О минимальных сильно связных конгруэнциях ориентированных цепей Текст научной статьи по специальности «Математика»

И, наконец, имеет место следующая Теорема (ср. теорему 14.13). Для каждого n > 20, кратного 4, существует однородное n-вершинное ТР-1Р, не являющееся ТВ-1Р.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ 05-08-18082.

Библиографический список

1. Абросимов М.Б. О неизоморфных оптимальных 1-отказоустойчивых реализациях некоторых графов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. Вып.3. С. 3-10.

2. Абросимов М.Б. Минимальные расширения объединений некоторых графов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып.4. С. 3-11.

3. Абросимов М.Б. Минимальные расширения дополнений графов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 4. С. 11-19.

4. Абросимов М.Б. О минимальных расширениях графов, содержащих изолированные вершины // Вестник ТГУ. Приложение. Томск, 2002. №1(11). С.24-29.

5. Абросимов М.Б. Минимальные к-расширения пред-

полных графов // Известия вузов: Математика. 2003. № 6(493). С. 3-11.

6. Абросимов М.Б. О неизоморфных минимальных реберных 1-расширениях некоторых графов // Теоретические задачи информатики и ее приложений. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004 (в печати).

7. Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997.

8. Харари Ф. Теория графов. М.: Едиториал УРСС, 2003.

9. HayesJ.P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. Vol. C. 25, №9. P.875-884.

10. Harary F., Hayes J.P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. Vol. 23. P. 135-142.

11. Skiena S. Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, 1990.

УДК 512.5

О МИНИМАЛЬНЫХ сильно связных КОНГРУЭНЦИЯХ ОРИЕНТИРОВАННЫХ ЦЕПЕЙ

М.р. Мирзаянов

Саратовский государственный университет, кафедра теоретических основ компьютерной безопасности и криптографиии E-mail: [email protected]

Пусть G = (V, а) - ориентированный граф. Эквивалентность 0 с V х V называется его сильно связной конгруэнцией, если факторграф G/0 - сильно связный. Описываются минимальные по включению сильно связные конгруэнции ориентированной цепи и подсчитывается их количество: 2 n-3, если цепь имеет n вершин.

on Minimal strongly Connected Congruences of a Directed Path

M.R. Mirzayanov

Let G = (V, a) be a directed graph. An equivalence relation 0 ç V x V is called a strongly connected congruence of G if the quotient graph G/0 is strongly connected. Minimal (under inclusion) strongly connected congruences of a directed path are described and the total amount of them is found (2n-3 if the path has n vertices).

Пусть K - некоторый класс орграфов. Если G является K-графом, а отношение эквивалентности в на множестве его вершин таково, что факторграф GI6 также принадлежит классу K, то в называется конгруэнцией K-графа G.

Если K - некоторый класс орграфов и G - произвольный орграф, то K-конгруэнцией орграфа G называется отношение эквивалентности в на множестве его вершин такое, что факторграф G/в принадлежит классу K.

В [1, 2] ставятся задачи изучения K-конгруэнций орграфов, а также конгруэнций K-графов.

Конгруэнции корневых деревьев и турниров рассмотрела А.В. Киреева в [3, 4]. В работе М.А. Кабанова [5] изучаются функциональные конгруэнции орграфов. Сообщение об алгоритме построения минимальной в смысле количества вершин в факторграфе сильно связной конгруэнции произвольного орграфа содержится в работе М.Р. Мирзаянова [6].

© М.Р. Мирзаянов, 2006

91

Известия Саратовского университета. 2006. Т. 6. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1/2

В данной работе под минимальностью ^-конгруэнции орграфа понимается ее минимальность в смысле теоретико-множественного включения. Формально ^-конгруэнция п орграфа G минимальна, если не существует такой его ^-конгруэнции в, что в с п.

Ниже решаются задачи описания и перечисления минимальных сильно связных конгруэнций ориентированных цепей, то есть минимальных по включению эквивалентностей, факторизация по которым превращает ориентированную цепь в сильно связный орграф.

