CC BY
41
УДК 514.764.25 + 515.168.5
С. Е. Степанов, Й. Микеш, И. И. Цыганок ОПЕРАТОР ТАЧИБАНЫ
Аннотация. Актуальность и цели. Рассмотрены лапласиан Ходжа - де Рама и оператор Тачибаны, действующие на дифференциальных формах компактного риманова многообразия. Если изучение собственных значений и, вообще, свойств первого из операторов можно отнести к классике римановой геометрии, то второй оператор был введен в рассмотрение сравнительно недавно первым из авторов. Этот оператор является эллиптическим, а потому на компактном многообразии его ядро, состоящее из конформно киллинговых форм, имеет конечную размерность, названную числом Тачибаны, по аналогии с числом Бетти, которое равно размерности пространства гармонических форм, составляющих ядро лапласиана Ходжа - де Рама. Ранее авторами были установлены свойства чисел Тачибаны и их связь с числами Бетти компактного риманова многообразия. Так, в частности, были получены «нижние границы» для первых собственных значений лапласиана Ходжа - де Рама и оператора Тачибаны на компактном конформно плоском римановом многообразии четной размерности со знакоопределенной скалярной кривизной. Цель исследования - с помощью оператора Тачибаны получить необходимые и достаточные условия, характеризующие гармонические, замкнутые и козамкнутые конформно киллин-говые формы, а также найти первые собственные значения лапласиана Ходжа -де Рама и оператора Тачибаны на римановых многообразиях постоянной кривизны и установить их кратность. Материалы и методы. Объектом исследования является малоизученный эллиптический дифференциальный оператор второго порядка, действующий на дифференциальных формах компактного рима-нова многообразия. Используются методы классической тензорной геометрии и теории дифференциальных операторов на многообразиях. Результаты.
В предлагаемой статье с помощью оператора Тачибаны получены необходимые и достаточные условия, характеризующие гармонические, замкнутые и козамкнутые конформно киллинговые формы, которые обобщают уже известные их характеристики, принадлежащие К. Яно, а также найдены первые собственные значения лапласиана Ходжа - де Рама и оператора Тачибаны на ри-мановых многообразиях постоянной кривизны и установлена их кратность.
Ключевые слова: риманово многообразие, оператор кривизны, конформно киллинговые формы, оператор Тачибаны, собственное значение, собственная форма.
S. E. Stepanov, Y. Mikesh, 1.1. Tsyganok TACHIBANA OPERATOR
Abstract. Background. The article considers the Hodge - De Rham laplacian and the Tachiban operator, functioning on differential forms of the compact Riemannian manifold. When the study of eigenvalues and properties, in general, of the first operator may be refered to as the classics of Riemannian geometry, the second operator has been introduced relatively recently by the first author. This operator is an elliptic one, and therefore on a compact manifold its kernel, consisting of conformal Killing forms, has a finite dimensionality, namd as the Tachibana number, similar to the Betti number, that equals ot the dimensionality of harmonic form space, forming the kernel of the Hodge - De Rham laplacian. Previously the authors have deter-
mined the properties of Tachibana numbers and relation thereof to Betti numbers of the compact Riemannian manifold. Particularly, the authors obtained “lower boundaries” for the first eigenvalues of the Hodge - De Rham laplacian and the Tachibana operator on the compact conformal plane Reimannian manifold of even dimensionality with fixed-sign scalar curvature. The research is aimed at acquisition of necessary and sufficient conditions that characterize harmonic, closed and coclosed con-formal Killing forms using the Tachibana operator, as well as discovering the first eigenvalues of the Hodge - De Rham laplacian and the Tachibana operator on the Riemannian manifolds of constant curvature and determining the order thereof. Materials and methods. The object of research is an insufficiently studied elliptic differential operator of the second order, functioning on differential forms of the compact Riemannian manifold. The authors use the methods of classical tensor geometry and theory of differential operators on manifolds. Results. In the present article, using the Tachibana operator, the authors obtained the necessary and sufficient conditions that characterize harmonic, closed and coclosed conformal Killing forms, which generalize the already known characteristic thereof, obtained by K. Yano, as well as discovered the first eigenvalues of the Hodge - De Rham laplacian and the Tachibana operator on the Riemannian manifolds of constant curvature and determined the order thereof.
Key words: Riemannian manifold, curvature operator, conformal Killing forms, Tachibana operator, eigenvalue, eigenform.
