CC BY
30
УДК 519.8 (314)
О КОМБИНИРОВАННОМ МЕТОДЕ ОЦЕНИВАНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ТАБЛИЦЫ ДОЖИТИЯ ДЛЯ МАЛОГО НАСЕЛЕНИЯ
© 2005 г. Д.М. Эдиев, Д. Б. Тебуев
Theoretical foundations of earlier proposed method for small population life tables estimating are concerned. Optimal weighting factors are proposed and the method is illustrated on real data from the population of Karachay-Cherkessian republic.
Введение
При экономико-демографическом моделировании и прогнозировании большую роль играют методы, опирающиеся на неполные или агрегированные показатели воспроизводства населения [1-3]. Актуальность таких методов вызвана как необходимостью разработки относительно простых демографических блоков в моделях экономической динамики, так и отсутствием необходимой для параметризации моделей исходной демографической информации. Последнее обстоятельство особенно важно в исторических исследованиях, когда многие проблемы моделирования и оценивания могут быть решены только косвенными методами [4]. В настоящей работе предлагается решение отмеченной задачи применительно к оцениванию показателей таблиц дожития по неполным данным, а также по данным для малого населения, когда заметны статистические ошибки, вызванные малым объемом выборки. Предлагаемые методы могут быть полезны в областях традиционного использования таблиц дожития (прогнозирование численности населения и трудовых ресурсов, моделирование и анализ системы пенсионного и социального обеспечения, актуарные расчеты и др.)
Большинство современных методов построения таблиц дожития ориентированы на анализ смертности в больших совокупностях людей. В таких ситуациях в силу закона больших чисел вероятность события хорошо аппроксимируется эмпирической частотой его появления. Для малых групп людей, а также при наличии неполной и недостоверной информации такой подход не работает. При невозможности или нежелательности перехода к агрегированным моделям, в такой ситуации обычно применяются косвенные методы, основанные на какой-либо модели смертности [5]. Недостатком такого подхода является то, что при этом имеющаяся исходная информация не используется в полной мере. В настоящей работе предлагается комбинация вышеуказанных подходов с тем, чтобы, с одной стороны, использовать всю имеющуюся исходную информацию по смертности, а с другой - восполнить недостающие исходные данные за счет привлечения модели смертности. Развивается предложенный ранее комбинированный метод [6-8], суть которого заключается в привлечении модели смертности Брасса наряду с прямыми методами оценивания показателей дожития.
Комбинированный метод оценивания показателей таблиц дожития
Для решения поставленной выше задачи оценивания показателей дожития предлагается использовать модель смертности, разработанную У. Брассом [6] и рекомендованную ООН для косвенного оценивания таблиц дожития [5]:
ln
V 1 - lx У
Л f
= 2а + 2ß ■ ln ■
1 - ls
V1 lx У
(1)
Здесь 1Х, - функции дожития исследуемого и стандартного населений (т. е. вероятности дожития от рождения до возраста х); а ив - параметры модели, отражающие отличия между исследуемым и стандартным населением в уровне и возрастной структуре смертности. Для оценивания показателей дожития по модели Брасса достаточно методами линейной регрессии оценить два параметра модели и воспользоваться соотношением (1), используя известные показатели дожития в стандартном населении.
Модель Брасса для оценивания показателей дожития предпочтительна в тех возрастах, в которых численность населения очень мала (т.е. велики статистические ошибки) или вовсе нет данных о смертности. С другой стороны, в тех возрастах, в которых численность населения велика и имеются неискаженные данные о смертности, лучше использовать прямые методы расчета показателей таблиц дожития [9], поскольку простая двухпараметрическая модель (1) может приводить к большим ошибкам, нежели ошибки, связанные с конечным объемом выборки. В силу того, что на практике встречаются как указанные две ситуации, так и множество промежуточных, предлагается использовать оценки показателей дожития, являющиеся взвешенными средними оценок, получаемых прямыми методами и по модели Брасса (1). Поскольку все показатели таблицы дожития можно выразить через вероятности дожития до следующего возраста
Р х = , достаточно изучить комбинированные
1Х
оценки для этих показателей, являющиеся средневзвешенными оценок рХ\ и рьх , полученных соответственно прямым методом и по модели Брасса, с веса-
ё Ь
ми соХ и соХ:
) d d b b Px = Px -®x + Px-®x
где (od +abx = 1.
