CC BY
5
Theorem 6. A necessary and sufficient condition that QF (M, f) is complete is that his standard connection r of events space M is complete.
УДК 514.76
В.М. Исаев, С.Е. Степанов
(Владимирский государственный педагогический университет)
ПРИМЕРЫ КИЛЛИНГОВОЙ И КОНФОРМНО КИЛЛИНГОВОЙФОРМ
§ 1. Введение и результаты
1.1. Рассмотрим на «-мерном многообразии М с линейной связностью V без кручения произвольную геодезическую у : I с Я ^ М, отнесенную к
аффинному параметру 1 В этом случае V ¿у ^ = 0 для касательного вектор-
¥
ного поля ^ геодезической у.
Дифференциальную /»-форму ю е СЮЛРМ для 1 < р < п - 1 назовем кил-
линговой [1], если (р - 1)-форма 1йую = й-асе(| ®ю) будет ковариантно по-
¥
стоянной вдоль у. В силу произвольности выбора геодезической у последнее возможно [1] тогда и только тогда, когда V® е СЮЛР+1М, что равносильно выполнению уравнения
V х0 ю(Х1,Х2,...,Хр) + V Х1 ю(Хо,Х2,...,Хр) = 0 (1.1)
для произвольных Х0,Х1,Х2,...,Хр е СЮТМ. В работе [1] построен пример
киллинговой р-формы на многообразии М с эквиаффинной связностью V. Здесь будет доказана
Лемма. Компоненты ю. А киллинговой р-формы ю в п-мерном аффинном пространстве (1 < р < п - 1) имеют следующие выражения:
ю . = А. . X + В . , (1.2)
А-Р }1\1р 11-1р' у '
где А и В -компоненты постоянных кососимметрических тензоров
Л-Р 111Р г г
А и В в аффинной системе координат {х1,...,хп}.
Уравнения (1.1) давно и хорошо известны (см., напр., [2]) на (псев-до)римановом многообразии (М, §) под названием уравнений Киллинга-Яно. Удовлетворяющие им формы ю нашли свое приложение в релятивистской физике [2].
Обобщением понятия киллинговой р-формы служит понятие конформно киллинговой р-формы ю е СюЛр+!М, определяемой следующими уравнениями [3]:
V Хо ш(ХьХ2,...,Хр) + У Х[ ш(Х0,Х2,...,Хр) = 20(Х2,...,Хр)в(Хо,Х1) - (1.3) у (-1)а{е(Х1,...,ха_1,ха+1,...,Хр)ё(хо,ха)+0(хо,х2,...,ха_1,Ха+1,...,Хр^(х1,ха)}
а=2
здесь е = 1 + у ^ю^е^е^Х^.^Хр,) для локального поля ортонормирован-
п-р+1 ,=1
ных реперов { е,...,е } и произвольных Х0,...,Хр е СюЛр 1М. Важно отметить, что на римановом многообразии (М, §) постоянной кривизны К и, в частности, К = 0 ассоциированная (р - 1)-форма е является киллинговой [3]. Следует отметить, что конформно киллинговы формы интенсивно изучались и нашли свое приложение в релятивистской электродинамике [4]. Будет доказана следующая
Теорема 1. Компоненты ю^..., конформно киллинговой р-формы ю в п-
мерном (1 < р < п - 1) евклидовом пространстве имеют следующие выражения:
ю11...1р = А^...^ + Cll...1p, (1.4)
где А. , , и С , -компоненты постоянных кососимметрических по
индексам 11, ... , 1р тензоров А, В и С в ортонормированной системе координат {х1,...,х } подчиняются следующим условиям:
Ак)112.,р + АкЦ12.,р = 2Ак12...1р - £ (-1)а (Ак112..,а..,р ) + А^12...1а...1р 5Ив К 0.5)
р
В,,, , + В,:, , = 2В, , -у (_1)Р (В.. V .5. + В.. , . 8Й ) (1.6)
для символа Кронекера 51: и
1 п 1 п
А = 1 у А - В = 1 у В
м2...1р п - р * 12 ...1р П - р +1 .=1 ).)12 ...1р
(здесь и далее по тексту "подчеркивание" над индексом означает отсутствие последнего)
1.2. Рассмотрим в «-мерном евклидовом пространстве гиперсферу 5п-1 единичного радиуса, киллингову и конформно киллингову р-формы, каждая из которых задается своими компонентами (1.2) и (1.4) соответственно. Тогда будут справедливы следующие теоремы.