Введение
В настоящей статье будут рассмотрены лапласиан Ходжа - де Рама и оператор Тачибаны, действующие на дифференциальных формах компактного риманова многообразия. Если изучение собственных значений и свойств первого из операторов можно отнести к классике римановой геометрии [1, c. 102-131; 2, c. 334-344], то второй оператор был введен в рассмотрение сравнительно недавно [3]. Он является эллиптическим, а потому на компактном многообразии его ядро, состоящее из конформно киллинговых форм, имеет конечную размерность, названную числом Тачибаны, по аналогии с числом Бетти, которое равно размерности пространства гармонических форм, составляющих ядро лапласиана Ходжа - де Рама. Более того, числа Тачибаны обладают той же двойственностью, что и двойственность Пуанкаре для чисел Бетти. В статьях [4, 5] установлены и другие свойства чисел Тачибаны. Так, в частности, в [5] получены «нижние границы» для первых собственных значений лапласиана Ходжа - де Рама и оператора Тачибаны на компактном конформно плоском римановом многообразии четной размерности со знакоопределенной скалярной кривизной.
В предлагаемой статье с помощью оператора Тачибаны будут получены необходимые и достаточные условия, характеризующие гармонические, замкнутые и козамкнутые конформно киллинговые формы и обобщающие известные их характеристики, принадлежащие К. Яно, а также найдены первые собственные значения лапласиана Ходжа - де Рама и оператора Тачиба-ны на римановых многообразиях постоянной кривизны.
1. Предварительные сведения
Пусть (M,g) - риманово многообразие, которое далее будем рассматривать как связное класса Cмногообразие М размерности n > 2 с метриче-
ским тензором g и связностью Леви-Чивита V . Пусть далее ТМ и Т*М - его касательное и кокасательное расслоения, а ЛГМ = ЛГ (т*М) и
БГМ = Бг (т*М) - расслоения дифференциальных г-форм и ковариантных
симметрических г-тензоров на М. Обозначим через С"ТМ, С"Т*М,
С"ЛгМ и С"БГМ векторные пространства всех их С" -сечений. Метрика в этих пространствах индуцируется римановой метрикой g . В случае компактности многообразия (М, g) посредством формулы
(ю, 0) = | g ((О, 0)й¥о! (1)
М
для любых ю, 0є С "Л ГМ задается метрика Ходжа, или, иначе, глобальное скалярное произведение на С"ЛГМ [1, с. 105; 6, с. 64; 7, с. 161].
Обозначим символом й:С"ЛГМ ^ С"Лг+1М хорошо известный оператор внешнего дифференцирования [1, с. 111; 8, с. 202; 9, с. 41]. При этом если й ю = 0, то г-форма ю называется замкнутой. Если же существует
(г -1)-форма 0єС"Лг-1М такая, что ю = й0, то г-форма ю называется
точной [1, с. 113]. Известно также, что ййю = 0 для любой формы
ює С"ЛгМ [1, с. 112; 9, с. 41].
Формально сопряженный к й относительно метрики Ходжа оператор
кодифференцирования обозначим как й*:С"ЛгМ ^ С"Лг-1М [8, с. 204;
9, с. 167]. При этом если й*ю = 0, то г-форма ю называется козамкнутой. Если же существует (г +1)-форма 0є С"Лг+1М такая, что ю = й*0, то г-форма ю называется коточной. Известно, что й*й*ю = 0 для любой ює С"ЛгМ [9, с. 167].
Для произвольных ює С"ЛгМ и 0є С"Лг+1М справедливо интегральное равенство [2, с. 335; 6, с. 65; 8, с. 204]
(ю, й*0) = (йю, 0^, (2)
из которого следует, что [8, с. 205]
С"ЛгМ = 1тй © Кегй*. (3)
С помощью операторов й и й* строится лапласиан Ходжа - де Рама А = й *й + йй * , который является самосопряженным неотрицательным строго эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка, действующим на С"ЛгМ [1, с. 106-107; 8, с. 204; 9, с. 167; 10, с. 80].
Оператор А коммутирует с двумя исходными операторами йА = Ай и
й*А = А й* и оператором Ходжа *А = А *, который является хорошо из-
вестным изоморфизмом *:ЛгМ ^ Лп ГМ векторных расслоений ЛгМ и
Лп_гМ [1, с. 103-105; 6, с. 6; 9, с. 162, 163, 167; 10, с. 52].
