CC BY
28
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 4
Физико-математические пауки
2009
УДК 514.764.2
ИНФИНИТЕЗИМАЛЬНЫЕ ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И СОЛИТОНЫ РИЧЧИ
С.Е. Степанов, И. Г. Шапдра, В.Н. Шелепова
Аннотация
Солитон Риччи на гладком многообразии М представляет собой тройку (д0,А), где до — полная рпманова метрпка, £ — векторное поле, а А - константа такие, что тензор Риччи Шсо метрики д0 удовлетворяет уравнению — 2Шс0 = Ьд0 + 2Ад0. В статье геометрия солитонов Риччи изучается в зависимости от свойств векторного поля £. В частности, доказано, что это векторное поле является гармоническим преобразованием.
Ключевые слова: римапово многообразие, ипфипитезималыюе гармоническое преобразование. солитон Риччи.
1.1. Пусть (М, д) - риманово многообразие раз мерности п > 2 со связностью Леви-Чивита V, ЛРМ = ЛР(Т*М) и БРМ = БР(Т*М) - векторные расслоения дифференциальных р-форм и ковариантньж симметрических р-тензоров (р > 1) М
С помощью римановой метрики д в слоях тензорных расслоений ЛРМ и БРМ
М
дается глобальное скалярное произведение формулой
для произвольных сечений ш,9 € СТОЛРМ и соответственно ш,9 € СЖБРМ и канонической формы объема 3v многообразия (М, д).
Каждый дифференциальный оператор В, действующий между иространства-
( М, д)
формально сопряженным оператором В*, который (см. [1, с. 626]) определяется равенством (Б-, •) = (-,В*-). Хорошо известно (см. [2, с. 166-167]), что для внешнего дифференцирования 3 : СТОЛРМ ^ СТОЛР+1М формально сопряженным оператором служит оператор кодифференцирования 3 : СТОЛР+1М ^ СТОЛРМ, или, по другой терминологии, дивергенция. На базе операторов 3 и 3 строится известный самосопряженный лапласиан Ходжа -де Рама Д = 33 + 33 : СТОЛРМ ^ СТОЛРМ.
При этом имеет место ортогональное относительно глобального скалярного произведения разложение Ходжа СТОЛРМ = Д(СТОЛРМ)©Кег Д(СТОЛРМ), где вторая компонента Кег Д разложения представляет собою конечномерное векторное пространство гармонических р-форм (см. [2, с. 206]).
1. Лапласиан Яно
м
1.2. Для аналогичного 3 дифференциального оператора 3* : СЖБРМ ^ ^ СЖБР+1М, представляющего собою композицию оператора ковариантного дифференцирования V : СЖБРМ ^ СТО(Т*М ® БРМ) с алгебраическим оператором
симметризации БР+1 : СЖ(Т*М ® БРМ) ^ СЖБР+1М, формально сопряженным оператором будет оператор 3 : СЖБР+1М ^ СЖБРМ, называемый дивергенцией (см. [1, с. 54 55. 6261).
Рассмотрим дифференциальный оператор □ : СЖБРМ ^ СЖБРМ такой, что □ = 33* — 3*3. Непосредственно проверяется, что
(Ш, в) = {33*и, в) — (3*3и, в) = (3*и, 3*в) — (3и, 3и) =
= (и, 33*в) — (и,3*3в) = (и, □в),
следовательно, □ - самосопряженный оператор. Считая далее, что $ £ Т*М — {0}, а их £ SpM = БР(Т*М), найдем символ дифференциального оператора □
(см. [1, с.'627 628: 3, с. 64, 79, 871). Имеем (см. [4])
х)их = —$"_($ О их)+ $ о ($"_их) = —д($, $)их
для тензорного симметрического умножения о, внутреннего произведения 1_ и изоморфизма $ : Т*М ^ ТМ, соответствующего поднятию индекса. Произведенные
□
следовательно, его ядро Кег □ является конечномерным векторным пространством (см. [1, с. 77, 631 632:3, с. 1781). Тогда в соответствии с общей теорией (см. [1, с. 632
( М, д)
тогональное относительно глобального скалярного произведения разложение
СЖБРМ = □ (СЖБРМ) © Кег □(СЖБРМ), (1.1)
которое аналогично разложению Ходжа.
