Конгруэнции цепей: некоторые комбинаторные свойства Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2012 Прикладная теория графов №2(16)

УДК 519.1

КОНГРУЭНЦИИ ЦЕПЕЙ:

НЕКОТОРЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА

Е. О. Карманова

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия

E-mail: [email protected]

Под конгруэнцией цепи понимается отношение эквивалентности на множестве её вершин, все классы которого являются независимыми подмножествами. Доказана теорема 1 о количестве всех конгруэнций для m-рёберной цепи. Для заданного связного графа G теорема 2 находит длину наименьшей цепи, факторизующейся на данный граф.

Ключевые слова: цепь, конгруэнция, отношение эквивалентности, фактор-граф, число Белла.

Ориентированным графом (орграфом) называется пара G = (V, а), где V — конечное непустое множество вершин; а — отношение (смежности) на V. Пары в а называются дугами орграфа G. Основные понятия приводятся в соответствии с [1].

Пусть е — некоторое отношение эквивалентности на множестве вершин V орграфа G. Фактор-графом орграфа G по эквивалентности е называется орграф G/е = = (V/e,a£), где V/е — множество классов эквивалентности е; а£ = |(e(vi),e(v2)) : 3ui е e(vi) 3«2 e e(v2) ((ui, U2) e а)}.

Пусть K — некоторый класс орграфов. Конгруэнцией K-графа G называется такое отношение эквивалентности 9 на V, что фактор-граф G/9 является K-графом. В [2] рассмотрен случай, когда K — класс сильно связных орграфов, и предложен способ построения сильно связной конгруэнции произвольного орграфа, наибольшей по числу вершин в фактор-графе. В [3] установлено, что n-элементная ориентированная цепь имеет 2n-3 минимальных сильно связных конгруэнций.

В качестве класса K возьмём класс неориентированных графов.

Под неориентированным графом (или, для краткости, графом) понимается пара G = (V, а) , где а — симметричное и антирефлексивное отношение на множестве вершин V. В графе пара встречных дуг (u,v), (v,u) рассматривается как один элемент, называемый ребром {u,v}. Вершины u и v по определению инцидентны ребру {u,v}.

Множество вершин графа называется независимым, если любые две вершины из этого множества несмежны. Очевидно, что отношение эквивалентности 9 на множестве вершин графа G = (V, а) тогда и только тогда будет конгруэнцией этого графа, когда каждый 9-класс образует в G независимое подмножество.

Пусть Pm — неориентированная m-рёберная цепь, и пусть её вершины пронумерованы натуральными числами 0,1, 2,... , m. Через ConPm обозначим множество всех конгруэнций цепи Pm, а через E (m) —множество всех эквивалентностей на m-элементном множестве. Количество элементов в E(m) называется числом Белла B(m). В работе [4] высказана гипотеза о том, что |Con(Pm)| = B(m), то есть что |Con(Pm)| = |E(m)|. Ниже приводится доказательство этого факта.

Напомним, что числом Стирлинга второго рода s2(m, k) называется количество всех эквивалентностей с k классами на m-элементном множестве. Очевидно, что

т

^ в2(т,п) = В(т). Известно, что в2(т, к) = з2(т — 1,к — 1) + кв2(т — 1,к) для

П=1

0 < к < т (рекуррентная формула для чисел Стирлинга второго рода). Числа Белла и Стирлинга для графов рассматривались, например, в работе [5].

Пусть с(Рт, к) — количество всех конгруэнций цепи Рт с к классами. Очевидно, что

т+1

если Соп(Рт) —множество всех конгруэнций цепи Рт, то |Соп(Рт)| = ^2 с(Рт, к).

к=2

Теорема 1. |Соп(Рт)| = |Е (т)|.

Доказательство. Методом математической индукции докажем равенство с(Рт, к + 1) = з2(т, к) для 1 ^ к ^ т.

Базис индукции: т = 2. Цепь Р2 имеет две конгруэнции: одна с двумя классами {0, 2}, {1}, вторая с тремя классами {0}, {1}, {2}, таким образом, с(Р2, 2) = 1 и с(Р2, 3) = 1. Так как двухэлементное множество {0,1} имеет два разбиения — одно с одним блоком {0,1}, второе с двумя блоками {0}, {1}, то з2(2,1) = 1, з2(2, 2) = 1.

Шаг индукции. Предположим, что с(Рт, к + 1) = 52(т, к), 1 ^ к ^ т, верно для цепи Рт и цепей длины меньше т, и покажем, что с(Рт+1,к + 1) = з2(т + 1,к),

1 ^ к ^ т +1.

Заметим, что из каждой конгруэнции 9 с к +1 классами цепи Рт можно получить конгруэнции с к + 1 классами цепи Рт+1 двумя способами. Первый способ: добавив в один из к 9-классов (кроме класса 9(т)) вершину т + 1, получаем разбиение множества вершин цепи Рт+1, все к +1 классов которого будут независимыми, и, следовательно, разбиение является конгруэнцией цепи Рт+1. Таких возможностей имеется кс(Рт, к + 1). Второй способ: создаём новый класс {т + 1}, который вместе с классами конгруэнции 9 образует разбиение множества вершин цепи Рт+1. У этого разбиения все классы образуют независимые подмножества, т. е. получаем конгруэнцию цепи Рт+1. Этим способом может быть получено с(Рт, к) конгруэнций цепи Рт+1. Таким образом,

с(Рт+1, к + 1) = к) + кС(Р,т к + 1).

