CC BY
6
82
М.В. Смольникова
M.V. S m o l n i k o v a OWN DISTRIBUTION OF GEODESIC TENSOR FIELD
Let p - symmetrical tensor field on a Riemannian manifold (M,g) and VX(x/x) c TxM - own subspace of the applicable symmetrical operator 0x with an eigenvalue X(x) for any point x gM . If Mp - opened everywhere dense subset in M, consisting from points, in which one number of different eigenvalues of the operator 0 constantly, then on each linked component of set Mpthe eigenvalues of the operator 0 determine mutually different eigenfunctions and each such function X=X(x) determines smooth distribution Vx: x— Vx(x)(x) of own subspaces of the operator 0. If p- Codazzi tensor, i.e. (VXp)(Y,Z)=(V Yp)(X,Z) for all X,Y,Zg CmTM, then it is well-known result [1], according to which one own distribution Vx is integrated with quite umbilical integral manifolds, and along every function X=X(x) is constant. In the literature [2], [3] is studied the geodesic tensor field p, for which one
(V xP((Y,Z)+( V YP)(Z,X)+( V zp)(X,Y) = 6(X)p(Y,Z) + e(Y)p(Z,X) + e(Z)p(X,Y) for some e<ECmTM. For e=0 field pis called Killing field [4]. We will prove two theorems of own distribution for geodesic and, in particular, for Killing tensor field.
УДК 517.77
С.Е. С т е п а н о в
(Владимирский государственный педагогический университет)
ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ ПРОСТРАНСТВ КОНФОРМНО-КИЛЛИНГОВЫХ ФОРМ
Доказывается, что на n-мерном римановом многообразии (М, g) пространства кон-формно-киллинговых р-форм и (n - р)-форм изоморфны.
§ 1. Основные определения и результаты
1.1. Рассмотрим расслоение ApM дифференциальных р-форм над w-мерным римановым многообразием (М, g). Форма с е ApM называется гармонической, если со е kerd n kerd* для операторов внешнего дифференцирования d: ApM ^ Ap+1M, кодифференцирования d * = - * od о *: ApM ^ Ap и Ходжа *: ApM ^ An - pM.
Если обозначить через Hp(M,R) векторное пространство гармонических р-форм, а через bp = dim Hp (M, R) - p-ое число Бетти, то имеют место изомор-
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ МНОГООБРАЗИЙ ФИГУР
83
физм * : Нр (М, К) ^ Нп р (М, К) и, как следствие его, равенство Ьр = Ьп _ р,
выражающие известную двойственность Пуанкаре. При этом (см. [1], стр. 55) на компактном ориентированном римановом многообразии (М, g) не существует ненулевых гармоническихр-форм и, следовательно, Ьр = 0 дляр = 1, ..., п - 1, если на (М, g) положительно определена квадратичная форма ¥р(а>, со), чьи коэффициенты известным образом выражаются через компоненты тензоров кривизны и Риччи.
1.2. Зададим (см. [2]) на расслоении АрМ оператор первого порядка О = V - (р +1ё - (п - р +1g □ ё*, где через V нами обозначена связность Леви-Чивита на (М, g). Форма о е АрМ будет конформно-киллинговой (см. [2] и [3]), если о е кегО. Основным результатом настоящей работы является
Теорема. Для векторных пространств Тр(М,К) и Тп-р(М,К) кон-формно-киллинговых форм имеет место изоморфизм * : Тр (М, К) ^
Тп-р (М, К) и, как следствие этого, равенство /р = /п _ р их размерностей.
Согласно утверждению Тачибаны (см. [2]) на компактном ориентированном римановом многообразия (М, g) с отрицательно определенной квадратичной формой Ер(с, о) не существует отличных от нулевых конформно-киллинговых р-
форм для р = 1,
. Принимая во внимание сформулированную выше тео-
рему заключаем, что справедливо
Следствие. На компактном ориентированном римановом многообразии (М, g) с отрицательно определенной квадратичной формой ¥р(о, со) не существует отличных от нулевых конформно-киллинговых р-форм, и, следовательно, = 0 дляр = 1, ..., п - 1.