1.3. Рассмотрим действие □ : СЖТ*М ^ СЖТ*М . Для этого в локальной системе координат х1, х2,..., хп произвольной карты (и,ф) и многообразия М полагаем и = и^хк , тогда
□ик = (33* — 3*3)ик = —д^ Уг(У] ик + Уки^ ) — Чк(—дЦ ЧгЩ ) =
= —дгз (УгУз ик + Нкг из) = Аик — 2дгз Яыиз,
где Уг - ковариаптпое дифференцирование в направлении векторного поля Хк = = д/дхк, дгз - локальные контраварнантные компоненты метрического тензора д, Нг3 - локальные компоненты тензора Риччи Шс многообразия (М, д) и, наконец, Дик = ^3 + 3d)иk = —дгзУгУз-ик + дгз Ягкиз - локальное представление лапласиана Ходжа де Рама (см. [5, с. 631).
Если ввести в рассмотрение векторное поле £ = и", то □£ = Д£ — 2И1с*£.
□
киллинговых н гармонических векторных полей. На этом основании для любого р > 1 оператор □ = 33* — 3* 3 назовем лапласианом Яно.
2. Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи
2.1. Произвольное векторное поле £ £ СЖТМ порождает в окрестности и
(М, д)
пу инфинитезимальных преобразований фг(х) = хк = хк + Ь£к для локальной системы координат х1, х2,..., хп в окрестности и, параметра Ь £ (—£, +е) С И и
£ = £kdk (см. [7, с. 21-23; 8, с. 39-41]). Поэтому векторное поле £ называют еще инфинитезимальным преобразованием в многообразии (M, g). При этом символы Кристоффеля Г- связности Леви-Чивита V в результате инфинитезимального преобразования предстанут в следующем виде
К = Г* + t(ViV£k - Rj£) (2.1)
для компонент Rj7 тензора кривизны R связности V (см. [7, с. 37; 8, с. 40, 41]).
Если локальная однопараметрическая группа инфинитезимальных преобразований, порожденная полем £ в окрестности каждой точки риманова многообразия (M, g), состоит из инфинитезимальных гармонических преобразований, векторное поле £ назовем инфинитезимальным гармоническим преобразованием риманова многообразия (см. [9]).
Доказано (см. [9]), что диффеоморфизм f : (M, g) —> (M, g) является гармоническим отображением тогда и только тогда, когда тензор деформации T = V — V подчиняется условию tracegT = 0. В соответствии с этим на основании равенств
(2.1) заключаем, что определяющими для инфинитезимального гармонического £
□£ = Д£ — 2Ric*£ = 0. (2.2)
Доказана (см. [3, 9, 10])
( M, g)
только они составляют ядро лапласиана Яно.
( M, g)
CTOT*M = □(CTOT*M) ©Ker □(CTOT*M) конечномерная компонента Ker □ состоит из инфинитезимальных гармонических преобразований. £
рождает однопараметрпческую локальную группу локальных изометрий (см. [5, с. 60]). В этом случае по отношению к векторному полю £ производная Ли L^g = 0.
(M, g)
(см. [5, с. 63]) системе дифференциальных уравнений
□£ = Д£ — 2Ric*£ = 0, J£ = 0.
Отсюда следует, что конечномерное векторное пространство инфинитезимальных
Ker □
пространство инфинитезимальных изометрий Ker □ П Ker J.
( M, g)
имеет место ортогональное (относительно глобального скалярного произведения) разложение пространства 1-форм CTO(T*M) = Im d © Ker J. А потому Ker □ = = (Ker □ П Ker J) © (Ker □ П Im d), где пространство Im d П Ker □ является ортогональным дополнением пространства инфинитезимальных изометрий Ker □ П Ker J Ker □
В итоге имеем следующее ортогональное разложение:
CTO(T*M) = Im □ © (Ker □ П Ker J) © (Ker □ П Im d), которое служит аналогом разложения Ходжа C(T*M) = Im Д © (Ker d П Ker d).
Замечание. Свойства и примеры инфинитезимальных гармонических преобразований были установлены памп в следующих статьях [4, 9, 10]. Ниже приведем еще один пример инфинитезимального гармонического преобразования.
2.2. На п-мерном гладком многообразии М семейство римановых метрик 9t = g(i), определенных на временном интервале J С R, включающем 0, называется потоком Риччи (см. [11. с. 21: 12. с. 98]). если выполняются уравнения
dg
Гамильтона потока Риччи — = — 2Rico для до = g(0) и тензора Риччи Rico
dt
метрики до.
