CC BY
9
Полученные значения Бт хорошо согласуются с экспериментальными данными [1].
Литература
1. Зилитинкевич С.С. Динамика пограничного слоя атмосферы. Л., 1970.
2. Наац И.Э., Семенчин Е.А. Математическое моделирование динамики пограничного слоя атмосферы в задачах мониторинга окружающей среды. Ставрополь, 1995.
3. Тихонов В.И., МироновМ.А. Марковские процессы. М., 1976.
4. Семенчин Е.А., Кунижев С.М. // Успехи современного естествознания. 2004. № 9. С. 75-77.
Ставропольский государственный университет 21 февраля 2006 г.
УДК 519.8 (314)
О СПЕКТРАЛЬНЫХ И АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ ДИСКРЕТНЫХ ПОПУЛЯЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ОБЩЕГО ВИДА
© 2006 г. Д.М. Эдиев
Discrete population models of general type are concerned without assumption about non-negativity of the Leslie matrix. It is shown that latent roots of population projection matrix -except for Lotka's coefficient - are uniquely determined by the age pattern of demographic potentials and the mortality regimen. Relative values of latent roots are uniquely determined by expected future demographic potentials of newborns.
Введение
В классической дискретной популяционной модели динамика вектора возрастной структуры населения описывается с помощью следующего матричного соотношения:
п(/ + 1) = Ln(0.
(1)
(,
n (t ) =
h (t) (t)
Л
v nx
(t).
; L =
( F г 0 Fi . • Fx-i F Л rx
Po 0 0 0
0 P 0 0
0 0
Px
0
Здесь п(0 - вектор, компоненты которого есть численности отдельных возрастных групп; Ь - матрица воспроизводства (матрица Лесли); пх(0 -численность х-й возрастной группы в момент времени /; индекс «0» соответствует младшей, а «X» - старшей возрастным группам; Рх, х = 0, X -коэффициенты передвижки [1], равные вероятности перехода (дожития) из х-й возрастной группы в х + 1-ю группу к следующему моменту време-
ни (/ + 1); Ех, х = 0, X - возрастные коэффициенты рождаемости, скорректированные с учетом младенческой смертности.
Традиционный подход к исследованию асимптотических свойств дискретных популяционных моделей заключается в постулировании неотрицательности коэффициентов рождаемости и привлечении результатов теории неотрицательных матриц [1]. При этом, при довольно общих условиях, какой бы ни была начальная возрастная структура, асимптотически она сходится к стандартной возрастной структуре, определяемой только режимом воспроизводства. Население, обладающее асимптотической возрастной структурой, определяемой заданным режимом воспроизводства, получило название стабильного эквивалентного населения. Указанное выше свойство сходимости к стандартной возрастной структуре (свойство эргодичности) было исследовано в непрерывном случае Лоткой, Шарпом и Коулом, в дискретном - Лесли, Лопесом и Парлеттом. Доказательство и библиографию можно найти у Артура [2]. Примечательным в моделях передвижки оказалось так же и то, что в специально выбранной метрике можно гарантировать не только сходимость к стабильному населению, но и монотонную сходимость [3-7].
Принципиальным условием, использованным при выводе всех упомянутых асимптотических свойств популяционной модели, было предположение о неотрицательности матрицы Лесли. Однако уже в наиболее ранних работах по дискретным моделям воспроизводства населения [1, 8] отмечалась актуальность разработки моделей с неположительными коэффициентами первой строки матрицы Лесли. Отрицательными коэффициентами, в частности, обладают модели воспроизводства биологических популяций с «антирепродуктивным» поведением особей некоторых возрастных групп (уничтожение яиц и молодых особей и т.д.). К этому же способна привести конкуренция за ресурсы между новорожденными или их родителями и представителями других возрастных групп. Исследование популяционных моделей без ограничения неотрицательности матрицы Лесли становится актуальным также в связи с повсеместным переходом к низкой рождаемости, когда даже относительно небольшие по величине отрицательные коэффициенты матрицы Лесли могут привести к нарушению свойства эргодичности, что будет означать переход к совершенно новым реалиям нестабильности в теории и приложениях демографических моделей.
Асимптотические свойства популяционной модели (1) оказываются связанными со спектральными свойствами матрицы Лесли, а последние, в свою очередь, тесно связаны с особенностями возрастных коэффициентов демографического потенциала [9]. Обзору этих связей и посвящена настоящая работа.
