О константах неопределенности для линейных комбинаций некоторых подсистем когерентных состояний Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.57, 519.6:517

О КОНСТАНТАХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ КОМБИНАЦИЙ НЕКОТОРЫХ ПОДСИСТЕМ КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИЙ

© 2014 М.В. Журавлев^ И.Я. Новиков, С.Н. Ушаков2

Константы неопределенности для когерентных состояний принимают минимально возможное значение. Но в задачах интерполяции и ортогонализа-ции требуется от исходной системы функций переходить к линейным комбинациям. Изучается локализованность линейных комбинаций подсистем когерентных состояний, заданных на прямоугольной решетке. Получены формулы для констант неопределенности этих комбинаций в общем случае и при дополнительных предположениях на коэффициенты. Получена формула для константы неопределенности для линейной комбинации равномерных сдвигов функции Гаусса. Для частного случая узловой функции, построенной с помощью равномерных сдвигов функции Гаусса, приведены результаты численных расчетов.

Ключевые слова: константа неопределенности, когерентые состояния, преобразование Фурье, равномерные сдвиги одной функции, функция Гаусса, узловая функция, фреймы.

Введение

Системы функций вида

еХр( _ - ^^ е—, к,т е 2>

нашли свое применение в квантовой механике с первых же лет возникновения этой дисциплины (см. доказательство квантовой эргодической теоремы в монографии И. Неймана [1]). Интерес к данным функциям, получившим после работ Р. Глаубера [2] название "когерентные состояния", обусловлен тем, что для них константа неопределенности минимальна.

При решении задач интерполяции, ортогонализации, генерации волновых пакетов с помощью когерентных состояний возникает проблема оценки степени локали-зованности линейных комбинаций таких функций. Основным параметром системы

хЖуравлев Михаил Васильевич ([email protected]), ОАО "Водоканал", 105005, Российская Федерация, г. Москва, Плетешковский пер., 2.

2Новиков Игорь Яковлевич ([email protected]), Ушаков Сергей Николаевич ([email protected]), кафедра функционального анализа и операторных уравнений Воронежского государственного университета, 394006, Российская Федерация, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

когерентных состояний является величина "1 • "2. При условии • "2 ^ 2п данная система оказывается полной в ¿2 (М) [3, гл. 3; 4; 5, гл. 1]. В случае строгого неравенства получаются переполненные системы (фреймы) [3, гл. 3; 6, гл. 1].

В данной работе рассматриваются линейные комбинации для неполных подсистем когерентных состояний. В общем случае формулы для констант неопределенности получаются достаточно громоздкими и малопригодными для численной реализации. При дополнительных предположениях на коэффициенты линейной комбинации и параметры системы формулы существенно упрощаются. Но даже и в этих случаях вычисление константы неопределенности оказывается нетривиальной задачей, что показывается на примере системы равномерных сдвигов функции Гаусса.

1. Обозначения, определения, формулы

Введем обозначения для когерентных состояний

Л,т(ш1,Ш2,х) = ехр (- (х ~(1.1)

и для системы равномерных сдвигов функции Гаусса

(х - к)2

В работе изучаются их линейные комбинации

^ ("1, "2,х) = е^т/к,т(ш1, ш2, х), (1.3)

к,

fk(а, x) = exp ( • (1.2)

G (a,x) = Y^ ck fk (а, x) . (1.4)

k

Все индексы в суммах здесь и в дальнейшем меняются от —ж до Нас будет интересовать случай, когда G (а, x) — узловая функция, то есть для нее выполнена система равенств

G (а, m) = ¿от, m € Z, (1.5)

где 50т — символ Кронекера.

Предполагается абсолютная сходимость рядов (1.3)—(1.4), чтобы можно было произвольным образом менять порядок суммирования и группировать слагаемые при перемножении рядов. Для этого достаточно, например, выполнения условий

ckm = O ((k2 + m2)--) ,ck = O (k—1—E) ,£> 0.