Ядро оператора А составляют гармонические г-формы [9, с. 167], образующие на компактном многообразии (М, g) конечномерное векторное пространство Hг (М, R), размерность которого, как это последует из теории Ходжа [2, с. 334-337; 7, с. 161; 8, с. 273, 357-365, 375-392], равна числу Бетти Ьг (М) многообразия (М,g). Числа Бетти обладают двойственностью Пуанкаре Ьг (М) = Ьп_г (М), которая является следствием равенства *А = А* [7, с. 161].
На компактном многообразии (М,g) имеет место следующее равенство [7, с. 161]:
Ker A = Ker d nKer d *, (4)
где
Kerd = Imd © KerA, Kerd* = Imd* © KerA (5)
для Imd: = d(“Ar-1M) и Imd*: = d*^C“Ar+1M). На основании (4) и (5) из (3) следует известное разложение Ходжа [1, с. 108; 2, с. 335; 7, с. 161]
С“ArM = d(С“Лr-1М) ©d*(С“Лr+1М) KerА . (6)
Лапласиан Ходжа - де Рама А в свою очередь допускает разложение Вейценбека [2, с. 336; 8, c. 211; 10, с. 77] вида
A =V*V + Нг, (7)
где V* - оператор, формально сопряженный к связности V относительно метрики Ходжа; Hr - алгебраический симметричный оператор Hr: Qr(M) ^ Qr(M), который линейно зависит от тензоров кривизны R и Риччи Ric метрики g. Отметим здесь важное свойство оператора Hr :
* Hr = Hn_r *, (8)
или, подробнее, *Hr (co) = *Aro-*V*Vro = A(*ro)-V*V(*ro) = Hn-r (*ю). Здесь мы воспользовались свойствами *А = А * и *V = V * оператора Ходжа [1, с. 107; 6, с. 9; 9, с. 167].
В работах [11, 12] был найден вид оператора D из базиса { d,d *, d}
пространства естественных (относительно изометрических диффеоморфизмов) дифференциальных операторов первого порядка, действующих на
С“ЛгМ, и доказано, что его ядро составляют конформно киллинговые r-формы. Это было ответом на вопрос из статьи [13]. Позднее в работе [3] был найден оператор D , формально сопряженный к D относительно метрики
Ходжа, а затем с помощью операторов О и О* построен эллиптический дифференциальный оператор второго порядка
О* О = / 1 ч (V*V- — й *й --------1---йй * 1. (9)
г (г +1) г +1 п - г + 1 )
В статьях [4, 5, 14] были изучены свойства оператора О*О. Так, в частности, было доказано, что ядро оператора О*О на компактном многообразии (М, g) составляют конформно киллинговые г-формы, образующие конечномерное векторное пространство. Если при этом оператор кривизны Я отрицательно определен, то на многообразии (М,g) не существует отличных от нуля конформно киллинговых форм.
Напомним здесь, что конформно киллинговые г-формы (1 < г < п — 1)
или, иначе, конформные тензоры Киллинга - Яно на п-мерном (п > 2) рима-новом многообразии (М, g), были определены более сорока лет назад [15, 16] как естественное обобщение конформно киллинговых векторных полей [17, с. 284; 18, с. 46-48]. С тех пор эти формы находились под пристальным вниманием множества геометров [19-25], что, кроме прочего, стимулировалось их многочисленными физическими приложениями [11, 12, 26, 29].
Размерность пространства Тг (М, R) конформно киллинговых г-форм, заданных глобальным образом на компактном римановом многообразии (М, g), была названа числом Тачибаны їг (М) по аналогии с числом Бетти
Ьг (М) [4]. Доказано [4, 14], что числа Тачибаны обладают свойством двойственности їг (М ) = їп_г (М), аналогом двойственности Пуанкаре для чисел Бетти, и являются скалярными конформными инвариантами многообразия (М, g). В статье [5] были установлены различные связи между числами Тачибаны и Бетти.
Пространство Kг (М, R) козамкнутых конформно киллинговых г-форм, или, иначе, киллинговых г-форм, является подпространством Тг (М, R) конечной размерности кг (М), названной числом Киллинга многообразия
(М, g). В свою очередь пространство Рг (М, R) замкнутых конформно киллинговых г-форм, названых в [12, 30] планарными г-формами, является подпространством Тг (М, R) конечной размерности рг (М), названной числом планарности многообразия (М, g). Числа кг (М) и рг (М) являются проективными инвариантами и обладают следующим свойством двойственности: кг (М) = Рп_г (М) [4, 14, 30].
