CC BY
4
O.S. R u m y a n t s e v a
COMPOSITIONAL EQUIPMENT OF STRIP DISTRIBUTION IN THE PROJECTIVE SPACE
In the projective space we consider strip distribution S, that is n-dimensional triples (X,Lr,Lm) manifold, where X - point, Lr,Lm - planes, XeLr^Lm. Principle bundle, typical fibre of which is stationarity of triple (X,Lr,Lm) subgroup, appears over the distribution S. Compositional equipment of the distribution S consists of three plane fields: Pr.i(XePr_ioLr), Pm-r-i(Pm-r-i oLm, Pm-Mn Lr=0), Pn-m-i (P-m-i^ Lm=0). It is proved, the compositional equipment of the strip distribution S induces group connection in the associated bundle.
УДК 514.76
М.В. С м о л ь н и к о в а
(Владимирский государственный педагогический университет)
СОБСТВЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО
ТЕНЗОРНОГО ПОЛЯ
§1. Введение и основные результаты
Пусть (р— симметрическое тензорное поле на римановом многообразии (М,§). Для любой точки х е М обозначим через УХ(х)(х) с ТХМ собственное подпространство соответствующего симметрического оператора ФХ с собственным значением Х(х).
Обозначим через Мр открытое всюду плотное подмножество в М, состоящее из точек, в которых число различных собственных значений оператора Ф постоянно. Тогда на каждой связной компоненте множества Мр собственные значения оператора Ф определяют попарно различные собственные функции и каждая такая функция Х=Х(х) определяет гладкое распределение Ух: х^УХ(Х/х) собственных подпространств оператора Ф.
Если р - тензор Кодацци, т.е. (VХ))(У,2)=(V ур)(Х,2) для всех Х,У,2е СтТМ, то хорошо известен результат [1], согласно которому собственное распределение Ух интегрируемо с вполне омбилическими интегральными многообразиями, причем вдоль каждого функция Х=Х(х) -постоянна.
В литературе [2], [3] изучается геодезическое тензорное поле р для которого (V хр)(Г,г)+^ ур)(2,Х)+(V 2()(Х,У) = в (X) р(¥,2)+в(¥)р(2,Х)+в(2)р(Х,У) (1) при всех Х,У,2е СтТМ и некоторой бе С°°Т М. Для 6=0 поле ) называется кил-линговым [4]. Доказаны две теоремы.
Теорема 1. Пусть (р - симметрическое тензорное поле на римановом многообразии (М^), а Л=Л(х) - его собственная функция, определенная на связной компоненте множества МР-—М. Тогда (1) для геодезического и, в частности, киллингова тензорного поля р его собственное распределение VI - омбилическое; (2) для киллингова тензорного поля р функция Л=Л(х) постоянна вдоль интегральных кривых распределения V;-.
Теорема 2. Пусть компактное риманово многообразие (М^) несет геодезическое тензорное поле р, имеющее ровно две различные собственные функции Л и ц на связной компоненте множества МР—М. Если в каждой точке х е М тензор римановой кривизны R удовлетворяет условию R(X,Y,X,Y)<0 для произвольных Хе УЛ х(х) и Yе Ум(х/х), то при dimVЛ=dimV1>1 (1) собственные распределения VЛ и V1 - интегрируемые с вполне геодезическими интегральными многообразиями; (2) функции Л и 1 постоянны вдоль интегральных многообразий VЛ и V1 соответственно.
§2. Доказательство теоремы 1
Пусть R - поле ортонормированных реперов Rx={x,e1,...,en} в области и—Ми Р1]=Р(еъе]) для ij,k,l=1,...,n=dmM. Обозначим через {а>} и {]} компоненты формы связности Леви-Чевита и сопряженного к R поля кореперов R . Компоненты формы (Oj удовлетворяют условию
Пусть V = и Vк ру=(ук, тогда
Рук = ек( (у) - Р]! (ек) - Ра®] (ек), (2)
где согласно (1) компоненты рук удовлетворяют условию
Рук + Руки + Ригу = вкР у + в ,Рук + вуРк, (3)
для вк=в(ек).
Полагаем МР— и, тогда в каждой точке х е МР репер Rx можно специализировать таким образом, чтобы векторы е{ еУЛ^х)(х) для всех ^=1,...,г. В таком репере компоненты р будут иметь вид:
Р*=Л85Ь Р*а=Ра=0 (4)
для а,Ь,с=г+1,...,п. Подставляя в (2), получим
Рл = ек , (5)
Рак = -РаЬ] ] (ек ) - А® а (ек ) . (6) Полагая Лк=ек(Л), равенство (5) представим в виде:
Р*& =Лк$,«. (7) В свою очередь, из (6) выводим уравнения распределения VЛ [5]
< =^аЬРъ, У +{^аЬРьс ]С (8)
для {\аЬ )={Л>аЬ -РаЬ )-1 .