Скалярное произведение функций {■, ■) и норма || ■ || в пространстве комплекс-нозначных функций L2(R) определяются обычным образом

+ ТО { ^О

{ff, 9) = J f (x) дЩdx, llf || = J J \f (x)\2 dx

— то v—то >

Пусть f(x), xf(x) € L2(R), причем Hf|| = 0. Тогда радиус А/ функции f задается формулой

I то /то

А/ := М) i x2\f (x)\2 dx — f2 (/ x\f (x)\2 dx

2 Л 2

V-oo

1 ( 1 1 2

= / (х),/ (х)} - /2 (Х/(х),/(х)}2

Аналогично определяется радиус Дт для преобразования Фурье /:

1

2 ^ 2

Дт / £2|/(£)12 ^ - Ж I I %

— СО

где преобразование Фурье имеет следующий вид:

то

т = ^ / /(х) е--«¿х.

—то

Произведение = Дf ■ Д^ называется константой неопределенности [6, с. 49; 7, с. 103].

При вычислении константы неопределенности возникают интегралы, значения которых выпишем заранее, воспользовавшись [8, с. 367]:

+то

[ е-в2(х-г)2 е*ах ¿х = е*аг^Пе—"в, (1.6)

.] в

— то

+ ТО

| хе—в2(х—г)2 е*«* ¿х = е-в ^ + , (1.7)

—то

+ ТО

J х2е—в2(х—г)2 е*ах ¿х = в е*аг е-в (^З2 - (а - 2гтв2)2) , (1.8)

— то

где параметры а,в,т € М, в > 0.

2. Константа неопределенности в общем случае

Формула для константы неопределенности функции Г ("1,"2,х) получается слишком громоздкой, поэтому мы в виде лемм просто выпишем все ее составные части.

Лемма 1. Справедливы формулы

_ _ ,_)\>[

Ск,тСк',т' ехр | Л | X

к,т,к' ,т'

п т-1 < м|2 ^ ^^ - ( (к — к')2 "1

\\Г ("1,"2,х)\\ = л/П ск,тСк',т' еХР--4-

X ехр ^- (т - ^ ехр (*(к + к')(т2- т')"1"2) , (2.1)

(хГ ("1, "2 , х) ,Г ("1,"2,х)} = лД Ск,тСк' ,т' X

к,т,к' ,т'

( (к — к')2 "М ( (т — т')2 "% \ X ехр -----1 ехр -----2 X

(г (к + к')(т — т'№ \ [к + к' т — т' \ . .

х ехр(-2- ) + *-2-, (2'2)

{х2Г (ш1;ш2,х) (ш1;ш2,х)) = ^4- ^ ск,тек',т' х

4

к,т,к' ,т'

I (к — к')2 ш1 \ (г (к + к')(т — т')Ш1Ш2 х ехр - ---р-1 ехр —----- ) х

(т — т') ш.

22 2

^ ^2 — ((т — т ) ш? — г (к + к') .

х ехр ^— --4^-- ) (2 — ((т — т ) ш2 — г (к + к') ш1) ) . (2.3)

Доказательство. Квадрат модуля функции имеет вид

1к,т(ш1,ш2,х)! к' т' (ш1,ш2 ,х). (24)

к,т,к' ,т'

Преобразуем произведение функций в сумме

1к,т(ш1,Ш2,х) ■ /к'т' (ш1,Ш2,х) = (х — кш1)2\ ¿тШ2Х ехр( (х — к'ш1)2\ гт'ыъх

ехр — --— е » 2 ехр —

к2ш2 + к'2 ш2

ехр I —х2 + кш1 + к'ш1 —

к2ш1 + к' ш1 \ А (т-т')ш2Х

ехр ( — (ж — ч) +(к + кА] Ш1 — + ^ ^ е1 {т-т')^2, что приводит в итоге к соотношению

1к,т(ш1,Ш2,х) ■ /к'т' (ш1,Ш2,х) = = ехр ( — (х — ^ ш^ — (к — 4')2 ^ е т-т' )"2Х. (2.5)

