CC BY
4
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
6. Егоров И.П. Движения в пространствах аффинной связности // Казань, 1965. С. 5 - 179.
7. Игошин В.А., Китаева Е.К Об аффинных симметриях квазигеодезических потоков // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград, 2001. Вып. 32. С. 49 - 52.
8. Они же. Максимально подвижные квадратичные квазигеодезические потоки ненулевой кривизны // Диф. геом. многооб. фигур. Калининград, 2002. Вып. 33. С. 41 - 44.
V. Igoshin, E. Kitaeva
ABOUT GEOMETRICAL CHARACTERISTICS OF THE QUADRATIC QUASIGEODESIC FLOWS
As application of geometrical modelling [1] a series of results about mobility and geometrical characteristics of quadratic quasigeodesic flows (QF) with nonzero curvature it is received. In particular, it is proved the following
Theorem 4. In order that a QF (M, f) with nonzero curvature have a maximal mobility, it is necessary and sufficient that the QF be projectively Euclidean and its events space have admits exactly n-1 of linearly independent vector fields of absolute parallelism (n = dimM >3).
УДК 514.76
В.А. Игошин, Н.В. Коткова
(Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского)
О ПРОЕКТИВНО РИМАНОВЫХ КВАЗИГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОТОКАХ
С помощью пульверизационного моделирования [1; 2] и результатов [3] получены теоремы о существовании римановой связности, проективно эквивалентной заданной симметричной аффинной связности, а также связности одномерного квазигеодезического потока (КП).
1. Пусть М - двумерное многообразие. На М задана произвольная симметричная аффинная связность г коэффициентами Гру (x8)
58
В.А. Игошин, Н.В. Коткова
(1 < а,в, у, 8,...< 2). Выясним, когда среди связностей, проективно эквивалентных г, существует риманова связность Г.
Искомая риманова метрика gap = gap (x8) является решением системы дифференциальных уравнений в частных производных:
dg^ = Гуа g 0р + ГуР g ас. (1)
ах'
Система (1), очевидно, всегда интегрируема и множество ее решений - наборов функций (g11,g12 = g21,g22) - образует вещественное векторное пространство. Условия полной интегрируемости (1) имеют вид:
g<KXR°у8 в + gopR°у8 а = 0, (2)
ВДе R^р =а8ГСв -дYГ6Р + ГХрГ8х " Г6РГСх - тензор кривизны связности Г.
Тензоры кривизны R Ру8 и R Ру8 проективно эквивалентных связностей г и Г удовлетворяют соотношениям (см.[5, с. 537]):
r aY8=RaY8+8a^Y8 - 8а%8+8а (Vyp - ^), (3)
где
Vy8 =VYV - VyV > (4)
абсолютная производная V Y берется на базе связности г .
Существенно различные координаты тензора R Ру8 можно записать так:
|R1 = Rl + 2^21 -Vl2LRl2 = Rl2 -Vll, (5)
^R2 = R2 + V22, R2 = R2 - 2^12 + V21,
где использованы сокращенные обозначения Rf! = Rа.
Полученные уравнения всегда совместны относительно уар, следовательно, тензор кривизны всегда можно представить в виде (3).
Из условий (2) следует, что система уравнений (1) вполне интегрируема тогда и только тогда, когда тензор кривизны римановой
связности г равен нулю: R j^g = 0 - и, учитывая соотношения (3),
R аY8=-8а^+8а%8 -8а (VYP - VPY) .
