Каркас автомата Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2010 Прикладная теория автоматов №1(7)

ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ АВТОМАТОВ

УДК 519.17

КАРКАС АВТОМАТА

В. Н. Салий

Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия

E-mail: [email protected]

Каркасом автомата (без выходов) называется упорядоченное множество, которое образуют слои автомата (т. е. его сильно связные подмножества) вместе с отношением обратной достижимости. Установлены некоторые свойства каркаса автомата, связанные с основными алгебраическими конструкциями, такими, как подавтоматы, гомоморфизмы и конгруэнции.

Ключевые слова: автомат, каркас автомата, подавтомат, гомоморфизм, конгруэнция, упорядоченное множество.

В [1] было введено понятие каркаса автомата. Это упорядоченное множество, которое образуют слои автомата вместе с отношением обратной достижимости. Оно сыграло весьма существенную роль в описании автоматов, у которых каждая конгруэнция является ядром подходящего эндоморфизма. В предлагаемой работе устанавливаются некоторые свойства каркаса, связанные с основными алгебраическими конструкциями для автоматов, такими, как подавтомат, гомоморфизм, конгруэнция.

Автомат — это тройка A = (S, X, 8), где S и X — конечные непустые множества, соответственно множество состояний и множество входных сигналов, а 8 : SxX ^ S — отображение, называемое функцией переходов. Запись 8(s,x) = t для s,t Е S и x Е X означает, что автомат A, находящийся в состоянии s, под действием входного сигнала x переходит в состояние t.

Подмножество S' С S называется устойчивым в автомате A, если 8(s,x) Е S' для любых s Е S' и x Е X. Если S' устойчиво в A, то, ограничивая функцию переходов 8 на S' x X, получают автомат A' = (S',X, 8) —подавтомат автомата A, соответствующий S'. Совокупность SubA всех подавтоматов автомата A (сюда включается и нулевой подавтомат 0 = (0, X, 0)) упорядочивается отношением Ai ^ A2 Si С S2, где

Aj = (Si, X, 8), i = 1, 2. Упорядоченное множество (SubA, ^) является дистрибутивной решеткой. Решеточные операции в ней задаются равенствами A1 Л A2 — (Si П S2,X, 8) и Ai V A2 = (Si U S2,X, 8).

Пусть A = (S, X, 8) и B = (T, X, 8) — сравнимые автоматы, т. е. автоматы с одним и тем же множеством входных сигналов (функции переходов всех автоматов будем обозначать символом 8). Отображение ^ : S ^ T по определению является гомоморфизмом автомата A в автомат B, если <^(8(s,x)) = 8(<^(s),x) для любых s Е S,x Е X. Взаимно однозначные гомоморфизмы автоматов называются вложениями, а их биективные гомоморфизмы — изоморфизмами. Эндоморфизмы автомата — это его гомоморфизмы в себя, автоморфизмы — изоморфизмы на себя.

Отношение эквивалентности в С S x S называется конгруэнцией автомата A = (S, X, 8), если оно согласовано с функцией переходов в том смысле, что

(Vs,t Е S)(Vx Е X)((s,t) Е в =^ (8(s, x), 8(t, x)) Е в). Каждая конгруэнция в автомата A определяет его фактор-автомат A/в = (S/e,X, 8), где 8(e(s),x) := e(8(s,x)) для любых s Е S, x Е X.

Пусть X * —множество всех конечных слов над алфавитом X. Продолжим функцию переходов 8 на множество S x X*, полагая 8(s, e) = s, где e Е X* —пустое слово, и 8(s,px) = 8(8(s,p),x) для любых s Е S, x Е X, p Е X*. Говорят, что состояние t достижимо в автомате A из состояния s, если найдется входное слово p Е X*, такое, что 8(s,p) = t. Записывая это в виде (s,t) Е т, вводим отношение достижимости т в автомате A. Понятно, что т рефлексивно и транзитивно, т. е. является квазипорядком на S. Пусть s Е S — произвольное состояние автомата A. Подмножество т(s), объединяющее все состояния, достижимые из s, устойчиво в A и, следовательно, определяет подавтомат A (s) = (т(s),X, 8). Это — главный подавтомат, порожденный состоянием s.

Симметричная часть а = т П т-1 отношения достижимости называется отношением взаимной достижимости в A. Очевидно, что а будет эквивалентностью на множестве состояний S. Классы этой эквивалентности называют слоями автомата A.