В формулах (1.6)-(1.8) положим г = шь в = 1, а = (т — т')ш2. Тогда, используя (2.5), получим

Цк,т (ш1,ш2,х),1к'т' (ш1,ш2 ,х)) = ^ ех^— --^ ) ^ ^ х

х ехр ( — (т — т')2 ^ ехр (*(к + к')(т2 — т')ш1ш2) , (2.6)

(х/к,т(ш1,ш2,х), /к'т' (ш1, ш2, х)) =

2 2 2 2 — к ) ш2 \ / (т — т ) ш2 \

п ( (к — к')2 шП (

А ех^--4-j ехр — - 4

г (к + к')(т — т')ш 1ш2 \ (к + к' т — т' -:- I I -:-шл + г-:-

{х2 /к,т(ш1, ш2, х), / к 'т' (ш1,ш2 , х))

х ехр ( ^ " \ ш1 + Г" 2"" ш2) , (2.7)

2

= ^ ехр (- (к - ^ "2) ехр (- (т - ^х

х ех^г(к + к)(т - т')"1"^ (2 - ((т - т') " - г (к + к ') "1)2) . (2.8)

Из формул (2.4), (2.6)-(2.8) следуют равенства (2.1)-(2.3). Лемма доказана. Лемма 2. Справедливы формулы

Р (" ,, £) 2 — П ^ С С (т'к' ~тк)ш1 Ш2 ехр / (к к') "2 Р ("1,"2,С) — V ^ С-т, к С-т' , к ' ' ехР |--

к , т , к' ,т'

X

X ехр (- (т - т')2 "И ех^* (к + к')(т - т'" "Ч , (2.9)

("1,"2,С) ,Р ("1,"2 ,С)) —А С-т,к С-т' ,к' в' (т'к'-тк)»1»2 ■

к,т,к ,т

( (к — к')2 "о\ ( (т — т')2 "2 \ х ехр ---~г~-2 ехр ---г -1 х

,г (к + к')(т - т')"1"2^ (к + к' ,т - т' ,

х ехр(-2-"2 +г—2— "Ч , (2.10)

{е? ("1,"2,С) , Р ("1,"2,0) — ^Т ^ С-тк С-т,к' в (т'к'-тк)^2 х

4

к,т,к ,т

х ехЛ - (к - к)2 "П ехр Г *(к + к)(т - ^)"1"^ I х

х ехр

22

(т - т') "2

^2 - ((т - т') "1 - г (к + к') "2)2) . (2.11)

Доказательство. Сначала с помощью формулы (1.6), положив в — , а т"2 - С, г — к"1, найдем /к т:

Гк ,т("1,"2,е) — ехр - (е - т "2) в'

— в'т^ ех^-.

В итоге /к.т("1,"2,0 — в1ткш1 . /т,-к ("2, "1,0,

Р ("1, "2,0 — ^ С-т,к в-'ткШ1Ш2 . /к,т("2, "1, С).

к т

Отсюда, используя (2.6)-(2.8), получаем утверждение леммы 2.

4

3. Основной результат

Для получения более содержательных результатов введем дополнительные условия на Е (щ,ш2,х). Нас будет интересовать случай неполной системы когерентных состояний:

щщ = N е N. (3.1)

Относительно коэффициентов Ск т предположим, что

Ск-

С?1 с?2 °к т >

(3.2)

где щ, щ — это верхние индексы, означающие зависимость констант от этих параметров. Кроме того, будем считать, что линейная комбинация Е (ш\,ш2,х) является четной вещественной функцией. Отсюда коэффициенты Ск,т вещественные и выполнено

С?1 = СШ2 = СШ2 (3 3)

Ск = С-к, Ст = С-т. (3.3)

Данные предположения естественны, если мы строим с помощью линейной комбинации когерентных состояний узловую функцию или проводим ортогонали-зацию с сохранением структуры сдвигов. В случае выполнения условий (3.1)—(3.3) удается разделить частотную и пространственную составляющие линейной комбинации (1.3).