Под ориентированным графом (далее - орграф) понимается пара G = (V, а), где V - конечное непустое множество (вершины орграфа), а а с V* V - отношение на множестве V (пара (и, w) е а называется дугой орграфа с началом и и концом w).

Вершина и достижима из вершины V в орграфе G = (V, а), если

Достижимость вершины и из вершины V будем обозначать символом V ^ и. В частности, любая вершина достижима из себя.

Орграф G = (V, а) называется сильно связным, если ^-^«м/ло»«*. ^-рм/м*

Факторграфом орграфа G = (V, а) по эквивалентности п с V * V называется орграф аж = (V / ж,а/ж), где V/п - множество классов эквивалентности п, а

а/ж- {(ж(и),ж(у)) | (Зи' еж(и)У еж(у))((и'У)еа)}.

Орграф G = (V, а) называется ориентированной цепью, если а — {(^.,Уг+1) \1 = \,п — 1}, где п = | У\. Так как в работе речь идет только об ориентированных графах, ориентированную цепь будем иногда называть просто цепью. Цепь, содержащую п вершин, обозначим символом Рп.

Для упрощения записей будем считать, что на множестве V введено отношение порядка V. < тл оу,-) уу. Очевидно, что для любого отношения эквивалентности п с V * Vи орграфа Рп/п верна импликация (и<м?)=> (ж(и) —> ж(м/)).

Лемма 1 (о разбиении). Пусть п сильно связная конгруэнция орграфа G, а отношение эквивалентности п* таково, что п* с п . Если К)[((м,м>) е.ж) => (ж (и) —>ж*(м>))\ то п* - сильно связная конгруэнция.

Доказательство. Рассмотрим произвольную пару блоков ж (и),ж* (и>). В факторграфе G/п существует путь ж(и) — ж(их),ж{и.1),...,ж(ик) — ж(м>). Его наличие означает, что

е К)^ еф,) &¿2 еж(и2) &(л^) еа),

(Зя2,?3 е У)(я2 еж(и2) &е ж(и3) & (з2,13) еа),...,

Так как (и,5,) еж,то ж (и) —>ж ), а из следует ж ) —>ж (м>). Аналогично ж (íj) —>ж )

для всех 1 — 2,к — \. Таким образом, ж (и)—>ж С^) —> ж (¿2) —>ж (л2) —»...—» ж —>ж (т^). В силу транзитивности отношения достижимости ж* (и) —» я(мг).

Так как для произвольной пары вершин ж*(и),ж'(^) в орграфе G/п* верно ж*(и) —> ж*(ю), фактор-граф G/п* является сильно связным. □

Заметим, что для практического применения леммы о разбиении достаточно доказывать импликации ((м,у) е ж) => (л"*(м) —>ж*(у)) для пар вершин и, w, лежащих только в тех блоках отношения эквивалентности п, которые подверглись разбиению.

Теорема 1. Пусть п - некоторая минимальная сильно связная конгруэнция цепи Р тогда любой п-блок состоит не более чем из двух элементов.

Доказательство. Предположим противное. Пусть для некоторой минимальной сильно связной конгруэнции п утверждение теоремы не верно. Рассмотрим вершины их, и2, и3, принадлежащие одному блоку отношения эквивалентности п. Будем считать, что и2 и и2^ и3. Покажем, что отношение эквивалентности п*, получающееся из пвыделением вершины и2 в отдельный блок, тоже является сильно связной конгруэнцией. Очевидно, вершины п*(и2) и п*(и1) принадлежат одной компоненте сильной

связности, а отношение эквивалентности п* содержится в п. Следовательно, по лемме о разбиении, П - сильно связная конгруэнция. Так как верно включение П с п, получаем противоречие. □

Всюду ниже при использовании обозначений двухэлементных блоков {u, w} будем полагать, что u < w.

