CC BY
7
УДК 514.77; 530.12
ПЛОСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ 2-ФОРМЫ
__Ф
И СПЕЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА С.Е. С т е п а н о в
(Владимирский государственный педагогический университет)
1. Введение. В настоящей работе изучаются плоские дифференциальные 2-формы [1],[2] на (псевдо) римановом многообразии. Даны приложения установленных фактов в релятивистской электродинамике. В заключении описаны все плоские 2-формы в евклидовом пространстве и построены примеры плоских 2-форм на гиперповерхности евклидова пространства.
2. Плоские 2-формы. Рассмотрим ^мерное (псевдо)риманово многообразие М с метрикой g и связностью Леви-Чивита. Дифференциальная 2-форма Ю
и ____и о
называется плоской, если ее компоненты Ю^ , найденные в локальной системе координат ^ ,...,хп }, подчиняются уравнениям
V к ю ч = 8к1е j - gkJe х , (2.1)
где е = (п — 1) 1VкЮ^ , V = ^IV1 -символ ковариантного дифференцирования в направлении ^^^к и ^^ - компоненты g. Из (2.1) автоматически следует ^кЮ] = 0, те. d Ю =0. Также непосредственно проверяется, что компоненты Ю у плоской 2-формы Ю обращают в нуль тензор Нейенхейса
N = 2(ю к V®] — ю ] V® к к Vю] — ю к V®])
Рассмотрим случай, когда плоская 2-форма удовлетворяет тождеству Якоби [3, а 83], которому на (псевдо)римановом многообразии в терминах ковариантного
дифференцирования придадим следующий вид: Ю ^ V г Ю^ = 0. В случае плоской 2-формы тождество Якоби перепишется так: Ю лб Ю =0 для (б® ): = —Vк Ю к|. Верно и обратное. Следовательно плоская 2-форма Ю, удовлетворяющая тождеству Якоби, является вырожденной. Воспользуемся тождествами Риччи
V к Vи — V ^ к Ю ц = —Ю ^ — ю ^ ,
которые в случае (псевдо)риманова многообразия М постоянной кривизны С и плоской 2-формы Ю принимают вид
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект 94-01-01595
(п - 2)У ¿0 j =- п С Ш ^ . (2.2)
п — 2 _1
Откуда находим Ш - =--С ^0; для С^0 и киллинговой 1-формы 0;.
.1 п -1
Верно и обратное. Действительно, для киллинговой 1-формы имеем [4, ^50]
V к V .0 х =—01Як.= С(в1к 0. — 0 ¿) ,
поэтому, дифференцируя левую и правую части (2.2), получим
V к ш 1. = gkl0Jj — 8^0;
для 0J = П-2 0. Итогом рассуждений будет
Теорема 2.1. На (псевдо)римановом многообразии М каждая плоская 2-форма ш обладает следующими свойствами:
1) форма является замкнутой;
2) компоненты формы обращают в нуль тензор Нейенхейса;
3) форма удовлетворяет тождеству Якоби только когда Ш лб Ш =0;
4) форма имеет вид Ш =п-1 (п-2)С-1 V0 для киллинговой 1-формы 0, если М имеет постоянную кривизну С.
Рассмотрим на (псевдо)римановом многообразии М симметричное тензорное поле G с компонентами
О1. =Ш ;к Ш Jk — КШ к1Ш к1)8;. .
Непосредственные расчеты показывают, что О ^ = 0 и
VкО^ = (2 — п)ш . Справедлива следующая
Теорема 2.2. Если (псевдо)риманово многообразие М допускает плоскую 2-форму ш , то это же многообразие допускает и квадратичный первый интеграл
2 1 2
движения для геодезических, задаваемый тензорным полем G=-( Ш + ^ Ш 8).
Если всюду на компактном ориентированном римановом многообразии М справедливы соотношения
Ф2(О,О) = Я;.О1кОк — Я^-О1 =12^ 1 — . ^0 , (2.3)
2
то согласно [5] будем иметь VG=0 и 8G=0 . В (2.3) мы полагали Gij 8у в ор-тонормированном базисе {e1 ,...,еп }. Доказана
Теорема 2.3. На компактном ориентированном римановом многообразии неположительной секционной кривизны не существует невырожденных плоских 2-форм.
Если многообразие М является локально неприводимым, то из равенства Vк
Оу =0 следует, что G¿j =^у. В нашем случае это равносильно равенству
2
81
Ш 1к Ш Jk = п—1
Ш
'Ч
Условие V= (2 — п)ю ^ е= 0 при п>2 будет тогда означать,
чтоVю =0. Справедливо
Следствие 2.4. На ^мерном (п>2) локально неприводимом компактном ориентированном римановом многообразии неположительной секционной кривизны не существует плоских 2-форм, отличных от ковариантно постоянных.
