CC BY
36
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2015 Прикладная теория графов № 1(27)
УДК 519.628
РЁБЕРНО-ВЕРШИННЫЕ ИНЦИДЕНТНЫЕ ПАРОСОЧЕТАНИЯ
В ЗАДАЧАХ РАСПИСАНИЙ1
A. M. Магомедов, Т. А. Магомедов
Дагестанский государственный университет, г. Махачкала, Россия
С использованием рёберно-вершинных инцидентных паросочетаний решена задача оптимизации расписания, исходные данные для которого представлены графом со степенями вершин не выше трёх.
Ключевые слова: граф, паросочетание, расписание, оптимизация.
EDGE-VERTEX INCIDENT MATCHINGS IN SCHEDULING
A. M. Magomedov, T. A. Magomedov Dagestan State University, Makhachkala, Russia E-mail: [email protected]
The optimization problem for schedules represented by means of graphs with maximal vertex degree 3 is solved by using the edge-vertex incident matchings.
Keywords: graph matching, scheduling, optimization.
Введение
Все использованные в данной работе, но не определенные в ней обозначения и понятия соответствуют принятым в [1]. Множества вершин и рёбер графа G будем обозначать V(G) и E(G) соответственно, степень вершины v и максимальную степень вершины графа — dGv и A(G). Для цикломатического числа |E(G)| — |V(G)| + 1 связного графа G примем обозначение y(G).
Разные содержательные аспекты проблемы оптимизации расписания не раз освещались в литературе, начиная с известной NP-полной задачи «Составление учебного расписания» [2, с. 311]. Задача построения безоконных расписаний в общем виде относится к числу NP-полных задач. Принято считать, что существующих в настоящее время методов недостаточно, чтобы выяснить разрешимость NP-полных задач за полиномиальное время; более точно — проверить гипотезу P = NP. Поэтому выделение нетривиальных частных случаев NP-полных задач, разрешимых за полиномиальное время, заслуживает внимания, особенно когда они имеют практические приложения, как в нашем случае.
Укажем на сравнительно недавние результаты в данном направлении.
Для случая, когда количество занятий в каждом классе равно пяти, а количество занятий каждого учителя — двум, условия существования расписания длины 5 без окон для учителей получены в [3]. Здесь и далее под длиной расписания понимается продолжительность времени (в академических часах) от начала первого занятия
1 Работа поддержана проектом №2014/33 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой части госзадания Минобрнауки России, а также ОМИ ДНЦ РАН.
до завершения последнего занятия расписания (считается, что продолжительность занятия равна одному академическому часу).
Связный граф С будем называть примитивом, если 7(С) ^ 1 и Д(С) = 3. Пусть С — связный граф, такой, что Д(С) = 2р +1, р € Ъ+. Разбиение графа С на р рё-берно-непересекающихся примитивов Сг (г = 1,... ,р) будем называть сбалансированным разбиением на примитивы, если для каждой вершины V графа С и для каждого г = 1,... ,р в примитив С г включены либо LdGv/pJ рёбер, инцидентных вер-
шине V. Сбалансированные разбиения на примитивы востребованы в задачах оптимизации расписаний и интервальных раскрасок графов.
Теорема 1 [4]. Пусть С — связный граф, Д(С) = 2р +1 (р € Граф С допускает сбалансированное разбиение на примитивы тогда и только тогда, когда для каждого подграфа С графа С справедливо неравенство
Теорема 2 [5]. Проверка условий (1) для всех подграфов графа G может быть выполнена за время O(|V(G)|3 log |V(G)|).
Из теоремы 1 видна актуальность рассмотрения случая, когда граф G является примитивом. Этому случаю и посвящена настоящая работа. Найдены эффективно проверяемые необходимые и достаточные условия существования безоконного расписания длины 3. Показано применение рёберно-вершинных инцидентных паросочетаний к решению задачи оптимизации расписания.
Пусть исходные данные к школьному расписанию учебных занятий заданы связным графом С, Д(С) = 3; каждое ребро е соответствует учителю £ = ¿(е), а концевые вершины ребра е — классам С1 (£) и с2(£), в каждом из которых учитель £ должен провести по одному занятию. Требуется выяснить существование расписания длины 3, в котором учителя и классы не имеют окон.
Инъективное отображение Е(С) ^ V(С) множества рёбер графа в множество вершин, такое, что каждое ребро отображается в одну из своих инцидентных вершин, называется рёберно-вершинным инцидентным паросочетанием (р-вип) графа С. Понятно, что для существования у графа С р-вип необходимо выполнение неравенства |Е(С)| ^ IV(С)|, равносильного, очевидно, неравенству
Другими словами, для существования р-вип необходимо, чтобы граф С содержал не более одного цикла. Покажем, что это условие является и достаточным.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: связный граф С содержит единственный цикл С.
Сориентировав рёбра цикла С, получим ориентированный цикл, для которого сохраним обозначение С. Каждой дуге цикла С сопоставим её концевую вершину, после чего удалим из С все такие вершины цикла С, для которых dGV = 2.
