CC BY
44
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2011 Прикладная теория графов №2(12)
УДК 512.2
О КОНГРУЭНЦИЯХ ЦЕПЕЙ
Е. О. Карманова
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия
E-mail: lkb@info.sgu.ru
Под конгруэнцией цепи понимается отношение эквивалентности на множестве ее вершин, все классы которого являются независимыми подмножествами. Показано, что любой связный граф является фактор-графом подходящей цепи. Найдены границы для минимальной длины цепи, факторизующейся на данный граф.
Ключевые слова: цепь, конгруэнция, фактор-граф, дерево, звезда, обход.
Под ориентированным графом (далее орграфом) понимается пара G = (V, а), где V — конечное непустое множество вершин, а а — отношение на V, задающее множество дуг. Основные понятия приводятся в соответствии с [1].
Графовые модели широко используются во многих областях человеческой деятельности. Транспортные системы, информационные сети, компьютерные программы, отношение зависимости в социальных группах — все могут моделироваться графами. Существуют различные методы преобразования графовых систем для приложений к проблемам оптимизации в вышеупомянутых ситуациях. В качестве допустимых реконструкций данного графа обычно рассматриваются следующие [2]:
1) ориентация ребер данного неориентированного графа (например, известная теорема Оре — критерий ориентируемости графа в сильно связный орграф [3]);
2) добавление новых дуг (ребер) (эта реконструкция используется, например, для построения отказоустойчивых реализаций компьютерных сетей по Хейзу — Абросимову [4, 5]);
3) удаление некоторых дуг (ребер) (здесь общеизвестными результатами являются, например, алгоритмы построения минимального остовного дерева для связной сети, так называемые минимальные расконтуривания сетей в технической диагностике [6]);
4) отождествление некоторых вершин графа.
Последний вид реконструкций формализуется следующим образом.
Пусть е — некоторое отношение эквивалентности на множестве вершин V орграфа G. Фактор-графом орграфа G по эквивалентности е называется орграф G/е = = (V/e,a£), где V/е — множество классов эквивалентности е; ае = {(e(vi),e(v2)) : 3ui G е^1),М2 е е^2) ((Ui,U2) е а)}.
Пусть K — некоторый класс орграфов. Конгруэнцией K-графа G называется такое отношение эквивалентности 9 на V, что фактор-граф G/в является K-графом.
Известны результаты М. Р. Мирзаянова [7], который рассматривал случай, когда K — класс сильносвязных орграфов, и предложил способ построения сильносвязной конгруэнции произвольного орграфа, наибольшей по числу вершин в фактор-графе. Им установлено также [8], что n-элементная ориентированная цепь имеет 2n-3 минимальных сильносвязных конгруэнций.
Возьмём в качестве класса K класс неориентированных графов.
Путем в графе О = (V, а) называется последовательность ребер, в которой каждые два соседних ребра имеют общую вершину и никакое ребро не встречается более одного раза. Если начальная и конечная вершины пути совпадают, путь называется циклическим. Путь, каждая вершина которого принадлежит не более чем двум его ребрам, является простым. Простой циклический путь называется циклом, нециклический — цепью. Цепь с т ребрами будем обозначать Рт.
Звезда — это граф, все ребра которого инцидентны одной и той же вершине. Звезду с т ребрами будем обозначать 5т.
Показано, что любой связный граф является фактор-графом подходящей цепи, и получены оценки для минимальной длины цепи, факторизующейся на данный граф.
Множество вершин называется независимым, если любые две вершины из этого множества несмежны.
Очевидно, что отношение эквивалентности 9 на множестве вершин графа О тогда и только тогда будет конгруэнцией этого графа, когда каждый 9-класс образует в О независимое подмножество.
Известна следующая задача о факторизации: можно ли для заданного графа сказать, является ли он фактор-графом другого заданного графа? Эта задача является КР-полной.
Например, возьмем пятиреберную цепь Р5. Пятивершинный цикл С5 будет её фактор-графом, а четырехреберная звезда 54 — нет.
