аг2

— 31-1 ■ 2Ьо Сгк V (р — Р7)-1/р + 21-1/— 3п/рСгк V (ъ0 + П (п^п)1/р .

V рг) /

Интеграл Л допускает оценку, аналогичную Л :

(

\

./р

иШі ||р йШі,

\\ \ ^4Т +\ — \

/

(5)

Так как ф1 (шг, £,Т) = 0 при | — £ | ^ 2Т и | г — п | ^ 2Т , то 3\ = 0 . Следовательно,

согласно (31-15)

-і

(

\\ ш— \<4Т+\ — \

\

./р

иші ||р йш,.

/

Аналогично оценивается А2 . Тогда получаем

Л. ^ 2к (а. + а2 + а3) (к + 1) к1 Т

(

\\ — \<6Т

\

./р

и (х) ||р йх

(6)

/

р

аг = аг (Ь0,р,г,п,ч).

А2

1/р

А2 ^ 2к (а1 + а2 + а3) (к + 1) к1Т

—1

J || и (х) ||р йх

\\х—£ \ 5бТ /

А3

( \1/р

А ^ 2к+] (а1 + а2 + а3) (к + 1) к1 Т 1 (

и (х) ||р йх

+

+

\ ]/р

Е (—1)к—г Ск и (х + г (у — х))

г=0

.) х — уГ+р~<

^ ^ ^ 6Т,

— £| < 6Т

Искомое неравенство (1) вытекает из формулы Лейбница

-йхйу

Ба (фи) = а ) Ба—в фБв и

/З^а' '

и неравенства (8). Лемма доказана.

Аналогично доказывается.

Лемма 2. Для любых £,п € Яп , Т > п, и € Вр3 справедлива оценка

(

{фи)28 ^ Ь1Т 7 ^ 8^ / || Баи(х) ||р йх

\ х—е \ кбт ■>

(

\

1/р

+

(7)

(8)

к к ■ ■

Е (—1) г СгкБаи (х + г (у — х))

г=0

К (х)хК (у)

п+ру

р 1/р

-йхйу

)

Ь1 > 0 и, Т, £, п

Рассмотрим линейный дифференциальный оператор РгВр ^ Ег в частных производных

Ри = ^ Аа(х) Баи,

\ а \ ^ш

где Аа € С (Rn,EnйX), EnйX - пространство линейных ограниченных операторов А : X ^ X.

Оператор Р : Вр3 ^ Ег назовем энергетическим, если существует такая положительная кг

и

г(Е.) < кг {и)г3 + кг У Ри ||^

(9)

р

и € Вр3

Теорема. Операторы Р : В]3 ^ Ьр и Р : Вр;3 ^ Мр являются энергетическими одновременно.

Доказательство. Пусть и € Вр3 . Тогда Р (ф и) = ф Ри + Q (и, ф) , где Q (и, ф) - линейный дифференциальный оператор порядка т — 1 по переменной и с финитными коэффициентами. Предположим, что оператор Р : Р : В]3 ^ Ьр является энергетическим. Так как фи € В]3 , то согласно (9) имеем

фи Цш ^ к1 {ф и)13 + к1 II фРи ||0 + к1 II Q (и,ф)

(10)

Поскольку

/

\Q (и,ф) 110 < й]Т 1 ^2

\а\^ш— 1

\

1/р

Баи(х)Цр йх

\х—е\5бТ /

й1 > 0 и, Т, £, п

оценку

Е

\а\^ш

(

\[х е \<Т

\

Оаи(х)Цр йх

/

)

< С]Т—1^ / №аи(х) ||р йх

\

1/р

1аКш \\х—е \5бТ

+

/

\

\ 1/р

к к ^

Е (—1) СкОаи (х + г (у — х))

г=0

х — ^ ^ 6Т,

\ У — ^ < 6Т +к1

|х—у|

п+ру

йхйу

+

(

\

1/р

Р и(х) | р йх

(11)

\х—е \5бТ

С1 = к1а1 + к1й1 ^ а1к1 + й1к1Т1—1,

к]а] + к]й]Т—1 ^ к]а] + к]й]П = С2 ■ Из (11) индукций по Т устанавливаем неравенство

\ ]/р / \ ]/р

Е

\а\^ш

(

\[х е \<Т

Оаи(х)Цр йх

J || Баи(х) ||р йх \х—е К12^Т

+

/

/

1/р

+2С2 Е

\а\^ш

к к ■ ■

Е (—1) Ск Оаи (х + г (у — х))

г=0

п+ру

йхйу

+

+2к1

/ "Ри(х) ||р йх

1/р

(12)

\[х—е К12^ т

0

р

р

Куб (С, 2 • 12vT) D B(С, 12vT) разобьем на л = (2 • 12йT)n кубов (Сj) • (j = 1,..., л) ■

Тогда

У У Dau(x) ||p dx ^ л У Dau IIMp , I а | ^ т, (13)

|x-f |<l2^T

E(-1)k г ClDau (x + i (y - x))

i=o

dxdy ^ л2 {u)ps, (14)

n+py

Ix - d < 12vT, Iy - nI < 12vT

Ix - y'I

P u(x) ||p dx ^ л H Pu ||M

(15)

\^2^Т

Выберем точку І Є Кп так, что

/ \l/p

У Ц Dau(x) ||p dx

\K(ii) J

Согласно (12)-(15) будем иметь || и Итт(ыг) < 2СV МТ—^л1/р || и || шт{МР) + С Nл2/р {и)2з + К Nл1/р || Ри ЦМР , (16) N - число производных Оаи (| а | ^ т) .

