О размерности векторного пространства конформно киллинговых форм Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.764.2

С. Е. Степанов, И. И. Цыганок

(Финансовый университет при Правительстве РФ, г. Москва)

О РАЗМЕРНОСТИ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА КОНФОРМНО КИЛЛИНГОВЫХ ФОРМ

Найдены точные границы размерностей векторных пространств конформно киллинговых, замкнутых и ко-замкнутых конформно киллинговых г-форм (1 < г < п -1) над п-мерным связным римановым многообразием.

Ключевые слова: связное риманово многообразие, конформно киллинговы формы.

§1. Определения и обозначения

1.1. Рассмотрим п-мерное (п > 2) риманово многообразие (М^) со связностью Леви-Чивита V. Обозначим через А (М) модуль г-форм над алгеброй С Ш(М) гладких функций, определенных на М, и, выбирая локальную ориентацию М, ведем в рассмотрение оператор изоморфизм Ходжа

* : Аг (М) — Ап-г (М) такой, что g(а, *$) = (- 1)г(п-г]g(* о, &) и *2 = (-1)г(п-га(М) [1, с. 203]. Для оператора внешнего

дифференцирования :С™А (М) — С тА+1 (М) определим [1, с. 204] ему формально сопряженный оператор кодифференцирования 3г : С тА+1 (М ) — С ХА (М ) следующим равенством: 3г =(- 1)п-г)г+1)* йп-г-1 *.

1.2. Зададим на многообразии (М, g) естественный относительно изометрических диффеоморфизмов дифференциальный

оператор первого порядка D = У—(г+1) — (п — г+1) ^ л ёГ —1 для 1 < г < п — 1 , операции внешнего умножения Л дифференциальной (г-1)-формы ёг~1а на метрический тензор g, которая определяется по закону

^ л ё Г—X0,X1,...,Xr) =

г ,

^(—1)ag(Х0,ха) (ёГ—1с)(Х1,..., Ха,..., Хг)

а=1

и произвольных Х0,...,ХГ е СХ(ГМ). Здесь знак А над векторным полем Ха означает отсутствие его в соответствующем слагаемом правой части равенства. Тогда условие с е Кег D , равносильное уравнению

ус = (г + + (п — г +1)—1 g л ёГ—С ,

служит определением конформно киллинговой г-формы (1 < г < п — 1) [2]. Множество г-форм, составляющих на

ядро оператора D, образует векторное пространство ТГ (М,К) конформно киллинговых г-форм, подпространство векторного пространства г-форм СГ(М,К) над (М, g) [3].

Напомним [4, с. 46—47], что векторное поле 2 на римано-вом многообразии (М, g) называется инфинитезимальным конформным преобразованием, или, иначе, конформно киллин-говым векторным полем, если Ь2 g = 2а g для некоторой а е См (М) . Определим для векторного поля 2 двойственную

1-форму ю равенством ю = g (2, • ) и введем обозначение ю# = 2 . Тогда уравнению Ь2 g =2а • g, определяющему ин-финитезимальное конформное преобразование, можно придать вид Dс = Vс + 2-1 ^ с — п 1 g • ё0с . Отсюда заключаем, что 1-форма ю для конформно киллингова векторного поля 2 = с# принадлежит ядру оператора D.

Козамкнутая конформно киллинговая, или киллинговая г-форма о, подчиняется определяющему ее уравнению

Vа = (г + 1)-1ёго [4, с. 55—56], которое равносильно условию ое КегВпКег3г 1 . Все множество киллинговых г-форм образует векторное пространство Кг (М,К ) с Тг (М,К ) [3].

Напомним, что инфинитезимальной изометрией, или кил-линговым векторным полем [4, с. 35—36] на многообразии (М g), называется векторное поле Z такое, что LZg = 0 . Ин-финитезимальное конформное преобразование Z будет инфинитезимальной изометрией при условии а = 0. Поскольку а = п-1 (- 30о) для Z = о#, то произвольную инфинитези-мальную изометрию можно определить как козамкнутое ин-финитезимальное конформное преобразование. Поэтому киллинговая 1-форма о будет двойственной формой для киллин-

V #

гова векторного поля Z = о .