Модель воспроизводства демографического потенциала
Исследование спектральных и асимптотических свойств популяцион-ной модели удобно вести, переформулировав ее как модель воспроизвод-
ства демографического потенциала [6]. Эта модель может быть сведена к виду (1), однако коэффициенты Ех, х = 0, X первой строки матрицы воспроизводства Ь получаются не на основе коэффициентов рождаемости, а рассчитываются исходя из заданного режима воспроизводства и структуры демографического потенциала. Пусть заданы возрастные коэффициенты Ух,х = 0, X репродуктивного потенциала и постулирован экспоненциальный закон его изменения
V )=Х^пх (Г )=Л'¥ (0), (2)
х=0
где X - коэффициент воспроизводства, являющийся аналогом коэффициента Лотки [1] и определяющий асимптотический темп прироста численности населения. Из (2) легко получить следующее соотношение, связывающее репродуктивный потенциал населения в моменты времени t и t + 1:
X X—1 X
V ( + 1) = 2 УхПх ( + 1) = V)П0 ( + 1) + X ^х+1 РхПх () =ЛУ () = 2 £ УхПх ().
х=0 х=0 х=0
X—1 ( V V ^
Отсюда легко видеть, что п0 (+1)= 2 2— — Рх-х+1 пх (), т.е. мо-
х=0 ^ v0 v0 )
дель воспроизводства демографического потенциала эквивалентна классической популяционной модели с коэффициентами рождаемости:
Ех = 2— — Px-Vx±L. (3)
v0 v0
Можно показать, что при должном выборе коэффициентов репродуктивного потенциала vx, х = 0,X величины (3) обращаются в обычные показатели Ех матрицы передвижки. Заметим при этом, что при постановке модели воспроизводства демографического потенциала неотрицательность коэффициентов (3) не предполагается.
Спектр матрицы воспроизводства и свойство эргодичности
Известно [1], что в классической модели коэффициент Лотки является единственным действительным положительным собственным значением матрицы Лесли, вектор возрастной структуры стабильного эквивалентного населения - ее правым собственным вектором, соответствующим этому собственному значению, а вектор повозрастных репродуктивных потенциалов Фишера - ее левым собственным вектором, соответствующим этому же собственному значению. Для матрицы воспроизводства в модели воспроизводства демографического потенциала коэффициент воспроизводства X является собственным числом, а соответствующими правым и левым собственными векторами являются вектор возрастной структуры стабильного эквивалентного населения п* и возрастных коэффициентов репродуктивного потенциала V.
Из теории матриц [10, с. 587-589 (лемма 8.2.7)] известно, что, если некоторое ненулевое собственное значение X матрицы Ь максимально по модулю среди всех собственных значений и является единственным собственным значением с таким модулем, то
t * T (л * T \
1 L т = п v
x ) n 1 v
1 L n v
VX n 1 v
n v
T
*T :
n 1 v
где V и п* - левый и правый собственные вектора матрицы, соответствующие упомянутому собственному значению. Отсюда следует, что, если верны указанные выше посылки, то
Пи) (1 v , ч п\т , , * Vтп(0)
-V- = ( — Ь 1 п(0)—-->—— п(0) = п* Л >, (4)
ц 1 п*тV W п*тV
т.е. асимптотически возрастная структура населения сходится к структуре стабильного эквивалентного населения. Иными словами, выполняется свойство эргодичности. Тогда имеет место
Теорема 1. Свойство эргодичности верно для линейной дискретной модели воспроизводства (1) тогда и только тогда, когда коэффициент воспроизводства (коэффициент Лотки) является максимальным по модулю собственным значением матрицы воспроизводства, а остальные собственные значения строго меньше по модулю истинного коэффициента воспроизводства.
Доказательство. Достаточность, очевидно, следует из (4). Для доказательства необходимости воспользуемся тем, что левые и правые собственные вектора матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Отсюда, в частности, следует, что структура стабильного эквивалентного населения ортогональна всем левым собственным векторам, соответствующим собственным значениям, отличным от истинного коэффициента воспроизводства. Значит, для всякого левого собственного вектора V®, соответствующего собственному значению отличному от истинного коэффициента воспроизводства X, должно выполняться следующее условие, если только верно эргодическое свойство
1 / ч *
(т.е. — п (г)-—->ап при некотором конечном а, зависящем от на-
2
чальной возрастной структуры населения):
± )т п (г)->а(к )т п* = 0. (5)
С другой стороны в силу (1) имеем:
г# )т
X v(k )T n (t )=X v(k )TL n (0 )= X v(k )T n (0).
