CC BY
4
УДК 517.77
О ПРОСТРАНСТВЕ КОНФОРМНО-КИЛЛИНГОВЫХ ФОРМ С.Е. С т е п а н о в, И.И. Ц ы г а н о к
(Владимирский государственный педагогический университет)
В работе рассматривается векторное пространство конформно-киллинговых р-форм ТР(М, Я) на т-мерном римановом многообразии М [1, 2]. Доказана теорема, согласно которой на римановом многообразии М постоянной ненулевой секционной кривизны векторные пространства ТР(М, Я) и Тт - Р( М, Я ) являются изоморфными [3]. Пространство ТР(М, Я) рассматривается также на многообразиях нулевой и отрицательной секционных кривизн.
1. Рассмотрим т-мерное риманово многообразие М с метрикой g и связностью Леви-Чивита V. Обозначим через ЛРМ векторное расслоение р-форм на М. Действие ортогональной группы О(т) на тензор Vю для юе С"ЛРМ определяет разложение этого тензора на части, соответствующие неприводимым компонентам этого действия [4] : Vю = + О2 + О3 так, что условие О1 = 0 определяет замкнутую р-форму, условие О2 - 0 выделяет козамкнутую р-форму и, наконец, условие О3 - 0 выделяет конформно киллингову р-форму ю. В соответствии с этим определяются три векторных подпространства пространства дифференциальных р-форм Ор (М) на М. Это будут подпространства замкнутых Б Р(М, Я),
козамкнутых F Р(М, Я) и конформно-киллинговых Т Р(М, Я) Р-форм.
Условие О2 - О - 0 характеризует р-форму ю как киллинговую. В свою очередь, условие О - О3 - 0 выделяет замкнутую конформно-киллинговую р-форму, которую назовём плоской. Плоские р-формы образуют на М подпространство РР(М, Я) пространства ОР(М, Я). Свойства этих форм мы рассмотрели в работах [ 5-7 ]. Ещё один класс состоит из р-форм, выделяемых условием О - О - 0 и образующих подпространство НР( М, Я ) пространства ОР( М, Я ). Эти формы носят название гармонических ( см., напр., [ 8 ] ).
2. Для любой точки х е М невырожденная квадратичная форма ^ определяет канонический изоморфизм ^ : Т(р,ч) М ^ Т (,г,8) М между тензорными пространствами Т (,Р'ч) М и Т (,г,8) М с г + s = р + q, позволяющий нам в дальнейшем "игнорировать" вариантность.
Выберем локальную ориентацию М и обозначим через ц форму объёма многообразия М, полагая ц = л/Нё^ дх1 л ... л дхт в координатной окрестности и ^
М с локальной системой координат х1, ... хт , согласованной с локальной ориентацией М. Тогда можно определить для любого числа р ( 0 < Р < т ) оператор Ходжа * , как единственный локальный изоморфизм векторных расслоений * :
Лр М ^ Лт-р M, для которого ©л( * ю') = ё ( ю,ю') ц при всех ю, ю' е СЛ Т * М и x е M. Оператор Ходжа обладает следующими свойствами
* 2 = (_ ! )р(т-р) ^ лр м , ё ( ю,*ю') = (-1 )р(т-р) ё ( *Ю, Ю')
для любых ю е СюЛр M и ю'е СюЛт-р М.
Внешний дифференциал d : СхЛр М ^ сюЛт"р M и формально сопряжённый ему оператор кодифференцирования d* на локально ориентированном римано-
вом многообразии M связаны следующим равенством: d* = - * ° ё ° * . В результате для любой p-формы ю е С<хЛр M имеем
*( а* ю ) = - а (*ю ) ; а* (*ю ) = - * ( ёю ). (1)
Отсюда, в частности, выводится правило построения козамкнутых форм. Для этого надо взять точную форму ю = ёю' и подействовать на неё оператором Ходжа *.
Если принять во внимание линейность операторов d и d*, то можно сделать вывод о том, что на римановом многообразии M пространства Fm-p ( М, Я ) и Бр (М, Я) являются * - изоморфными. Отсюда в качестве следствия вытекает хорошо известный факт *-изоморфизма Я-модулей Нр ( М, Я ) и Нт-р ( М, Я ). Этому факту мы нашли аналог, установив *-изоморфизм Я - модулей Т р ( М, Я ) и Тт-р (М, Я) в случае риманова многообразия M постоянной секционной кривизны. Предварительно докажем, что справедлива
Теорема 1. На т - мерном римановом многообразии М Я - модули плоских р -форм Р р (М, Я ) и киллинговых ( т - р ) - форм Кт'р(М, Я ) являются *- изоморфными.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Полагаем ю произвольной плоской p-формой, т. е.