К числу нерешенных проблем комбинаторной теории графов относится следующая задача: сколько фактор-графов имеет п-элементная цепь? Сколько среди них неизоморфных?
В [9] доказана следующая теорема.
Теорема 1. і(Рп-1) = ^ (п + 2), где і (О) —число независимых множеств в графе О, ^(п) —числа Фибоначчи.
Отсюда следует, что для цепи Рп-1 количество всех конгруэнций с одним нетривиальным классом равно ^(п + 2) — 2, так как в число всех независимых множеств в графе включается пустое множество и все одноэлементные подмножества множества его вершин.
В [10] представлена программа, генерирующая все конгруэнции заданной цепи и выделяющая среди них цепные конгруэнции, т. е. такие, фактор-графы по которым являются цепями. При этом выдается общее число конгруэнций данной цепи и количество её цепных конгруэнций. Например, у трехреберной цепи Р3 имеется четыре различных конгруэнции, которые дают три неизоморфных фактор-графа. У четырехреберной цепи Р4 всего имеется 14 фактор-графов, из них 7 попарно неизоморфных.
На основании результатов, полученных в [10], можно выдвинуть следующее предположение.
ГИПОТЕЗА. Количество конгруэнций п-элементной цепи равно В(п — 1), где В (п) — число Белла.
Число Белла В(п) —это число всевозможных эквивалентностей на п-элементном множестве.
Маршрут в связном графе называется обходом, если он содержит все ребра графа.
Следующий известный результат Тарри [3] показывает, что любой связный граф с т ребрами имеет обход длины 2т.
Лемма 1. Если граф связный, то можно построить циклический маршрут, содержащий все ребра графа в точности два раза, по одному в каждом направлении.
Пусть дана т-реберная цепь. Какие графы являются ее фактор-графами?
Теорема 2. Связный граф тогда и только тогда является фактор-графом т-ре-берной цепи, когда в нем есть обход длины т.
Доказательство. Необходимость. Пусть связный граф О является фактор-графом цепи Рт по конгруэнции 9. Покажем, что в нем есть обход длины т.
Пусть в цепи Рт вершины пронумерованы натуральными числами 1, 2,...,т,т+1.
Каждая вершина графа О является 9-классом. При этом 9(і) и 9 (і) смежны в О тогда и только тогда, когда существуют і' Є 9(і) и і' Є 9 (і), такие, что |і' — і'1 = 1.
Рассмотрим в О маршрут М = 9(1), 9(2),... , 9(т + 1). Покажем, что это обход, т. е. любое ребро графа О входит в состав маршрута. В самом деле, пусть {9(к),9(/)} — ребро в О. Так как 9(к) и 9(/) смежны в О, то найдутся к' Є 9(к) и І' Є 9(/), такие, что к' и /' смежны в цепи Рт, т. е. |к' — /'| = 1. Пусть /' = к' + 1. Тогда в М встретится фрагмент ..., 9(к' — 1), 9(к'), 9(/'),..., и значит, ребро {9(к), 9(/)} входит в состав М. Таким образом, М — обход, и его длина равна т.
Достаточность. Пусть О — произвольный связный граф и в нем есть обход длины т. Построим цепь, фактор-графом которой является граф О.
Так как в графе О есть обход длины т, то каждая вершина при нумерации вершин вдоль обхода получит одну или более меток из натуральных чисел 1, 2, . . . , т, т + 1. Наибольшая метка равна т + 1. В цепи Рт, вершины которой пронумерованы натуральными числами 1, 2, . . . , т, т + 1, рассмотрим отношение
(і,і) Є 9 ^ і и і —метки одной и той же вершины графа О.
Очевидно, что отношение 9 — эквивалентность на множестве вершин цепи.
Пусть (і, і) Є 9 и і < і, т. е. при прохождении обхода некоторая вершина графа О встретилась на шаге і, а затем на шаге і. Понятно, что і ^ і + 2. Следовательно, вершины і и і не являются смежными в цепи Рт. Это означает, что все 9-классы являются независимыми подмножествами, и значит, 9 — конгруэнция цепи Рт.