M
п > 2 связано понятие солитона Риччи (см. [11, с. 22-23]) как триплета (до,£, А) для метрики до, векторного поля £ и постоянной А, связанных уравнением
—2Rico = L? до + 2Адо, (2.3)
где Rico _ тензор Риччи метрики до и L^go = 6*ш — производная Ли метрического тензора до то отношени ю к £ = ш". При А = 0, А< 0 и А> 0 солитон Риччи называется устойчивым, стягивающимся и растягивающимся соответственно. Солитон Риччи (до,£, А) называется градиентным (см. [11, с. 22; 12, с. 154]), если 1-форма ш является градиентом некоторой функции f £ CТОМ. Функция f называется потенциалом солитона Риччи. В случае, когда 6*ш = 0, солитон называется эйнштейновым, и в частности, когда ш = 0, солитон называется тривиальным.
Из уравнения (2.3) вытекает, что 6*ш = —2(Ric + 2Ад), и, следовательно, 6ш = = s + пА, поэтому Шш = (66* — 6*6)ш = —6(2Ric) — ds = 0. Доказана (см. [13])
Теорема 2.2. На п -мерном (п > 2) многообразии М векторное поле £ солитона Риччи (до,£, А) является инфинитезимальным гармоническим преобразованием риманова многообразия (М, до).
3. Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи на компактном римановом многообразии
3.1. Пусть (М, д) - компактное рнманово многообразие и £ = ш" - инфини-тезнмальное гармоническое преобразование. Из равенства Шш = Д£ — 2Ric*£ = 0 следует, что
2(Ric*£,£) = (Д£,£) = (dw, ¿ш> + (6ш,6ш>. (3.1)
Из (3.1) с очевидностью выводится справедливость следующего утверждения.
Теорема 3.1. Компактное риманово многообразие (М, д) не допускает отличных от нуля инфинитезилшльных гармонических преобразований, если тензор Риччи этого многообразия неположительно определен и хотя бы в одной точке многообразия определен строго отрицательно.
Для солитона Риччи (до, £, А) из теоремы 3.1 следует, что Rico = — Адо < 0, от-А>0
тривиальным. При этом заметим, что неравенство Rico(£, £) < 0 несовместимо с (3.1). Справедливо
М
на Риччи (до, £, А), для которого Rico(£,£) < 0. Если же для солитона Риччи (до,£, А) тензор Риччи Rico < 0 и хотя бы в одной точке многообразия Rico < 0, то такой солитон Риччи является растягивающимся тривиальным.
Замечание. Установленный в следствии 3.1 факт согласуется с доказанной ранее теоремой (см. [14]), согласно которой растягивающийся солитон Риччи на компактном многообразии является тривиальным.
Используя разложение; пространства инфинитозимальных гармонических преобразований в ортогональную сумму подпространств инфинитозимальных изо-метрий и градиентных инфинитозимальных гармонических преобразований (см. п. 2.1). мы можем сформулировать (см. также [14])
Следствие 3.2. На компактном многообразии М каждый солитон Риччи (до,£>А) является градиентным.
Для дальнейших исследований воспользуемся интегральной формулой (1.14) из главы 2 монографии [6] вида
J [д(Пш,ш) + п-1(п - 2)д(й5ш,ш) - 2-1\\5*и + 2п-1(^)д\\2] ¿V = 0. (3.2)
м
для произвольной 1-формы шеСтоТ*М та компактном многообразии (М,д). Для инфинитезимальпого гармонического преобразования £ = Ш формула (3.2) принимает следующий вид:
J [2(п - 2)д(йёш,ш) - п\\3*ш + 2п-1(^)д\\2] ¿V = 0 (3.3)
м
Отметим здесь справедливость равенств
= $(5ш) = £) = -Ь?(ё1у е).
На этом основании из (3.3) при условии, что Ь^(ё1у £) > 0, выводится следующее равенство + 2п-1(^ш)д = 0. При этом на компактном многообразии требование д(й5ш,ш) = -(&у£) < 0 означает ё1у£ = 0. Действительно, из = = (¿6ш,ш) < 0 вытекает, что 5ш = -ё1у £ = 0, и тогда = Ь%д = 0. Последнее уравнение является определяющим для киллингова векторного поля, или, по другой терминологии, инфинитезилшльной изометрии риманова многообразия (см. [5, с. 60-61]). В свою очередь, условие 6ш = -ё1у £ = 0 непосредственно следует из этого уравнения. Доказана следующая
(М, д)
мальное гармоническое преобразование подчиняющееся условию Ь^(ё1у£) > 0, является инфинитезимальной изометрией, то есть Ь%д = 0.