XX ^
Тогда условие (5) будет верно тогда и только тогда, когда
i)
или V1-) ортогонально начальной возрастной структуре п(0). Таким образом, если существует собственное число, большее или равное по модулю, чем коэффициент воспроизводства, то сходимость к структуре стабильного эквивалентного населения будет наблюдаться только при начальной возрастной структуре, ортогональной левому собственному вектору, соответствующему указанному собственному значению. Между тем в сколь угодно малой окрестности структуры стабильного эквивалентного населения можно найти структуры, не ортогональные указанному левому собственному вектору, т.е. свойство эргодичности не будет наблюдаться в сколько-нибудь широком множестве начальных возрастных структур, если только истинный коэффициент воспроизводства не будет максимальным по модулю (и притом единственным с таким модулем) собственным значением матрицы воспроизводства. Теорема доказана.
Спектр матрицы воспроизводства и возрастные коэффициенты демографического потенциала
Собственным числам матрицы воспроизводства, отличным от истинного коэффициента воспроизводства, соответствуют собственные вектора, отличные, вообще говоря, от векторов возрастной структуры стабильного населения и демографического потенциала. Для того чтобы исследовать эти собственные числа и вектора, выпишем вековое уравнение для матрицы воспроизводства:
det (L -mI ) = det
' F - M Fi . . Fx-i F л rx
P0 -M 0 0
det 0 Pi 0 0
.. -M
, 0 0 Px-1
= 0, т.е.
I LxFxM-x = LoM,
x=0
(6)
где Ьх = ЬоРоР\ -Рх-1,х = 0, X - числа живущих таблицы дожития, отношение которых соответствует вероятности перехода (дожития) из одной возрастной группы в другую. Подставив в (6) выражения (3) для ¥х, получим
X
I Lx
x=0
v
| - Px
x+1
M x = LoM,
X - X _
1 I LxVxM~x _ I Lx+1Vx+M
x=0 x= 0
= l0 vom,
X _ X _
л X х _МХ £хухм~х _/лЬоУо = О,
х=0 х=1
(1_И)Х1хУхИ-х = О,
х=0
т.е. коэффициент воспроизводства X действительно является одним из корней векового уравнения, а остальные собственные числа получаются как решения уравнения
ХЬхУхМ-х = 0. (7)
х=0
Отсюда видно, в частности, что при неотрицательных демографических потенциалах ух, не равных тождественно нулю в возрастах с ненулевой численностью стационарного населения Ьх, истинный коэффициент воспроизводства является единственным положительным собственным значением матрицы воспроизводства. Остальные собственные значения или отрицательны, или могут быть разбиты на комплексно сопряженные пары. Заметим, что указанная ситуация может сложиться и при отрицательных коэффициентах в матрице воспроизводства.
Круг инстабильности модели воспроизводства демографического потенциала
Из полученных выше результатов следует
Теорема 2. (О круге инстабильности модели воспроизводства демографического потенциала). Пусть заданы возрастные коэффициенты
ух, х = 0, X репродуктивного потенциала и числа живущих Ьх, х = 0, X.
Тогда существует круг л = {ä : |ä| < ämin },
такой, что режим воспроизвод-
ства с указанными выше показателями обладает свойством эргодичности тогда и только тогда, когда истинный коэффициент воспроизводства не принадлежит этому кругу. Указанный круг будем называть кругом инстабильности, а его радиус - радиусом инстабильности.
Доказательство. Как видно из (7), решения векового уравнения (6), отличные от истинного коэффициента воспроизводства, однозначно определяются режимом смертности, т.е. показателями Ьх, х = 0, X , и возрас-
тными коэффициентами репродуктивного потенциала Ух,х = 0.x , и не зависят явно от величины истинного коэффициента воспроизводства.
Пусть = тшх |ц|: X ^хУхц_х = 0> - максимальное значение моду-
I х=0 ]
ля решений (7), т.е. собственных значений матрицы воспроизводства, отличных от истинного коэффициента воспроизводства. Тогда, в силу теоремы 1, свойство эргодичности будет верно тогда и только тогда, когда ис-
тинный коэффициент воспроизводства лежит вне круга Л = |: || < lmin }.
Теорема доказана.
Замечание 1. Из теоремы следует важный вывод, - какова бы ни была структура демографического потенциала, при определенных величинах истинного коэффициента воспроизводства свойство эргодичности будет наблюдаться. В частности, свойством эргодичности могут обладать модели с отрицательными элементами в первой строке матрицы воспроизводства и даже отрицательными значениями демографических потенциалов -такие модели не были исследованы в литературе, и к ним не применимы полученные ранее результаты по эргодичности.
Замечание 2. Из теоремы следует, что если при некотором значении истинного коэффициента воспроизводства модель обладает свойством эргодичности, то она обладает этим свойством и при всех больших по модулю коэффициентах воспроизводства.