Теорема 2. Пусть п - произвольная минимальная сильно связная конгруэнция цепи Pn. Тогда для любой пары ее двухэлементных блоков {uj, Wj}, {u^ W2} верно одно из следующих утверждений:

1. (w, <w2)&(w, < w2);

2. (м2<и,)&(™2<и0.

Доказательство. Положим, u1 < u2. Надо показать, что w1 < w2. По теореме 1 равенство w1 = w2 невозможно. Предположим, что W1 > W2. Рассмотрим отношение эквивалентности л — л\ {(m2,w2),(w2,m2)}. Верна достижимость л (и2) —> л (w2) в факторграфе Pn/n*, так как u2 < w2. Обратная достижимость &(w2)-*&(u2) верна, так как (л(м>2)->л*(м>1))&(л*(и1)-> л {и2))&.{л\и^ = л (wj). Отношение

* * -г-г • *

эквивалентности п таково, что п с п. По лемме о разбиении отношение эквивалентности п - силь-

г-гп >!<

но связная конгруэнция. 1 ак как п с п, получаем противоречие с минимальностью сильно связной конгруэнции п.

Итак, w1 < w2. Случай u2 < u1 разбирается аналогично. □

Теорема 3. Пусть п произвольная сильно связная конгруэнция цепи Pn. Не существует такой вершины цепи V1 < vn, что для любого блока п(и) верно одно из двух утверждений:

1. тах(.тг(и)) < V/

2. vt< тт(,;г(ы)).

Доказательство. Допустим, что такая вершина vi существует. Покажем, что вершина п(у) не достижима из вершины п^п).

Разобьем все вершины факторграфа Рп/п на две группы. К первой группе отнесем такие блоки п(у), что тах(п^)< v.. Вторая группа будет содержать блоки п(у) такие, что v. < min(п(v)). Заметим, что в орграфе Рп/п не найдется дуги, ведущей из второй группы в первую группу. Таким образом, любая вершина первой группы недостижима из вершины второй группы. В частности, вершина п(у) недостижима из вершины п(уп).

Следовательно, отношение эквивалентности п не является сильно связной конгруэнцией. Получаем противоречие, значит допущение не верно. □

Заметим, что теорема 3 не требует минимальности сильно связной конгруэнции п для своего применения.

Пара двухэлементных блоков {u^ W1}, {иг W2} отношения эквивалентности на вершинах цепи называется конфликтующей, если (ц <щ< w^)OR(u2 <щ< w2).

Теорема 4. Произвольная минимальная сильно связная конгруэнция п цепи Pn не содержит тройки попарно конфликтующих двухэлементных блоков.

Доказательство. Допустим, такая тройка попарно конфликтующих двухэлементных блоков {u^ w1}, {u2, w2}, {u3, w3} существует. Пусть u1 = min (u1, u2, u3), v3 = max (v1, v2, v3). Рассмотрим отношение эквивалентности л = л\ {(m2,w2) u (w2,w2)}. Так как u2 < w2, то л (и2) —¥ л (w2). В силу конфликта {u1, w1} и {u3, w3} верно u3 < w1. Заметим, что л (w2)—>л" (w3), л (м?3) = л (и3), л (и3)—>л (Wj),^*^^л(щ), л (Mj) —¥ л (и2). Следовательно, л (w2) л (и2). По лемме о разбиении, п - сильно связная конгруэнция цепи. Получаем противоречие с минимальностью сильно связной конгруэнции п. □

Теорема 5 (характеризация минимальных сильно связных конгруэнций цепи). Для того чтобы отношение эквивалентности п с V2 являлось минимальной сильно связной конгруэнцией цепи, необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих условий:

1) max(|;r(v)|)<2;

vgV

2) для любой пары двухэлементных блоков {up W1}, {u^ W2} справедливо утверждение ((м, < щ) &(W) < w2))OR((u2 <u,)&(w2< wO);

3) не существует такой вершины v. < vn цепи, что для любого двухэлементного блока {u, w} верно одно из двух утверждений: w < v.. или v. < u;

Известия Саратовского университета. 2006. Т. 6. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1/2

4) не существует тройки попарно конфликтующих двухэлементных блоков.