3. Специальные уравнения Максвелла. Рассмотрим 4-мерное пространство-время М с метрикой g сигнатуры (-+++). Известно [7, ^233], что тензор F электромагнитного поля задает на М замкнутую 2-форму. Следствием этого будет разложение VF на две части [1], соответствующие неприводимым компонентам действия ортогональной группы в Т М. Второй компоненте разложения соответствуют уравнения плоской 2-формы:
V кРч = у 1 — gklIj) (3.1)
для 4-вектора тока Р . Из (3.1) автоматически следуют уравнения Максвелла Vk
Fik =4л11 при наличии заряда [6, ^223]. Следствием уравнений (3.1) будет закон сохранения заряда V! I =0.
Непосредственные расчеты показывают, что тензор энергии импульса электромагнитного поля
Т = к —
является бесследовой частью тензора G, который строится здесь из компонент F как и во втором параграфе. Тогда [8, c. 339-340] тензор энергии импульса Т должен будет задавать квадратичный первый интеграл движения для изотропных геодезических. Доказана
Теорема 3.1. Если тензор электромагнитного поля F подчиняется специальным уравнениям Максвелла (3.1), то тензор энергии импульса электромагнитного поля Т задает первый квадратичный интеграл движения для изотропных геодезических.
На основании теоремы 2.1 и уравнений (3.1) работы автора [2] может быть сформулирована
Теорема 3.2. Специальные уравнения Максвелла (3.1) вполне интегрируемы в пространствах-временах де Ситтера, которые являются многообразиями посто-
4 2
янной кривизны С=± Г -2 и при этом F = ± — П r VjI; .
j з j
Для плоского пространства-времени в лоренцовой системе координат {x0 д1 ,x2 ,x3} из (2.2) выводим !=(с° ,с1 ,с2 ,с3 ), а потому интегралами уравнений (3.1) будут
Fab =4Л /3 (ca xb -cb xa +cab )
для произвольных постоянных ковектора с а и тензора с аЬ = с Ьа при a,b=0,1,2,3.
4. Примеры плоских 2-форм. Рассмотрим в n-мерном (псевдо)римано-вом многообразии М (невырожденную) гиперповерхность М', задаваемую локально
уравнениями xi =Х (иа ). Полагаем Б^ = ^^^а , тогда индуцированная на М'
метрика g' имеет компоненты Б^Б^^. Вторая фундаментальная форма И^р
гиперповерхности М' задается равенствами И^ = V' Б^, где V' -
индуцированная на М' связность Леви -Чивита.
Пусть Ю ij - кососимметричное тензорное поле на М, его касательная и нормальная компоненты на М' определяются равенствами
* Юар = БаБрЮ1J > ПЮр = Ю1J >
где № - единичное векторное поле на М', ортогональное ТМ'. Тогда
V, 1ЮаР = Б^ Б^Бк V к ю , + Бр ю , + Б^И рую 1J . (4.1)
Предположим,что Ю ij -компоненты плоской 2-формы, а М'-вполне омбилическое подмногообразие, т.е. И^ = И§'р К1 для
И = (п -1) "1вчв'аР И ' р № .
Тогда равенство (4.1) принимает следующий вид:
ут * ЮаР= в^еа (4.2)
для е' = (п — 1)—Ч е + ИпЮр . Справедлива
Теорема 4.1. Касательная компонента плоской 2-формы Ю на вполне омбилической (невырожденной) гиперповерхности М' (псевдо)риманова многообразия М является плоской 2-формой.
Полагаем,что М=ЕП , а М'-гиперсфера Sn-1 радиуса г. Пусть гиперсфера задается уравнением x=xi (иа )ei в ортонормированном репере {0,е1 ,...,еп }. Уравнения Гаусса-Вейнгартена гиперсферы имеют вид:
уа хр=— к1 , уа К1=^ (4.3)
р г р г
для х^ =гх/^иа , К1 = г—1х1 , е хЧ = 0 .
На основании (2.2) заключаем, что в Еп уравнения (2.1) плоской 2-формы имеют интегралы вида:
Ю у = X1CJ — + сч (4.4)
для призвольных постоянных ковектора с i и тензора с у = с ^. Тогда
п
t ЮаР = СуХаХр (4-5)
и в следствии (4.3) мы опять приходим к уравнениям (4.2), где уже
еа = -(п -1) г -2сухЧ. Доказана
Теорема 4.2. Плоские 2-формы в Еп задаются формулами (4.4), при этом их касательные компоненты на гиперсфере Sn-1 имеют вид (4.5) и также являются плоскими 2-формами.
