CC BY
49
УДК 517.518.32
О КОНСТАНТАХ РИССА ДЛЯ СИСТЕМ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ СДВИГОВ ФУНКЦИИ ГАУССА
М.В. Журавлев
Воронежский государственный университет,
Воронеж, Россия, e-mail: soracul@bk.ru
Аннотация. В работе показано, что отношение верхней и нижней констант Рисса для системы целочисленных сдвигов функции Гаусса быстро растёт при стремлении дисперсии к бесконечности. При переходе от функции Гаусса к интерполяционной функции Лагранжа отношение констант Рисса стремится к двум, хотя система целочисленных сдвигов этой функции в этом пределе становится ортонормированной.
Ключевые слова: константы Рисса, функция Лагранжа, функция Гаусса, тета-функция Якоби.
1. Обозначения и определения
Пусть даны функции ук(х) € Ь2(Ж), к € Ъ.
Определение 1. Функции у к(х) образуют систему Рисса с константами А и В, если для любого с € ¡2 выполнена двусторонняя оценка [1, 2]
ГО
АНс11г22 < II ^ скУк(х)|Ц2 < В11с1|г2 , (1)
к=—го
где нормы задаются обычным образом:
ГО „ го
1Н|22 = 1 Ск I2’ II/11^2 = I/(х)|2^х-
к=-го ГО
Величина А в двойном неравенстве (1) называется нижней, а В - верхней константами Рисса. Если система функций ортонормирована, то А и В равны 1.
Пусть у к (х) представляют собой целочисленные сдвиги одной функции у(х), т.е.
Ук(х) = <р(х — к), к € Ъ .
Определение 2. Функция д(х), являющаяся линейной комбинацией ук(х), называется функцией Лагранжа (узловой функцией), если для нее выполняются равенства
ГО
д(х) = ^2 ^ку(х — к), д(т) = 50т, т € Ъ. (2)
к=-ГО
В дальнейшем нам понадобится тета-функция Якоби
ГО
®з(М) = ^2 qk2e2ikt, \q\ < 1,
k——ro
и связанное с ней преобразование Пуассона [3, 4]:
ГО 1 ГО / т2 \
V ехр(—а(х + пт)2) = —¡= ехр (--------------------------- ) е2гтх. (3)
Jna ' V a
m.— — v m—— го
2. Формулировка основных результатов
В случае целочисленных сдвигов функции Гаусса константы Рисса могут быть найдены аналитически с помощью тета-функции Якоби.
Теорема 1. Для системы функций (ж) = exp(-(x — k)2/2а2) константы Рисса вычисляются по формулам:
А = ал/тт 03(7t/2;<?i) , В = сгл/тг 0з(О; q\), qx = exp (“4^2) • (4)
Заметим, что константы Рисса зависят от параметра а, причем нижняя константа очень быстро убывает с ростом а. Например, при а = 2 она имеет порядок 10-16. Если же перейти от функции Гаусса к функции Лагранжа g(x), то справедливо следующее утверждение:
Теорема 2. Для системы функций дк(x) = g(x — k) константы Рисса задаются формулами:
A = min P(£), B = max P(£) , (5)
0<5<2п 0<5<2п
где 2п-периодическая функция P({) задается формулой
ГО
exp(—а2({ + 2nm)2)
Р(0 =
a2
Y ехР -lH£ + 27rfc)
k=-ro
Известно, что при a ^ система функций gk(ж) переходит в ортонормированную систему sinс(п(ж — к)) [5]. Но естественное предположение о стремлении констант Рисса к общему пределу оказывается неверным.
Теорема 3. Пусть величины A = A (a) и B = B(a) заданы формулами (5). Тогда
В таблице 1 приведены значения констант Рисса при разных a. В случае функции Лагранжа значения A и B при a > 2 фактически стабилизируются на пределе точности вычислений (например, в случае использования переменных типа extended в языке Delphi, одинаковыми оказываются первые 17 значащих цифр). Сами расчеты проводились с помощью преобразования Пуассона (3).
2
Таблица 1
Значения констант Рисса
а Функции Гаусса Функции Лагранжа
А В В! А А В В/А
0.2 0.353 0.356 1.01 0.353 0.356 1.008
0.4 0.415 1.009 2.43 0.498 0.852 1.711
0.6 0.130 2.262 17.46 0.499 0.997 1.998
1.0 6.450 • 10“4 6.283 9.67 • 103 0.499 0.999 2
2.0 3.597 • 10-16 25.132 6.98 • 1016 0.500 1.000 2
3.0 2.996 • 10“37 56.548 1.88 • 1038 0.500 1.000 2
4.0 5.276 • 10“67 100.53 1.91 • 1068 0.500 1.000 2
5.0 2.184 • Ю“105 157.08 7.19 • Ю106 0.500 1.000 2
Аналогичные численные результаты для коэффициентов функции Лагранжа, построенной с помощью функции Гаусса, были описаны ранее в работе [6].
