CC BY
7
УДК 514.764
С. Е. Степанов1 , И. И. Цыганок2
1 2 Финансовый университет при Правительстве РФ, Россия 1 2 s. e.stepanov@mail.ru
1 ORCID: http://orcid.org/0000-0003-1734-8874
2 ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9186-3992
doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-16
Теоремы исчезновения для тензоров
Киллинга и Кодацци высшего порядка
Каждый симметричный бесследовый тензор Киллинга ранга р > 2 будет параллельным на полном одно-связном римановом многообразии неположительной секционной кривизны, если его норма является V -функцией для некоторого q > 0. Если при этом многообразие имеет бесконечный объем, то подобный тензор Киллинга равен нулю. Каждый бесследовый тензор Кодацци ранга р > 2 равен нулю на полном некомпактном од-носвязном римановом многообразии неотрицательной секционной кривизны, если его норма является V -функцией для некоторого q > 1.
Ключевые слова: полное риманово многообразие, тензоры Кил-линга и Кодацци, теорема исчезновения.
Введение
В статье [1] нами были рассмотрены симметрические тензоры Кодацци и Киллинга ранга р > 2 на компактном римановом многообразии и доказаны для них «теоремы исчезновения». Условия препятствия для существования подобных тензоров выражались в виде положительной и, соответственно, отрицательной определенности оператора кривизны риманова
Поступила в редакцию 31.01.2019 г. © Степанов С. Е., Цыганок И. И., 2019
многообразия (см. определение в [2, с. 76]). Позднее в работах [3; 4] для тензора Киллинга ранга р > 2 была доказана аналогичная нашей «теорема исчезновения», где условие препятствия выражалось в виде знакоопределенности секционной кривизны многообразия. В настоящей статье мы докажем «теоремы исчезновения» для симметрических тензоров Ко-дацци и Киллинга ранга р > 2 на полных римановых многообразиях и тем самым обобщим результаты из [1; 3; 4].
1. Основные определения и уравнения
Пусть М будет п -мерным (п > 2) С® -многообразием с линейной связностью V без кручения. Рассмотрим СМ -модуль Diff ^РМ, Т*М ® БрМ) линейных дифференциальных
С®
-сечений С*^рМ расслоения ковариантных симметрических р -тензоров БрМ для произвольного целого р > 2 . Оператор
В е М ^рМ, Т*М ® 8рМ) называется фундаментальным [5, докл. XVI], если его главный символ относительно связности V является проектором на поточечно ОЬ(п, М)-неприводимое
подрасслоение в Т*М ® 8рМ. В [6] доказано, что такими операторами будут Вх = (р +1) 5* и В2 =V-(p +1) 5*, где
5*: C®SpM ^ CxSp+1М является композицией ковариантной производной с симметризацией (см. определение в [2, п. 1.59]). Ядром первого оператора В служат киллинговы, а второго В2 — кодаццевы р -тензоры. Геометрия таких тензоров на многообразии М с линейной связностью V без кручения изучена в [6].
Если М снабжено метрическим тензором g , то для 5 можно определить формально сопряженный к нему оператор
5: СжБр+1М ^ С^М, называемый дивергенцией (см. [2, п. 1.59]). Тогда на римановом многообразии (М, бесследовые р -тензоры Киллинга и Кодацци являются бездивергентными.