Теорема 2. В «-мерном евклидовом пространстве р-форма ю с компонентами
ю
\.р/ 0.7)
в ортонормированной системе координат {X,...,X} с началом в центре гиперсферы единичного радиуса 5ю-1 задает на последней глобальным образом киллингову р-форму (1 <р <п - 2) при условии, что А. , - постоянные.
Теорема 3. В «-мерном евклидовом пространстве р-форма ю с компонентами
ю . = А- ■ XX - А . (1.8)
а-Р т-р А-Р к '
в ортонормированной системе координат {х1 ,...,х«} с началом в центре гиперсферы единичного радиуса 5ю-1 задает на последней глобальным об-
п
разом конформно киллингову р-форму (1 <р <п - 2) для А ■ = 2 А1Р1 ■ и
р 7=1 р
постоянных А .
1.3. Настоящая работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, проект 00-01-0553.
§ 2. Доказательство утверждений
2.1. В этом пункте докажем лемму. Предварительно заметим, что в аффинном пространстве V д = -д- и —д—г = —д—г для аффинной системы
ттт дх1 дх1 дх7 дхгдх1
дх
координат {х1,...,хп}. На этом основании уравнение (1.1) перепишем в следующем виде:
дГюП2..Лр +д 1 юГ12...1р = 0, (2Л)
д
где полагаем д г = —г. Продифференцируем левую и правую части каждо-
дхг
го из уравнений системы (2.1) по переменной хк, получим
дкдгю112...1р + дкд 1юГ12...1р = 0 . (2.2)
В результате циклической замены индексов к, ] и 1 получаем еще две аналогичные системы уравнений
д ^ 1 ®к12...1р + д ^ к ®112...1Р = 0> (2-3)
д 1д к ® + д 1д ]®к12...1Р = (2.4)
Сложим почленно уравнения систем (2.2) и (2.3), а из результата также почленно вычтем уравнения системы (2.4). Вследствие этих действий получим систему уравнений вида:
д к д ]®1112...1Р = °. (2.5)
Из (2.5) с необходимостью следуют равенства (1.2), при этом условия на компоненты тензоров А и В следуют из самих равенств (1.2), а также из уравнений (2.1).
2.2. Докажем теорему 1. В евклидовом пространстве в ортонормиро-ванной системе координат { X,...,X } метрический тензор =8^, а потому
уравнения (1.3) предстанут в следующем виде:
^®112.,р +д 1 ®Л2..,р = 2012,р 8 * - И-1)" (0112,а.,р 8 К +0Л2.1а.,р Ч ^ (26)
а=2
Преобразованиями, аналогичными проведенным в пункте 2.1, из уравнений (2.6) выводим, что
2д кд j®ll2...lp = 2(5 к 012.1р 8 ^ +д Д..1р 81к-д 1012..1р 8 kj)+
2 .1р 4 к 121р j1 j 12 ..1р 1к 1 12 ..1р к.1-У (- 1)аЬ;0к; ; ; ; 8:: + д:0:: : : : 8к1 -дк0;; ; ; ; 8::
1а-^а+1 ■ р J а 1 .112--- 1а-Иа+Г-^р К ^ ■■■ 1а-Ра+1 "^р иа
а=2
5к0112 . .1 а-11 а+1.1р 8^а 9-10112 . .1 а-11 а+рЛ 8к1 а 9-10к12 . .1 а-11 а+рЛ 811 а} (^7)
Продифференцируем левую и правую части каждого уравненя системы (2.7) по переменной X", тогда в правой части каждого уравнения получим нуль, поскольку (р - 1)-форма 0 - киллингова и в силу леммы при повторном дифференцировании ее компоненты обратятся в нуль. В результате будем иметь уравнения вида:
д т д к д j®l1...lp = °. (2.8)
Из (2.8) без труда выводятся равенства (1.4); при этом соотношения на компоненты постоянных тензоров А и В становятся очевидными, если
принять во внимание уравнения (2.6) и равенства 01 1 =—1— у д 1 ю:1 1 .