3. Доказательства теорем
Для доказательства теоремы 1 применим преобразование Фурье, задаваемое формулой
— 1 I'го
/(О = -/= /(ж)е_м*£& ,
\/2п V—го
к линейной комбинации функций
^ ( X2 \
22 ск<р(х - к), <р(х) = ехр ( -^2 ) •
к=—го
В силу равенства Парсеваля ||/|Ц2 = ||/1||2 и соотношения ¡р(£) = аехр(—а2£2/2) имеем:
^2 Ск Ф - к)\\Ь2 = II ^2 Ска ехР(-а2С2/2)е гк? 11^2
к=—го к=—го
го
!а ехр(-а2{2/2) Ск(Т%к |||,2 =
к=—го
ос
го
а2 ! ехр(-а2£2) | Ске—гЧ 12^.
к=—го
Разбив интеграл по всей оси на сумму интегралов по отрезкам [2пт, 2пт +1], т € Z, и сделав замену £ = 2пт + Ь, получим, что
ОО
2п(т+1)
I ^2 ску(х - к)\\ь2 =а2 ^2 I ехр(-а2£2) 1 ^2 Ске гк?|2^£
к=—го т=—го 2пт к=—го
— го
ж ж
= а2 / 53 exp(-a2(t + 2nm)2) | 53 скe-iktl2dt.
т=—го к=—го
Возможность перестановки порядка суммирования и интегрирования в этой и последующих выкладках обусловлена быстрой сходимостью рядов с функциями Гаусса. Применив преобразование Пуассона (3), где а = 4<т2 и х = |, получим, что
^ _2,+ 1о_^2ч_ 1_ V-
1 Ж /
exp(~a2(t + 27гш)2) = ^—= Y ехР ( “
* т — — '
т= ~~
Таким образом:
2п
Ж. Г 1 Ж. / т2\ ж
|| 53 скф - к)\Ц2 =а2 —= Y, ехР ( 4<7^) ^ 1 S cke~ikt\2dt =
к=-ж 0 т=-ж ^ ' к=-ж
2п оо
= 27?/ез(1;?1) 1 N-0 к=-ж
где параметр тета-функции qi = exp (-(4а2)-1). Своего максимума тета-функция достигает при t = 0, а минимума - при t = п. С учетом того, что
2п ^
ОО
\ 53 ckе-М\2(И; = 2п||с||22 > (6)
к=—со
получим оценки
ж
;.куух-гъ) |'2 ^ ° 'IL"2
к=—ж
^(ж -fc)|||2 < о\рк ©з(0; t/i) ||с||г23 ,
ж
53 Cfc^(.r -fc)|||2 > а у/ж 03 (|;9i) IMI/t •
:к^\х-гъ){2 ^ ~ ^ ° ~ ^ "'’"2
к=—го
Отсюда следует справедливость формул (4). Теорема доказана.
Перейдем к доказательству теоремы 2. Выпишем образ Фурье функции Лагранжа (2)
(
1 ^ го
1ж
Ш) = I 53 9кФ - k)e~txidx
ж
vL>~-' ' ■■■
к=—ж
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ к^Я Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22 43
Снова воспользуемся равенством Парсеваля
а2£2'
го го / а2р2\ го Е ск9к(х)\\12 = II 53 Ск<те*-----------------2~~) ^
2 , ^ Ше ще гЧ\\12
к=—ж к=—ж 4 1=—сю
/ а2£2\ го . го
^ехр(--------— ) 53 ске~гЧ Е 91е~ 'IIь.
—г1£\\2 _
ГIе
к=—ж 1=—оо
сю
ехр(-а2£2) \ Е Ске—гк?]Г 91е—г1* \2^.
к=—ж 1=—сю
Разбив, как и при доказательстве теоремы 1, интеграл на сумму интегралов по отрезкам [2пт, 2пт + 1], сделав замену £ = 2пт + Ь и применив преобразование Пуассона, получим, что
2п(т+1)
оо оо оо оо
н Е Ск9к(х)|ь2 =а2 53 / ехр(-а2£2) \ Е Ске—гк 5311е—г1?|2^£ =
к=—го т=—го 2пт к=—го 1=—го
2п сю сю
53 ехр(-а2(Ь + 2пт)2) '53 ске—гЫ^2 91е—М\2йЬ
)2) \ е скегк 53 г” ж'2'
к=—го 1=—го
2П Ж ( 2 \ СО СЮ
1 го т2 го го
2 / Е ехр(-4^)е'т* 1 £ Ске~Ш £ ^ ;7/ 2(//'
0 т=—го ' ' к=—го 1=—го
2а л/тт
Введем вспомогательные ряды Фурье (в литературе используются также термины символ или маска [1, с. 23], [2, с. 10]):
го
-гкь
£(Ь) = Е Гке
к=
Ф(() = £ ехр (-А.) е-« = 03 й) , Ф = ехр (-¿5
к=—го
для которых равенство (2) может быть записано в следующем виде [2, с. 168], [7, с. 152]:
ф(г)С(г) = 1.