59
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
Согласно работе [5, с. 540], при п = 2 последнее условие выполняется для любого тензора кривизны, так что необходимым и достаточным условием проективной евклидовости связности Г^ являются лишь следующие соотношения:
у2(2!2 - я!)+ЗУ^ = 0, У1(2Я1 -12)+3У2Я? = 0 . (6)
Подставляя соотношения (5) в условия теоремы 2 [3, с. 12] и используя соотношения (6), получаем, что справедлива
Теорема 1. Для того чтобы симметричная аффинная связность Гру была проективно эквивалентна римановой связности
Гру = Гру + 5р¥у + 5^8 на плоскости, необходимо, чтобы выполнялось одно из следующих взаимоисключающих друг друга условий:
(У2(2К2 -я!)+ЗУ^ = 0, [у^я! -я2) + 3У2я2 = 0,
3)
5)
я! + я 2 * 3(^12 - ¥21), я2 = -¥22, я12 * ¥11
я! + я2 * 3(¥12 - ¥21), Я2 = -¥22, я1 = ¥ll,
2)
4)
6)
я1 + 2¥ 21 - ¥12 = 0, я 2 - 2¥12 + ¥21 = 0, я2 * -¥22' я2 * ¥11,
я! + я2 * 3(¥ц - ¥21), я2 * -¥22, я1 = ¥ll,
я! + я2 * 3(¥12 - ¥21), я2 * -¥22, я1 * ¥ll,
в которых ¥Т6 =Уу¥з - ¥у¥з, причем абсолютная производная У у
берется на базе связности Г.
Замечание. Условие 1 теоремы 1 является также достаточным условием.
Теорема 2. При выполнении одного из взаимоисключающих друг друга условий 2 - 6 теоремы 1 искомая метрика в соответствующих случаях (если существует подходящее решение системы (1)) необходимо имеет вид
2) 812 = 821 = 0, ©11 = -(Я1 -¥11^22/(я! + ¥22 ) где 822 * 0> причем метрика собственно риманова, если (я1 - ¥ ^/(К-г + ¥2 )< 0 , и псевдо-риманова, если (я1 - ¥ 1)^2 + ¥2)> 0 ;
60
В.А. Игошин, Н.В. Коткова
3) g22 = 0 > gll = -(r1 - Vll^n/ (R1 + 2V21 - V12) > gl2 Ф 0 (псев-дориманова);
4) gll = 0,gl2 =(R1 + 2V21 - Vl2 ]g2^/(R2 + V22], g22 Ф 0 (псевдо-риманова);
5) gn = g22 = 0, g12 Ф 0 (псевдориманова);
6) gl2 = -(R + 2V21 -V^ll/(ri - Vl1] >
g22 =-(r2 + Угг^п/^2 - V11) g11 Ф 0, причем метрика собственно риманова, если
((R1+2V21 - Vll)/(Rl2 - V11))2 + (R2+V22 )/ R - V11) < 0,
и псевдориманова, если
(R1 + 2V21 - VlJ/R - Vll))2 + R + VmVÍR? - V11) > 0
(в пунктах 2 - 6 gар Ф 0 - некоторые функции).
2. Одномерный КП - это КП (R, f) на прямой R, который в каждой карте (U, x) на R задан обыкновенным дифференциальным уравнением
d2x I dx
л2 I " <
Для произвольного КП (М, 1) можно построить [1; 2] геодезическую (пульверизационную) модель так, что в пространстве событий м = м х я моделирующая КП (М, 1) стандартная связность г обладает свойством: ее геодезические линии совпадают с интегральными кривыми КП
Определение. Назовем КП (М, 1) проективно римановым, если его связность является проективно эквивалентной римановой связности.
Теорема 3. Для того чтобы квадратичный КП, заданный уравнением
<12х/л2 = В(х,1)(<1х/&)2 + С(х,1)(<1х/&)+ Б(х, 1)
на прямой R был проективно римановым, необходимо, чтобы выполнялось одно из следующих взаимоисключающих условий:
2522С + 2СЭ1С + 3е21Э - 3В51Э - 3Э51В - С5 2В + 5 22В = 0, |- 25 22В + 5 2 1 С - 2В52В + В51С = 0,
61
Дифференциальная геометрия многообразий фигур
1^0/2 -5 2В = -3¥12, 1^0/2 -5 2В * 3(¥12 - ¥21),
2)[ 5^-ВБ + е2/4 -52С/2 * -¥22, 3)]с2/4 -52С/2 + 51С1 -ВБ*-¥22, [¥11 * 0 [¥11 * 0,
|51^/2 -5 2В * 3(¥12 - ¥21), [51^2 -5 2В * 3(¥12 - ¥21),
С2/4-52С/2 + 51Г11 -ВИ1 * -¥22, 5)[С2/4-52С/2 + 51Г11 -ВБ = -¥22,
¥11 = 0 [ ¥11 = 0
15^/2-52В * 3(¥12 -¥21), С2/4-5 2С/2 + 51Е1 - ВЭ*-¥22,
¥11 * 0
Замечание. Условие 1 теоремы 3 является также достаточным условием.
