CC BY
30
5. Считаем ij, 0 < j ^ h, согласно следующим правилам:
- в «—» блок-группе i j = tj /2 — 1, где tj — длина той части данной блок-группы (если её рассматривать с конца циклически влево), в которой выполняется равенство p0 =
- в ««=» блок-группе ij = j/2 — 1, где lj —длина рассматриваемой блок-группы;
- в «+» блок-группе ij = tj/2 — 1, где tj —длина той части данной блок-группы (если её рассматривать с начала циклически вправо), в которой выполняется равенство p0 = pi.
6. i(v) = max ij.
0<j<h j
Теорема 2. Предложенный алгоритм вычисления индекса состояния динамической системы (B, в) корректен.
Следствие 1. Система (Вп,в), n > 2, имеет максимальный индекс, равный (п — 1)/2 — 1 при нечетном n и n/2 — 1 при четном n.
Подробное изложение представленных результатов можно найти в [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Власова А. В. Исследование эволюционных параметров в динамических системах двоичных векторов // Свидет. РОСПАТЕНТа №2009614409, зарегистр. 20 августа 2009.
2. Barbosa V. C. An atlas of edge-reversal dynamics. London: Chapman&Hall/CRC, 2001. 372 p.
3. Жаркова А. В. Индексы в динамической системе двоичных векторов, ассоциированных с ориентациями циклов // Прикладная дискретная математика. 2012. №2(12). С. 79-85.
УДК 519.1
КОНГРУЭНЦИИ ЦЕПЕЙ: НЕКОТОРЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА
Е. О. Карманова
Под ориентированным графом (далее орграфом) понимается пара G = (V, а), где V — конечное непустое множество вершин, а а — отношение смежности на V.
Пусть е — некоторое отношение эквивалентности на множестве вершин V орграфа G. Фактор-графом орграфа G по эквивалентности е называется орграф G/е = (V/е, а£),где V/е — множество классов эквивалентности е, а а£ = |(e(vi), e(v2)) : (3ui е е (vi) 3^2 е е^2) ((Ui,U2) е а)}.
Пусть K — некоторый класс орграфов. Конгруэнцией K-графа G называется такое отношение эквивалентности в на V, что фактор-граф G/в является K-графом.
Возьмём в качестве класса K класс неориентированных графов. Неориентированным графом (или, для краткости, графом) называется пара G = (V, а), где а — симметричное и антирефлексивное отношение на множестве вершин V. Множество вершин называется независимым, если любые две вершины из этого множества несмежны.
Очевидно, что отношение эквивалентности в на множестве вершин графа G тогда и только тогда будет конгруэнцией этого графа, когда каждый в-класс образует в G независимое подмножество.
Теорема 1. Количество конгруэнций m-реберной цепи равно количеству эквивалентностей на m-элементном множестве.
В [1] обсуждалась следующая задача: для данного связного графа G найти цепь с минимальным возможным числом ребер p(G), фактор-графом которой является граф G.
Теорема 2. Пусть G — связный граф. Тогда p(G) = m + l — k, где m — количество ребер графа G; l — количество ребер в минимальном цепном паросочетании на множестве нечётных вершин графа G; k — максимальная из длин цепей в таких паро-сочетаниях.
Подробное изложение представленных результатов можно найти в [2].
ЛИТЕРАТУРА
1. Карманова Е. О. О конгруэнциях цепей // Прикладная дискретная математика. 2011. №2(12). С. 96-100.
2. Карманова Е. О. Конгруэнции цепей: некоторые комбинаторные свойства // Прикладная дискретная математика. 2012. №2(12). С. 86-89.
УДК 519.17
О РЁБЕРНОЙ ИНТЕРВАЛЬНОЙ Д-РАСКРАСКЕ1
А. М. Магомедов
Входные данные к расписанию обработки устройств — заданий множества X — в системе устройств-процессоров Y представлены двудольным графом G = (X, Y, E), где ребро (х,у) присутствует в множестве E тогда и только тогда, когда процессору у запланирована операция над заданием х.
Расписание работы устройств будем называть непрерывным, если каждое устройство работает без простоев с момента его включения до выключения.
Пусть n — число вершин, Д — наибольшая степень вершины графа G (Д служит нижней границей для длин непрерывных расписаний). Известно, что задача о существовании непрерывного расписания NP-полна (как и задача о существовании непрерывного расписания длины Д); в ряде источников она формулируется как задача об интервальной рёберной раскраске [1,2].
Двудольные графы G = (X, Y, E) с небольшими значениями Д и n, не допускающие интервальной раскраски, были построены следующими авторами: С. В. Севастьяновым (Д = 21, n = 28), M. Malafiejcki (Д = 15, n = 19), A. Hertz (Д =14, n = 23), D. de Werra (Д = 14, n = 21), P. Erdos (Д =13, n = 27). Отметим, что ни один из этих графов не является бирегулярным.
Построен пример (6, 3)-бирегулярного графа с n = 33, не обладающего интервальной рёберной раскраской в 6 цветов (в [3] доказана NP-полнота задачи об интервальной раскрашиваемости (6, 3)-бирегулярного графа шестью цветами).
Теорема 1. Задача об интервальной рёберной раскраске Д цветами остается NP-полной и для двудольных мультиграфов G = (X, Y, E) с |Х| = 2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Асратян А. С., Камалян Р. Р. Интервальные раскраски рёбер мультиграфа // Прикладная математика. 1987. Вып. 5. Ереван: Изд-во Ереван. ун-та. С. 25-34.
2. Севастьянов С. В. Об интервальной раскрашиваемости рёбер двудольного графа // Методы дискретного анализа. 1990. Т. 50. С. 61-72.
хРабота поддержана гос. заданием, проект №01.1923.2011.