Найдем компоненты второй фундаментальной формы или, по другой терминологии, асимптотического тензора распределения VЛ [5] , [6]:
Я* = 1Лъ) ), где согласно (3), (4) и (7) будем иметь
Pъst + = )ъ + 6 ъPst = -ХЪ+ Мъё* = (ХбЪ - ХЪ 8 .
В результате приходим к выражениям вида :
е; = Л8Л (9)
для Ла = 1 ЛаЪ(Хбь -X). Равенства (9) означают, что распределение Ухомбилическое [6]. Такое распределение, как и любое омбилическое подмногообразие (М,§), не имеет асимптотических направлений [5].
Если предположить, что ) киллингово, то из равенств (3) и (5) при бк=0 выводим: е(Х)=0.
§3. Доказательство теоремы 2
Рассмотрим теперь геодезическое тензорное поле р имеющее ровно две собственные функции X и ¡1 и при этом dimVX=dimV1>1. В этом случае на (M,g) будут заданы два ортогональных дополнительной размерности омбилических распределения. Согласно [7] условие R(X,Y,X,Y)<0 для Xe Vx и Ye V1 накладываемое на тензор римановой кривизны компактного ориентированного риманова многообразия (M,g) с парой таких распределений VX и VM означает, что оба они -интегрируемые с вполне геодезическими интегральными многообразиями. В результате из (8) и аналогичного им уравнения распределения следует рш = 0 и
psbc = 0. В этом случае из (5) и аналогичных им уравнений для 1 следует es(X)=0
и ea(i)=0. Это и доказывает теорему 2.
Библиографический список
1. Derdzinski A. Some remarks on the local structure of Codazzi tensors // Lect. Notes Math. 1981. N 838. P.251-255.
2. HanganT. On totally geodesic distributions of planes // Top. Differ. Geom.: Colloq. Debrecen, 1988. Vol. 1. P. 519-530.
3. Шапиро Я.Л. О некоторых полях геодезических конусов // ДАН СССР. 1943. Т.39. №1. C. 6-10.
4. Gerald H. Katzin, Jack Levine. Quadratic first integrals of the geodesics in space of constant curvature // Tesor. 1965. Vol. 16. N. 2. P. 97-104.
5. Остиану Н.М. Распределение гиперплоскостных элементов в проективном пространстве // Тр. геом. семинара / ВИНИТИ.М., 1973. Т.4. C. 71-120.
6. Reinhart B.L. Differential geometry of foliations. Berlin - New York: Springer Verlag, 1983.
7. Stepanov S.E. An integral formula for a Rimannian almost-product manifold // Tensor. 1994. Vol. 55. N. 3. P. 209-214.
M.V. S m o l n i k o v a OWN DISTRIBUTION OF GEODESIC TENSOR FIELD
Let p - symmetrical tensor field on a Riemannian manifold (M,g) and Vx(x)(x) c TxM - own subspace of the applicable symmetrical operator 0x with an eigenvalue X(x) for any point x gM . If Mp - opened everywhere dense subset in M, consisting from points, in which one number of different eigenvalues of the operator 0 constantly, then on each linked component of set Mpthe eigenvalues of the operator 0 determine mutually different eigenfunctions and each such function X=X(x) determines smooth distribution Vx: x— Vx(x)(x) of own subspaces of the operator 0. If p- Codazzi tensor, i.e. (VXp)(Y,Z)=(V Yp)(X,Z) for all X,Y,Zg CmTM, then it is well-known result [1], according to which one own distribution Vx is integrated with quite umbilical integral manifolds, and along every function X=X(x) is constant. In the literature [2], [3] is studied the geodesic tensor field p, for which one
(V xP((Y,Z)+( V YP)(Z,X)+( V zp)(X,Y) = 6(X)p(Y,Z) + e(Y)p(Z,X) + e(Z)p(X,Y) for some e<ECmTM. For e=0 field pis called Killing field [4]. We will prove two theorems of own distribution for geodesic and, in particular, for Killing tensor field.
УДК 517.77
С.Е. С т е п а н о в
(Владимирский государственный педагогический университет)
ОБ ИЗОМОРФИЗМЕ ПРОСТРАНСТВ КОНФОРМНО-КИЛЛИНГОВЫХ ФОРМ
Доказывается, что на n-мерном римановом многообразии (М, g) пространства кон-формно-киллинговых р-форм и (n - р)-форм изоморфны.
§ 1. Основные определения и результаты
1.1. Рассмотрим расслоение ApM дифференциальных р-форм над w-мерным римановым многообразием (М, g). Форма с е ApM называется гармонической, если со е kerd n kerd* для операторов внешнего дифференцирования d: ApM ^ Ap+1M, кодифференцирования d * = - * od о *: ApM ^ Ap и Ходжа *: ApM ^ An - pM.
Если обозначить через Hp(M,R) векторное пространство гармонических р-форм, а через bp = dim Hp (M, R) - p-ое число Бетти, то имеют место изомор-