V ю =-1-ё □ ё*ю, (1)
т - р +1
где ^ □ ё* ю )к11 1 - -р^! V■)ю,.,. г Выберем локальную ориентацию риманова
1 2""" р [ 1 1-4 2""" р ]
многообразия M и обозначим через ц его форму объёма , тогда для ( m - р ) -формы *ю выполняется равенство
( ^ *ю ) ( Хр+1 , ... , Хт ) =
1 т
1 1ц(Х,е,.....Хр+1 ,""",ХУ)(ё*ю)(еъ ,...,е, ),
(р - 1)!(т- р +1)
т
а потому V *ю е Сю Лт - р+1 M и , следовательно, ю - киллинговая ( m - р ) - форма.
Обратно, пусть ю - киллинговая p - форма, т. е. dю = ( р + 1 ) Vю , тогда кон-травариантные компоненты ( m - р ) - формы *ю будут удовлетворять равенству
11 "1
1' р
т—7 ч 1р + 1""^ 1р + 1""^
V ](*ю ) р = ц Vи ю , 1"Л],
где 1 < 11 < ... < 1 р < т ; 1 < 1 р + 1 < ... < 1 т < т ; ] ^ 1 1 , ... , 1 р и при этом i а ^ 1«
для а = 1, ... , р и а = р+1, ... , т. В этом случае V ] (*ю ) р+1 т = 0 для всех j ^ 1р+1 , ... , 1 т . Поскольку *ю - кососимметрическая ( т - р ) - форма, то все индексы её компоненты (*ю ) р 1 т равноправны. На этом основании рассмотрим случай, когда i р +1 = j. Зафиксируем значения индексов i р + 2 , ... , 1 т так, что 1 < 1р + 2 < ... < 1 т < т , тогда значения для индекса i р + 1 = j можно будет выбрать р + 1 способом из оставшихся р + 1 чисел среди 1, ... , т. Наконец, значения индексов i 1 , ... , 1 р , таких, что 1 < 11 < ... < 1 р < т определяются однозначно, поскольку на них придётся уже ровно р чисел среди 1, ... , т. В результате получим равенство
У7 Л]12-1т Ч-^р +2-1т „
V л (*ю ) = Л V и ю 11 ...1р],
где, как в левой, так и в правой частях отсутствует суммирование. Причём для тех же самых значений индексов i р + 2 , ... , 1 т , но уже другого значения индекса 1 р + 1 = к будем иметь
11...1рк1р+2...1^ 11...1рЛ1р +2 ...1т „
Л V [к ю 11...1р] = Л V [л ю 11...1р]
поскольку здесь [ к 11 ... 1р ] и [ j il ... 1р ] - это два упорядоченных набора из одних и тех же натуральных р + 1 чисел, выбранных в промежутке от 1 до т. В результате
V. (*ю )1р+11р+2 "Лт = — { ( 51р+1 л 11"Лрир+2 .1т -л р +1 л
«и 11...1р11р +11р +3 ...1т й1 11...1Р11Р +2...1т-11Р +1 ,
- 51р+2 Л р - ... - 51тЛ ) V[1 ю 11 ...1р] } ,
а потому *ю - плоская ( т - р ) - форма
Замечание. Непосредственно проверяется, что сформулированный и доказанный выше результат не зависит от сигнатуры метрики g. По крайней мере, в одну сторону это было нами доказано в [ 7 ].
3. Как было установлено в [ 8 ], любая р - форма ю , удовлетворяющая уравнению
V ю = — ёю + —1— % □ а* ю , ( 2 )
р +1 т - р + 1
является конформно - киллинговой. Выберем произвольные киллинговую ю' и плоскую ю" р - формы, которые удовлетворяют известным равенствам:
V ю' = — ёю' , ё* ю' = 0 ; ( 3 )
Р +1
V ю" = -1-% □ ё* ю" , ё ю" = 0 . ( 4 )
т - р + 1
Тогда, как это непосредственно проверяется на основании равенств ( 3 ) и ( 4 ), р-форма ю = ю' + ю" будет удовлетворять уравнению ( 2 ) и, следовательно, являться конформно - киллинговой.
Лемма. На т - мерном римановом многообразии М сумма произвольных киллинговой и плоской р - форм ( 0 < р < т ) является конформно - киллинговой р-формой.
Как это доказано в работах Тачибаны и Кашивады [ 1 ] и [ 2 ], на римановом многообразии М постоянной ненулевой секционной кривизны каждая конформно- киллинговая р - форма представима в виде суммы некоторых киллинговой и замкнутой конформно - киллинговой ( т. е. плоской ) р-форм.
Следствие 1. На т-мерном римановом многообразии М постоянной ненулевой секционной кривизны Тр ( М, Я ) = Кр ( М, Я ) Ф Рр ( М, Я ) .
На основании теоремы 1, леммы и следствия 1 может быть сформулирована
Теорема 2. На т - мерном римановом многообразии М постоянной ненулевой секционной кривизны Я - модули Т р(М, Я ) и Т т'р(М, Я ) являются *- изоморфными.