2. Инвариантные характеристики киллинговых и гармонических форм
Оператор □:=р(р +1) О*О назовем оператором Тачибаны (ср. с [5]). Как и О*О, оператор Тачибаны □ эллиптический и его ядро на ком-
пактном многообразии (М,g) является конечномерным векторным пространством Tг (М, R) конформно киллинговых г-форм размерности 1г (М).
С помощь оператора Тачибаны можно получить условия, характеризующие гармонические, киллинговые и планарные формы. Например, известно
необходимое и достаточное условие того, чтобы форма юе С™ЛгМ была гармонической [6, с. 68]. Оно следует из разложения Вейценбека (7) и имеет вид У*Ую = _Нг (ю). Наше условие будет аналогичным
Предложение 1. На п-мерном компактном римановом многообразии (М, g) форма юе С~ЛгМ для всех 1 < г < п - 1 будет гармонической тогда и только тогда, когда □ ю = _Нг (ю).
Доказательство. Действие оператора □ на произвольную форму
юе С~ЛгМ определяется равенством
□ ю = У*Ую-1— й *d ю--1-йй *ю. (10)
г +1 п _ г + 1
С учетом разложения Вейценбека (7) равенству (10) придадим вид
□ ю = Аю_Нг (ю)_ —1— ю_---1----йй*ю. (11)
^ ’ г +1 п _ г +1
Поскольку А = й + йй * , то в итоге
□ ю =-Нг (ю)+ г *йю+—п——йй*ю.
гх ! (г +1) п _ г +1
После этого доказательство утверждения становится очевидным.
Число цг, для которого найдется соответствующая ему г-форма
А г \ г г
Л М , не равная тождественно нулю, такая, что □ ю = ц ю, названо в [5] собственным значением оператора Тачибаны □. При этом г-форма ю названа собственной формой оператора □, отвечающей собственному значению |1г (см. [5]). В соответствии с этим сформулируем следствие.
Следствие 1. На компактном римановом многообразии (М, g) постоянной секционной кривизны С форма юе С™ЛгМ для всех г = 1, п - 1 будет гармонической тогда и только тогда, когда она является собственной формой оператора Тачибаны, отвечающей собственному значению (п - г) С и при этом С > 0.
Доказательство. Для доказательства надо лишь напомнить, что на ри-мановом многообразии постоянной кривизны С выполняется равенство Нг = г(п - г) Сю. Очевидно, что кратность собственного значения (п - г) С равна числу Бетти Ьг(М). Поскольку оператор □ неотрицательный, то С > 0.
Известно также необходимое и достаточное условие того, чтобы г-форма была киллинговой [6, с. 70]. Условие имеет вид двух уравнений
гда
< r < п _ 1;
Аю = (г + 1)г 1Нг (ю) и й*ю = 0. Наше условие будет несколько отличаться
от приведенного выше.
Предложение 2. Пусть (М, g) будет «-мерным компактным римановым
многообразием. Если для всех г = 1, ..., п - 1 форма юе С”ЛгМ удовлетворяет уравнению
1) Аю = (г +1)г-1Нг (ю), то она киллинговая, обратное имеет место, коп
_2 _
2) Аю = (п - г + 1)(« - г) 1 Нг (ю), то она планарная, обратное имеет ме-п
сто, когда 1 < г <'
Доказательство. Принимая во внимание выражение А = й*й + йй* лапласиана Ходжа - де Рама А, формулу (11) перепишем в следующем виде:
г А тт I \ п - 2г , ,*
□ ю =----Аю-Нг(ю) + ---------------- йй ю.
г +1 п ’ (г +1)(« - г +1)
Теперь для киллинговой формы юе С~ЛгМ, т.е. такой, что □ ю = 0 и й*ю = 0, уравнение Аю = (г + 1)г-1Нг(ю) выполняется автоматически. Более
п / \ 1 / \ *
— < г < п -1 условия Аю = (г + 1)г"Нг (ю) и □ ю = й ю = 0 равносильны. Далее воспользуемся без труда получаемым из (11) равенством
п - г А тт ! \ п - 2г *
□ ю =----------Аю-Нг(ю)--.----г-.-----7й йю.