Для солитона Риччи (до, £, А) имеем ¿8ш = ¿(во + пА) = ¿во = Ь%(во). Поэтому справедливо
Следствие 3.3. Если на компактном многообразии М скалярная кривизна во метрики до солитона Риччи (до,£, А) подчиняется условию Ь%(во) > 0, то солитон является эйнштейновым..
Замечание. Для стягивающегося солитона Риччи (до, £, А) на компактном многообразии М в размерности п = 3 многообразие (М, до) изометрично сфере четырехмерного евклидова пространства, а в размерности п > 3 условие эйнштей-новости состоит в требовании обращения в нуль тензора Войля (см. [14]). В [14] была также обозначена проблема получения других условий эйнштойновости для
п > 3
утверждение является одним из возможных ответов на поставленный вопрос.
3.2. Рассмотрим инфинитезимальное гармоническое преобразование £ на двумерном компактном римановом многообразии (M, g). Из формулы (3.2) в этом случае следует, что + 2n-1(£w)g = 0. Это равенство является определяющим для конформно киллингова векторного поля. или. по другой терминологии, ин-фипитезимальпого конформного преобразования £ = ш' риманова многообразия (M, g). Обратно, если £ = является инфинитезимальным конформным преобразованием. то согласно формуле (6.3) из главы 2 монографии [6]. имеющей вид □ш + n-1(n — = 0, заключаем, что при n = 2 толе £ является инфинитези-
мальным гармоническим преобразованием. Справедлива
( M, g)
каждое инфтнитезилшльное гармоническое преобразование является инфинитезимальным конформным преобразованием. Верно и обратное.
M
ным солитоном Риччи (g0,£, Л) известна (см. [14]). Так, например, установлено,
M
литоном Рнччп (g0,£, Л) изометрично сфере трехмерного евклидова пространства или двумерному вещественному проективному пространству.
4. Инфинитезимальные гармонические преобразования и солитоны Риччи на некомпактном римановом многообразии
4.1. Пусть £ - инфинитезимальное гармоническое преобразование в римановом многообразии (M, g) с отрицательным тензором Риччи. Полагаем f = g(£, £)/2 функцией длины инфинитезимального гармонического преобразования £, тогда на основании (2.2) получаем
Af = ||V£||2 — Ric(£, £). (4.1)
Если функция f = g(£,£)/2 имеет локадьный максимум в точке x £ M, то (Af)x < 0. С другой стороны, согласно предположению, Af > 0, если £ = 0.
£ x f = g(£, £)/2
имеет локальный максимум в точке x £ M (см. [5, с. 80]), то £ обращается в пуль в некоторой окрестности точки x £ M. Нами доказан локальный вариант теоремы 3.1, а именно справедлива
(M, g)
x£M
£
£ обещается в нуль в этой точке x £ M и некоторой ее окрестности Ux с M.
Уравнения солитона Риччи (go, £, Л) в окрестности Ux с M принимают вид Rico = —Лgo, поэтому солнтон является растягивающимся тривиальным. Справедливо утверждение, являющееся аналогом следствия 3.1
(go , £, Л)
Rico x £ M
£
сти Ux с M этой точки Ric0 = —Лg0, и солитон становится растягивающимся тривиальным.
Для функции f = g(£, £)/2 длины векторного поля £ солитона Риччи (g0,£, Л) на основании уравнений (2.3) находим: £(f) = —Ric0(£, £) — 2Л^ Если предположить, что функция f имеет критическую точку x £ Mв которой £x = 0, то (df)x = 0, и, следовательно, Ric0(£x,£x) = — 2Лf. В результате будет справедлива
Теорема 4.2. Если существует критическая точка x е M для функции f = = С)/2 длины векторного поля С солитона Риччи (go, С, А), в которой Сх = = 0, то солитон будет стягивающимся (соответственно растягивающимся или стабильным), если в этой точке Ric0(£x, Сх) > 0 (^ответственно Ric0(£x,£x) < < 0 или Rico(£x,6x) = 0).