§ 2. Доказательство теоремы
2.1. В координатной окрестности и на (М, g) с локальной системой координат х1, ... ,хп р-форма о имеет следующий вид: о =1 о^ ^ ёх11 л ...л ёхр .
Пусть оеТр(М,К), тогда ее компоненты о^ . удовлетворяют уравнениям (см. [3]) 1 р
V к°1,2..1р ^ [к°112..1р] + п-р+1 V М0т\12..1р] . (1)
Зададим на (М, g) локальную ориентацию и в координатной окрестности и с локальной системе координат х1, ... ,хп, согласованной с введенной ориентацией, рассмотрим п-форму объема ] = .^ёё^^^ёх1 л ...л ёхп многообразия
(М, g). Обозначим через Ч' 1 ее компоненты и определим (п - ^)-форму * ш
ч-■ ■п
равенствами
(*Ш)'Р+1-■ 'п = 1р'Р+1■ ■ ■ 1Р . (2)
Докажем, что (п - ^р)-форма * ш является конформно-киллинговой, то есть Vк(*ш) - — {¿Лй*(*ш)}ш ; У(*ш)\. . . (3)
к\ Лр+1-2п Р + 1 16 4 ^кр+1"1п п-р + 1* 4 /}кгр+1-1п
Для этого продифференцируем ковариантным образом левую и правую части равенства (2), а затем воспользуемся уравнением (1), получим
Vk (*ШL,■■"■„ = 1 Чг1"1р*р+1^п V [кШ 7 +
к \*ШЛр+г ■ п - рч 'р+г ■ ■п * [кш1^ ■ 1р]
1 ¡112 ■ ■1р (р-!)!(п - р+1) 4 'р+■ 1п&к['1 у ш\т\'2 ■ ■ ■р]
1 ' ]1 Т ■■! п Х—/Ш /,,4
+ /п_/пч Р'р+1-'пёк[11 * ШЫ.2.,р] (4)
Рассмотрим отдельно первое и второе слагаемые в правой части равенства (4).
2.2. Первое слагаемое из правой части равенства (4) есть тензор Т с компонентами Т^ +1 ' из пространства Т*М ® А -рМ. Известно следующее (см. [3]
и [4], стр. 264) неприводимое относительно действия ортогональной группы О(п) разложение этого пространства:
Т*М®А-рМ-Ап-р+1М0Rg□А"-р-1М©(кегА-р+1 пкег Щ2),
где Ап-р+1 :Т*М ® Ап-рМ -р+1М и Щ2:Т*М ® Ап-рМ ^ Ап-р-1М суть операторы альтернации и свертки. На этом основании тензор Т должен раскладываться в сумму из трех О(п)-неприводимых компонент. Непосредственная проверка показывает, что первая и третья компоненты этой суммы равны нулю, а потому
= п - р ( )
1 Ыр+1 ■■'п р + 1 &к['р+1 (ТГ12Т )'р+2 ■■п] '
где
(гГ12Т\р+2.■ ■п = 8кр+1 ч'1 lp^p+l^p+2■ ■ ■п *[Ш■'р ]
1 ё1кр+1 ■ ■ Р ' р+1 р+2 ■ ■ ■п ■ / ■ / - ■ ■ ■ ■ к }-
(р+1)!° ' •р+1,р+2~'п \ к '^■■р ' 1 k■■"р 'р ' 1
-V'р+1Д Ч1■■"р' ■ ш ■ !--{ й*(*ш)}
|р! ' р+1'р+2 ■ ■ ■п 1■ ■р ] I V ■'п
Подводя промежуточный итог заключаем, что
ON ISOMORPHISM OF THE SPACES OF CONFORMAL KILLING FORMS
In the present paper is demonstrated, that the space Tp (M, R) of conformal Killing ^-forms and the space Tn ~p (M,R) of conformal Killing (n - ^)-forms are isomorphic on an n-dimensional Riemannian manifold (M, g).