п - г +1 (г+1)(п - г+1)
Очевидно, что когда □ ю = й ю = 0 справедливо уравнение
того, при всех
Аю = (п _r + 1)(n _r) 1 Hr (ю). С другой стороны, при
< r < п_ 1 условия
Ай = (п _r + l)(n _ r) 1 Hr (ю) и □ ro = dю = 0 равносильны.
Замечание. Второе утверждение можно также доказать, исходя из первого, если воспользоваться свойствами оператора Ходжа *А = А* ,
*Hr = Hn_r * и *d*d = dd * *.
Число V, для которого найдется соответствующая ему r-форма
ює C“Л'М , не равная тождественно нулю, такая, что А ю = ХГ ю, называется
в [2] собственным значением Лапласиана Ходжа - де Рама А. При этом r-форма ю называется собственной формой Лапласиана Ходжа - де Рама,
отвечающей собственному значению Xr [2]. Отсюда сразу выводится следствие.
Следствие 2. Пусть (М, g) будет n-мерным компактным римановым многообразием постоянной секционной кривизны C. Тогда:
1) каждая киллинговая форма ює С”АГМ является собственной формой Лапласиана Ходжа - де Рама А, отвечающей собственному значению
п
(r + 1)(n - r) C, обратное утверждение верно при
< r < п _ 1;
2) каждая планарная форма ює С”АГМ является собственной формой Лапласиана Ходжа - де Рама А, отвечающей собственному значению
п
r(n - r + 1) C, обратное утверждение верно при
< r < п _ 1 .
Доказательство. Для доказательства надо лишь напомнить, что на ри-мановом многообразии постоянной кривизны C выполняется равенство Hr = r(n - r) Cm. Надо отметить, что в первом случае кратность собственного значения (r + 1)(n - r) C равна числу Киллинга kr(M), а во втором случае кратность собственного значения r(n - r + 1) C равна числу планарности pr(M) многообразия (М, g). Поскольку оператор А неотрицательный, то в обоих случаях С < 0.
Список литературы
1. Jost, J. Riemannian geometry and Geometric Analysis / J. Jost. - Springer-Verlag, Berlin, 2011. - 611 p.
2. Chavel, I. Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press. INC / I. Chavel. -Orlando, 1984. - 362 p.
3. Степанов, С. E. Новый сильный лапласиан на дифференциальных формах / С. E. Степанов // Математические заметки. - 2004. - Т. 76, № 3. - С. 452-458.
4. Степанов, C. E. Кривизна и числа Тачибаны / C. E. Степанов // Математический сборник. - 2011. - Т. 202, № 7. - С. 135-146.
5. Stepanov, S. E. Betti and Tachibana numbers of compact Riemannian manifolds / S. E. Stepanov, J. Mikes // Differential Geometry and its Applications. - 2013. - Т. 31, № 4. - С. 486-495.
6. Yano, K. Integral formulas in Riemannian geometry, Marcel Dekker / K. Yano. -New York, 1970. - 156 p.
7. Новиков, С. П. Топология / С. П. Новиков // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. - 1986. - Т. 12. - Р. 5-252.
8. Petersen, P. Riemannian Geometry, Springer Science / P. Petersen. - New York, 2006. - 401 p.
9. де Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия / Ж. де Рам. - М. : Изд-во иностранной литературы, 1956. - 248 с.
10. Бессе, А. Многообразия Эйнштейна / А. Бессе. - М. : Мир, 1990. - 708 с.
11. Stepanov, S. E. On conformal Killing 2-form of the electromagnetic field / S. E. Stepanov // Journal Geom. and Phys. - 2000. - Vol. 33. - P. 191-209.
12. Stepanov, S. E. A class of closed forms and special Maxwell’s equations /
S. E. Stepanov // Tensor N. S. - 1997. - Vol. 58. - Р. 233-242.
13. Bourguignon, J. P. Formules de Weitzenbok en dimension 4 / J. P. Bourguignon // Seminare A. Besse sur la geometrie Riemannienne dimension 4, Cedic. - Ferman, Paris, 1981. - Р. 308-331.
14. Степанов, С. Е. О некоторых конформных и проективных скалярных инвариантах риманова многообразия / С. Е. Степанов // Математические заметки. - 2006. -Т. 80, № 6. - С. 848-852.