Преобразуем формулы (2.1)-(2.3)

\\Е (и1,Ш2,х)\\2 = л/П Е Ск,тСк',т' • ехр (г 2(к + к')(т - m')пN) х

к,т,к' ,т'

х ехр ( - (Л-*М) ехр1 - (т - т'Г Щ

22

П Е С^1 V ехЛ - Е С т ехр ( - (т - т')2

к,к' \ / т,т' \

4

Сделаем замену индексов I = к - к', к = I + к':

(к - к' )2

Т,с?<?' ехр -

к,к'

4

Еехр( -Е ^к'?.

Введем новое обозначение

ш _ \ ~ ш ш

а1 =2.^ С1 + к' ск'. к'

Тогда

^с?1 к ехр -

(к - к')2

ехр -

к,к'

12щ2

Аналогично преобразуем другой ряд

Е ст2 т ехЛ -

т,т'

Введем обозначение

22

(т - т') Щ

ехр -

1.

Аш = Е ехр ( -

¡2ю2

(3.4)

(3.5)

4

4

а

4

или, что то же самое,

А. = £ $ г., ехр(- ^фА . (3.6)

к,к' V )

Утверждение 1. Для коэффициентов а. верно соотношение

а-1 — а1 ■

□ В формуле (3.4) сделаем замену индекса п — I + к', получим

а. г™ г™ г™ г™

а1 — 2-^1 Г1 + к' Гк' — 2.^1 гп Гп-1 ■ к'

Теперь вместо п запишем к'

£

к'-1гк' к'

Следствие 1. Верно соотношение

С помощью формул (3.1), (3.6) и (3.9) получим

{хЕ ("1, Ш2, х), Е ("1, Ш2, х))

' АУ2 ^

у иц 'к + к' (к - к' )2 ^

гк гк' "1 ехР -

х 2 1 М 4

к,к'

V- У1 У1 (к - к' ) ( (к - к')2

• Аи2 • £ ги1 "1) ехр -^^ +

• А^ • £ ф ¿и к' ехр (- (к - к4)2 "2) — к,к' 4

П"1 • Аи2 • £ гу1 Су} к ехр I -- 4

к,к' V )

Сделав замену I — к - к', к — I + к' в последнем ряде, получим

£ гУ1 у к ехр (- — £ ехр (-М) £ кг?^У ■

к,к' \ ) I ^ ' к'

Введем новые обозначения

ЬГ — £ к>гГ+к'г.', (3.11)

(к - к')2 "2'

(3.7)

£/ехр( -а. — 0. (3.8)

Следствие 2. Верно соотношение

£ г. г.' (к - к') ехр ( 4>ш ) —0. (3.9)

к,к'

В итоге

¡Г ("1,"2, х)||2 — ^П • Аи1 • Аи2. (3.10)

к

Е? =£ехр ЬГ ■ (3.12)

Утверждение 2. Для коэффициентов Ь? верны соотношения □ В силу (3.3)

ь? = —ЬГ, Ь? = ЬГ1 — К.

ЬТ = к'сГ+к'ск' = к'сГ+к'с—к' к' к'

сделаем замену к = —к'. Тогда

ЬГ = — Е кс-к су = — Е ксУ-СУ = —ЬГ_1. кк

Теперь в формуле (3.11) сделаем замену индекса п = I + к', получим

ЬГ = Е(п — 1)сГсП-1 = Е псГсП-1 — I Е сГсП-1 = Ь- — ¡а- = Ь- — ¡а?

