Об эллиптичности возмущенного линейного дифференциального оператора Текст научной статьи по специальности «Математика»

система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид

д

= -P(ni,U2, .. . ,t) |е ni(v + bi(t)) j + P(ni - 1,n2,...,t) ^(ni - 1)bi(t) + nibi(t) \ +

i=1

E(n i + 1){P(ni,n2, . . . . .,t)(1 - Ti) +

i=1

+P(U1,U2, .. .,n0i + 1,ni+l - 1,ni+2, . . .,t)Ti}

Используя метод асимтотического анализа [1] для решения системы, авторы доказывают, что распределение вероятности величины n(t) = {n(1,t),n(2,t),.. .}T числа заявок, обслуживаемых в системе в момент времени t аппроксимируется гауссовским распределением.

ЛИТЕРАТУРА

1. Назаров А.А. Метод асимтотического анализа в теории массового обслуживания. Томск: НТЛ, 2006112с.

2. Назаров А.А., Носова М.Г. О нецелесообразности аппроксимации процесса рождаемости потоками Пуассона при долгосрочном прогнозировании // Вестник томского университета, серия Управление, вычислительная техника и информатика. 2009 № 3 (8). С. 75-80.

3. Назаров А.А., Носова М.Г. Многофазная автономная система массового обслуживания и её применение к задачам демографии // Известия томского политехнического университета. 2009. Т. 315. № 5. С. 183-186.

4. Назаров А.А., Носова М.Г. Математическая модель процесса изменения демографической ситуации и ее исследование // Доклады ТУСУРа. № 2 (20). декабрь 2009. С. 100-105.

Tyrygina G.A. ABOUT PROBABILITY APPROACH TO MATHEMATICAL DESCRIPTION OF DEMOGRAPHIC SITUATIONS

The present paper gives a brief overview of some mathematical demographic models at construnting of which the methods of the mass service theory are used.

Key words: demographic situation; system of mass service; mathematical model.

УДК 517.983

ОБ ЭЛЛИПТИЧНОСТИ ВОЗМУЩЕННОГО ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА

© В.М. Тюрин

Ключевые слова: пространства Соболева и Степанова; существенная эллиптичность; неравенства для обобщенных функций.

Исследуется обобщенная эллиптичность дифференциального оператора с малым параметром при эллиптичности данного дифференциального оператора.

Пусть X - банахово пространство; С = С (Еп,Х) - пространство функций и: Кп X, непрерывных и ограниченных с 8ир-нормой; Ьр = Ьр (Кп,Х) - пространство Лебега сильно

2712

измеримых (по Бохнеру) функций с обычной нормой \\п\\0 (0 <p< œ) ; Mp = Mp (Rn,X)

- пространство Степанова с конечной нормой ||u||MP ; Hm = Hm (Rn,X) - пространство Соболева, состоящее из функций u € Lp, имеющих обобщенные производные Dau € Lp (|а| ^ т) , при этом его норма \\u\\m < œ; Wm = Wm(MP) - пространство Соболева-Степанова функций u € Mp, у которой обобщенные производные Dau € Mp (|a| ^ m) и \\U\\wm < œ-

В пространстве Hm выделим пространство Hm+lY функций и с конечной нормой

llulllm = llullm + (u)jm ,

, . v-^ \\Dau (x) — Dau (y) Il , . . . . .

(u)jm = SUP„ -------(x_ y)Y------- (0 < Y < 1) , (u)j = (u)jü < œ-

I I x.y^R V У /

\a\<m

Аналогично определяется пространство Wm+2Y с Wm с нормой

11u 112m = llullwm + (u)jm < œ'

Через Lp = Lp (Rn, X), Mp = Mp (Rn, X) обозначим пространства, в которых норма задается, соответственно, формулами

llullüY = llullü + (u)y , МыРу = IMImp + (u)y ■

Дифференциальное выражение в частных производных

P = ^ Aa (x) Dau (m € N) ,

\a\^m

где Aa € C (Rn, EndX) определяет линейные операторы P : Hm — Lp, P : Wm — Mp, p :_ hm+lY — p?, P : Wm+2Y — Mpr

Обозначим Lp = Fi, Mp = F2, Hm = Wm (Fi), Wm = Wm (F2). Тогда P : Wm (Fi) —

— Fi (i = 1, 2) есть, соответственно, один из операторов P : Hm — LP, P : Wm — Mp. Если FlY = Lp, F2y = Mp, Fm+lY = Hm+lY, Fm+2Y = Wm+2Y, то P : Fm+lY — FY при i = 1 оператор P : Hm+lY — Lp(, а при i = 2 P : Wm+2Y — Mp.

Оператор P : Fm+lY — FiY назовем существенно эллиптическим на Rn, если существует число Xü € R и постоянная C (X) > 0 такие, что при ReX < Xü выполняется неравенство

IMI7m + IMIim < C (X) llPmu — Xu|lü ,

Pm - главная часть оператора P.

Для e € (0, e0), e0 > 0, возмущенный оператор P£ : Wm+iY — FiY,

Peu = ^ Aa£ (x) Dau,

\a\^m

имеет коэффициенты Aae € C (Rn,EndX) . Введем невязку

1/

в (Є)= Y. (J lAa (x) - Aae (x)\\p dx^ P

|a|^m R

Теорема. Пусть оператор Р : Рт+1'У ^ РІ1 существенно эллиптичен и невязка в (є) ^ 0 при є ^ 0. Тогда возмущенный оператор Рє: Шт+г1 ^ РІ1 при малых є> 0 также существенно эллиптичен.

Приводится приложение приведенной теоремы.

2713

Tyurin V.M. ON ELLIPTICITY OF PERTURBED LINEAR DIFFERENTIAL OPERATOR The generalized ellipticity of a differential operator with a small parameter given the ellipticity of the operator is studied.

Key words: Sobolev and Stepanov spaces; essential ellipticity; inequalities for distributions.

УДК 517.983

К ОБОБЩЕННОЙ КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ СОБОЛЕВА И СТЕПАНОВА

© В.М. Тюрин

Ключевые слова: пространство Соболева-Степанова; обобщенное решение; обобщенная корректность.

Доказано, что обобщенная корректность линейного дифференциального оператора с ограниченными коэффициентами равносильна в пространствах Лебега и Степанова.

Пусть X - пространство Гильберта; С = С (Еп,Х) - пространство непрерывных ограниченных функций и : Кп X с 8ир-нормой ||и||с (п € N) ; М2 = М2 (Яп, X) - простран-

ство Степанова сильно измеримых (по Бохнеру) функций и : Rn ^ X, у которых

Í

\\и\\м 2 — sup

x&Rn

\ 1/2

II и (x) II dx

< оо,

\K(x)

/

где К(х) - единичный куб в Я с центром в точке х, [1; с. 78]; Ь2 = Ь2 (Я,Х) - пространство Лебега сильно измеримых функций и : Яп X с обычной нормой

1

/ 2

Ніс =

< оо.

Через Г = Г (Яп,Х) обозначим одно из пространств М2, Ь2.

Примем также следующие обозначения Ст = Ст (Яп, X) - пространство функций и: Яп ^ X ограниченных и непрерывных вместе с производными Оаи до порядка т включительно, при этом

INIc = £ WFuWa, D

\a\^m

д\a\

3x0і + dx’

a = (a\,...,an) - мультииндекс, m € N; Hm = Hm (R n, X) - пространство Соболева

функций u € L2, обобщенные производные Dau (|a|) ^ m которых принадлежат L2, причем

2714