15. Tachibana, Sh. On conformal Killing tensor in a Riemannian space / Sh. Tachibana // Tohoku Math. Journal. - 1969. - Vol. 21. - Р. 56-64.
16. Kashiwada, T. On conformal Killing tensor / T. Kashiwada // Natural. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. - 1968. - Vol. 19, № 2. - Р. 67-74.
17. Кобояси, Ш. Основы дифференциальной геометрии / Ш. Кобояси, К. Номидзу. -М. : Наука, 1981. - Т. I. - 344 с.
18. Яно, К. Кривизна и числа Бетти / К. Яно, С. Бохнер. - М. : Изд-во иностранной литературы, 1957. - 152 с.
19. David, L. A characterization of quaternionic projective space by the conformal-Killing equation / L. David, M. Pontecorvo // J. London Math. Soc. - 2009. - Vol. 80, № 2. - Р. 326-340.
20. Kora, M. On conformal Killing forms and the proper space А of for p-forms / M. Kora // Math. J. Okayama Univ. - 1980. - Vol. 22, № 2. - Р. 195-204.
21. Степанов, С. Е. Векторное пространство конформно киллинговых форм на римановом многообразии / С. Е. Степанов // Зап. научных семинаров ПОМИ. -1999. - № 261. - С. 240-265.
22. Semmelmann, U. Conformal Killing forms on Riemannian manifolds / U. Sem-melmann // Math. Z. - 2003. - Vol. 245, № 3. - Р. 503-527.
23. Gover, A. R. The conformal Killing equation on forms - prolongations and applications / A. R. Gover, J. Silhan // Diff Geom. Apll. - 2008. - Vol. 26. - Р. 244-266.
24. Tsuyoshi, H. Closed conformal Killing-Yano tensor and geodesic integrability / H. Tsuyoshi H., O. Takeshi, Y. Yukinori // J. Phys. A, Math. Theor. - 2008. - Vol. 41, № 2. - Р. 12.
25. Richardson, K. Transverse conformal Killing forms and a Gallot-Meyer Theorem for foliations / K. Richardson, S. D. Jung // Mathematische Zeitschrift. - 2012. -Vol. 270, № 1-2. - Р. 337-350.
26. Carter, B. Generalized total angular momentum operator for the Dirac equation in curved space-time / B. Carter, R.G. Mc Lenaghan // Phys. Rev. D. - 1979. - Vol. 19. -Р. 1093-1097.
27. Gibbons, G.W. The hidden symmetries of multicentre metrics / G.W. Gibbons, P. J. Ruback // Commun. Math. Phys. - 1988. - № 115. - Р. 267-300.
28. Charlton, P. Dirac symmetry operators from conformal Killing-Yano tensor / P. Charlton, I. M. Benn // Classical Quantum Gravity. - 1997. - Vol. 14, № 5. -Р. 1037-1042.
29. Frolov, V. P. Introduction to Black Hole Physics / V.P. Frolov, A. Zelnikov. - Oxford, Oxford Univ. Press, 2011. - 488 p.
30. Степанов, С. Е. О тензоре Киллинга-Яно / С. Е. Степанов // Теоретическая и математическая физика. - 2003. - Т. 134, № 3. - С. 382-387.
References
1. Jost J. Riemannian geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin, 2011, 611 p.
2. Chavel I. Eigenvalues in Riemannian Geometry, Academic Press. INC. Orlando, 1984. - 362 p.
3. Stepanov S. E. Matematicheskie zametki [Mathematical notes]. 2004, vol. 76, no. 3, pp. 452-458.
4. Stepanov S. E. Matematicheskiy sbornik [Mathematical collection]. 2011, vol. 202, no. 7, pp. 135-146.
5. Stepanov S. E., Mikes J. Differential Geometry and its Applications. 2013, vol. 31, no. 4, pp. 486-495.
6. Yano K. Integral formulas in Riemannian geometry, Marcel Dekker. New York, 1970, 156 p.
7. Novikov S. P. Sovremennye problemy matematiki. Fundamental’nye napravleniya [Modern mathematical problems. Fundamental directions]. 1986, vol. 12, pp. 5-252.
8. Petersen P. Riemannian Geometry, Springer Science. New York, 2006, 401 p.
9. de Ram, Zh. Differentsiruemye mnogoobraziya [Differential manifolds]. Moscow: Izd-vo inostrannoy literatury, 1956, 248 p.