4. Рассмотрим локально плоское риманово многообразие М, для каждой точки х которого всегда можно подобрать окрестность и, изометричную открытому подмножеству евклидова пространства, с локальной декартовой системой координат х1 , ... , хт . Пусть ю будет плоской р-формой, тогда согласно уравнений (2.2) работы [ 6 ] форма d*ю из уравнения ( 1 ) должна подчиняться условию дк (ё*ю) 12 ... 1ш = 0, где д к = д/дхк . А потому в этой окрестности ( р - 1 ) - форма
ё*ю имеет постоянные компоненты А1 ... 1 . В свою очередь, условия интегриру-
2 р
емости уравнений ( 1 ), имеющие вид тождеств Риччи, относительно той же системы координат перепишутся так:
д л д к ю 11... 1 р = д к д л ю 11... 1 р .
В этом случае интегралы самих уравнений ( 1 ) будут иметь в и следующий вид:
ю 1 1 - 1 р = Х [ 1 1 А 1 2 .. 1 р ] + В 1 1 .. 1 р , ( 5 ) где В^... 1 суть постоянные компоненты некоторой р-формы. Здесь же на основании теоремы 1 заключаем, что локальными компонентами в координатной окрестности и киллинговой ( т - р ) - формы ю' будут
ю' i , ...i = ( *ю ) i , ... i = x 1 A' 1 ; , ...i + B' ; , ...i
p+1 m v ' P+1 m P+1 m p+1
m
Теорема 3. Пусть ю и ю' суть плоская и киллинговая р-формы на m-мерном локально плоском ( псевдо ) римановом многообразии M. Тогда существует окрестность U каждой точки x е M, где компоненты форм имеют следующий вид:
Ю i 1 .. i , = Х [ i 1 A i 2 ... i , ] + B i 1 ... i , ' Ю' i 1 ... i , = X 1 A' 1 i 1 ... i , + B' i 1 ... i , ' для декартовой системы координат x1, ... , x m в U и постоянных компонент A' i i1... i , B'i1... i , A t2 ... i и B i1... i кососимметрических тензоров на U.
5. Определим на М симметрическую 2- форму ф' = ф - 1/p( trace ф ) g для
ф = gl2k2 glpkp ю ю = ю ю. l2 'lp ( 6 )
ф 1J g ... g ю il2'''lp ю jk2'.'kp ю il2'.'lp ю J ( 6 )
в произвольной координатной окрестности U многообразия М. Полагаем ю кон-формно-киллинговой р-формой, тогда на основании равества ( 2 ) можно убе-
дится, что форма ф' удовлетворяет уравнению (V ф')( X, X ) = 0 для любого
X
X е С" ТМ и является, следовательно, симметрической киллинговой 2-формой. Заметим, что аналогичный факт был нами установлен ранее [ 5 ] только для плоских (или по другой терминологии замкнутых конформно-киллинговых) р-форм. Из доказанных в [ 5 ] утверждений вытекает
Следствие 2. Если m-мерное замкнутое ориентированное риманово многообразие Ы отрицательной секционной кривизны несёт конформно-киллинговую р-форму ю для 1<р <m -1, то
Л2".Лр р ! I |2
юч2...л„ юл р = 44
2 р т
I |2
для ю = const. В частности, для m = 2n и р = 2 многообразие М будет почти эрмитовым с фундаментальной 2-формой ( V2m I ю I) 1 ю.
Библиографический список
1. Tachibana S. On conformal killing tensor in a Riemannian space // Tohoku Math. J. 1969. Vol. 21. P. 56-64.
2. Kashiwada T. On conformal Killing tensor // Natural Science Report. Ochanomizu University. 1968. Vol. 19, № 2. P. 67-74.
3. Stepanov S.E. A class of closed forms and special Maxwell equations // Conference on Differential Geometry : Abstracts. Budapest, 1996. P. 113.
4. Stepanov S.E. The seven classes of almost symplectic strutures // Webs and quasigroups. Tver': Tver'State University, 1992. P. 93-96.
5. Степанов С.Е. О применении одной теоремы П.А.Широкова в Технике Бохнера // Изв. вузов. Мат., 1996. № 9. С. 53-59.
6. Степанов С.Е. Плоские дифференциальные формы // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1995. Вып. 26. С. 84-89.
7. Степанов С.Е. Плоские дифференциальные формы и специальные уравнения Максвелла // Там же, 1996. Вып. 27. С. 107-111.
8. Hoge W.V.D. The theory and applications of harmonic integrals. Cambridge University Press, 1952.
9. Yamaguchi S. On a theorem of Gallot-Meyer-Tachibana in Riemannian manifolds of positive curvature operator // TRU Math. 1975. Vol. 11. P. 17-22.
S.E. S t e p a n o v, I.I. T z y g a n o k ON A SPACE OF CONFORMALLY-KILLING FORMS
Vector space of conformally-killing forms Tp(M,R) is considered on the m-dimensional Riemann manifold M. Theorem is proved, accoding to which vector spaces Tp(M,R) and Tm-p(M,R) on Riemann manifold M of constant nonzero sectional curvature are isomorphic. Space Tp(M.R) is considered also on manifolds of zero and negative sectional curvatures. УДК 514.76
