О выборе стандартной таблицы дожития в модели Брасса при оценивании показателей дожития малочисленного населения Текст научной статьи по специальности «Математика»

О выборе стандартной таблицы дожития в модели Брасса при оценивании показателей дожития малочисленного населения

Эдиев Д.М., Тебуев Дж.Б. ((.Цата! teb@mail.ru) Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия

Работа выполнена в рамках проекта РФФИ № 05-06-80432 «Разработка математических моделей и методов оценивания показателей воспроизводства малочисленного населения»

Введение

При построении таблиц дожития для малочисленного населения перспективно использование модели смертности У. Брасса [1, 2] (логит-система), рекомендованная ООН для косвенного демографического анализа [3, 4]. Эта модель смертности является двухпараметрической, и поэтому, даже при малом объёме исходных данных (поло-возрастной состав и статистика смертности) можно легко вычислить искомые параметры модели.

Если характер вымирания исследуемого населения сильно отличается от характера вымирания «стандартного» населения, то использование логит-системы может привести к большим искажениям при оценке параметров дожития исследуемого населения. Поэтому при применении логит-системы важен адекватный выбор стандарта. Использование «африканского» стандарта, предложенного Брассом, а также «общего» стандарта, предложенного ООН не позволяет получить всего многообразия таблиц дожития. В настоящей работе предлагается при выборе стандарта, рассматривать не только «африканский» и «общий» стандарты, но и региональные модельные таблицы дожития Коула-Демени [5]. В некоторых

ситуациях можно также использовать в качестве стандарта таблицы дожития региона, на территории которого проживает исследуемое население.

1. Вычисление параметров модели Брасса

У. Брасс попытался математически соотнести две различные таблицы дожития, и обнаружил, что при определённом изменении вероятностей дожить до следующего возраста, зависимость между соответствующими изменёнными вероятностями различных таблиц близка к линейной.

1п

' Л ^

1 - р.

= 2а + 2в-1п

X У

1 - РХ У

(1)

где рх, рХ - вероятности дожить от рождения до возраста х в исследуемом и стандартном населениях, а ив - параметры модели, отражающие отличия между исследуемым и стандартным населением в уровне и структуре смертности. Параметры а и в можно вычислить в рамках метода наименьших квадратов [2]:

а = 1 I Л(Рх) • I (Л(рХ ))2 -I Л(рХ ) • X Л(рХ ) Л(рХ )

а ^ л-1(Л(рХ))2 -(IЛ(рХ))2

в =

1 л-хл( рХ )Л(рх) -1Л( рХ )• 1Л(рх)

п

I (Л( рХ ))2 - (ХЛ( РХ ))2

(2)

(3)

где Л( рх) = 1п

' рх >

1 - р.

и Л( рХ ) = 1п

' рХ! ^

X У

1-р

логит-преобразование вероятностей

ху

дожить до возраста х лет, п - количество возрастных интервалов. В выражениях (2) и (3) суммирование ведётся по всем возрастным интервалам.

2

2. Выбор стандартной таблицы дожития в модели Брасса

Из выражения (1) следует, что, имея стандартную таблицу дожития, можно получить любую другую таблицу дожития путём подбора

коэффициентов а и в. Это утверждение не совсем верно, т.к. зависимость между двумя таблицами близка к линейной, но не линейна. Поэтому при построении таблиц дожития с помощью логит-системы важен выбор адекватного стандарта. При помощи «африканского» стандарта, предложенного У. Брассом, и «общего» стандарта, предложенного ООН, не представляется возможным получить всего многообразия существующих таблиц дожития.

Чтобы увеличить диапазон применимости логит-системы в данной работе предлагается при выборе стандарта рассматривать не только «африканский» и «общий» стандарты, а также и региональные модельные таблицы дожития Коула-Демени. Модельные таблицы Коула-Демени разделены на 4 большие группы: «север», «юг», «запад», «восток». Каждая из этих групп отражает различные типы режимов вымирания и имеет 25 уровней. В некоторых случаях в качестве стандарта можно выбрать таблицы дожития региона, на территории которого проживает исследуемое население. Например, при выборе стандарта для отдельного района Карачаево-Черкесской республики, в рассмотрение можно включить таблицу дожития для республики целиком или таблицу дожития для Российской Федерации, которые можно получить традиционными методами.

Для выбора наиболее подходящего стандарта из вышеперечисленных таблиц предлагается использовать следующий подход.

На первом этапе, используя формулы (2) и (3), необходимо вычислить наборы (а,, в) (I = 1, т), где т - количество таблиц дожития, из которых выбирается стандарт. Далее, для каждой пары (аг, в) вычисляется сумма квадратов отклонений:

5, = £((2а, + 2в-Л(Р-))-Я(р]))2 . (4)

}=1

В качестве стандарта разумно выбрать ту таблицу дожития, которая соответствует минимальной ошибке 51.

Данный подход позволяет проводить сравнительный анализ применимости в качестве стандарта различных таблиц дожития, а также осуществлять обоснованный выбор стандарта при использовании логит-системы

3. Приложение к оцениванию таблиц дожития для населения административно-территориальных единиц КЧР

Прелагаемый метод был апробирован на примере расчета показателей таблиц дожития для населения районов и городов Карачаево-Черкесской республики отдельно по мужскому и женскому населению по данным текущей статистики [6]. Выбор стандарта осуществлялся из региональных модельных таблиц Коула и Демени, «африканского» и «общего» стандартов, таблицы дожития для КЧР.

