CC BY
4
В.А. Игошин, Н.В. Коткова
Список литературы
1. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование квазигеодезических потоков // Доклады АН СССР. 1991. Т. 320. № 3. С. 531 - 535.
2. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование 1, 2, 3 // Изв. вузов. Мат. 1992. № 6. C. 63 - 71; 1994. № 10. С. 26 - 32; 1995. № 5. С. 39 - 50.
3. Игошин В.А., Коткова Н.В. Существование римановой метрики плоскости с заданными символами Кристоффеля / Нижегород. гос. ун-т им. Н.И. Лобачевского. Н. Новгород, 2002. Деп. в ВИНИТИ, № 168-В2003.
4. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979. 256 с.
5. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Гостех-издат, 1967. 664 с.
V. Igoshin, N. Kotkova
ABOUT PROJECTIVELY RIEMANNIAN QUASIGEODESIC FLOWS
The series of theorems is obtained on the basis of the method of pulverization modelling [1; 2] and the results of [3]. This theorems are about existence of the Riemannian connection, projectively equivalent to the given symmetric affine connection or connection of one-dimensional quasigeodesic flow.
УДК 514.76
В.М. Исаев, С.Е. Степанов
(Владимирский государственный педагогический университет)
О КОНФОРМНО КИЛЛИНГОВОМ ТЕНЗОРЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
Настоящая статья является продолжением работы авторов [1] и посвящена изучению конформно киллинговых тензорных полей на римановом многообразии постоянной ненулевой кривизны.
1. Введение и основной результат.
Хорошо известно (см. [2]), что на п -мерном римановом многообразии постоянной ненулевой кривизны С произвольный кон-
63
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
формно киллинговый тензор с ранга р < п -1 с компонентами допускает представление
с,, , =ви , —— V, вг , , (1.1)
1112-■ 'р ,1,2 ■ ■ Р р(2 '1 '' Р где в^ ^ и в^ i - компоненты тензоров Киллинга рангов р и
р — 1 соответственно. В настоящей статье, опираясь на (1.1), докажем, что справедлива
Теорема. На п-мерном римановом многообразии (м, £) постоянной ненулевой кривизны С существует локальная система координат х1, ..., х", в которой произвольный конформно киллинговый тензор в ранга р (I < р < п — 1) имеет компоненты
с ■ р = е(■ + К. , )—
1 С
--ер\
С 1 А
П.М;-■ Ь Г" \Въ-■ р ]+ рА','2-■ 'р
р /
(1.2)
для у = —т——чlndetg\ ; \=д\ и произвольных кососимметрич-2(п+1)
ных по всем индексам постоянных А , и В , . 2. Доказательство теоремы.
2.1. Известно, что проективный диффеоморфизм /: (м, £) — (м, g) римановых многообразий можно осуществить
[3, с. 46 - 47] по принципу равенства локальных координат х1 = х1 , ..., хп = хп в соответствующих точках х их = / (х ) этих многообразий. В этом случае справедливы равенства [4, с. 162; 3, с. 73 - 75]
Т* =Г* — ГЦ =Щ8) + (2.1)
для компонент Т^ тензора деформации Т = V - V и объектов г£ и Г связностей Леви-Чивита V и V в общей по отображению /: (м, £) —^ (м, £) системе координат х1, ..., х", а также для
1 '
\ = д \ и \ = —,-ч 1п
] Г 2(п+1) [ detg
64
В.М. Исаев, С.Е. Степанов
Полагаем в^ 1 компонентами произвольного тензора Киллин-
га-Яно в ранга р (1 < р < п —1), которые согласно определению удовлетворяют уравнениям вида +V^ = 0 . На осно-
вании равенств (2.1) непосредственно убеждаемся, что для тензорно-
го поля в = е (р+!)У f *в его компоненты
в . = е-р+1)^в1 . (2.2)
удовлетворяют следующим уравнениям: VJi:в^¿2 , ' = 0.
Следовательно, в является тензором Киллинга-Яно ранга р (1 < р < п -1) уже на многообразии (м, §).
2.2. В статье [5] нами было доказано, что в декартовой системе координат х1, ..., Хп окрестности и произвольной точки х локально плоского многообразия (м, §) компоненты в^ i тензора Киллинга-Яно ранга р (1 < р < п — 1) имеют строение в , = Ащ 1 хк + В^ г для произвольных кососимметричных по всем индексам постоянных г и В у . На основании выражения (2.2) заключаем, что компоненты в^ г произвольного тензора Кил-линга-Яно ранга р (1 < р < п — 1) на п -мерном многообразии (м, g) постоянной кривизны имеют строение
вц.,р = ер^(Ак1]..1рХк + Ъи..1г ), (2.3)
1_ 2(п+1)1
Хп компоненты метрического тензора § имеют вид = 8^ для символа Кронекера 8^ . При этом многообразие (м, §) считается
1 п
отнесенным к специальной системе локальных координат х , ... ,х , в которой согласно равенствам (2.1) символы Кристофеля имеют вид
ГЦ =щ8* . (2.4)
где = —(-д §), ибо в декартовой системе координат х1, ...
65
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
2.3. Найдем теперь выражение для второго слагаемого
-1 в,2...,р в разложении алх Здесь в,2..1р =д,1 е12..1р -
— 0k.., Г^ — ...~вг2.- выражение ковариантной производной V0 тензора Киллинга-Яно 0 ранга p - 1. Поскольку в используе-
1 n
мой выше локальной системе координат x , ... ,x имеем @i2..ip = ePW^M2...,pxk + Bi2,.,ip), а символы Кристофеля Г~ находятся из равенств (2.4), то
— V, 0, г =—
pC 1 2 p C
r 1 Л
n.Mb.-lp, Yk +П1В12..1р ]+- A1112..1
. (2.5)
Теперь на основании равенств (1.1), (2.3) и (2.5) заключаем, что справедливо выражение (1.2) для компонент произвольного конформно киллингова тензора на римановом многообразии (м, g) постоянной кривизны С ф 0.
Список литературы
1. Исаев В.М., Степанов С.Е. Примеры киллинговой и конформно кил-линговой форм // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград, 2001. Вып. 32. С. 52 - 57.
2. Tachibana S.-I. On conformal Killing tensor // Tohoku Math. Joum. 1969. Vol. 21. P. 56 - 64.
3. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979.
4. Эйзенхарт Л.П. Риманова геометрия. М.: ИЛ, 1948.
5. Stepanov S.E. On conformal Killing 2-form of the electromagnetic field // Journal of Geometry and Physics. 2000. Vol. 33. № 3 - 4. P. 191 - 209.
V. Isaev, S. Stepanov
ON CONFORMAL KILLING TENSOR IN A RIEMANNIAN MANIFOLD OF CONSTANT CURVATURE
The view of an arbitrary conformal Killing tensor on a Riemannian manifold of nonvanishing constant curvature is retrieved.
66
