CC BY
34
УДК 519.7
О САМОЛОКАЛИЗАЦИИ МОБИЛЬНОГО АГЕНТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ СРЕДЫ
И. С. Грунский, С. В. Сапунов
В качестве топологической модели операционной среды рассматриваются конечные неориентированные графы. Вершины этих графов заранее помечены, и мобильный агент (МА) не меняет эти метки. Рассматривается задача определения МА своего положения в среде. Эта задача относится к проблематике взаимодействия управляющей и управляемой систем, являющейся классической для теоретической кибернетики [1, 2]. В настоящее время эта проблема актуальна в связи с задачами навигации автономных мобильных роботов [3].
Конечным графом с помеченными вершинами (помеченным графом) назовем четверку С = (V, Е, М, ^), где V, Е, М — конечные множества вершин, ребер и меток соответственно; ^ : С ^ М — сюръективная функция разметки. Помеченный неорграф назовем сильно детерминированным (СД-графом), если в замкнутой окрестности любой его вершины все вершины помечены различно. Языком Ьд вершины д назовем множество всех слов, порожденных этой вершиной, т. е. последовательностей меток вершин, лежащих на всевозможных путях с началом в вершине д. Будем говорить, что вершины д, к Е V е-неотличимы, если Ьд = Ь^. Лингвистическим идентификатором (ЛИ) вершины д Е V назовем конечное множество слов Шд С М + , таких, что для любой вершины к Е V равенство Шд П Ьд = Шд П Ь^ выполняется тогда и только тогда, когда д = к. Через Бд обозначим подграф графа С, порожденный всеми вершинами, достижимыми из вершины д Е V. Будем говорить, что вершины д,к Е V а-неотличимы, если Бд = Б^. Пусть Сд и И являются инициально-связными помеченными графами с выделенными вершинами д и к соответственно. Обозначим через Сд П И наибольший связный подграф 0'д С Сд, содержащий выделенную вершину д и изоморфно вложимый в И с отображением вершины д в вершину к. Топологическим идентификатором (ТИ) вершины д Е V назовем помеченный граф Вд, такой, что для любой вершины к Е V изоморфизм Бд П Бд = Бд П существует тогда и только тогда, когда д = к. Показано, что а С е, причем обратное включение не выполняется. Предложены полиномиальные методы построения ЛИ и ТИ вершин помеченных графов. Показано, что гомоморфный образ растущего помеченного дерева, соответствующего ЛИ вершины д Е V, является ТИ этой вершины. Показано, что обратное утверждение в общем случае неверно.
Экспериментом с графом С относительно априорной информации I, цели С и средств Б назовем процесс, состоящий из трех этапов: 1) построение некоторого теста Р на основе I и С; 2) получение мобильным агентом экспериментальных данных Ш на основе Р и Б; 3) вывод заключений о свойствах графа на основе Ш и I. Априорная информация — это класс графов, которому принадлежит С. В качестве Б выступают возможности МА перемещаться по ребрам графа от вершины к вершине, оставлять маркер в текущей вершине, а также обнаруживать и подбирать маркер в случае его нахождения в текущей вершине. Эксперимент назовем диагностическим (ДЭ), если априори полностью известен граф С, МА установлен в произвольную начальную вершину этого графа, и целью эксперимента является определение этой вершины, т. е. различение этой вершины от всех других вершин.
В работах [4, 5] авторами были предложены методы построения и реализации ДЭ с помеченными графами, основывающиеся на проверке е-эквивалентности вершин при
помощи их ЛИ. В них в качестве теста P берётся множество слов, являющееся объединением ЛИ всех вершин графа.
В данной работе в качестве теста P используется помеченный граф, называемый далее диагностическим тестовым графом (ДТГ) и определяемый по следующим правилам: 1) отождествим все одинаково помеченные инициальные вершины ТИ Dg всех g Е V; 2) детерминизируем остовные деревья всех графов Dg, то есть многократно и исчерпывающе применим следующую операцию: если в множество преемников некоторой вершины попадают вершины с одинаковыми метками, то такие вершины отождествляются с заменой возникающих кратных дуг одной дугой.
Первый этап диагностического эксперимента состоит в построении ДТГ P. На втором этапе получение экспериментальных данных заключается в том, что МА, стартуя из неизвестной ему вершины h графа G, проверяет наличие/отсутствие в G путей, совпадающих по разметке с путями обхода в ширину графа P из его инициальной вершины. В зависимости от исхода каждой из этих проверок сокращается множество гипотетически возможных начальных вершин. По окончании работы алгоритма остается ровно одна такая вершина.
Показано, что для СД-графов временная сложность данного алгоритма проведения диагностического эксперимента полиномиальна от числа вершин исследуемого графа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кудрявцев В. Б., Алешин С. В., Подколзин А. С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.
2. Капитонова Ю. В., Летичевский А. А. Математическая теория проектирования вычислительных систем. М.: Наука, 1988.
3. Dudek G. and Jenkin M. Computational Principles of Mobile Robotics. Cambridge: Cambridge University Press, 2000.
4. Сапунов С. В. Определение положения робота в топологической среде // Искусственный интеллект. 2008. Т. 4. С. 558-565.
5. Грунский И. С., Сапунов С. В. Идентификация вершин помеченных графов // Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Т. 21. С. 86-97.
УДК 512.2
О КОНГРУЭНЦИЯХ ЦЕПЕЙ
Е. О. Карманова
Под ориентированным графом (далее орграфом) понимается пара G = (V, а), где V — конечное непустое множество вершин; а — отношение на V, задающее множество дуг. Основные понятия приводятся в соответствии с [1].
Существуют различные методы преобразования графовых систем для приложений к проблемам оптимизации в различных ситуациях. В качестве допустимых реконструкций данного графа обычно рассматриваются следующие [2]:
1) отождествление некоторых вершин графа;
2) ориентация ребер данного неориентированного графа;
3) переориентация некоторых дуг;
4) добавление новых дуг (ребер);
5) удаление некоторых дуг (ребер).
Будем рассматривать реконструкцию типа 1.