п

Следствие 3. Верно соотношение

ЬГ = — 2 аГ. (3.13)

Следствие 4. Верно соотношение

Ег = — Е 2 ехр ^ — аГ. (3.14)

Следствие 5. Верно соотношение

ЕГ =0. (3.15)

В итоге

(хГ (ш1,ш2,х), Г (ш1,ш2,х)) = 0. (3.16)

В случае формулы (2.3) сначала распишем

((т — т ) Ш2 — г (к + к ) ш\) =

= (т — т')2 ш| — 2г (т — т') (к + к') Ш2 — (к + к')2 С помощью (3.1), (3.6) получим

(х2Г (ш1, Ш2, х), Г (ш1, Ш2, х)) =

п

п

\/П , , \/Пш2 , ,,,, , ,.2 ( (т — т')2 ш2\ \^ • Ашз £ Сст (т — т')2 ехр — ^-+

т,т'

ПШ2 Л ?1?1 П. , 7~л2 (к — к')2 ш 2

+ ЛъТ, с? ? (к + к' )2 ехр | —

к,к' \ /

\/П , , /Пш2 , ? ? / <ч2 ( (т — т')2 ш2\ = \ А?, • А?, Е с^2т (т — т')2 ехр — ^-+

т,т' \ /

+ ^^ Е С# (к - ^ ехр ( - +

к,к' \ )

Е Ф к кк' ехр (- {к - •

к,к' V )

Сделав замену 1 = к - к', к = 1 + к', преобразуем получившиеся ряды

Е ск 1 # (к - к')2 ех^-О^Ы) =

к,к' V )

= ЕI2 ехр (-Е с1+к'= ЕI2 ехр (-о,1 •

Аналогично

Е с»2С (т - т')2 ехр -= ЕI2 ехр (-М) О

-г» ГТУ> ' \

И последний ряд

Е с;■■ <ч? кк' ехр (-=

к,к' \ )

Е ехр (- Е(1 + к')кк = Е1 ехр{- V1 +

1 V / I,/ I \ /

4 ! ■ •- >- с1+к'ск' = ' к' I

+ Е ехр(-Е к'"сПк'к •

с1+к' ск

I 4 7 к'

Введем обозначения

1 = Е к с1 + к'ск1 , к'

1 = Е ехр Г - ^ ^1

Тогда

4

/ 1Л ехр ^ -

I

22

Сы = Е12 ехН —— I а

Е с; 1 к (к - к' )2 ехр( - = С; 1,

к,к' V )

Е, , ,, , ,.2 ( (т — т')2 ) „ с»2Ж (т - т')2 ехр --4~Ч = С,2 •

т,т'

Для вычисления последнего ряда воспользуемся (3.15)

(к - к')2 «2 \ 1

Е ск1 ск'1 кк' ехр( -(

к,к' V

, , -к '-кI 4 I - - 2Ск 1 + ^к 1 •

к,к' V )

В итоге

V П

(х(«1, "2,х) ,Е (ш1,ш2,х)) = — Ак 1 ■ Ак2 -

Л»! • СШ2 — 1—А.АШ2 • СШ1 • БШ1. (3.17)

4 ^ 4

Теперь найдем Д^ (ш1,ш2), используя (2.1)—(2.3)

Д2Р (иь ш2) —

(х2Г (и1, ^2,х) , Г (и1, ^2, х)) (хЕ (и1, Ш2,х), Г (и1, ^2, х))2

||Г (ш1,ш2,х)у2 ¡Г (ш1,Ш2,х)\\А

У^ А .А — У^»2 А .С — У^»2 А ■С + /Пы2 А . П

2 А»1 • А»2 4 А»1 • С»2 4 А»2 • С»1 + V Пи1 А»2 • П»1

\[П • А»1 • А»2

_ 1 и2 С»2 и2 С»1 2 П»1

— — —--—--+ -.

2 4 А»2 4 А»1 А»1

В итоге

А2 (и1 Ш2) = 1 — и! — С»1 + и2 П»1 2 4 а»2 4 А»1 А»1

Теперь найдем Д2 (и1 ,и2). Из формул (3.2) и (3.3) следует, что

с С»1 с»2 с-т,к = ст ск .

Отсюда, из формулы (2.11) и соотношения (3.1) получим

•2п и22 С»„ 2 в»

Д| (и1,и2) — 1 — и1 С^ — —+ и|.