Каркасом автомата A назовем упорядоченное множество F(A) = (S/a, т-1). Его элементами являются слои автомата A, а порядком — отношение, обратное достижимости, перенесенное на слои: (a(t),a(s)) Е т-1 равносильно тому, что (s,t) Е т.

Теорема 1. Каждое конечное упорядоченное множество изоморфно каркасу подходящего автомата с двумя входными сигналами.

Доказательство. Пусть P = (P, ^) —конечное упорядоченное множество. Построим автомат A = (S, X, 8), такой, что |X| = 2 и F(A) = P. (Здесь и далее знаком = обозначается изоморфизм соответствующих структур.)

Каждому минимальному элементу a Е P сопоставим символ so (a). Если элемент a не минимален и имеет k нижних соседей, то сопоставим a символы si (a), 0 ^ i ^ k — 1. Проделав эту процедуру для всех элементов из P, получим множество S состояний автомата A. (Элемент a упорядоченного множества (P, ^) называется нижним соседом элемента b, если a < b и — (3x Е P)(a < x < b).)

Далее, положим X = {0,1}. Определим функцию переходов 8 : S x X ^ S следующим образом.

Если a является минимальным элементом в упорядоченном множестве P, то 8(so(a), 0) = 8(so(a), 1) = so (a).

Если a — не минимальный элемент и у него k нижних соседей, то состояния s0(a), s1(a),... , s^-1(a) по входному сигналу 0 образуют контур в указанном порядке их прохождения (последнее состояние переходит в первое).

Если a — не минимальный элемент и a0, a1,... , a^-1 —его нижние соседи, то 8(si(a), 1) = s0(ai), 0 ^ i ^ k — 1.

Покажем, что P = F(A).

В автомате A слоями будут в точности подмножества вида {s0(a)}, где a — минимальный в P элемент, и подмножества вида {s0(a), s1(a),..., s^-1(a)}, где a имеет k ^ 1 нижних соседей.

Определим отображение ^ : P ^ F(A), полагая ^(a) = a(s0(a)). Очевидно, что ^ является взаимно однозначным соответствием между множествами P и F(A).

Пусть a < b в P. Возьмем в P какую-нибудь неуплотняемую возрастающую цепь a = x1 < x2 < • • • < xi = b. Так как xi является нижним соседом для xi+1,1 ^ i ^ l — 1, то 8(s0(xi+1), 1) = s0(xi), и значит, 8(s0(b), 11-1) = s0(a), откуда <^(a) = a(s0(a)) < < a(s0(b)) = <^(b) в F(A).

С другой стороны, если <^(а) < <^(6), т. е. а(з0(а)) < а(з0(6)) в ^(А), то состояние з0(а) достижимо в А из состояния з0(6). Входным словом минимальной длины, переводящим з0(6) в з0(а), является слово вида 1г-1,1 > 1. Подавая его на вход автомата А, получим последовательность состояний з0(6) = з0(хг), 50(жг-1),... , 50(ж1) = з0(а). При этом хг будет нижним соседом в Р для хг+1,1 ^ ^ I — 1. Таким образом, в Р

получаем убывающую цепь от 6 к а, откуда а < 6.

Итак, отображение ^ биективно, изотонно и обратно изотонно, т. е. является изоморфизмом упорядоченного множества Р на упорядоченное множество ^(А). ■

Теорема 2. Конечное упорядоченное множество тогда и только тогда изоморфно каркасу автономного автомата, когда у каждого его элемента имеется не более чем один нижний сосед.

Доказательство. Граф переходов автономного автомата представляет собой объединение функциональных графов, т. е. орграфов, в которых степень исхода каждой вершины равна 1. Слоями такого автомата будут одноэлементные множества, соответствующие состояниям, не входящим в контуры, а также сами контуры. В диаграмме каркаса автономного автомата, если под высотой элемента (слоя) понимать удаленность соответствующего состояния от контура, контурам соответствуют минимальные элементы, у них нет нижних соседей, у каждого неминимального элемента имеется в точности один нижний сосед.

С другой стороны, если диаграмма упорядоченного множества удовлетворяет условию теоремы, то эту диаграмму можно преобразовать в граф переходов автономного автомата путем ориентации ее ребер от больших элементов к меньшим и присоединения петель во всех минимальных элементах. Диаграмма каркаса построенного автомата совпадет с диаграммой исходного упорядоченного множества. ■

Теорема 3. Если А и В — произвольные автоматы, то БиЬА = БиЬВ тогда и только тогда, когда ^(А) = ^(В).