(2)
Расчет оптимальных весовых коэффициентов
Ключевым в предлагаемом подходе является обоснованный выбор весовых коэффициентов, зависящих как от конкретного исследуемого населения, так и от возраста, поскольку и численность населения, и точность оценивания по методу Брасса и по прямым методам построения таблиц дожития зависят от возраста. Для решения задачи выбора весовых коэффициентов предлагается использовать следующие соображения.
Рассмотрим класс комбинированных оценок вероятностей дожития до следующего возраста (2). Для
l
l
x
получения эффективной в классе (2) оценки рх будем использовать веса, соответствующие минимальной дисперсии. Для нахождения дисперсии оценки рх
необходимо выяснить степень корреляции оценок р%
и рьх . Очевидно, что оценки, полученные прямыми
методами и по модели Брасса, будут коррелированными, так как они проводятся на основе одной и той
же выборки. Однако для нахождения оценки используются данные только по одному возрастному интервалу, а для нахождения оценки рьх - по всем возрастам. Из этого следует, что исходные данные по отдельному возрасту слабо влияют на оценку р хх . Поэтому разумно предположить, что и р'Х имеют небольшую корреляцию, и при подсчёте дисперсии оценки рх ею можно пренебречь. При этом предположении дисперсия оценки (2) будет равна
b lx i + exp(2a + 2ß • Äx)
<yx = ax -ax + ax -ax
где сх
дисперсия
оценки ; С - дисперсия оценки р'Х .
Соответственно оценка (2) будет эффективна при выборе весов, являющихся решением следующей задачи условной минимизации:
(Ox
•ах + ах -ax ^ min
(3)
при условии юх +^х = 1. Решая эту задачу, например, методом множителей Лагранжа, легко видеть, что искомые веса обратно пропорциональны величинам соответствующих дисперсий. Поэтому обратимся к оцениванию дисперсий оценок, получаемых прямым методом. Их можно получить, если воспользоваться тем, что при заданной вероятности дожития р х число доживающих до следующего возраста подчинено биномиальному закону распределения, а доля выживающих (т.е. несмещенная, эффективная и состоятельная оценка вероятности дожития прямым
методом) имеет дисперсию = Рх (1 - Рх)/п .
Поскольку истинные вероятности р х на практике
й 2
неизвестны, для оценки дисперсий сх используем значения, получаемые с помощью модели Брасса:
С 2 = рХ (1 - рХ)/ п . (4)
Выбор в (4) оценок вероятности дожития по методу Брасса вместо оценок прямым методом продиктован тем обстоятельством, что для малых групп населения оценки прямым методом оказываются чрезвычайно изменчивыми, а использование оценок по Брассу позволяет получать робастные оценки дисперсий.
Для оценки весов аъ для брассовских вероятностей дожития до следующего возраста р хХ необходи-
й 2
мо так же оценить дисперсии сх . Сначала выясним, как зависит р'Х от а и в. Используя (1) и
рх = 1х+1/ 1х , п°лучим:
Рх =
lx+1 1 + exP(2a+ 2ß^x+l)
(5)
где 2х = ln
( ¡st \ l v
l - и
Для получения оценок дисперсий р хХ воспользуемся упрощающим предположением о равномерности распределения оценок параметров модели а ив. При этом предположении легко получить методом моментов следующие верхние и нижние оценки этих параметров:
а0 = а -43са , а1 = а + л/3са ,
во =в-43св, в = в+у13св, (6)
где а0, а1 и во, в1 - верхняя и нижняя оценки параметров а ив соответственно; са, с в - оценки
дисперсий этих параметров по исходным данным. Из (5), (6) найдём дисперсию оценки
р'Х = рХ (а, в), используя допущение о том, что в пределах изменения параметров а ив зависимость (5) может быть линеаризована. Для двумерной СВ (а, р'Х (а, в)) при введенных предположениях легко выписывается функция плотности распределения вероятностей: /(в, р) =-— 1
ßl -ßo Pl(ß) - Po(ß)
где
ро (в)= рХ (ао, в) и р1 (в)= РХ (аl, в) - нижнга и верхняя оценки для р'Х при заданном значении в. Далее для простоты записи в вероятностях дожития до следующего возраста р'Х (а, в) опустим переменную х.