Для р -тензора Кодацци имеет место следующая формула Вейтценбёка [7]:
у2 д II т II2 = др (т) + || V т II2, (1)
где д : 8р (ТХМ)х 8р (ТХМИ. — квадратичная форма в любой точке х е М , ее коэффициентами служат компоненты тензоров Риччи и кривизны многообразия (М, g). Правую часть формулы (1) представим в виде
>2д|| т||2 =|| т|| Д|| т||т||||, (2)
где согласно неравенству Като IV т ||2 > || VI т || |1. В результате из (1) последует неравенство
||т|| д|| т 11> д (т). (3)
Аналогично (1) выводится формула Вейтценбёка и для бесследового р -тензора Киллинга т :
12 д|| т||2 = -рбр (т )+| V т ||2. (4)
Здесь рассуждения, аналогичные проведенным выше, позволяют заключить, что справедливо неравенство
||т|| д|| т 11 > -рП (т). (5)
2. Две теоремы исчезновения
В статье [8, p. 388] была доказана формула
Q(t)=£ sec (e лej)(Tn - Tjy ) (6)
i * j
для ортонормированного базиса {ei} пространства TxM в произвольной x е M такого, что Tx(et, ej) = TH(x)Sj для символа Кронекера 5j, и секционной кривизны sec (ei л ej) в направлении подпространства tt(x) = span{et, ej j из TxM . На основании (6) заключаем, что знак секционной кривизны (M, g) порождает знакоопределенность формы Q2 ( T ).
В качестве обобщения сказанного выше в статье [4] было доказано, что если секционная кривизна многообразия (M, g) неположительная, то Qp (T )< 0 для всех p > 2. При этих
требованиях из (5) последует неравенство д|| t| |> 0, которое означает, что ||т|| является неотрицательной субгармонической функцией для бесследового p-тензора Киллинга T. Из [10] известно, что на односвязном полном римановом многообразии (m, g) неположительной секционной кривизны каждая неотрицательная субгармоническая функция является постоянной, если f е L (M, g) для любого q е(0, да). В нашем случае на таком многообразии будем иметь || T || = const, если потребовать, чтобы || T11 е L (М, g). Тогда из (1) последует, что V T = 0. Если (м, g) имеет бесконечный объем, то будет выполняться тождество || T11 = 0 . Доказана следующая
Теорема 1. На односвязном полном римановом многообразии (М, g) неположительной секционной кривизны каждый бесследовый p-тензор Киллинга T является параллельным, если || T11 е Lq М, g) хотя бы для одного q е (0, да). Если при этом многообразие (М, g) имеет бесконечный объем, то T = 0.
Пусть секционная кривизна многообразия (М, g) неотрицательная, тогда Qp (T )> 0 для любого p > 2 [8]. При этих
требованиях из (5) последует неравенство д|| г||> 0. Из [11] известно, что на односвязном полном многообразии (M, g) неотрицательной секционной кривизны либо I fdvg <+да,
JM %
либо f = 0 для каждой неотрицательной субгармонической функции f. Более того, для q ф 1 выполняется либо
\Mfqdvg <+да, либо f = С = const [12]. Пусть f е Lq(M,g), тогда J" fq dvg = CqIM dvg <+ro. Напомним, что полное некомпактное многообразие (M, g) неотрицательной секционной кривизны имеет бесконечный объем [11]. Это вступает в противоречие с последним неравенством, а потому f = 0 . Справедлива
Теорема 2. Односвязное полное некомпактное риманово многообразие (M, g) неотрицательной секционной кривизны не допускает ненулевого бесследового p-тензора Кодацци T такого, что || T11 е Lq (M, g) хотя бы для одного q е (0, да).
Список литературы
1. Степанов С. Е. Поля симметрических тензоров на компактном римановом многообразии // Матем. заметки. 1992. Т. 52, № 4. С. 85—88.
2. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. М., 1990.
3. Dairbekov N. S., Sharafudinov V. A. On conformal Killing symmetric tensor fields on Riemannian manifolds // Sibirian Advaces in Mathematics. 2011. Vol. 21, № 1. P. 1—41.
4. Heil K., Moroianu A., Semmelmann U. Killing and conformal Killing tensors // Journal of Geometry and Physics. 2016. Vol. 106. P. 383—400.
5. Бессе А. Четырехмерная риманова геометрия. М., 1985.
6. Степанов С. Е., Смольникова М. В. Фундаментальные дифференциальные операторы первого порядка на внешних и симметрических формах // Изв. вузов. Математика. 2002. Т. 11. С. 55—60.
7. Shandra I. G., Stepanov S.E. On higher order Codazzi tensors on complete Riemannian manifolds. arXiv:1803.03956v2.
8. Berger M., Ebin D. Some decomposition of the space of symmetric tensors on a Riemannian manifold // Journal of Differential Geometry. 1969. Vol. 3. P. 379—392.
