О конгруэнциях цепей Текст научной статьи по специальности «Математика»

помощи их ЛИ. В них в качестве теста P берётся множество слов, являющееся объединением ЛИ всех вершин графа.

В данной работе в качестве теста P используется помеченный граф, называемый далее диагностическим тестовым графом (ДТГ) и определяемый по следующим правилам: 1) отождествим все одинаково помеченные инициальные вершины ТИ Dg всех g Е V; 2) детерминизируем остовные деревья всех графов Dg, то есть многократно и исчерпывающе применим следующую операцию: если в множество преемников некоторой вершины попадают вершины с одинаковыми метками, то такие вершины отождествляются с заменой возникающих кратных дуг одной дугой.

Первый этап диагностического эксперимента состоит в построении ДТГ P. На втором этапе получение экспериментальных данных заключается в том, что МА, стартуя из неизвестной ему вершины h графа G, проверяет наличие/отсутствие в G путей, совпадающих по разметке с путями обхода в ширину графа P из его инициальной вершины. В зависимости от исхода каждой из этих проверок сокращается множество гипотетически возможных начальных вершин. По окончании работы алгоритма остается ровно одна такая вершина.

Показано, что для СД-графов временная сложность данного алгоритма проведения диагностического эксперимента полиномиальна от числа вершин исследуемого графа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кудрявцев В. Б., Алешин С. В., Подколзин А. С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.

2. Капитонова Ю. В., Летичевский А. А. Математическая теория проектирования вычислительных систем. М.: Наука, 1988.

3. Dudek G. and Jenkin M. Computational Principles of Mobile Robotics. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

4. Сапунов С. В. Определение положения робота в топологической среде // Искусственный интеллект. 2008. Т. 4. С. 558-565.

5. Грунский И. С., Сапунов С. В. Идентификация вершин помеченных графов // Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Т. 21. С. 86-97.

УДК 512.2

О КОНГРУЭНЦИЯХ ЦЕПЕЙ

Е. О. Карманова

Под ориентированным графом (далее орграфом) понимается пара G = (V, а), где V — конечное непустое множество вершин; а — отношение на V, задающее множество дуг. Основные понятия приводятся в соответствии с [1].

Существуют различные методы преобразования графовых систем для приложений к проблемам оптимизации в различных ситуациях. В качестве допустимых реконструкций данного графа обычно рассматриваются следующие [2]:

1) отождествление некоторых вершин графа;

2) ориентация ребер данного неориентированного графа;

3) переориентация некоторых дуг;

4) добавление новых дуг (ребер);

5) удаление некоторых дуг (ребер).

Будем рассматривать реконструкцию типа 1.

Пусть є — некоторое отношение эквивалентности на множестве вершин V орграфа G. Фактор-графом орграфа G по эквивалентности є называется орграф G/є = = (V/є,^), где V/є — множество классов эквивалентности є; ає = |(є(^і),є(г>2)) : 3ui Є є(^1),м2 Є є(г>2) ((u1,u2) Є а)}. Пусть K — некоторый класс орграфов. Конгруэнцией K-графа G называется такое отношение эквивалентности 9 на V, что фактор-граф G/9 является K-графом. Возьмём в качестве класса K класс неориентированных графов.

Множество вершин называется независимым, если любые две вершины из этого множества несмежны. Очевидно, что отношение эквивалентности 9 на множестве вершин графа G тогда и только тогда будет конгруэнцией этого графа, когда каждый 9-класс образует в G независимое подмножество.

Цепь (простой путь, не являющийся циклом) с m ребрами будем обозначать Pm, звезду с m ребрами — Sm. В [3] представлена программа, генерирующая все конгруэнции заданной цепи и выделяющая среди них цепные конгруэнции, т. е. такие, фактор-графы по которым являются цепями. При этом выдается общее число конгруэнций данной цепи и количество её цепных конгруэнций. Например, у трехреберной цепи Р3 имеются четыре различных конгруэнции, которые дают три неизоморфных фактор-графа. У четырехреберной цепи Р4 всего имеется 14 фактор-графов, из них 7 попарно неизоморфных.

Известна следующая задача о факторизации: можно ли для заданного графа сказать, является ли он фактор-графом другого заданного графа? Эта задача является NP-полной. Например, возьмем пятиреберную цепь Р5. Пятивершинный цикл С5 будет её фактор-графом, а четырехреберная звезда S4 — нет.

Маршрут в связном графе называется обходом, если он содержит все ребра графа.

Теорема 1. Связный граф G тогда и только тогда является фактор-графом m-реберной цепи, когда в нем есть обход длины m.

Следствие 1. Любой связный граф с m ребрами является фактор-графом цепи P2m-1.

Одной из открытых проблем является следующая: для данного связного графа G найти цепь с минимальным возможным числом ребер p(G), фактор-графом которой является данный граф.

Теорема 2. Если T — дерево с m ребрами, имеющее диаметр d, то p(T) = 2m — d.

Следствие 2. Для звезды Sm имеем p(Sm) = 2m — 2.

Теорема 3. Для связного графа G с m ребрами m ^ p(G) ^ 2m — 2.

Подробное изложение представленных результатов можно найти в [4].

ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, Физматлит, 1997. 367 с.

2. Салий В. Н. Оптимальные реконструкции графов // Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. С. 59-65.

3. Карманова Е. О. О конгруэнциях цепей и циклов // Компьютерные науки и информационные технологии. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С. 238.

4. Карманова Е. О. О конгруэнциях цепей // Прикладная дискретная математика. 2011. №2. С. 96-100.