Ввиду предположения индукции и рекуррентной формулы для чисел Стирлинга второго рода запишем с(Рт+1,к +1) = с(Рт, к) + кс(Рт, к+1) = в2(т, к — 1)+кз2(т,к) = = з2(т + 1, к). Тем самым доказано равенство с(Рт, к + 1) = з2(т, к), 1 ^ к ^ т.

т+1

Докажем теперь, что |Соп(Рт)| = |Е(т)|. В самом деле, |Соп(Рт)| = ^ с(Рт, к) =

к=2

тт

= Е) с(Рт, к) = X] ^(т, к) = |Е(т)|. ■ к=1 к=1

В [4] обсуждалась также задача нахождения для данного связного графа О цепи с минимально возможным числом ребер р(О), фактор-графом которой является О.

Задача китайского почтальона для произвольного связного графа [6] состоит в нахождении кратчайшего обхода, начинающегося и заканчивающегося в одной и той же вершине и содержащего все рёбра графа (рёбра в этом обходе могут повторяться в случае необходимости). Используя один из алгоритмов, связанных с этой задачей [7], докажем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть О — связный граф. Тогда р(О) = т +1 — к, где т — количество рёбер графа О; I — количество рёбер в минимальном цепном паросочетании на множестве вершин нечётной степени (нечётных вершин) графа О; к — максимальная из длин цепей в таких паросочетаниях.

Доказательство. Пусть дан произвольный связный граф О с т рёбрами и п вершинами. Найдем длину наименьшей цепи Рг, факторизующейся на О. Так как связный

граф тогда и только тогда является фактор-графом г-рёберной цепи, когда в нем есть обход длины г [4, теорема 1], то найдем длину г минимального обхода Д.

Рассмотрим случай, когда граф О не имеет эйлерова пути, поскольку иначе этот граф имеет обход длины т. Тогда в графе О существуют ребра, проходимые в Д более чем один раз.

Построим обход графа О, используя алгоритм решения задачи китайского почтальона.

Пусть V* — множество нечётных вершин графа О. Так как О не содержит эйлеровых цепей, то число таких вершин больше двух и чётное.

Пусть М — множество цепей между концевыми вершинами Vг и V], Vг, V] Є V*,

і = і, в графе О, таких, что никакие две цепи не имеют одинаковых концевых вершин и каждая вершина из V* является концом какой-нибудь цепи. Такое множество цепей называется цепным паросочетанием; количество цепей в М равно IV*|/2.

Следуя [7], строим все минимальные (по числу рёбер) цепные паросочетания на множестве нечётных вершин V* графа О. В силу минимальности никакие две цепи в таком паросочетании не имеют общих рёбер. Выберем цепь наибольшей длины из всех минимальных цепных паросочетаний. Пусть это будет цепь длины к из цепного паросочетания М*, соединяющая вершины и и V. Далее удвоим все ребра, входящие в М*, кроме рёбер, входящих в цепь максимальной длины.

Таким образом, получим мультиграф О* с двумя нечётными вершинами и и V. Мультиграф О* имеет эйлеров путь из и в V (или из V в и). Следовательно, граф О имеет минимальный обход Д длины т +1 — к, где I — количество рёбер в минимальном цепном паросочетании М* на множестве нечётных вершин V* графа О. Значит, р(О) = = т + I — к. ■

Полный граф с п вершинами обозначается Кп. Каждая его вершина имеет степень п — 1. Число рёбер в графе Кп равно п(п — 1)/2.

Следствие 1. Для полного графа Кп имеем:

1) р(Кп) = п(п — 1)/2, если п нечётно;

2) р(Кп) = п2/2 — 1, если п чётно.

Доказательство. Первый случай очевиден, так как полный граф с нечётным количеством вершин эйлеров.

Во втором случае используем результат теоремы 2: р(О) = т + I — к. Так как все вершины полного графа Кп при чётном п являются нечётными, то I = п/2. Используя тот факт, что в полном графе каждая вершина соединена со всеми другими, получаем к = 1. В итоге имеем р(О) = п(п — 1)/2 + п/2 — 1 = п2/2 — 1. ■

Звезда — это граф, все ребра которого инцидентны одной и той же вершине. Звезду с т рёбрами будем обозначать 5т.

Следствие 2 (см. также [4]). Для звезды Бт имеем р(5т) = 2т — 2.

Доказательство. Так как у звезды Бт нечётными будут либо все вершины, либо т вершин, то все ребра звезды Бт входят в минимальное цепное паросочетание на множестве её нечётных вершин, то есть I = т. Наибольшая длина цепи в паросочетании равна 2. Таким образом, р(О) = т + I — к = т + т — 2 = 2т — 2. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997. 367 с.

2. Мирзаянов М. Р. Сильно связные конгруэнции ориентированных графов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Вып. 7. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. С.104-114.

3. Мирзаянов М. Р. О минимальных сильно связных конгруэнциях ориентированных цепей // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 6. Вып. 1/2. С.91-95.

4. Карманова Е. О. О конгруэнциях цепей // Прикладная дискретная математика. 2011. №2(12). С. 96-100.

5. Duncan B. and Peele R. Bell and Stirling numbers for Graphs // J. Integ. Sequenc. 2009. V. 12. Article 09.7.1.

6. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. С. 227-239.

7. Bellman R. and Cooke K. L. The Konigsberg bridges problem generalized // J. Math. Anal. Appl. 1969. No. 25. P. 1-7.