Доказательство. Пусть Ь — конечная дистрибутивная решетка. Ненулевой элемент а Е Ь называется неразложимым, если для любых х,у Е Ь равенство а = х V у влечет одно из равенств а = х или а = у. Это означает, что у а имеется в Ь единственный нижний сосед. Например, неразложимыми элементами решетки подавтоматов являются в точности главные подавтоматы (см. [2], с. 174, лемма 2.5).

Известно (см. [2], с. 174, следствие 2.20), что конечная дистрибутивная решетка с точностью до изоморфизма определяется своим упорядоченным подмножеством, которое образуют ее неразложимые элементы.

Пусть РБиЬА обозначает упорядоченное множество всех главных подавтоматов автомата А. Покажем, что РБиЬА = ^(А).

Рассмотрим отображение ^ : РБиЬА ^ ^(А), А(з) ^ ^(з). Очевидно, что

сюръективно. Если ^(А(з)) = <^(А(£)), то а(з) = а(£), откуда т(з) = т(¿), и

значит, А(з) = АС0> что означает инъективность отображения <^. Далее, так как А(з) ^ А(£) т(з) С т(¿) (¿, з) Е т а(з) ^ а(£) для любых з,£ Е Б,

то получаем, что биекция ^ изотонна и обратно изотонна, т. е. является изоморфизмом упорядоченных множеств РБиЬА и ^(А).

Доказательство завершается следующей формулой: БиЬА = БиЬВ

РБиЬА = РБиЬВ ^(А) = ^(В). ■

Теорема 4. Если ^ — вложение автомата А в автомат В и ^(А) = ^(В), то ^ —

изоморфизм А на В.

Доказательство. Нужно показать, что ^ — сюръективное отображение.

В каждом слое автомата А выберем одно состояние и обозначим полученное множество через Б0. В множестве состояний автомата В образуем подмножество Т0 = {¿|(3з Е Б0)(^(з) = £}. Покажем, что все элементы этого множества лежат в разных слоях автомата В. Пусть это не так и а(£) = а(£'), где £ = ^(з),£' = ^(з') и з,з' Е Б0. Тогда существует слово р Е X*, такое, что $(£,р) = £'. Отсюда имеем ^(з') = £' = $(£,р) = $(^(з),р) = ^($(з,р)). В силу инъективности ^ получаем

з' = £(з,р), и значит, (з,з') Е т. Аналогично (з',з) Е т, откуда (з,з') Е а, т. е. а(з) = а(з'), что невозможно по построению множества Б0. Поскольку |Т0| = |Б0| = = |Т(А)| = |Т(В)|, то Т0 является селективным множеством для эквивалентности а в автомате В.

Пусть теперь £ — произвольное состояние автомата В. Существует £' Е Т0, такое, что а(£) = а(£'). Значит, £ = $(£',р) для подходящего р Е X*. Так как £' = ^(з') для некоторого з' Е Б0, то £ = £(£',р) = £(^(з'),р) = ^(£(з',р)), т.е. £ Е рг2^. Следовательно, ^ сюръективно. Итак, ^ — инъективный и сюръективный гомоморфизм, т. е. изоморфизм автомата А на автомат В. ■

Следствие 1. Если А' — подавтомат автомата А и Т(А') = Т(А), то А' = А.

Доказательство. Тождественное отображение из множества состояний автомата А' в множество состояний автомата А является автоматным вложением. Согласно теореме 4, оно будет изоморфизмом. ■

Следствие 2. Если ^ — эндоморфизм автомата А и Т(<^(А)) = Т(А), то ^ — автоморфизм.

Доказательство. Поскольку эндоморфный образ <^(А) является подавтоматом автомата А, то из следствия 1 получаем требуемое утверждение. ■

Теорема 5. Если в — конгруэнция автомата А, то Т(А/0) = Т(А) тогда и только тогда, когда в С а.

Доказательство. Пусть в — произвольная конгруэнция автомата А = (Б, X, ^).

I. Предположим, что в С а, и докажем изоморфность упорядоченных множеств (каркасов) Т(А/в) и Т(А).

Прежде всего, заметим, что естественное отображение па£в : Б ^ Б/в, з ^ в(з), согласовано с отношениями достижимости в автоматах А и А/в. В самом деле,

(М) Е т =^ (3р Е х*)(ф,р) = £) =^

=^ (3р Е х*)(^(в(з),р) = в(^(з,р)) = в(£)) =^ (в(з),в(£)) Е т.