4.2. Из теоремы 3.2 следует, что на компактном многообразии M солитон Риччи (go, С, А) с постоянной скалярной кривнзной so метрики go является эйнштейновым. Рассмотрим такой же солитон в некомпактном случае.
Пусть скалярная кривизна so метрик и go солитона Ри ччи (go, С, А) является постоянной величиной. На основании равенства ЗД = ДЗ (см. [2, с. 167]) из уравнений (2.2) выводим: Дн3w = 3(2RicoC); правая часть обратится в нуль, поскольку ДЗ^ = — ДdivС = Д^ + пА) = 0, и одновременно для правой части имеем:
3(2RicoC) = — (2Vfcñfcj )Cj — 2ñfcj VfcCj =
= — Cj Vj so — Rkj (Vk Cj + Vj Ck) = — Rkj (VkCj + Vj ck).
В итоге приходим к равенству
Rkj (Vk Cj + Vj Ck ) = 0. (4.2)
Из уравнений солитона Риччи (2.3) находим: L^gj = — 2(Rj + Ag¿j), с учетом этого из (4.2) выводим, что
—2Rkj (Rkj + Agkj) = — 2(||Rico||2 + Aso) = 0,
откуда
Aso = — ||Rico||2 < 0. (4.3)
А so
и, во-вторых, что при А = 0 или so = 0 метрика go с необходимостью становится
С
изометрия, что очевидно, а во втором инфинитезилшльная гомотетия, поскольку L go = —2Ago.
Согласно тех же уравнений (2.3) имеем: Rj = —gj — Agij , и тогда из (4.2) следует, что ||L5g¿j ||2 — 4A(so + пА) = 0, откуда
A(so + пА) = 1 ||L?gij ||2 > 0. (4.4)
so > 0 А < 0
0 < so < п|А|. Если же so < 0 и А > 0, то из (4.4) следует, что —пА < so < 0. Доказана
Теорема 4.3. Пусть (go, С, А) - солитон Риччи на многообразии Mn (п > 2) go so so = 0 go
будет Риччи-плоской, а векторное поле Xo - инфинитезимальной гомотетией. so = 0 А so
—пА < so < 0
0 < so < п|А|.
5. Солитоны Риччи на полном некомпактном римановом многообразии
5.1. СЛ. Яу в статье [15] получил обобщенную версию теоремы Стокса для полного некомпактного п-мерного риманова многообразия (М, д). В качестве приложения им было доказано, что субгармоническая функция / такая, что Д/ > 0,
чей дифференциал / имеет интегрируемую норму на (М, д), то теть J ||/1| < ж,
м
является гармонической. Из этого утверждения, в частности, для градиентного со-литона Риччи (до, £, А) с субгармоническим потенциалом / следует, что Д/ = в0 + + пА = 0. Тогда из (4.4) имеем, что Ьдо = 0, и, следовательно, Шс = — Адо. Таким образом,справедлива
Теорема 5.1. Пусть на п-мерном (п > 2) связном многообразии М задан солитон Риччи (д0,£, А), который удовлетворяет следующим, условиям:
1) риманово многообразие (М, д0) - полное некомпактное;
2) векторное поле £ является градиентным с субгармоническим потенциалом /, чей дифференциал / имеет интегрируемую на (М, д0) норму.
Тогда солитон Риччи (д0,£, А) является эйнштейновым.
В статье [16] было доказано утверждение, вытекающее из основного результата
п
разии (М, д) задано векторное поле £ такое, что па (М, д) норма ||£|| является интегрируемой функцией и £ не меняет свой знак, то ёгу £ = 0 на (М, д). Поскольку для солитона Риччи £ = —(в0 + пА), то из (4.4) выводим, что Ь^д0 = 0, и, следовательно, Шс = — Ад0. Итак, имеет место
Теорема 5.2. Пусть на п -мерном (п > 2) связном многообразии М задан солитон Риччи (д0,£, А), который удовлетворяет следующим, условиям:
1) риманово многообразие (М, д0) - полное некомпактное;
2) норм а ||£|| векторного поля £ является интегрируемой на (М, д0) функцией;
3) в0 + пА не (М, д0) не меняет свой знак.
(д0 , £, А)
М
тон Риччи (д0,£, А), где £ = и ш = / для / € СТОМ. Тогда Шс0 = 2-1в0д0, причем в общем случае в0 = со^. Для градиентного солитона (д0, £, А) уравнения (2.3) запишутся в следующем виде: У0У0/ = — (2-1в0 + А)д0, откуда следует, что Д/ = 2(2-1в0 + А), поэтому уравнения градиентного солитона Риччи перепишутся следующим образом: У0У0/ = —2-1Д/д0.