Результаты выбора стандарта для всех административно-территориальных единиц КЧР приведены в таблице 1

Таблица 1

Результаты оценивания показателей дожития для населения районов и городов КЧР при различном выборе стандартной таблицы дожития в 1999 г.

Сумма Ожидаемая

Население Стандарт квадратов прод-сть

остатков жизни при

(4) рождении

Карачаево-Черкесия станд. ООН 0,067 65,98

оптим.: запад 19 0,036 66,16

г. Черкесск Станд. ООН 0,096 66,00

т.д. КЧР 0,061 65,73

оптим.: запад 19 0,077 66,14

г. Карачаевск Станд. ООН 0,083 57,6

т.д. КЧР 0,078 57,43

оптим.: юг 20 0,043 56,29

Адыге-Хабльский р-н Станд. ООН 0,186 65,43

т.д. КЧР 0,174 65,16

оптим.: запад 13 0,165 65,69

Зеленчукский р-н Станд. ООН 0,05 65,5

т.д. КЧР 0,037 65,21

оптим.: запад 19 0,056 65,73

Карачаевский р-н Станд. ООН 0,135 64,99

т.д. КЧР 0,103 64,61

оптим.: север 25 0,022 66,7

Малокарачаевский р-н Станд. ООН 0,313 68,02

т.д. КЧР 0,328 67,79

оптим.: запад 7 0,232 68,14

Прикубанский р-н Станд. ООН 0,621 67,19

т.д. КЧР 0,590 66,99

оптим.: запад 13 0,542 67,47

Урупский р-н Станд. ООН 0,184 63,98

т.д. КЧР 0,246 63,79

оптим.: север 15 0,031 64,41

Усть-Джегутинский р-н Станд. ООН 0,217 67,99

т.д. КЧР 0,148 67,63

оптим.: север 25 0,036 69,25

Хабезский р-н Станд. ООН 0,373 65,95

т.д. КЧР 0,299 65,71

оптим.: запад 13 0,340 66,22

Из таблицы 1 видно, что для всех районов и городов КЧР, в качестве стандартной таблицы использовать стандарт ООН не целесообразно, т.к. сумма квадратов остатков (4) при его использовании всегда выше, чем при использовании таблиц Коула-Демени. В г. Черкесске, в Зеленчукском и Хабезском районах сумма квадратов остатков оказалась минимальной при

использовании в качестве стандарта таблицы дожития КЧР. По этой причине оптимальным стандартом для выше перечисленных районов является таблица дожития КЧР, построенная традиционными методами. В остальных административно-территориальных единицах республики оптимальными стандартами являются таблицы Коула-Демени. В большинстве случаев стандартными таблицами дожития выбираются таблицы «западной» и «северной» групп. Исключением является таблица дожития г. Карачаевска, при построении которой оптимальной оказалась таблица Коула-Демени «южной» группы. Это можно объяснить наблюдаемой только в г. Карачаевске высокой младенческой и детской смертностью в анализируемый год. При оценивании таблицы дожития КЧР в целом оптимальным стандартом оказалась модельная таблица Коула-Демени «западной» группы, уровень 19.

Заключение

В данной работе при построении таблиц дожития для малочисленного населения предложено использовать региональные модельные таблицы Коула-Демени, а также таблицы дожития региона, на территории которого проживает исследуемое население. Выбор стандартной таблицы дожития в конкретном случае предлагается производить на основе минимизации суммы квадратов остатков (4). Предлагаемый подход проиллюстрирован на примере применения к оцениванию таблиц дожития районов и городов КЧР.

Анализ результатов указывает на то, что стандарт ООН оказался не оптимальным стандартом. При оценке таблиц дожития для городов и районов КЧР по модели Брасса, сумма квадратов остатков (4) всегда меньше при выборе в качестве стандарта таблицы дожития для КЧР, полученной традиционными методами, нежели при выборе «общего» стандарта ООН. Таким образом, при практическом приложении модели Брасса к оцениванию

таблиц дожития малочисленного населения следует внимательно подойти к проблеме выбора стандартной таблицы дожития, которую, в частности, можно решить предлагаемыми в работе методами.

Литература

1. Эдиев Д.М., Тебуев Дж. Б. // Труды IV международной конференции «Новые технологии в управлении бизнесе и праве». Невинномысск, 2004, с 272-275.

2. Тебуев Дж. Б, Эдиев Д.М. // Сборник статей XIII Международной научно-практической конференции «Математические методы и информационные технологии в экономике, социологии и образовании». Пенза, 2004. с 91-93.

3. OOH. Manual X. Indirect techniques for demographic estimation. N.Y.: UN, 1983.

4. Brass W. Methods for estimating fertility and mortality from limited and defective data. University of North Carolina, 1975.

5. Anslay J. Coale and Paul Demeny. Regional Model Life Table Stable Populations. Princeton, New Jersey, Princeton University, 1966

6. Миграция и естественное движение населения Карачаево-Черкесской республики в 1999 г. (статистический бюллетень). Центр информационно статистических услуг государственного комитета КЧР по статистике. Черкесск, 1999.