Покажем, что граф О изоморфен фактор-графу Рт/9.
Каждой вершине графа О сопоставим множество всех её меток. Тем самым устанавливается взаимно однозначное соответствие между вершинами графа О и 9-классами. Покажем, что это соответствие сохраняет отношение смежности.
Пусть вершины и и V смежны в графе О. Это означает, что при обходе они были пройдены последовательно, например вершина V после и. Тогда существуют такие метки і у вершины и и і у вершины V, что і = і + 1. Отсюда следует, что классы 9(і) и 9(і) смежны в фактор-графе Рт/9.
С другой стороны, если классы 9(і) и 9(і) смежны в фактор-графе Рт/9, то в Рт существуют вершины і' Є 9(і) и і' Є 9(і), такие, что |і' — і'| = 1. Это означает, что в графе О вершины, соответствующие классам 9(і) и 9(і), являются смежными.
Таким образом, граф О изоморфен фактор-графу Рт/9. ■
Следствие 1. Любой связный граф с т ребрами является фактор-графом цепи Р2т_1.
Одной из открытых проблем является следующая: для данного связного графа О найти цепь с минимальным числом ребер р(О), фактор-графом которой является данный граф.
Напомним, что диаметром дерева называется максимальное расстояние между его вершинами.
Теорема 3. Если T — дерево с m ребрами, имеющее диаметр d, то p(T) = 2m — d.
Доказательство. Согласно лемме, любой граф с m ребрами имеет обход длины 2m. Пусть R — минимальный обход дерева T, и пусть его длина r < 2m. Значит, в R есть ребро, проходимое один раз. Пусть таких ребер k штук. Пронумеруем их в порядке обхода R. Покажем, что ребра, проходимые один раз, образуют в T цепь.
Предположим, что это не так. Пусть ребра 1 = {и0,и} и 2 с началом v не инцидентны. Рассмотрим в составе R маршрут R(u, v). Он содержит цепь P(и, v). Пусть ее первым ребром будет {и,«'}.
Ребро {и, и'} в обходе R проходится больше одного раза.
Представим обход R в виде R = Rinu0«RUии^иu'uRUuu'RU/ • • - ««'R/m, где Rjn — подмаршрут, соединяющий начальную вершину обхода R с вершиной и0; R/jn — под-маршрут, соединяющий вершину и' с конечной вершиной обхода R; RU — подмаршруты обхода R с началом и концом в и; R%ui — с началом и концом в и'.
Заметим, что второй раз ребро {и, и'} не может быть пройдено от и к и', так как иначе после его прохождения нужно попасть из и' в и по некоторому подмаршру-ту R^',^, а тогда в составе маршрута uu'R(u',u) появляется цикл, что невозможно для дерева. Таким образом, в составе R ребро {и, и'} второй раз проходится от и' к и.
Теперь построим маршрут R^^R^RU • ••RUии^и Ru • • • Ru R/in. Этот маршрут является обходом, так как он содержит все ребра, пройденные в составе R, а значит, все ребра дерева T. Его длина меньше, чем у R, что невозможно, ибо R минимален. Следовательно, предположение о том, что ребра, проходимые один раз, не образуют в T цепь, неверно, и в составе обхода R есть цепь P, состоящая из ребер, проходимых один раз.
Длина цепи P равна k. Но k ^ d, так как d — наибольшая длина цепи в дереве T.
Пусть — длина части обхода R, проходимая по ребрам кратности ^ 2 в R. Тогда 2m > r = sm_k + k ^ 2(m — k) + k = 2m — k ^ 2m — d. Итак, каждый обход дерева T имеет длину не меньше чем 2m—d. Следовательно, 2m — d — это минимальная возможная длина обхода дерева T. Покажем, что обход длины 2m — d существует.
Изобразим дерево T следующим образом. Пусть Pd — цепь длины d в дереве T, vj Є Pd, i = 0, d — 1.