Замкнутые конформно киллинговые г-формы (1 < г < п -1)

определяются условием принадлежности Кег В п Кег . Множество таких г-форм образует векторное пространство Рг(М, Я) с Тг (М,Я) [3].

Напомним, что векторное поле Z называется конциркуляр-ным [5], если V Z = рЫМ для р е СШМ . В этом случае для 1-формы о такой, что о# = Z , имеем Vо = п-1 (-30о)g . Следовательно, 1-форма о является замкнутой конформно кил-линговой формой.

§ 2. Размерности пространств конформно киллинговых форм

2.1. Рассмотрим связное многообразие (М, g). Условием интегрируемости уравнения В о = 0 служат тождества Риччи

[6, с. 42—43], имеющие в произвольной локальной системе координат х1,...,хп многообразия (м,g) следующий вид:

V^к Сг,2..лг V®1112..Лг =~11^г1г2...га_11га+1...ггК1а]к , С2.1)

а=1

где «,1,2..,, =®(Х11,Х12,...,Х1г) и Л^Х = Я(Хк,Х,)Х} — локальные компоненты г-формы и тензора кривизны Я для Хк = д/дхк и Vк ^Хк.

Тождества Риччи (2.1) дают ограничения не только на выбор компонент г-формы со, но и ограничения на кривизну Я многообразия (М^).

Теорема. На п-мерном связном римановом многообразии (М, g) размерности 1г, кг и рг пространств конформно кил-

линговых тг (м,я), козамкнутых конформно киллинговых

(киллинговых) Кг (М,Я) и замкнутых конформно киллинговых

Рг (М, Я) г-форм (1 < г < П"1) имеют следующие ограничения

(п + 2)! (п +1)! (п +1)! I < -,-^—--г- ' к < -,—\ , 7—г- • р < —^-'--

г — / , ( Л ? 1Х,Г — / , / \ ? Г г —

(г +1)!(п "г + 1)Г г (г +1)!(п "г)! ' г г!(п"г +1)!

При этом равенства достигаются на многообразии постоянной ненулевой кривизны, где ?г= кг + рг.

Доказательство. В тривиальном случае, когда (М, g) является локально плоским многообразием, в работе [3] на основании (2.1) установлены в произвольной локальной декартовой системе

координат х1,...,хп компоненты т1. г = Ак1. , хк + В1. г кил-линговой г-формы с. Здесь Ак1. , и В , — компоненты локальных постоянных кососимметричных (г + 1)-форм и г-форм соответственно.

Опираясь на этот результат в [7], найдены в некоторой локальной системе координат х1, ... , хп многообразия

(М, g) постоянной кривизны Сф0 компоненты ог1 , =

= в{г+1)<р(Ак1 , хк + Б, , ) для р = киллинговой

V к',...ь 4.+ ) г 2(п +1)

г-формы о . А потому размерность пространства козамкнутых конформно киллинговых г-форм на римановом многообразии постоянной (в частности, нулевой) кривизны равно числу

К = Г + Уп Уп+')=М-+nМLт.

г у г +1) [ г ) [ г +1) (+1)! (п - г)! В общем же случае кг <-(п +1'-

( +1)! (п - г)! '

Для многообразия (М, g) постоянной кривизны С ^ 0 прямыми вычислениями [2] было доказано, что произвольная замкнутая конформно киллинговая г-форма о имеет вид

о = —— V в для некоторой киллинговой (г - 1)-формы в . С

г С

учетом этого в [7] найдены в некоторой локальной системе координат х1,...,хп многообразия (М,g) компоненты замкнутой конформно киллинговой г-формы

о„.,г =- 1е{г+1)р[р[„Акь..,г ]хк +Р[„Бъ .г ]+ гА^г ) ,

ln(detg)

где р = —т-т- , р =8р, А , и Б , — локальные ком-

2(п +1) 1 г 2 г

поненты постоянных кососимметричных г-форм и (г -1) -форм соответственно. Заключаем, что на многообразии (М,g) постоянной кривизны С ^0 размерность пространства конформно киллинговых г-форм

рг = ( п У Гп^ = Гп + ^ (п + 1)!