9. Bettiol R. G., Mendes R. A.E. Sectional curvature and Weitzenbock formulae. arXiv:1708.09033v1.
10. Li P., Shoen R. Lp and mean value properties of subharmonic functions on Riemannian manifolds // Acta Mathematica. 1984. Vol. 153, № 1. P. 279—301.
11. Greene R. E., Wu H. Integrals of subharmonic functions on manifolds of negative curvature // Inventiones Math. 1974. Vol. 27. P. 265—298.
12. Yau S. T. Some function-theoretic properties of complete Riemannian manifold and their applications to geometry // Indiana Univ. Math. J. 1976. Vol. 25, № 7. P. 659—679.
S. Stepanov1, I. Tsyganok2
1, 2 Financial University under the Government of the Russian Federation 49 Leningradsky Prospect, Moscow, 125993, Russia 1 2 s.e.stepanov@mail.ru
1 ORCID: http://orcid.org/0000-0003-1734-8874
2 ORCID: https://orcid.org/0000-0001-9186-3992
doi: 10.5922/0321-4796-2019-50-16
Vanishing theorems for higher-order Killing and Codazzi
Submitted on January 31, 2019
A Killing /»-tensor (for an arbitrary natural number p > 2) is a symmetric p-tensor with vanishing symmetrized covariant derivative. On the other hand, Codazzi p-tensor is a symmetric p-tensor with symmetric co-variant derivative. Let M be a complete and simply connected Riemanni-an manifold of nonpositive (resp. non-negative) sectional curvature. In the first case we prove that an arbitrary symmetric traceless Killing p-tensor is parallel on M if its norm is a Lq -function for some q > 0. If in addition the volume of this manifold is infinite, then this tensor is equal to zero. In the second case we prove that an arbitrary traceless Codazzi p-tensor is equal to zero on a noncompact manifold M if its norm is a Lq -function for some q > 1.
Keywords: complete Riemannian manifold, Killing and Codazzi tensors, vanishing theorem.
References
1. Stepanov, S.E.: Fields of symmetric tensors on a compact Riemannian manifold. Math. Notes, 52:4, 1048—1050 (1992).
2. Besse, A.: Einstein manifolds. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg (1987).
3. Dairbekov, N. S., Sharafudinov, V.A.: On conformal Killing symmetric tensor fields on Riemannian manifolds. Sibirian Advaces in Mathematics. 21:1, 1—41 (2011).
4. Heil, K., Moroianu, A., Semmelmann, U.: Killing and conformal Killing tensors. Journal of Geometry and Physics. 106, 383—400 (2016).
5. Géométrie Riemannienne en dimension 4: Seminaire Arthur Besse, Cedic — Fernand Nathan, Paris (1981).
6. Stepanov, S.E., Smol'nikova, M. V.: Fundamental first-order differential operators on exterior and symmetric forms. Russian Math., 46:11, 51—56 (2003).
7. Shandra, I. G., Stepanov, S. E. : On higher order Codazzi tensors on complete Riemannian manifolds. arXiv:1803.03956v2.
8. Berger, M., Ebin, D.: Some decomposition of the space of symmetric tensors on a Riemannian manifold. Journal of Differential Geometry, 3, 379—392 (1969).
9. Bettiol, R.G., Mendes, R. A.E.: Sectional curvature and Weitzen-böck formulae. arXiv:1708.09033v1.
10. Li, P., Shoen, R.: Lp and mean value properties of subharmonic functions on Riemannian manifolds. Acta Mathematica, 153:1, 279—301 (1984).
11. Greene, R. E., Wu, H.: Integrals of subharmonic functions on manifolds of negative curvature. Inventiones Math., 27, 265—298 (1974).
12. Yau, S. T.: Some function-theoretic properties of complete Riemannian manifold and their applications to geometry. Indiana Univ. Math. J., 25:7, 659—679 (1976).