Известно (см. теорему 6.3 главы 1 монографии [6]), что полное риманово мно-( М, д) п > 2
нения УУ/ = —п-1(Д/)д, конформно сфере (п + 1)-мерного евклидова пространства. Следовательно, мы можем сформулировать следующий результат.
М
(д0, £, А) д0
в0 = со^, то риманово многообразие (М, д0) конформно сфере 3-мерного евклидова пространства.
Замечание. Известно (см. [14]), что каждое двумерное компактное многообразие со стягивающимся солитоном Риччи, который, как известно, в этом случае является градиентным, изометрично либо двумерной сфере, либо вещественному двумерному проективному пространству.
Summary
S.E. Stepanov, I.G. Shantlra, V.N. Shelepova. Infinitesimal Harmonic Transformations and Ricci Solitons.
A Ricci soliton on a smooth manifold M is a triple (go,£, A), where Riemannian metric, £ a vector field, and A a constant such that the Ricci tensor Rico of go satisfies the equation —2Rico = Ljgo + 2Ago. In the paper, we study the geometry of Ricci solitons in dependence of the properties of the vector field £. In particular, we prove that this vector field is a harmonic transformation.
Key words: Riemannian manifold, infinitesimal harmonic transformation, Ricci soliton.
Литература
1. Бееее А. Многообразия Эйнштейна. M.: Мир, 1990. 703 с.
2. Де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. М.: Иностр. лит., 1956. 250 с.
3. Пале Р. Семинар по теореме Атьи Зингера об индексе. М: Мир, 1970. 359 с.
4. Смольникова М.В., Степанов С.Е., Шандра И.Г. Ипфипитезимальпые гармонические преобразования // Изв. вузов. Матем. 2004. Л' 5. С. 69 75.
5. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. М.: Наука, 1986. 224 с.
6. Yanu К. Integral formulas in Riemannian geometry. N. Y.: Marcel Dekker, 1970. 156 p.
7. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981. 344 с.
8. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Ветти. М.: Иностр. лит., 1957. 152 с.
9. Степанов С.Е., Шандра И.Г. Гармонические диффеоморфизмы многообразий // Алгебра и анализ. 2004. Т. 16, № 2. С. 154 171.
10. Stepanov S.E., Shandra I.G. Geometry of infinitesimal harmonic transformations // Ann. Global Anal. Geom. 2003. V. 24. P. 291 299.
11. Chow В., Knopf D. The Ricci flow: An introduction / Mathematical surveys and monographs. V. 110. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2004. 325 p.
12. Chow В., Lu P., Ni L. Hamilton's Ricci flow. Graduate studies in mathematics. V. 77. Providence, RI: Amer. Math. Soc. Science Press, 2006. 608 p.
13. Степанов C.E., Шелепова B.H. О солитопах Риччи с условиями па скалярную кривизну и кривизну Риччи // Тез. докл. междупар. копф. «Геометрия в Одессе 2008», 19 24 мая 2008 г. Одесса: Фонд «Наука», 2008. С. 127 128.
14. Eminent М., La Nave G., Manteyazza С. Ricci solitons the equation point of view // Manuscr. Math. 2008. V. 127, No 3. P. 345 367.
15. Yau S.T. Some function-theoretic properties of complete Riemannian manifold and their applications to geometry // Indiana Univ. Math. J. 1976. V. 25. P. 659 670.
16. Caminha A., Sousa P., Camargo F. Complete foliations of space forms by liypersur-faces. ArXiv:0908.0786vl [matli.DG]. 2009. 6 Aug. 11 p.
Поступила в редакцию 25.08.09
Степанов Сергей Евгеньевич доктор физико-математических паук, профессор кафедры «Математика» Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации, г. Москва.
Е-шаП: Мерапоь ((Ш.теЛ. ги
Шандра Игорь Георгиевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры «Прикладная математика» Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации, г. Москва.
Е-шаП: та-ШпаИка вуапйех. ги
Шелепова Вера Николаевна аспирант кафедры «Геометрия и методика преподавания математики» Владимирского государственного гуманитарного университета. Е-шаП: verrochkaeiist.ru