Получив плотность распределения вероятностей, найдем математическое ожидание и дисперсию р Х :
ßi pi(ß)
M (pb) = J J p
dp
dß
ß0 p0(ß) pi(ß) - po(ß) ßi -ßo = ßpi(ß)+po(ß)•ß-ß=ßi paß) dß
ßo
2
ßi-ßo ßo
ßi -ßo
p(a, ßi) + p(a, ßo) 2
= p(a, ß).
Черта сверху означает усреднение по всему диапазону возможных значений параметра (здесь мы использовали введённое выше упрощающее допущение о возможности линеаризации зависимости р'Х (а, в)).
в1 Р1(в)
D(pb) = 'ГТ '(p -M(p))2
ßo po(ß)
dp
pi(ß) - po(ß)
dß =ß (pi(ß)-po(ß))2 • dß
ßi -ßo
ßo
i2
ßi -ßo
(7)
Для проведения дальнейших выкладок введём следующие обозначения:
Д = р1(в) - ро(в), До = р1(во) - ро (во),
Д = До + *(в-во), Д1 = МА) -ро(в1).
2 л 2
2 1.2
2
2 j2
2 ,.2
X
Тогда соотношение (7) можно представить в виде:
Ь) = в (Ас + к(в-во))2 ёв в0 12 в1 -во'
Сделаем замену переменных х = в - во.
йх
D( pb) = А-/°(Л 0 + ^
о
12
в -в°
1
12(в - во) 1
12(в1 -во) 1
в1-во d(Л° + kx)3
3 • k
(Л ° + kx)3
3k
в1 -во
о
А 3 А 3
А, - А0
збк(в -воУ 0
= (А; -А о)(А!2 -А^ о + А о2) = 36к(в] - во)
= (А!2 -^А о + А о2)
36 .
Окончательно получим:
, (А12 -А1А о + А о2)
V =-36-. (8)
Используя (4), (8) и решение задачи (3), окончательно получим формулу для оценивания вероятностей дожития комбинированным методом, предлагаемым в работе:
p(x) =
pb (x)(1 - р b (x))
• pd (x) +
(1 ^
РЬ (x)
(9)
pb (x)(1 - рЬ (x)) Q-b 2
то кривые дожития для отдельных районов получаются ступенчатыми из-за малочисленности населения отдельных районов (численность населения районов изменяется от 14 до 39 тыс., а население столицы составляет 116 тыс). Использование модели смертности Брасса приводит к тому, что получаются достаточно гладкие кривые дожития, но это сглаживание не всегда объективно отражает реальную ситуацию, так как в тех возрастах, где статистика смертности существенна, следует больше доверять прямым методам. Следовательно, возникает необходимость использования комбинированного подхода к построению показателей таблиц дожития для районов КЧР. Оценивание таблиц дожития для отдельных районов КЧР было проведено авторами впервые и стало возможным благодаря использованию предлагаемого в работе подхода.
Некоторые результаты проведённых расчетов приведены в табл. 1, 2. В табл. 1 даются оценки ожидаемой продолжительности жизни при рождении, в табл. 2 - стандартизованные индексы смертности.
Таблица 1
Ожидаемая продолжительность жизни при рождении по районам и городам КЧР в 1999 г.
На основе построенных оценок вероятностей дожития (9) можно получить оценки для функции дожития [ х и построить всю таблицу дожития традиционными методами [9].
Приложение комбинированного метода к оцениванию показателей дожития населения административно-территориальных единиц КЧР
Прелагаемый метод был апробирован на примере расчета показателей таблиц дожития для населения районов и городов Карачаево-Черкесской республики отдельно по мужскому и женскому населению по данным текущей статистики [1о].