г [ г -1) [ г) [ г ) г! (п - г +1)!' 138

(п +1)!

тогда как в общем случае рг < —--—

г! (п—г +1)!

Для (м, g) постоянной кривизны С Ф 0 прямыми вычислениями [2] было получено поточечное разложение произвольной конформно киллинговой г-формы с в сумму со = а1 + с2 козамкнутой конформно киллинговой (киллинго-вой) г-формы со1 и замкнутой конформно киллинговой (пла-нарной) г-формы со2 . На этом основании размерность пространства конформно киллинговых г-форм на многообразии постоянной кривизны С Ф 0 будет равна

гг = К + Рг 4" + ^п +1] = [" +1к )+ 2)! . .

г г г [ г +1) У г ) [п + 2) (г +1)! (п — г +1)!

ъ г (п + 2)!

В общем же случае число tг <-----

(г +1)! (п — г +1)! ' 2.2. Из ограничений на размерности tг и кг векторных пространств конформно киллинговых Тг (М,Я) и киллинго-вых Кг (М,Я) г-форм при г = 1 получим в качестве следствия неравенства вида t1 < 'А (п + 1)(п + 2) и к1 < А (п + 1)п. И факт этот хорошо известен [5, с. 287], а именно: алгебра Ли группы С(М, g) конформных преобразований связного рима-нова многообразия (М, g) имеет размерность не большую, чем 1/2 (п + 1)(п + 2), и реализуется в виде пространства конформно киллинговых векторных полей. Алгебра Ли ее подгруппы 1(М, g) движений имеет размерность не большую, чем 1/2 (п + 1)п, и реализуется в виде пространства киллинговых векторных полей. При этом равенства достигаются на многообразии постоянной кривизны.

Также из установленного неравенства для размерности рг заключаем, что размерность пространства конциркулярных

векторных полей p1 < n +1 и равенство достигаются на многообразии постоянной кривизны [9].

Список литературы

1. Petersen Р. Riemannian geometry. New York, 1997.

2. Kashiwada Т. On conformal Killing tensor // Natural Science Report, Ochanomizi University. 1968. Vol. 19, N 2. C. 67—74.

3. Степанов С. Е. Векторное пространство конформно киллинго-вых форм // Записки научных семинаров ПОМИ. 1999. Т. 261. С. 240—265.

4. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. М., 1957.

5. Yano K. Concircular geometry // Proc. Imp. Acad. Tokyo. 1940. Vol. 16. P. 195—200, 354—360, 442—448, 505—511.

6. Эйзенхарт Л. П. Риманова геометрия. М., 1948.

7. Степанов С. Е. О тензоре Киллинга — Яно // Теоретическая и математическая физика. 2003. Т. 134, № 3. С. 382—387.

8. Vries H.L. Über Riemannsche Räume die infinitesimale konforme transformationene gestätten // Math. Z. 1954. Vol. 60, N 3. P. 328—347.

S. Stepanov, I. Tsyganok

ON A DIMENSION OF THE VECTOR SPACE OF CONFORMAL KILLING FORMS

In this paper we determine a sharp upper bound on the dimension of the space of conformal Killing forms and sharp upper bounds of dimensions of its two subspaces of closed and co-closed conformal Killing forms. This result is a corollary of our result which was published in the paper entitled "The Killing-Yano tensor" (see Theoretical and Mathematical Physics, 2003, Vol. 134, No. 3, 333—338). Moreover this result is a generalization of well known results on of sharp upper bounds of dimensions of vector spaces of conformal Killing, Killing and concircular vector fields.