2.р п - р +11=1 2.р
2.3. Докажем теорему 2. Пусть гиперсфера 8п-1: (X)2+...+(X)2 = 1 задается векторно параметрическим уравнением Х=Х(и1,...,ип"1^ в ортонорми-рованной системе координат, за начало которой выберем центр гиперсферы 8п-1. Тогда Ха = д аХ - касательные к гиперсфере 8п-1 векторные поля с
■ ■ д компонентами ха' = дах' для да =- и а,Ъ,е = 1, ..., п-1. При этом
диа
n . ■ n
X x1xa1 = 0. Обозначим через gab = X x^x^ - метрический тензор ^сферы
i=1 1=1
Sn-1, а через rab - символы Кристофеля, вычисляемые с помощью компонент gab тензора g. Тогда можем записать уравнения Гаусса для Sn-1 в виде
Vaxb = daxb - ГаЬх1с = gabx1 • (2-9)
Условие того, что /»-форма ю касается гиперсферы Sn-1 во всех ее точках имеет вид (см. [5] Chapter 8, § 1) : roiii2...ii)xi1xa22...x1ap = 0. С учетом (1.2) условие касания киллинговой р-формы предстанет в следующей форме:
A::: : xJxV2 ...x^ + B:: : xV2 ...x4, = 0.
J1112-1p a2 ap 1112...1p a2 ap
В силу кососимметричности тензора А первая группа слагаемых обращается в нуль. На этом основании заключаем, что /-форма ю со следующими компонентами ю: : = A:11 : xJ касается Sn-1 во всех ее точках. При
M.p J1112...jp г
этом для касательной составляющей ю1 a =ю. ■ x1' ...x1Qp = A:i ■ xV1 ...x^
^ a1 ...ap 11-1p aj ap J11.jp aj ap
киллинговой /-формы ю согласно уравнений Гаусса (2.9) имеем:
Vc®ba2 ...ap +Vb®ca2 ...ap = (djWii2...ip 1ЮJi2...ip УХ^."^ + «112...1p (gcbx1xa22 ...xlapp + ... +
+ gcapxbxi22 ...x1p ) + Oji2..ip febc^ ...x!pp + ... + gbap xix^ ...x1p ) = 0,
т.е. ю(ю^ ) - киллингова/-форма на Sn-1.
В свою очередь, условие касания конформно киллинговой /-формы имеет вид:
Akjjj ■ xkxJxV2 ...x1p + B::: ■ xJxV2 ...x1p + C:: ■ x1xl2...x1p = 0 (2.10)
kJ2p a2 ap J112.jp a2 ap 112.jp a2 ap V /
Если использовать известное тождество А^^.... = A^j.)^.^ и соотношения (1.5) и (1.6), то равенство (2.10) можно представить в следующем виде:
Ak1 . xkxl2 •••x1p + B. . xl2 •••x1p + C:1 . xV2 •••x1p = 0.
2 p a2 ap j2 p a2 ap i12..1p a2 ap
Поэтому, если Б^.^ = 0 и при этом А^.^ + С^.^ = 0, то условия касания (2.10) формы ю будут выполняться автоматически.
Докажем теперь, что касательная составляющая ^-формы ю с компонентами
Юа я = Ю; : X1' ...Х1р = Ак)1 : Х^^' ...Х1р - А: : X1' ...Х1р
а1-ар 11.1р а' ар К)11..1р а' ар ^р а' ар
конформно киллингова ^-форма на 8П"'. Для этого нетрудно проверить, что согласно (2.9) и (2.10) выполняются следующие равенства:
V сЮЬа2...ар +V ьШСа2...ар = 28сЬ0а2...ар - £ (- ')а(эеа „0 Ьа2...аа_'а а+'...ар + §Ьа а^..^ а+'...ар )'
а =2
где 0а2...ар = Ак^..^ХкХ1а22...Х1ар , которые и доказывают требуемое.
Список литературы
1. Степанов С.Е. Техника Бохнера для да-мерного компактного многообразия с SL(m, R) - структурой // Алгебра и анализ. 1998. Т.10. №4. С. 192-209.
2. Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Энергоиздат, 1982.
3. Kashiwada T. On conformal killing tensor // Natural Science Report, Ochanomizi University. 1968. Vol.19. № 2. Р. 67-74.
4. Stepanov S.E. On conformal Killing 2-form of the electromagnetic field // Journal of Geometry and Physics. 2000. Vol.33, № 3-4. Р.191-209.
5. Yano K. Integral formulas in Riemannian geometry. Marcel Dekker, New York, 1970.
M. Isaev, S.E. Stepanov INSTANCES OF KILLING AND CONFORMAL KILLING FORMS
Expressions of Killing form in the affine space and conformal Killing form in the Euclidean space are found. The instances of such form, given on the hy-persphere globally, are listed.
УДК 514.75
И.Е. Лисицына
(Балтийский военно-морской институт) АФФИННЫЕ НОРМАЛИ ГИПЕРПОЛОСЫ SH