Если граф С является циклом, искомое р-вип построено. В противном случае рассмотрим лес Т, который получится после процедуры удаления. Заметим, что каждое из деревьев ¿, образующих лес Т, имеет точно одну вершину гь, общую с циклом С; выбрав гь в качестве корня дерева ¿, сориентируем рёбра дерева так, чтобы получить
|E(G')| ^ p|V(G')|.
(1)
1. Рёберно-вершинные инцидентные паросочетания и безоконные расписания
7(G) ^ 1.
94
А. М. Магомедов, Т. А. Магомедов
ориентированное корневое дерево; затем каждой дуге сопоставим её концевую вершину. В результате получим искомое р-вип.
Случай 2: связный граф О является деревом. Для построения р-вип достаточно применить к О рассуждения, приведённые в предыдущем абзаце для дерева ¿.
Замечание 1. За исключением тривиального случая, когда О является деревом, построенное отображение является биекцией: в нём участвует не только каждая дуга, но и каждая вершина.
Таким образом, доказано следующее
Утверждение 1. Условие (2) необходимо и достаточно для существования р-вип у графа О.
Замечание 2. Заметим, что ограничение А(О) = 3 в доказательстве утверждения не использовано; другими словами, утверждение 1 справедливо для любого А(О). Вопросы существования р-вип и других близких по смыслу паросочетаний рассмотрены в [1, с. 93-94].
Набор пар вида «учитель-класс», индуцированный построенным р-вип, составляет второе по порядку из трёх занятий искомого расписания; во втором занятии задействованы все учителя и все классы (кроме тривиального исключения; см. замечание 1).
Любая корректная достройка построенной части расписания до всего расписания приведёт к искомому расписанию без окон. Для выполнения достройки заметим, что в результате упомянутых выше ориентаций рёбер у каждой невисячей вершины орграфа О имеются либо два потомка («левый» и «правый»), либо единственный потомок («левый»). Рассмотрим класс с, соответствующий вершине и: если вершина V — левый потомок вершины и, то в качестве первого занятия классу с назначим занятие с учителем а = (и, V); если вершина и обладает также и правым потомком ш, то в качестве третьего занятия назначим классу с занятие с учителем Ь = (и,ш). Таким образом, доказана следующая
Теорема 3. Для существования безоконного расписания длины 3, соответствующего связному графу О с А(О) = 3, необходимо и достаточно выполнение условия
7(О) ^ 1.
Следствие 1. Пусть условие (2) выполнено. Если О не является деревом, то существует безоконное расписание длины 3, во втором занятии которого задействованы не только все учителя (для безоконного расписания длины 3 с двумя занятиями у каждого учителя это свойство, очевидно, всегда выполнено), но и все классы. Если О — дерево, Vo —произвольно выбранная вершина О, а Со — класс, соответствующий вершине Vo, то существует безоконное расписание длины 3, во втором занятии которого задействованы все учителя и все классы, отличные от с0.
Следствие 2. Если условие (2) выполнено, то существует безоконное расписание длины 3, где третье занятие проводится лишь в тех классах, которые соответствуют вершинам степени 3.
Заключение
Условия существования р-вип получены новым (по сравнению с [1]) способом. В теореме 3 выявлена связь р-вип с существованием безоконного расписания длины 3. Дополнение теорем 1 и 2 теоремой 3 открывает перспективы для исследования условий существования безоконных расписаний (нечётной длины) в общем случае.
ЛИТЕРАТУРА
1. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980.
2. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. М.: Мир, 1982.
3. Магомедов А. М., Магомедов Т. А. Интервальная на одной доле правильная рёберная 5-раскраска двудольного графа // Прикладная дискретная математика. 2011. №5. С. 85-91.
4. Магомедов А. М., Сапоженко А. А. Условия существования непрерывных расписаний длительности пять // Вестник МГУ. Сер. Вычислительная математика и кибернетика. 2010. №1. С. 39-44.
5. Магомедов А. М., Магомедов Т. А. О приложении алгоритма вычисления подграфа максимальной плотности к задаче оптимизации расписания // Матзаметки. 2013. Т. 93. №2. С. 313-315.
REFERENCES
1. Ore O. Teorija grafov. Moscow, Nauka Publ., 1980. (in Russian)
2. GeriM., Johnson D. Vychislitel'nye mashiny i trudnoreshaemye zadachi. Moscow, Mir Publ., 1982. (in Russian)
3. Magomedov A. M., Magomedov T. A. Interval'naja na odnoj dole pravil'naja rjobernaja 5-raskraska dvudol'nogo grafa. Prikladnaya Diskretnaya Matematika, 2011, no. 5, pp. 85-91. (in Russian)
4. Magomedov A. M., Sapozhenko A. A. Uslovija sushhestvovanija nepreryvnyh raspisanij dlitel'nosti pjat'. Vestnik MSU. Ser. Vychislitel'naya Matematika i Kibernetika, 2010, no. 1, pp. 39-44. (in Russian)
5. Magomedov A. M., Magomedov T. A. O prilozhenii algoritma vychislenija podgrafa maksimal'noj plotnosti k zadache optimizacii raspisanija. Matzametki, 2013, vol.93, no.2, pp. 313-315. (in Russian)