Если выбрать V и Т таким образом, чтобы выполнялось неравенство

2n+2Cjv Y2yn/p ntn/p < tvy

то из (16) получаем

u

Mp

II и Ц№т{МР) < 8С2 Nл2/р {и)2з + 8К. Мл./р || Р

т. е. оператор Р : Бр3 ^ Мр является энергетическим.

В другую сторону. Пусть оператор Р : Бр3 ^ Мр - энергетический. Возьмем произвольную функцию и Є Б.3 и применим оператор Р к функции фи Є Бр3 . Так как оператор Р : Бр3 ^ Мр - энергетический, то получаем оценку (см. (10))

\vu Hwrn^p) < K2 {<pu)2s + K2 II <^Pu Умp + K2 У Q(u,p)

ГД6

Mp

1/p

(17)

У Q(u,^>) HMp ^ d2T l У'' sup / У Dau(x) ||p dx

1 _ l x-f lS6T J

Из (17) и (18) вытекает

і і I x—f Is

| a Sl' \K(x)

(18)

/

p

sup

| a |Sm ^ lST

(

K(x)

\

1/p

Dau(x) ||p dx

^ b2 T Y sup

| a |Sm l xS lS6T

K(x)

1/p

Dau(x) ||p dx\ +

/

+Ьз ^2 SUP

\ а \ ^ш \х — £ \ ^ 6Т,

\у — п\ < 6Т X

Е(—1)к г СгкОаи (х + г (у — х)) г=0 к

1/р

К (х)хК (у)

\х — у\

п+ру

йхйу

+К2 sup

\ х—е КбТ

(

К(х)

К(х)

Р и(х) | р йх

1/р

) '

Ь2 = (Ь]К2 + й2К2) ^ Ь2К2 + й2К2Т'Т—\

Ь]К2 + й2КТ—1 ^ Ь]К2 + й2К2П = Ьз.

По индукции из (19), с учетом выпуклости функции £ ^ 1р , находим

У || Баи(х) ||р йх ^

\ а \^ш

К(х)

< 3р—1^1 Мр—1Т—"р^^ I || Ба и(х) ||р йх+

\ а \^ш \х—е \<10"Т

+

(19)

(20)

Е (—1)к—г Ск || Баи (х + г (у — х)) г=0 к

\х — £\ ^ 10йТ, \у — п\ < 10йТ

\х — у\

п+ру

-йхйу+

+2р3р—1Кр2Мр—11 || Ри(х) ||рйх.

\х—е\<ю^ Т

Возьмем куб К(0, Я), ребра которого параллельны осям координат Яп и Я € N. Разобьём его на г = Яп кубо в К (£3) . Применим к каждом у кубу К (£3) (20), будем иметь

У || Оаи(х) ||р йх ^

\ а \^ш К(0,Я)

Ба и(х) ||р йх+

3= \ а\^ш \х—еТ

+2p3p—1ЩiNP—1Y^ I]

3 = 1 \ а \5ш

Тк=0 (—1)к—г Скваи (х + г (у — х))

\х — £31 < 10"Т, \у — пз \ < 10йТ

\х — у\

п+ру

-йхйу+

+2р3р—1 р—1^ у || Ри(х) ||рйх.

3=]\х—е, т

р

р

р

Каждый шар В(^, 10йТ) в (21) заменим на куб К(^, 2 ■ 10йТ) . Затем разобьём его на ц = (2 ■ 10йТ)п кубов К(^) . Кубы К(^, 2 ■ 10йТ) , К(^) расположены так же как К(0, К) . Нетрудно проверить, что

Е Е / У Da u(x) ||p dx ^ ц У и

j=1 \ a Km \x-j \^ю- т

\p

\m '

(22)

E E

j=1 \ a \^m

|x - j \ < 10vT, \y - nj| < 10vT

k . .

E (-1) Ck Dau (x + i (y - x))

i=0

\x - y\

n+pY

-dxdy ^ ц2 {u)1, (23)

j || Pu(x) ||p dx ^ ц || Pu ||0. (24)

j=l\x-S,j\^10^ T

Так как R произвольно и ц не зависит от R, то из неравенств (21)—(24) вытекает

u

< 3p-1bv2 Np-1T-ирц II u llpm + 2p3p-1bpNp-1 ц2 {u)p + 2p3p-1KpNp-1 ц || Pu |p . (25)

Выберем числа v и T так, чтобы выполнялось перавенство 3p 1b2 Np 1T ирц ^ 1/2

Тогда из (25) следует

u

m < 2p+13p-1b3 N 1}-1ц2 {u)p + 2p+13p-1КPpNp-1ц || P\

(26)

Неравенство (26) доказывает теорему.

ЛИТЕРАТУРА

1. Maccepa X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. С. 78.

2. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. С. 60.

3. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975. С. 126, 293.

4. Тейлор М. Псевдо-дифференциальные операторы. М.: Мир, 1985. С. 301.

Поступила в редакцию 10 ноября 2011 г.

Tyurin V.M. On some energy estimates in Rn for linear differential operators. We establish the equivalence of the invertibility properties of differential operators in the spaces of Besov and Besov-Stepanov.

Key words: Besov spaces; Sobolev space; the energy estimate.

p

p

m

p