Выберем висячую вершину v0 Є Pd в качестве корневой и припишем уровень i каждой вершине vj цепи Pd. Эти вершины могут быть смежны с некоторыми вершинами, не входящими в цепь Pd, они, в свою очередь, с другими вершинами и т.д. Таким образом, каждая вершина vj Є Pd, i = 1,d — 2, является корнем некоторого дерева T (среди этих деревьев могут быть пустые).
Построим обход v0v1T1v1v2T2 • • • vd_3vd_2Td_2vd_2vd_i. Согласно лемме 1, каждое дерево Tj имеет обход длины, равной удвоенному числу его ребер, причем начинается и заканчивается он в вершине vj Є Pd графа T.
Отсюда и из теоремы 2 следует доказываемое утверждение, поскольку длина построенного обхода равна 2m — d, и этот обход минимален. ■
Следствие 2. Для звезды имеем p(Sm) = 2m — 2.
Докажем теорему о верхней и нижней оценках p(G) для произвольного связного графа G с m ребрами.
Теорема 4. Для связного графа G с m ребрами m ^ p(G) ^ 2m — 2.
Доказательство. Первое неравенство следует из того, что количество ребер в фактор-графе не может превышать количества ребер в исходном графе.
Покажем, что в каждом связном графе G с m ребрами существует обход длины 2m — 2. Рассмотрим два случая.
1) Граф G имеет висячие вершины.
Возьмем произвольную висячую вершину u, пройдем исходящее из неё ребро. Граф G* = G \ {u} связный и имеет m* = m — 1 ребер. По следствию 1, существует обход графа G* длины 2m* — 1 = 2m — 3 и, следовательно, обход графа G длины 2m — 2.
2) Граф не имеет висячих вершин.
Отметим произвольную вершину u, не являющуюся точкой сочленения. Возьмем некоторое исходящее из неё ребро, пусть другим его концом будет вершина V.
Граф G* = G \ {u} связный и имеет m* = m — d ребер, где d — степень вершины u. По лемме 1 существует обход графа G* из вершины v длины 2(m — d). Вершина u с непройденными ребрами образует d-реберную звезду. Обойдем эту звезду, отправляясь из вершины v. Согласно следствию 2, этот обход имеет длину 2d — 2. Таким образом, получаем обход графа G длины 2(m — d) + 2d — 2 = 2m — 2. Заметим, что если в m-реберном графе есть эйлеров путь, то этот граф является фактор-графом цепи длины m (наименьшая возможная длина для цепи, факторизуемой на m-реберный граф). С другой стороны, звезда Sm, имеющая m ребер, не может быть получена как фактор-граф цепи с длиной меньше чем 2m — 2. Следовательно, обе оценки являются точными. ■
ЛИТЕРАТУРА
1. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, Физматлит, 1997. 367 с.
2. Салий В. Н. Оптимальные реконструкции графов // Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2008. С. 59-65.
3. Оре О. Теория графов. 2-е изд. М.: Наука, 1980. 336 с.
4. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing systems // IEEE Trans. Comput. 1976. No. 9. P. 25.
5. Абросимов М. Б. Некоторые вопросы о минимальных расширениях графов // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 5. Вып. 1. С. 86-91.
6. Верзаков Г. Ф., Киншт Н. В., Рабинович В. И., Тимонен Л. С. Введение в техническую диагностику. М.: Энергия, 1968.
7. Мирзаянов М. Р. Сильно связные конгруэнции ориентированных графов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. Вып. 7. С.104-114.
8. Мирзаянов М. Р. О минимальных сильно связных конгруэнциях ориентированных цепей // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 6. Вып. 1/2. С.91-95.
9. Prodinger H. and Tichy R. F. Fibonacci numbers of graphs // Fibon. Quart. 1982. V. 20. No. 1. P. 16-21.
10. Карманова Е. О. О конгруэнциях цепей и циклов // Компьютерные науки и информационные технологии. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С. 238.