5. Связь с киллинговыми формами. Пусть Ю^ { -компоненты плоской
р-формы на (псевдо)римановом многообразии М. Введем оператор Ходжа * , полагая
(*Ю)1 1 = — л, н 1 Ю11 . . lp (5.1)
4 у 1р+1. . . 1п р | ц1. . . 1р1р+1. . . 1п у у
для элемента объема л ; = л/ detI 2-- )8- ■ . Тогда [2]
111. . . 1п у у ^У / 11. . . 1п
V к(*ю)1 1 = лк1 11 1 е^ . . 1р,
к 4 у 1р+1. . . 1п _ 1\ | к12. . 1р1р+1. . . 1п
где еь . . 1р = (п - Р +1)-1 VкЮ. . 1р . А потому Ук(*ю)1р+1. . . 1п = -V 1р+1 (*ю)к. . . 1п . Доказана
Теорема 5.1. Для оператора Ходжа * и произвольной р-формы Ю на (псев-до)римановом многообразии М (п-р)-форма ( * Ю )-киллинговая.
Библиографический список
1. Stepanov S.E. The seven classes of almost symplectic structures // Webs and quasigroups. Tver: Tver State University, 1992. P.93-96.
2. Степанов С.Е. Плоские дифференциальные формы // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1995. Вып. 26. C.84-89.
3. Фоменко А.Т. Симплектическая геометрия. М.: ИЛ, 1988. 413 с.
4. Яно К. Бохнер С . Кривизна и числа Бетти. М.: ИЛ, 1957. 152 с.
5. Степанов С.Е. Поля симметрических тензоров на компактном римановом многообразии // Математические заметки. 1992. Т. 52. Вып.4. C.85-88.
6. Широков А.П. Постоянные поля векторов и тензоров второго порядка в Шетапп'овых пространствах // Изв. Физ.-мат. о-ва. Казань, 1925. Т.25. C.86-114.
7. Мизнер Ч. и др. Гравитация. М.: Мир, 1977. Т.2. 525 с.
8. Крамер Д. и др. Точные решения уравнений Эйнштейна. М.: Энергоиздат, 1982. 416 с.
S. E. S t e р a n o v
PLANE DIFFERENTIAL 2-FORMS AND SPECIAL MAXWELL'S EQUATIONS
The author studies plane 2-forms which by virtue of their closureness can be considered in the capacity of symplectic structures on a Riemann manifold. The opportunity was indicated by the application of the theory of plane forms to the relativistic electrodynamics. In conclusion all plane 2-forms were found in the Euclidean space and plane 2-forms of a hypersphere of the Euclidean space were constructed were constructed. УДК 514.75
ВЫРОЖДЕННЫЕ КОМПЛЕКСЫ, ПОРОЖДЁННЫЕ КВАДРИКОЙ И ТОЧКОЙ, НЕ ИНЦИДЕНТНОЙ КВАДРИКЕ
Т.П.Ф у н т и к о в а
(Калининградский государственный университет)
В трёхмерном аффинном пространстве рассматриваются вырожденные комплексы (QP)3,2, порождённые квадрикой Q и точкой P, не инцидентной квадрике, причём многообразие квадрик Q - трёхмерное, а точек Р - двумерное. Изучен класс вырожденных комплексов (QP)3,2 , для которых центры квадрик Q описывают линию (Р*).
Между образующими элементами вырожденного комплекса (QP)3 2 устанавливается соответствие, при котором каждой квадрике Q соответствует единственная точка Р, полным прообразом которой является однопараметрическое семейство квадрик Qp. Устанавливается также соответствие между множествами точек (Р*) и (Р), при котором каждой точке Р* соответствует на поверхности (Р) линия Гр* .
Отнесём вырожденный комплекс (QP)3,2 к реперу R = в2, е3 }, который
характеризуется следующим образом: точка А совмещена с центром Р* квадрики Q, вектор е направлен по касательной к линии центров (Р*) квадрик Q , направления векторов в2, е сопряжены направлению вектора е относительно квадрики Q. Концы векторов еа (точки Aа, а =1, 2, 3) инцидентны квадрике Q.
Квадрика (эллипсоид) Q в репере R задаётся уравнением (х1)2 + (х2)2 + (х3)2 - 1 = 0 .
Квадрике Q соответствует на поверхности (Р) точка Р = А + гв3 .
Так как вектор е направлен по касательной к линии (Р*), то йА = Хе1 , следовательно:
ю 2 = 0, ю 3 = 0, ю 2 = аю1, ю 3 = Ью1. (1)
Многообразие (Р) двумерное, значит:
гащ( ю1 + гю1 ; гю 2; йг + гю 3) = 2 . (2)