Доказательство. Теоремы 1-4 устанавливают необходимость выполнения условий 1)-4). Покажем достаточность.

Пусть условия 1)-4) выполняются для отношения эквивалентности п. Занумеруем все двухэлементные блоки (м1; Wj}, {иг W2}... {u, wk] таким образом, что Uj < U2 < ... < uk. Блоков большей мощности не существует по условию 1). По условию 2) справедливы неравенства Wj < W2 < ... < w,. В силу условия 3) Uj = Vj, w, = vn. Если k = 1, то, очевидно, условия 1)-4) являются достаточными

Пусть k > 1. По условию 3) верно неравенство Uj < Wj_j для j — 2, к. Из этого следует, что я{уп) —> MvQ), так как я{и^) —> Mw^) для j = 2,k и я{и^ = я(^]) для j = \,k. Следовательно, для любой пары u > w верно n(u) ^ n(w), так как я(и) ——>я'(у0) —>Myv). Итак, п является сильно связной конгруэнцией.

Покажем ее минимальность. Любое отношение эквивалентности п* с п отличается от п тем, что некоторая часть двухэлементных блоков из п не представлена в п*. Очевидно, я\{(ux,W\),(yvx,ux)} и Jt\{(uk,wk),(wk,uk)} не являются сильно связными конгруэнциями. Докажем, что tt\{(uj,wj),(wJ,uj)} для j = 2,k — \ тоже не являются сильно связными конгруэнциями. Так как пары {Uj^Wj^^Uj^j} и конфликтуют, то в силу 4) пара блоков {Uj^Wj^^u^Wj^} конфликтующей не

является. Следовательно, верно < uJ+l. Так как Uj < U2 < ... < u, и wj < w2 < ... < w,, то для любого блока п*^) верны неравенства тах(.7Г*(и)) < w.^, w ._j < тт(я*(и)\ то есть отношение эквивалентности я — я\ {(Uj,Wj),(Wj,Uj)} не удовлетворяет условиям теоремы 3.

Таким образом, отношения эквивалентности • л\ {(Uj,Wj),(_Wj,Uj)} не являются сильно связными конгруэнциями для любых j = \,k. Следовательно, п - минимальная сильно связная конгруэнция. □

Пусть veF\{v„},тогда символом next(v) будем обозначать вершину, непосредственно следующую за вершиной v в цепи Pn.

Аналогично, если ve V\ {vj, символом prev(v) обозначим вершину, непосредственно предшествующую вершине v в цепи Pn.

В силу теоремы 5 любая минимальная сильно связная конгруэнция цепи и только такая конгруэнция может быть построена по следующим правилам.

1. Положим я-{(v,v)\vsV}.

2. Пусть иир=и,=иг=Уи.

3. Пока Vj < ибудем выполнять шаги 4-6.

4. Выберем некоторые вершины u и w, где u < uup и ut< w < ur. Если u Ф Vj, то должно выполняться неравенство u < prev(uup).

5. я\=я^{{и,м>),{м?,и)}.

6. Положим u, - next(u), ur - prev(uv), иир - и.

Следующая таблица представляет все минимальные сильно связные конгруэнции цепи P .

№ Нетривиальные блоки

1 {v15v6>

2 {Vi,vs},{v2,v6}

3 {v„vs},{v3,v6}

4 {v„v5},{v4,vj

5 {Vi,v4},{v2,v6}

6 {vi,v4},{v3,v6}

7 {v,,v3},{v2,vj

8 {vi,v3},{v2,vs},{v4,v6}

Теорема 6. Пусть R(n) - количество минимальных сильно связных конгруэнций цепи Pn. Для n > 2 верна формула

Д(и) = 2"-3.

Доказательство. Покажем для n > 2 справедливость рекуррентной формулы:

ад = 1+Х(/1-|-1)-/г(о.