Выражая С(Ь) через Ф(Ь), получим:
2п
го р го / 2 \ го
II Е скУк{х)\\12 = / Е ехр (“^г) е*т* I 53 ске~гЫ\2 =
к=—го * д т=—го ^ ' к=—го
2П го ( 2 \ го
а / X > / т \ I X > —гкЬ 12 | ж /.л | — 2.
2 А
го / т2 \ го Е ехр ( -^ ) еШг* | Е ^ ;7'/ 2 Ф(/) 2<П
=
2п
а т=
ехр
т
4а2
ЛтЬ
2 л/7Г
ехр
к=
к2\ — 2а2 ) 6
Е Ск е—ш
к=
Снова используем преобразование Пуассона (3):
го
II Е Ск Гк (х)|Ь2
к=
2п
а
Е ехр(-а2(£ + 2пт)2)
2у/п
(2ал/тг
2па2 £ ехр
к=
<т2(£ + 2тт к)" 2
Ске—г
гк£
к=
й£ =
1
27Г
2п Е ехр(-а2(£ + 2пт)2)
т=
к=
Ске
—гк£
к=
й£.
Если ввести обозначение
Е ехр(-а2(£ + 2пт)2)
р (£) =
т=
Е ехр(-а2(£ + 2пк)2)/2
к=
то с учетом (6), получим следующую двустороннюю оценку
го
0<™<П2пР(£) |с|22 ^ II Е Ск9к(х)\\ь2 < 0<п<х2пр(£) |с|222
к=—го
что завершает доказательство теоремы 2.
Для доказательства теоремы 3 обозначим
ехр + 27г/г^2) = ак ■
Тогда
р (£) =
Е (ат)2
т=
2
Е ак
к=
2
2
2
т=
2
2
2
2
2
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ к^Я Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22 45
Оценка сверху Р(£) < 1 следует из положительности ак и очевидного неравенства
/ х \ 2 те
( ^ > Е (ак)2 •
Покажем теперь, что lim P(0) = 1. Для этого достаточно заметить, что ао ^ ак при всех к = 0. Следовательно, верхняя константа Рисса стремится к единице.
Так как функция P(£) - чётная, 2п-периодическая и монотонно убывает по £ на отрезке [0, п], то
min P (£) = P(п).
[0, 2п]
В этом случае ао = а—1, а все другие ак ^ ао. Поэтому
Р (п)
а^ + а-1 2а2 1
(а0 + а—1)2 4а0 2
что дает предельное значение нижней константы Рисса. Таким образом, теорема 3 доказана.
Литература
1. Новиков И.Я., Протасов В.Ю., Скопина М.А. Теория всплесков / И.Я. Новиков. - М.: Физматлит, 2005. - 616 с.
2. Чуи Ч. Введение в вейвлеты / Ч. Чуи. - М.: Мир, 2001. - 412 с.
3. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Часть вторая: трансцендентные функции / Э.Т. Уиттекер, Дж.Н. Ватсон. - М.: ГИФМЛ, 1963. - 516 с.
4. Мамфорд Д. Лекции о тета-функциях / Д. Мамфорд. - М.: Мир, 1988. - 448 с.
5. Shclumprecht Th., Sivakumar N. On the sapling and recovery of bandlimited functions via scattered translates of the Gaussian // arXiv:0803.4344v1 [math.CA] 30 Mar 2008. - 29 p.
6. Журавлев М.В., Минин Л.А., Ситник С.М. О вычислительных особенностях интерполяции с помощью целочисленных сдвигов гауссовых функций // Научные ведомости Белгородского государственного университета. - 2009. - 13(68); Выпуск 17/2. - С.89-99.
7. Maz’ya V., Schmidt G. Approximate approximations / AMS Mathematical Surveys and Monographs. vol. 141 / V. Maz’ya, G. Schmidt. - 2007. - 350 p.
ON RIESZ CONSTANTS FOR SYSTEMS OF INTEGER SHIFTS
OF GAUSS FUNCTIONS
M.V. Zhuravlev
Belgorod State University,
Studencheskaya St., 14, Belgorod, 308007, Russia, e-mail: vnukov@bsu.edu.ru
Voronezh State University,
Voronezh, Russsia, e-mail: soracul@bk.ru
Abstract. It is proved that ratio of upper and lower Riesz constants for a system of integer shifts of Gauss function increases fast, if dispersion tends to infinity. For Lagrange function the limit of ratio of Riesz constants is equal to two, although a system of integer shifts becomes almost orthogonal.
Key words: Riesz constants, Lagrange function, Gaussian function, Jacobi Theta-function.
