О корректности линейных дифференциальных операторов в некоторых функциональных пространствах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

О КОРРЕКТНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ В НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

© В. М. Тюрин

Ключевые слова: функциональные пространства; корректность; дифференциальные операторы.

Рассмотрены корректности и обобщенная корректность линейных дифференциальных операторов в пространствах Соболева и Соболева-Степанова.

Пусть X — банахово пространство; Lp = Lp(Rn,X) — пространство Лебега сильно измеримых (по Бохнеру) функций и : Rn -» X (р > 1, п £ N) с обычной нормой ||-||0; Wl (L9) =

— — пространство Соболева, норма в котором определяется формулой |М|^ =

д\а\

= 1М1г= £ 1Р“«Но> ва = ~д^-------------^5^-, а = а„)-мультииндекс, |a| = ai+

j Ос | ^ I 1 ^

I € N [1]; Мр — Мр (Rn,X) — пространство Степанова сильно измеримых функций и : Rn —» Ху у которых

\ 1 /р

(/

Щх)

Ml МР = sup I / ||u(:r)fcte

x£Rn

' *) /

< оо,

где К(х) — единичный куб в Яп с центром в точке X £ Яп [2].

]У1 (Мр) = (ДП,МР) — пространство Соболева-Степанова функций и : На —> X из Мр, у которых обобщенные производные Иаи £ Мр (|а| ^ /), при этом

1М1и^(Мр) = И^Им, •

|а|<г

Запись \¥1 (Г) обозначает одно из пространств ]У1 (Ьр), ]¥1 (Мр) .

Рассмотрим дифференциальное выражение (оператор) в частных производных

Р = £ (х) 1»“ (т € ЛГ),

|а|^т

в котором коэффициенты Аа е С (Вп,Нот(Х,Х)), где Нот(Х,Х) — пространство линейных ограниченных операторов, действующих в X, с равномерной топологией. По формуле

Ри = ^ Аа (х) Ваи (х)

|а|<т

определим линейный ограниченный оператор Р : И/т(^) —> К

Следуя [3], оператор Р : \¥т(Р) -> Р назовем корректным, если найдется постоянная к > 0, такая, что выполняется неравенство

ІМІИ^(Р) ^ ^11^^11^ (1)

для всех и Є \¥т(Р).

Если выполняется неравенство

||^||/? ^ ко \\Ри\\р , /со > о, (2)

то оператор Р будем называть 0—корректным.

Теорема 1. Оператор Р : \¥т(Р) —> Р корректен тогда и только тогда, когда он является Е— коэрцитивным и 0— корректным оператором одновременно.

Доказательство. Пусть оператор Р : \¥т(Р) Р Е— коэрцитивен:

ІМІт < ІІ^ІІт-і + ^2 ІІРиІІ0 • (3)

На основе неравенства для промежуточных производных [4] выводится оценка

где величина а(є^) > 0, Ь(є> 0 не зависят от и и оператора Р, при этом а(е^ —> 0, если Єj —> 0; величины Ь(^), вообще говоря, не ограничены при —>• 0. Выберем числа е\,... ,єш-і так, чтобы

Ш~1

Етп— X

а (єв-1) П &(£_,-) <1.

5=2

Тогда из (4) с учетом (2) следует

171

ІМІт_і ^ 2ко п Ь (є^ ||Рп||0 + 2о (єш_і) С2 ||Ри||0 . (5)

і=і

т

Неравенства (3) и (5) дают \\и\\т ^ Сз ||Ргг||0, Сз = 2Сі&о П + 2а{єгп-і)Сі • С2 + С2, т. е.

і=і

оператор Р : У/771^1*) —>> Ьр корректен.

Если оператор Р : У/т(Ьр) —> Ьр корректен, то он 0— корректен и Е— коэрцитивен. Случай оператора Р : \¥т(Мр) —» Мр рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Для произвольного Т > 2п определим на Яп гладкую неотрицательную финитную функцию (р(х,£,Т) ^ 1 с носителем в шаре /3(£,2 Г), при этом <р(х,£,Т) = 1, если х Є /3 (£,Т) и \Оа(р\ ^ 6іТ”ІаІ (Ьі не зависит от Т, а^0).

Пусть и Є ТУт_1(Р) есть обобщенное решение уравнения Рй = /, / Є К Это значит, что последовательность щ Є ИЛШ(Р) такая, что числовая последовательность ограничена

и Пт щ = 0 локально в И/Гт_1(і7'), то последовательность Рщ = локально сходится к / в Р.

j-^oo

Оператор Р назовем обобщенно корректным относительно пространства Р, если найдется постоянная к > 0, такая что ^ ^ IIкак только и есть обобщенное решение уравнения

Ри = /, / Є Р.