В качестве примера рассмотрим модели воспроизводства, основанные на возрастной структуре репродуктивных потенциалов и показателей смертности женского населения США 1991 г. (эти величины были использованы автором в ряде работ) [9]. Коэффициент воспроизводства оказывается равным 0,01 %, что соответствует суженному воспроизводству населения. Следующее по модулю после истинного коэффициента воспроизводства собственное число равно 0,9624, т.е. при заданной структуре потенциалов и смертности эргодичность будет сохраняться тогда и только тогда, когда истинный темп воспроизводства будет больше, чем 3,76 % в год. Заметим, что пара комплексных собственных чисел с указанным модулем соответствует затухающим колебаниям с периодом 28 лет, т.е. так называемым демографическим волнам. При истинных коэффициентах воспроизводства - 3,76 % в год и менее эти волны будут нарастать, что приведет к нарушению свойства эргодичности. Автором были так же проведены расчеты спектра для случая, когда для построения модели воспроизводства населения США в указанном году вместо репродуктивных потенциалов Фишера была задана другая структура демографического потенциала - численность возрастной группы 0-30 лет (коэффициент воспроизводства был выбран равным единице). Такой выбор связан с тем, что указанная величина рассматривалась в ряде работ [11-15] как определяющая асимптотическую динамику численности населения, что эквивалентно выбору ее в качестве демографического потенциала. Расчеты по прогнозированию численности населения с использованием соответствующей модели воспроизводства показали, что при коэффициентах воспроизводства меньше единицы результаты оказываются неустойчивыми [13]. Результаты расчета спектра модели [9] дают объяснение этой неустойчивости - радиус инстабильности модели оказывается равным 0 %, т.е. даже модель с простым нерасширенным воспроизводством населения не обладает свойством эргодичности. В то же время это указывает на то, что модели, основанные
на динамике численности сегмента 0-30 лет, могут быть полезны при исследовании быстрорастущих населений.
При исследовании асимптотики популяционных моделей оказывается полезным обращение к величинам ожидаемых будущих потенциалов младенца по достижении им различных возрастов, приведенных к значению потенциала младенца при рождении [5-7, 9] :
def v L x
VxLxA (a\
ux =-;— ■ (8)
v0 L0
В частности, оказывается, что именно этими величинами определяется однозначно, обладает ли популяционная модель свойством эргодичности, что следует из теоремы 1 и следующей теоремы.
Теорема 3. Соотношения между собственными значениями матрицы воспроизводства однозначно определяются ожидаемыми будущими потенциалами младенца ux, x = 0, X, а всякое собственное значение, кроме истинного коэффициента воспроизводства, удовлетворяет соотношению:
xiUx (С= (9)
где X - истинный коэффициент воспроизводства; ^ - произвольное собственное значение матрицы воспроизводства, отличное от истинного коэффициента X.
Доказательство. Первое утверждение теоремы следует из (9), поэтому остановимся на выводе этого тождества. Для этого перепишем уравнение (7) через ожидаемые будущие потенциалы младенца (8):
0 = Е LxVxV x = | Uxlxv0L^-x = V0L0 f Ux
x =0 x=0 x=0
Отсюда с очевидностью следует (9). Теорема доказана.
Замечание. Выражения типа (7), (9) могут быть выписаны и для других собственных значений и векторов, т.е. величина любого собственного числа и структура соответствующего собственного вектора, вместе с режимом смертности, однозначно определяют показатели первой строки матрицы воспроизводства и все собственные значения и вектора этой матрицы.
Для исследования свойства эргодичности полезна следующая теорема, которая является непосредственным следствием теорем 1 и 3.
Теорема 4. (Об условии эргодичности популяционной модели) Дискретная популяционная модель обладает эргодическим свойством тогда и
X _
только тогда, когда все корни Ç уравнения f uxÇ~x = 0 по модулю строго
г-^
x=0
меньше единицы.
Замечание. Теоремы 2, 4 дают удобный способ подбора подходящих (в смысле обеспечения эргодичности) демографических потенциалов, основанный на их расчете исходя из их, х = 0, X, режима смертности и наименьшего возможного значения истинного коэффициента воспроизводства. Рассмотрим это на примере. Как было отмечено выше, предложенная в работах американских демографов аппроксимация репродуктивного потенциала населения его численностью в возрасте моложе 30 лет оказывается неподходящей при анализе депопулирующего населения, поскольку приводит к асимптотически неустойчивым моделям. В то же время такая аппроксимация приемлема для анализа растущего населения, что и было проиллюстрировано в упомянутых работах американских исследователей. Ей соответствует выбор возрастных коэффициентов репродуктивного по-Г1, х < 30
тенциала: V = -
х [0, х > 30
Рассматривая для простоты население, в котором смертность сосредоточена в возрасте старше 30 лет, а коэффициент воспроизводства составляет 1,01 (что соответствует примерно 1%-му росту численности населения за год), легко видеть из (8), что соответствующей популяционной модели отвечают следующие значения ожидаемых будущих потенциалов младенца:
Г1,01-х, х < 30, /1АЧ
их =<! (10)
[0,х > 30.