Теорема 4. При выполнении одного из взаимоисключающих друг друга условий 2 - 6 теоремы 3 искомая метрика в соответствующих случаях (если существует подходящее решение системы (1)) необходимо имеет вид:
2) 812 = 821 = 0, 811 = ¥11822/(^Б - ВБ + С2/4-52С/2 + у22) где 822 * 0, причем метрика собственно риманова, если
¥п/^Б - ВБ + С^4 - 52С/1 + ¥22) > 0, и псевдориманова, если
¥„/ (51Б - ВБ + С2/ 4 - 5 2С/2 + ¥22) < 0;
3) 822 = 0 811 = ¥11812/(51С/2 52В + 2¥21 - ¥12) > где 812 * 0 (псевдориманова);
4) 812 =(5:С/2-5 2В + 2¥21 - ¥12)822/(074-52С/2 + 5^ - ВБ+¥22), 8ц = 0, 822 * 0 (псевдориманова);
5) 8ц = 822 = 0, 812 * 0 (псевдориманова);
6) 812 = (5хС/2 - 5 2В + 2¥21 - ¥12)8И(¥11)-1 ,
822 = (с V4 - 52С/2 + 51Б - ВБ + ¥22)811(¥11)-1 , 811 * 0 ; причем метрика собственно риманова, если (5 С/2-52В + 2^1 - ¥ 1)2 (¥ О"2 -- (с2/4 -52С/2 + 52Б - ВБ + ¥22)^11 1 < 0, и псевдориманова, если
(5! С/2 - 52В + 2у21 - ¥11 )2 (¥11 )-2 - (с74 - 52С/2 + 5^ - ВБ + Уи^п 1 > 0 (в пунктах 2 - 5 8ар * 0 - некоторые функции).
62
В.А. Игошин, Н.В. Коткова
Список литературы
1. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование квазигеодезических потоков // Доклады АН СССР. 1991. Т. 320. № 3. С. 531 - 535.
2. Игошин В.А. Пульверизационное моделирование 1, 2, 3 // Изв. вузов. Мат. 1992. № 6. C. 63 - 71; 1994. № 10. С. 26 - 32; 1995. № 5. С. 39 - 50.
3. Игошин В.А., Коткова Н.В. Существование римановой метрики плоскости с заданными символами Кристоффеля / Нижегород. гос. ун-т им. Н.И. Лобачевского. Н. Новгород, 2002. Деп. в ВИНИТИ, № 168-В2003.
4. Синюков Н.С. Геодезические отображения римановых пространств. М.: Наука, 1979. 256 с.
5. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Гостех-издат, 1967. 664 с.
V. Igoshin, N. Kotkova
ABOUT PROJECTIVELY RIEMANNIAN QUASIGEODESIC FLOWS
The series of theorems is obtained on the basis of the method of pulverization modelling [1; 2] and the results of [3]. This theorems are about existence of the Riemannian connection, projectively equivalent to the given symmetric affine connection or connection of one-dimensional quasigeodesic flow.
УДК 514.76
В.М. Исаев, С.Е. Степанов
(Владимирский государственный педагогический университет)
О КОНФОРМНО КИЛЛИНГОВОМ ТЕНЗОРЕ НА РИМАНОВОМ МНОГООБРАЗИИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
Настоящая статья является продолжением работы авторов [1] и посвящена изучению конформно киллинговых тензорных полей на римановом многообразии постоянной ненулевой кривизны.
1. Введение и основной результат.
Хорошо известно (см. [2]), что на п -мерном римановом многообразии постоянной ненулевой кривизны С произвольный кон-
63