Карачаево-Черкесская республика состоит из 1о административно-территориальных образований. Её население, согласно переписи 2оо2 г., составляет около 44о тыс. жителей. Общие коэффициенты смертности, полученные для районов республики, не могут служить объективной основой сравнительного анализа смертности, поскольку половозрастная структура районов различна. В частности, половозрастная структура районов преимущественного проживания карачаевцев отличается от таковой других районов из-за последствий депортации этого народа в 4о-е гг. Поэтому актуален расчёт показателей таблиц дожития, не подверженных влиянию половозрастной структуры населения. При этом, если использовать прямые методы,
Административная единица Ожидаемая продолжительность жизни при рождении
Оба пола Мужчины Женщины
Карачаево-Черкесия 66,5 61,6 73,4
г. Черкесск 65,7 6о,2 73,о
г. Карачаевск 57,9 52,3 65,5
Адыге-Хабльский р-н 65,6 59,5 73,3
Зеленчукский р-н 65,6 6о,5 72,о
Карачаевский р-н 64,4 55,9 79,6
Малокарачаевский р-н 68,1 63,8 74,2
Прикубанский р-н 67,5 63,4 71,4
Урупский р-н 64,1 59,6 69,2
Усть-Джегутинский р-н 7о,3 67,о 74,1
Хабезский р-н 66,1 6о,9 75,5
Таблица 2
Стандартизованные индексы смертности по районам и городам КЧР в 1999 г.
Административная единица Стандартизованный индекс смертности
Оба пола Мужчины Женщина:
Карачаево-Черкесия 1,оо 1,оо 1,оо
г. Черкесск о,96 о,96 о,94
г. Карачаевск о,99 о,99 о,97
Адыге-Хабльский р-н 1,о3 1,о1 1,о4
Зеленчукский р-н 1,12 1,13 1,12
Карачаевский р-н о,95 о,95 о,96
Малокарачаевский р-н о,92 о,93 о,93
Прикубанский р-н о,97 о,97 о,99
Урупский р-н 1,11 1,о8 1,14
Усть-Джегутинский р-н о,95 о,95 о,95
Хабезский р-н 1,о2 1,о3 1,о1
n
2
1
n
Заключение
В статье разработана теоретическая основа комбинированного метода оценивания показателей таблиц дожития, который сочетает в себе достоинства как прямых методов расчёта таблиц дожития, так и модели смертности Брасса. Для построения таблиц дожития используются оценки вероятностей дожития до следующего возраста, которые являются взвешенными средними оценок вероятностей дожить до следующего возраста, полученных прямым методом и по модели Брасса. Приведена методика расчёта оптимальных весовых коэффициентов комбинированного метода. В тех возрастных интервалах, где количество живущих и число умерших достаточно велико, оценки опираются на прямые методы, в других интервалах используется брассовская модель.
Предложенный подход апробирован авторами для КЧР. Рассчитаны таблицы дожития для всех районов и городов республики отдельно по мужскому и женскому населению.
При практическом использовании предлагаемого метода большое значение имеет оценивание статистических ошибок оцененных показателей дожития. Эта задача не может быть решена в рамках предложенных в работе моделей, однако эффективным оказывается использование методов имитационного моделирования [11].
Результаты работы могут быть использованы при анализе смертности в малых популяциях, сравнитель-
ных демографических исследованиях и демографическом прогнозировании.
Литература
1. Эдиев Д.М. // Математическое моделирование. 2003. Т. 15. № 12. С. 37-74.
2. Ediev D.M. // Demographic-macroeconomic modeling. Rostock, Germany, 2000.
3. Эдиев Д.М. // Электронный журнал «Исследовано в России», 2001. № 38. С. 382-407. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2001/038.pdf
4. Эдиев Д.М. Демографические потери депортированных народов СССР. Ставрополь, 2003.
5. Manual X. Indirect techniques for demographic estimation. N.Y., 1983.
6. Brass W. Methods for estimating fertility and mortality from limited and defective data. North Carolina, 1975.
7. Эдиев Д.М., Тебуев Дж. Б. // Новые технологии в управлении бизнесе и праве: Тр. IV Междунар. конф. Не-винномысск, 2004. С. 272-275.
8. Тебуев Дж. Б., Эдиев Д.М. // Мат. методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании: Сб. статей 13-й Междунар. науч.-практ. конф. Пенза, 2004. С. 91-93.
9. Введение в демографию / Под ред. В.А. Ионцева, А.А. Саградова. М., 2002.
10. Миграция и естественное движение населения Карачаево-Черкесской республики в 1999 г. (статистический бюллетень). Черкесск, 1999.
11. Эдиев Д.М., Тебуев Д. Б. // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы современного анализа и информатики. Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы Междунар. Российско-Казахского симп. Нальчик, 2004. С. 316-317.
Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия
30 июля 2004 г.