Р 1 2' 2 4 А 4 А 2 А

» 1 » 2 » 2

Теорема 1. Пусть выполнены условия (3.1)—(3.3), тогда верна формула

2 °Ш1 ■ х

X - -

п и! С»2 и2 С»1 + и'

4 А А»2 4 А»1

и2 4 С»1 А»1 4 С»2 + и2 А + и2 А»2 П»2 А а»2

А»1

Следствие 6. Пусть в условиях теоремы

Ш1 — и2 — 2\/лМ,

тогда верна формула

иР 2\>Пм) — 1 — + .

Следствие 7. Пусть в условиях теоремы

Ш1 — Ш2 — 2\рк,

тогда верна формула

иР 2 А) — 1 — 4п

^¡2в-1па2 п — ^п + 2£

оо

2п 2,/л I 0 м-*

1 = 1

2 а^ + 2 £ е-12па2^

1=1

где

п2^П — ^ 2^ 2^/П ,2^ — ^ к2 2уП 2^/П а' — 2-^1 С1+к Ск , — к с 1 к с'~ .

2

пи2

к

к

4. Константа неопределенности для С (а, х)

В этом разделе выводится формула для константы неопределенности линейной комбинации функций /к (а, х), которые можно рассматривать в качестве подсистемы когерентных состояний. Кроме того, приводятся числовые значения этой величины для узловой функции, построенной из целочисленных сдвигов Гаусса. Заметим, что

1 х'

,х) = /к, о '

/к (а,х) = /к, о ^1, 0, ^ .

а

Тогда отсюда и из формулы (2.5) получим

(1 ( к + т )2\ ( (к — т,)2\

-Г--) ехИ--— . (4.1)

Квадрат модуля О имеет вид

\О (а, х)\ — ^ ^ Ск Ст/к (а, х) /т (а, х) .

к,т

В формулах (1.6)-(1.8) положим г — к+т, в — 1, а — 0. Тогда, используя (4.1), получим

(/ к_) \

—4а— ),

1*1 \ т ! г к +т I (к - т)2\ {х/к (а х), /т (а х)) = VПа 2 ехр I--4^2— I,

ч2

г

4а2"

Соответственно,

(х21к (а, х), /т (а, х)) = ^ ехр ( -^^ ) (2а3 + (к + т)2а) .

||О (а,х)\\2 = ^Па Е СкСт ехр ( - (к . ) , (4.2)

4а2

к,т \

(хО (а, х), О (а, х)) = ^Па Е Скстк+т ехр ( - (к - т) ) , (4.3)

2 * \ 4а2

к,т \

(х О (а, х), О (а, х'))

^ Е Ск Ст ехр ^ - (2а3 + (к + т)2а) . (4.4)

к,т V /

Преобразование Фурье-функции /к (а,х) вычислим с помощью формулы (1.6), положив в = , а = г = к:

/к (а,0 = а ехр ^ - ^^с-'^

?к (а, /(а, С) = а2 ехр {-^2а2) с'(т-к*. Теперь найдем О(а,С):

О(а,0= а Е Ск ехр Г - ^

к,т

Квадрат ее модуля

С(а, С) = а2 Е скСт ехр —С2а2) ег (т-к*.

к,т

(4.5)

В формулах (1.6)—(1.8) положим г = 0, в = а, а = т — к. Тогда, используя (4.5), получим

С(а,С)

Е

па У Скст ехр —

к,

(к — т) 4а2

^ — ¡п ___ I

(С С(а, С), С (а, С)) = г — Е скст (к — т) ехр ( —

к,т

(к - т)2

4а2

(С2 С(а,С),С (а, С)) =

Ып Е 4а3 ^

Ск Ст ехр

к,т

(к - т)2

4а2

(2а2 — (к — т)2) .

Сделав замену индекса I = к — т и введя новые обозначения

а = Е С1+тСт, к = Е тс+тСт, Л; = Е

т

т С!+т cm,

получим

ус (а,

а, х) = V па

Е а ехр

—Л

4а2 ,

(хС (а, х), С (а, х)) = \рпа ^^ ^ + к^ ехр ^

4а2

(х2С (а, х), С (а, х)) I2

= Е ех^ — (2а3аг + (12а; + 41Ь1 + 4Л;) а) .