Этот набор потенциалов по построению соответствует популяционной модели, обладающей свойством эргодичности. Пусть теперь необходимо так скорректировать аппроксимацию репродуктивного потенциала, чтобы она была приемлема для анализа сокращающегося населения. Положим, что рассматривается население, которое может депопулировать с асимптотическим темпом 3 % в год или менее, т.е. для этого населения истинный коэффициент воспроизводства X составляет 0,97 или выше. Опираясь на структуру потенциалов (10), гарантирующую, по теореме 3, свойство эргодичности, и на соотношение (8), можно предложить следующую аппроксимацию возрастных коэффициентов репродуктивного потенциала, положив X = 0,97:
'0,97х -1,0Гх,х < 30, = Г0,96х,х < 30, (П)
0,х > 30. [0, х > 30.
Соответствующая модель воспроизводства демографического потенциала будет обладать эргодическим свойством, а по теореме 2 этим свойством будут обладать и все модели при X = 0,97, поскольку при фиксированных значениях репродуктивных потенциалов (11) круг инстабильности будет одним и тем же.
Заключение
На основе представления популяционной модели в форме модели воспроизводства демографического потенциала нам удалось получить ряд общих результатов по спектральным и асимптотическим свойствам дискретных популяционных моделей, не предполагающих неотрицательности матрицы Лесли. Как следует из полученных результатов, класс популяционных моделей, обладающих эргодическим свойством, гораздо шире класса классических моделей и включает в себя не только модели с отрицательными коэффициентами в матрице Лесли, но и даже модели с отрицательными значениями возрастных коэффициентов демографического потенциала. Учитывая теоретическую и практическую значимость таких моделей, представляется важной проблема разработки критериев эргодичности популяционных моделей, не опирающихся на классическое предположение неотрицательности матрицы Лесли. Теоремы 2 и 4 представляют собой важные результаты такого типа и позволяют выделить целые классы популяционных моделей, обладающих эргодическим свойством и не обладающих им, а так же указывают обоснованные способы выбора параметров популяционной модели, гарантирующих ее асимптотическую устойчивость.
Автор благодарен академику А. А. Петрову и участникам семинара отдела «Математическое моделирование экономических систем» ВЦ РАН за полезное обсуждение результатов работы.
Работа выполнена в рамках проекта № 05-06-80432, финансируемого РФФИ.
Литература
1. Leslie P.H. // Biometrika. 1945. Vol. 35. P. 183-212.
2. Arthur W.B. // Demography. 1982. № 19. P. 439-445.
3. Schoen R, Kim Y.J. // Demography. 1991. № 28. P. 455-466.
4. Рубинов А.М., Чистякова Н.Е. Возрастная структура и потенциал роста населения // Демографические процессы и их закономерности / Под. ред. А.Г. Волкова. М., 1986. С. 38-52.
5. Ediev D.M. // Demographic Research. 2003. Vol. 8. № 2. P. 31-60 // http://www.demo-graphic-research.org/volumes/vol8/2/8-2.pdf
6. ЭдиевД.М. // Математическое моделирование. 2003. Т. 15. № 12. С. 37-74.
7. Эдиев Д.М. // Вопросы статистики. 2004. № 10. С. 16-27.
8. Chapman R.N. // Proc. Hawaii Ent. Soc. 1933. Vol. 8. № 2. P. 279-292.
9. Эдиев Д.М. // Исследовано в России. 2002. № 74. С. 815-823. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/074е.pdf
10. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ / Пер. с англ. М., 1989.
11. Preston S.H., Coale A.J. // Population Index. 1982. № 48. P. 215-259.
12. Kim Y.J., Schoen R. // Demography. 1997. № 34. P. 421-427.
13. Kim Y.J., Schoen R. SarmaP.S. // Demography. 1991. № 28. P. 159-173.
14. Wachter K.W. // Population Studies. 1988. № 42. P. 487-494.
15. Ediev D.M. // Demographic Research. 2001. Vol. 4. № 9. P. 289-336. http://www.demo-graphic-research.org/volumes/vol4/9/4-9.pdf
Карачаево- Черкесская государственная технологическая академия 15 марта 2006 г.