¡=2

Существует одна минимальная сильно связная конгруэнция, которая содержит только один двухэлементный блок {Vp vn }, и некоторое количество других минимальных сильно связных конгруэнций. Определим их количество. Рассмотрим вершину vn. Она может находиться в одном блоке с одной из вершин v2, V3, ..., vn_2.

Найдем количество таких минимальных сильно связных конгруэнций, в которых вершина vn попадает в один блок с вершиной v;, где 2<i<n — 2. Рассмотрим произвольную конгруэнцию описанного выше вида. Занумеруем все ее двухэлементные блоки ,{u2,w2} ,...,{uk,wk} таким обр азом, что u j < U2 < < ... < uk. Тогда верны утверждения: щ = v;, wk = vnи vi < wk l < vn . Пусть ж* такое отношение эквивалентности на {vj, v2, ..., vi},что его двухэлементные блоки имеют вид {ux,w^},{u2,w2},...,{uk_2,wk_2},{uk_-[,vi}. По теореме 5 отношение эквивалентности ж* - минимальная сильно связная конгруэнция цепи P. Обратно, из любой минимальной сильно связной конгруэнции цепи P,, где 2<i<n — 2, можно построить некоторое количество минимальных сильно связных конгруэнций цепи Pn таких, что вершина vn попадает в один блок с вершиной vi, обратив описанный выше процесс получения минимальной сильно связной конгруэнции цепи Pi из минимальной сильно связной конгруэнции цепи Pn. Каждая такая конгруэнция отличается от других значением wk_j, которое удовлетворяет неравенству vi < wk_x < vn. Таким образом, количество минимальных сильно связных конгруэнций, в которых вершина vn попадает в один блок с вершиной vi, равно (и — / — 1) • R(i).

П—1

Просуммировав по всем вариантам, получаем R(n) = 1 + (я — i — 1) ■ R(i).

в-3 1=2

Докажем теперь по индукции равенство R(n) — 2 для n > 2. Заметим, что Л(1)=Л(2)=Л(3)=1. Предположим, что для всех i < n0 справедливо соотношение R(i) = 2,_3. Докажем, что R(n0 +1) = 2"° 2 Имеем

R(n0 +1) - R(n0) = 1 + Х(«0-0-R(i) ~ 1 -X ("о-''-!)■ *(0 =

1=2 i=2

= R(n0 -1) + ХК - i~n0 + i + l)-R(i) =1 + £R(0 =

i=2 i=2 i=3

= 1 + X 2'~3 =1 + (2"°~3 -1) = 2"» "3.

i=3 .

Таким образом, R(n0 +1) = 2й»"3 + Д(и0) = 2й»"3 + 2й»"3 = 2й0"2.

В силу метода математической индукции равенство R(n) = 2"~3 верно для всех n > 2. □

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ (05-08-18082).

Библиографический список

1. Богомолов А.М., Салий В.Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М., 1997.

2. Богомолов А.М., Салий В.Н. Несколько задач из алгебры дискретных систем // Методы и системы технической диагностики: Материалы X Междунар. конф. по проблемам теоретич. кибернетики. Саратов, 1993. Вып. 18. С.32-34.

3. Киреева А.В. О конгруэнциях корневых деревьев // XI Всесоюз. конф. по проблемам теоретической кибернетики: Тез. докл. Волгоград, 1990. Ч. 1. С. 23.

4. Киреева А.В. Решетка конгруэнций турнира // Студенты - ускорению научного прогресса. Саратов, 1991. Вып. 3. С. 3-7.

5. Кабанов М.А. Функциональные конгруэнции ориентированных графов // Упорядоч. множества и решетки. Саратов, 1995. Вып. 11. С. 15-23.

6. Мирзаянов М.Р. Построение минимальной сильно связной конгруэнции ориентированного графа // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения. Тез. докл. VI Междунар. конф. Саратов, 2004. С. 80.