С(а, С)

Еа; ехр( — -О)

(С С(а, С), С (а, С)) = г^ Е ^ ех^ — 402)

(С2 С(а, С) С С)) = 4^Е а1 ехр ( — ¿2 ) (2а2 — I2) .

4а2

Теорема 2. Пусть выполнены условия Ск € К, Ск = С-к. Тогда

па

( 2 Е 12а\ ехр (— Е ЛI ехр (— 5^2)

а J_4 ' . J_4 '

ъ . Ж—. / /2 \ + Ж—. / 12 \

2 N \ 2

2 4£ а; ехр (—¿2) Еа! ехр (—¿7)

£/2а; ехр (— £2

2 N \ 2

4^2

2а2 4а4 £ а; ехр — -£2 )

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

2

т

т

2

2

па

2

х

(

1

Доказательство. Из соотношений (3.8) и (3.13) следует, что (4.8) и (4.11) равны нулю. Воспользовавшись (4.7)—(4.12), получим

2 Е ехР (-4^) (2а2аг + - 12а1)) £ а1 ехр (-(2а2 - I2) и° 4 £ а1 ехр (-4^7) 4 а4 £ а1 ехр (-^)

I I

(а2 £ 12а1 ехр (-4^) £ Л ехр (-^ 1 £ I2а1 ехр (-4^)

2а2 4а4 £ а1 ехр (-^ Г

2 4£ а ехр (-¿7) ]>>г ехр (-¿7) _

\ I I / \ I

Теорема 2 доказана.

В таблице приведены значения радиусов Дд, Дд и констант неопределенности при разных значениях параметра а.

Таблица

Константа неопределенности для узловой функции

а Дс Д9 иа

0, 10 0,070711 7, 071068 0, 500000

0, 20 0,141421 3, 535535 0, 500000

0, 30 0, 211635 2, 363315 0, 500160

0, 40 0, 272663 1, 870185 0, 509930

0, 50 0, 322888 1, 717851 0, 554673

0, 60 0, 373692 1, 689765 0, 631451

0, 70 0,426811 1, 696535 0, 724099

0, 80 0,481323 1, 711056 0, 823571

0, 90 0, 536669 1, 725660 0, 926108

1, 00 0, 592555 1, 738413 1,030105

1,10 0, 648813 1, 749076 1,134823

1, 20 0, 705339 1, 757878 1, 239899

1, 30 0, 762064 1, 765138 1, 345149

1, 40 0, 818943 1, 771152 1,450473

1, 50 0, 875943 1, 776167 1, 555821

1, 60 0, 933039 1, 780378 1, 661162

1, 70 0, 990213 1, 783942 1, 766482

1, 80 1,047452 1, 786978 1, 871774

1, 90 1,104745 1, 789579 1, 977047

2, 00 1,165617 1, 791853 2,088614

Для О (а,х) коэффициенты известны ([9], [10]) и вычисляются по формуле

Л ( ) 1 ( к2\ ХГ ( 1)г ( (г + 0-5)2' (а) = Сй^Ч^ (-1) ехр —2а

V ' 4 7 Т=\к\ \

где

2

С (а) = Е (4г + 1)ехр

т= — со

Аспекты численной реализации нахождения da,k(а) обсуждаются в [11]. Стоит

отметить быстрый рост коэффициентов da,k(а) при увеличении а. Это обстоятельство не позволяет получить достоверные значения uq при а ^ 2.0.

Литература

[1] Нейман И. Математические основы квантовой механики / пер. с нем.; под ред. Н.Н. Боголюбова. М.: Наука, 1964. 367 с.

[2] Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов: курс лекций М.: МИР, 1966. 178 с.

[3] Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. 464 с.

[4] Переломов А.М. Замечание о полноте системы когерентных состояний // ТМФ. 1971. Т. 6. № 2. С. 213-224.