Отсюда следует, что (з,£) Е а влечет (в(з),в(£)) Е а.

Рассмотрим теперь отображение ^ : Т(А/в) ^ Т(А), полагая ^(а(в(з))) = а(з).

В силу сделанного выше замечания, ^ определено корректно, т. е. не зависит от выбора конкретных представителей в классах в(з) и а(з). Действительно, если в(£) = в(з), то (з,£) Е в С а, откуда ^(а(в(£))) = ^(а(в(з))) = а(з) = а(£).

Очевидно, что ^ сюръективно. Покажем, что оно и инъективно. В самом деле, ^(а(в(з))) = ^(а(в(£))) =^ а(з) = а(£) =^ (з,£) Е а =^

=^ (в(з),в(£)) Е а =^ а(в(з)) = а(в(£)).

Итак, ^ — биекция.

Теперь доказываем ее изотонность:

а(в(з)) ^ а(в(£)) =^ (в(£),в(з)) Е т =^ (Зр Е X*)(£(в(£),р) = в(з) =^

=^ (Зр Е X*)(в(^,р)) = в(з)) =^ (Зр Е X*)((*(*,р),в) Е в) =^

=^ (Зр Е х*)((^(£,р),з) Е а) =^ (Зp, д Е х*)(£(£,рд) = з) =^ (^ в) Е т =^

=^ а(з) ^ а(£) =^ ^(а(в(з))) ^ ^(а(в(£))); и обратную изотонность:

^(а(в(з))) ^ ^(а(в(£))) =^ а(з) ^ а(£) =^ (£,з) Е т =^

=^ ((в(£),в(з)) Е т =^ а(в(з)) ^ а(в(£)).

Таким образом, ^ — изоморфизм каркаса Т(А/в) на каркас Т(А).

II. Предположим, что Т(А)/в) = Т(А), и докажем, что в С а.

От противного. Пусть в не содержится в а. Тогда существует пара (з,£) Е в, где з и £ лежат в разных слоях автомата А. Здесь могут представиться два случая.

1. Предположим, что слои а(з) и а(£) сравнимы в каркасе Т(А), например, а(з) < а(£).

Из всех таких пар слоев выберем одну с тем свойством, что в ней а(з) имеет наименьшую возможную высоту. Тогда каждое состояние из слоя а(£) находится в одном в-классе с некоторым состоянием из а(з). Действительно, если £' Е а(£), то существует слово р Е X*, такое, что £(£,р) = £'. Так как (з,£) Е в, то (£(з,р),£') Е в. По выбору слоя а(з) имеем $(з,р) Е а(з). Точно так же любое состояние из каждого промежуточного слоя а(и), т. е. когда имеют место неравенства а(з) < а(и) < а(£), находится в одном в-классе с подходящим состоянием из а(з). Отсюда следует, что при факторизации автомата А по конгруэнции в все слои из интервала [а(з),а(£)] отождествятся, и значит, в каркасе Т(А/в) будет меньше элементов, чем в изоморфном ему каркасе Т(А), что невозможно.

2. Предположим, что слои а(з) и а(£) несравнимы в Т(А).

Допустим, что найдется слово р Е X*, такое, что з' = £(з,р) Е а(з), но £' = £(£,р) Е Е а(£). Возьмем слово д Е X* со свойством $(з',д) = з. Тогда по модулю в имеем £ = з = £(з',д) = £(£',д) Е а(£), и мы получаем пару состояний (£,£(£', д)) Е в, где а($(£',д)) < а(£), что приводит к рассмотренному случаю 1.

Пусть, напротив, оказалось, что любое слово р Е X*, переводящее з в одно из состояний слоя а(з), переводит £ в одно из состояний слоя а(£). Тогда каждому з' Е а(з) соответствует £' Е а(£), такое, что (з',£') Е в. Следовательно, при факторизации автомата А по конгруэнции в слой а(з) отождествится со слоем а(£), и значит, в каркасе Т(А/в) будет меньше элементов, чем в Т(А), что невозможно.

Полученные противоречия приводят к выводу о том, что в С а. ■

ЛИТЕРАТУРА

1. СалийВ.Н. Автоматы, у которых все конгруэнции — внутренние // Изв. вузов. Математика. 2009. №9. С. 36-45.

2. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997.