Теорема 2. Оператор Р обобщенно корректен относительно пространства Ьр тогда и только тогда, когда он корректен относительно пространства Мр.

Доказательство. Предположим, что оператор Р обобщенно корректен относительно пространства і*1, и пусть и Є есть обобщенное решение уравнения Ри = /, / Є Р.

Рассмотрим последовательность £ ]Ут(Р), Uj взято из определения обобщенного решения и £ цгт-1 уравнения Ри = /. Функции фтЩ удовлетворяют соотношению

Р {утщ) = ч>тРщ + С} (и7, (рт), <РТ = <Р (х, £, т).

Следовательно,

И^Г^'Ц^т-1^) ^ к Ц^т/^Н р + ^ ||Ф (Ч?? фт) IIР 5

где (д(щ,<рт) ~ дифференциальный оператор порядка га — 1 по переменной Uj, для которого справедливы оценки

6"

;'11илт-1(Мр) ’ (6)

%

Т

Устремляя ^ » оо в неравенстве

ЦРтЦцгт-Цр) ^ \\фти - ФТЩЦцГтп-ЦР) + к ||фт!з - <^т/||Жт-1(^) +

к кЬ$

+ грЬ3 ||^4Т«|1и^т-1 + к ||¥>г/||^ + — ||^4Т« - фАТЩ^уут-цр) ,

получим

\\фТи\\\^7П~1(Р) ^ ^ \WTfWp + * (^)

Если оператор Р обобщенно корректен 1/Р, то неравенство (7) запишется в виде

||¥>Н1т_1 < а Ут/\\о + ^ 11^4тгг||т_1, (8)

где а = к\, а — к^. По индукции из (8) получаем

£-1

М1ш-1 ^ 5] аГ+Ч-Ят-'1 ||^т/|1о + аЧ-^Т-* №4»т«||т-1 , (9)

г;=0

— С\ = 1, Су — биномиальные коэффициенты, £ Е ]М, ^ = 2,..., £.

Куб К^2т(0 радиуса 4|т с центром в точке £, содержащий шар /3(£,4*Т), разобьем на гад = (4*2Т)П кубов К (^) (^ — 1,..., гао, Т Е К). Тогда

/ ||¥>4иг (*)£) / (ж)||Р<£е ^ то ||/||^р ,

|®-£К4‘Т

J ЦБ01 (р^Ти(х))\\р(1х ^ то\\Ва (<р4гТи)\\мР ^ гп0^\\Ваи\\^[р (|а| < т - 1),

|х-5|^4*Т а из (9) получаем

/ \1/р

£

|а|^т—1

У ||£>аи(х)||рсгх < ||^«Нт-1 < \\и\\ж™-ЦМР) + ^т1/Р \\/\\МР ,

\|х-£|<4‘Г /

(10)

£-1

постоянная йх не зависит от к и от Г, йг = £ а"+14 С”Т г>.

г>=0

Выберем точку £ Е Rn так, чтобы

\ 1/р

(|а| ^ т - 1).

Это дает вместе с (10) оценку

\\u\\Wm~i (мр) ^ “cf~j4 llwllwrm-1(Mp) + 2d2mQPNm-i \\f\\Mp, (11)

Nm — число производных Dau порядка ||a|| ^ m — 1. Считая t > n, при достаточно больших T

2аЧ1тУР Nm-i 1

будет выполняться неравенство --------—^ ^

Последнее неравенство и неравенство (11) приводят к оценке

ll^llvK7n_1(Mp) ^ ^2ТП^/РNm-1 ||/||д^2 ,

т. е. оператор Р обобщенно корректен относительно Мр, поскольку и (х) — производная функция из Wm~l(Mp).

Достаточность теоремы проверяется совершенно аналогично, при этом используется неравенство (7). Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. С. 60.

2. Миссера X., Шеффер X. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М.: Мир, 1970. С. 78.

3. Жиков В. В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. 1976. Т. 40, № 6. С. 1380-1408.

4. Мизохагпа С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977. С. 200.

Поступила в редакцию 6 июня 2012 г.

Туurin V.M. On well-posedness of linear differential operators in some functional spaces.

There are considered well-posedness and generalized well-posedness of linear differential operators in the space of Sobolev and Sobolev-Stepanov.

Key words: functional spaces; well-posedness; differential operators.