10. Besse A. MnogoobraziyaEynshteyna [Einstein manifolds]. Moscow: Mir, 1990, 708 p.
11. Stepanov S. E. Journal Geom. andPhys. 2000, vol. 33, pp. 191-209.
12. Stepanov S. E. Tensor N. S. 1997, vol. 58, pp. 233-242.
13. Bourguignon J. P. Seminare A. Besse sur la geometrie Riemannienne dimension 4, Cedic. [Seminar of A. Besse on dimension 4 of the Riemannian geometry, Cedic]. Ferman, Paris, 1981, pp. 308-331.
14. Stepanov S. E. Matematicheskie zametki [Mathematical notes]. 2006, vol. 80, no. 6, pp. 848-852.
15. Tachibana Sh. Tohoku Math. Journal. 1969, vol. 21, pp. 56-64.
16. Kashiwada T. Natural. Sci. Rep. Ochanomizu Univ. 1968, vol. 19, no. 2, pp. 67-74.
17. Koboyasi Sh., Nomidzu K. Osnovy differentsial’noy geometrii [Basic differential geometry]. Moscow: Nauka, 1981, vol. I, 344 p.
18. Yano K., Bokhner S. Krivizna i chisla Betti [Betti curvature and numbers]. Moscow: Izd-vo inostrannoy literatury, 1957, 152 p.
19. David L., Pontecorvo M. J. London Math. Soc. 2009, vol. 80, no. 2, pp. 326-340.
20. Kora M. Math. J. Okayama Univ. 1980, vol. 22, no. 2, pp. 195-204.
21. Stepanov S. E. Zap. nauchnykh seminarov POMI [Scientific seminar reports of the Saint-Peterburg branch of the Institute of Mathematics]. 1999, no. 261, pp. 240-265.
22. Semmelmann U. Math. Z. 2003, vol. 245, no. 3, pp. 503-527.
23. Gover A. R., Silhan J. Diff Geom. Apll. 2008, vol. 26, pp. 244-266.
24. Tsuyoshi H., Takeshi O., Yukinori Y. J. Phys. A, Math. Theor. 2008, vol. 41, no. 2, pp. 12.
25. Richardson K., Jung S. D. Mathematische Zeitschrift [Mathematical journal]. 2012, vol. 270, no. 1-2, pp. 337-350.
26. Carter B., Mc Lenaghan R.G. Phys. Rev. D. 1979, vol. 19, pp. 1093-1097.
27. Gibbons G. W., Ruback P. J. Commun. Math. Phys. 1988, no. 115, pp. 267-300.
28. Charlton P., Benn I. M. Classical Quantum Gravity. 1997, vol. 14, no. 5, pp. 10371042.
29. Frolov V. P., Zelnikov A. Introduction to Black Hole Physics. Oxford, Oxford Univ. Press, 2011, 488 p.
30. Stepanov S. E. Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika [Theoretical and mathematical physics]. 2003, vol. 134, no. 3, pp. 382-387.
Степанов Сергей Евгеньевич доктор физико-математических наук, профессор, кафедра Математика-1, Финансовый университет при Правительстве РФ (Россия, г. Москва, Ленинградский проспект, 49)
E-mail: s.e.stepanov@mail.ru Микеш Йозеф
доктор физико-математических наук, профессор, кафедра алгебры и геометрии, Университет имени Ф. Палацкого (Чешская Республика, г. Оломоуц,
17 Листопаду)
E-mail: josef.mikes@upol.cz
Stepanov Sergey Evgen'evich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of Mathematics - 1, Financial University under the Government of the Russian Federation (49 Leningradsky avenue, Moscow, Russia)
Mikesh Yozef
Doctor of physical and mathematical sciences, professor, sub-department of algebra and geometry, University of Palatsky (17 Listopadu,
Olomouc, Czech Republic)
Цыганок Ирина Ивановна
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и математической статистики, Финансовый университет при Правительстве РФ (Россия, г. Москва, Ленинградский проспект, 49)
E-mail: i.i.tsyganok@mail.ru
УДК 514.764.25 + 515.168.5 Степанов, С. Е.
Оператор Тачибаны / С. Е. Степанов, Й. Микеш, И. И. Цыганок // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2013. - № 4 (28). - С. 82-92.
Tsyganok Irina Ivanovna Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of probability theory and mathematical statistics, Financial University under the Government of the Russian Federation (49 Leningradsky avenue, Moscow, Russia)