[5] Переломов А.М. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М.: Наука, 1987. 272 с.

[6] Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков. М.: Физматлит, 2005. 616 с.

[7] Чуи Ч. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001. 412 с.

[8] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды: в 3 т. Т. 1. Элементарные функции. 2-е изд., испр. М.: Физматлит, 2002. 800 с.

[9] Maz'ya V., Schmidt G. On approximate approximations using Gaussian kernels // IMA J. Num. Anal. 1996. V. 16. P. 13-29.

[10] Maz'ya V. Approximate approximations // AMS Mathematical Surveys and Monographs. 2007. V. 141. 350 p.

[11] Журавлев М.В., Минин Л.А., Ситник С.М. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета. 2009. № 13(68). Вып. 17/2. С. 89-99.

References

[1] Neumann I. Mathematical Foundations of Quantum Mechanics: Translation from German. N.N. Bogolyubov (ed.) M., Nauka, 1964, 367 p. (in Russian)

[2] Glauber R. Optical coherence and statistics of photons. Course of lectures M., MIR, 1966, 178 p. (in Russian)

[3] Daubechies I. Ten lectures on wavelets. Izhevsk: NITs "Regulyarnaya i khaoticheskaya dinamika", 2001, 464 p (in Russian)

[4] Perelomov A.M. On the completeness of a system of coherent states, TMF, 1971, Vol. 6, no. 2, pp. 213-224 (in Russian)

[5] Perelomov A.M. Generalized coherent states and their applications. M., Nauka, 1987, 272 p. (in Russian)

[6] Novikov I.Ya., Protasov V.Yu., Skopina M.A. Wavelet Theory. M., Phizmatlit, 2005, 616 p. (in Russian)

[7] Chui Ch. An Introduction to Wavelets. M., Mir, 2001, 412 p. (in Russian)

[8] Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integrals and Series: in 3 Vol. Vol. 1. Elementary functions. 2-nd edition, corrected. M., Phizmatlit, 2002, 800 p. (in Russian)

[9] Maz'ya V., Schmidt G. On approximate approximations using Gaussian kernels // IMA J. Num. Anal. 1996. Vol. 16. P. 13-29.

[10] Maz'ya V. Approximate approximations. AMS Mathematical Surveys and Monographs. 2007. Vol. 141. 350 p.

[11] Zhuravlev M.V., Minin L.A., Sitnik S.M. On computing features of interpolation by means of integer shifts of Gaussian functions. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta [Scientific Bulletin of Belgorod State University], 2009, no. 13(68), Vol. 17/2, pp. 89-99 (in Russian)

Поступила в редакцию 25//V/2014; в окончательном варианте — 25/IV/2014.

ON THE UNCERTAINTY CONSTANTS FOR LINEAR COMBINATION OF SOME SUBSYSTEMS OF COHERENT

STATES

© 2014 M.V. Zhuravlev? I.Ya. Novikov, S.N. Ushakov4

Uncertainty constants for coherent states obtain irreduciable value. But problems of interpolation and orthogonalization requires the original system of functions to move to linear combinations. Localization of linear combinations of coherent states subsystems which have been set on a rectangular lattice are studied. Formulas for uncertainty constants of these combinations in general case and at additional assumptions on coefficients are received. Formulas for uncertainty constants of linear combinations of uniform shifts of Gauss function in general case and at additional assumptions on coefficients are received. Results of numerical calculations are given for the interpolating scaling functions constructed for uniform shifts of Gauss function.

Key words: uncertainty constant, coherent states, Fourier transformation, uniform shifts of single function, Gaussian function, node function, frames.

Paper received 25//V/2014. Paper accepted 25//V/2014.

3Zhuravlev Mikhail Vasilievich ([email protected]), OJSC "Vodokanal", Moscow, 105005, Russian Federation

4Novikov Igor Yakovlevich ([email protected]), Ushakov Sergey Nikolaevich ([email protected]), the Dept. of Functional Analysis and Operator Equations, Voronezh State University, Voronezh, 394006, Russian Federation