CC BY
33
Таблица Таблица заявок
Пользователей сіаіа гауау
косі^осігагсі ■* ► к;о<і_ро(Згаг(і
паэт ап_р о сіптаї іеаііг +/-
ґаіпіііуа data геаііг
ітуа Тір гауаукі
ОІСІІ 2ауа\'ка
Іеіеґ ЕСР
когрш
нот апгіії
рагої
Іо^і
е-іпаіі
йкг кіуиск
Рис.4 Структура таблиц пользователей и заявок
В работе описана возможность применения электронно-цифровой подписи для организации безбумажного документооборота с обеспечением целостности в рамках одной из подсистем, используемых в КЧГТА. Подходы, изложенные в работе, могут найти разнообразное практическое применение.
УДК 519 А.А. Узденов, А.М. Кочкаров
Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия ЭФФЕКТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ р -ЦЕНТРОВ В
.
1. Р-центры
В данной работе впервые рассматривается известная задача о р -центрах [1] в новой постановке на предфрактальных и фрактальных графах которая является математической моделью задач размещения центров обслуживания, баз, станций и т.д. Пусть дан взвешенный предфрактальный [2] (п, Ь)-граф 01 = (¥1, Е1) ,
I = 1, Ь с затравкой Н = (Ж, Q), где Н - регулярный граф, степень каждой вершины ^ которой равна 5, |Ж| = п .
Взвешивание рёбер определяется по принципу, где каждому ребру , ¡, ] = 1, п , в1 е Н1 = (Ж1, Q1) = Н = (Ж, Q) , первого ранга приписываем вес , а^ е [а, Ъ\, а, Ь е Я +; ребрам е?, е2 е Н2 = (Ж2, Q2 ), ^ = 1, п, второго ранга, затравок Н2 = (Ж2^2), приписываем веса а{}2, а^2 е [ка,кЪ\ , рав-
ные соответствующим весам ребер в1 е Н1 = (Ж1, Q1) первого ранга затравок Н1 = (Ж,Ql), умноженных на коэффициент масштабирования к , 0 < к < 1, [3]; ребрам в3 , е3 е Н3” = (Ж3, Qз), т = 1, п2, третьего ранга, затравок
3 з I 2 2 I 3 2
Нт = (Ж3, Q3), соответствуют веса а- , а- е [к а, к Ь\, т.е. а- = к а-, рав-
2 /
ные соответствующим весам ребер в- е Н2 = (Ж2, Q2 ) второго ранга затравок
Н2 = (Ж2, Q2 ) , умноженных на к . Ребрам I -го ранга в] ,
в- е Нгг = (Ж, Ql), I, ] = 1, п , г = 1, п1 -1 , затравок Нгг = (Ж1, Ql), припи-
11,1-1
сываем веса а- , а- = к а-, равные соответствующим весам ребер
— е Нм = (Ж1 -1, <2/-1) (/ -1) -го ранга затравок = (Ж\-1, Ql-1) , умноженных на к , где \ = (1, Ь), г = 1, п1 1 , \ - номер рангов.
Пусть X - подмножество множества V вершин предфрактального (п, Ь) -
графа 01 = (V, Е1), I = (1, Ь). Через ё(X, ) будем обозначать наикратчайшее
из расстояний между вершинами множества X и вершиной , т.е. ё(х,) = шт[ё(у.,)\. Пусть 5(х) = тах[ё(х,у])\ - число разделения У]еХ У]еХ
множества X . Множество X, для которого 5(X) = ттк(х)\, называется р -
Х<=^
центром [1] предфрактального (п, Ь) -графа 01 = (У1, Е1). На множестве X определим векторно-целевую функцию (ВЦФ):
Р(Х) = {Р(х) = (Р1(X), Р2 (X), Р3 (х))} , С1)
где
Р (х) = [(X)\ шт, (2)
Р2 (х) = £ а\] ^ шт, (3)
р\ ^
Р3 (х) = |Х ^ шт, (4)
где р1 (х) - р\ -центр, (х) - суммарный мини мальный вес рёбер, участвующих
в р -центрах, Р, (х) - мощность множества х .
Пусть р1\ -центр [2, 5] затравки 1-то ранга - р -центр [1] \-го ранга. р1 -центр затравки 1-го ранга - р1 -центр [8, 9] предфрактального (п, Ь)-фафа
0\ = (V/, Е/) . Недостающие определения графов можно найти в [1 - 4], а недос-
тающие определения предфрактальных и фрактальных графов можно найти в [5-9].
(2) - (4) - (1) -
жательную интерпретацию в задаче о р -центре.
Веса, приписанные рёбрам предфрактального графа 0Ь (критерий (3)), мо-
( , ),
( , , , ),
, .
На практике 5(х) = тах[ё(х, V- )\ (число разделения) может означать, на-У]еХ
пример, расстояние от самого далёкого потребителя (дома, квартала, организации) до системы служб (аварийные, пожарные депо, милицейские участки, больницы, Единая Служба Спасения). Наша задача состоит в нахождении р -центров предфрактального
графа 0Ь для р = 1, 2, 3, ... и т. д. до тех пор, пока число разделения не станет . (2). р - (4) -
аварийных служб (или других служб), а р -центр — их оптимальным размещени-
, .
Для решения этой задачи предложен эффективный алгоритм а с оценками.
2. Алгоритм а определения абсолютных р -центров
Рассмотрим по очереди каждую вершину е Ж затравки Н = (Ж, Q)
и “углубимся” по всем возможным маршрутам, выходящим из нее, на расстояние
8- = , где Л — заданная константа, которую мы будем называть константой
т-
“ ”.
Пусть Qл (^) — множество всех точек х на затравке Н , из которых вершина , достижима в пределах расстояния 8- при заданном значении Л [1]
Qл К-) = {х\т-ё(у, {) < Л, х - точка затравки Н}.
Определим множество X как множество таких точек х на затравке Н , что из каждой точки х достижимо в пределах расстояния 81, (при заданном Л) одно и то же множество вершин затравки Н . Область может быть, например, частью ребра или может содержать только одну точку.
2.1. Алгоритм а.
Вначале алгоритм а определяет абсолютный р -центр затравок
Нг = (Ж/, Ql) на I -ранге, \ = 1, Ь . Построение абсолютного р -центра затравки Н = (Ж, Q) на / -ранге при заданном р [1] выглядит следующим образом.
Шаг 1. Пронумеруем все затравки к = 1, т .
Шаг 2. Рассмотрим затравку к = 1.
Шаг 3. Положить Л = 0 .
Шаг 4. Увеличить Л на небольшую величину АЛ.
Шаг 5. Построить множества QЛ (w\) для всех ж-, ж- еЖп и найти множество X
°Л (^) = {1\т\ё(х, ) < Л, х е Н }.
В общем случае множество X можно следующим образом построить из достижимых множеств Qл (ж-). Области, из которых не достижимы никакие верши-
3
,
X1 ={х|хе Н}-иОЛ("\),
-
Н , 1
хотя бы одну вершину ж\. Области, из которых можно достигнуть1 ровно / в ер-
шин '№/ , '№/. , '№/. ,..., '№/. (дая любого / = 1,2,3,...,п), определяются следующим -1 -2 -3 Ч
выражением:
х1 (^"1,wlІ2,wlIз,...,н-') = I 0:\о1)-<
я=(и)
I вя (wг/)
.9-(1,0
п
и вЯ ^)
д-(ґ+1,^)
где второй член исключает такие области, из которых достижимы вершины , ж1 ,..., ж\ и еще хотя бы одна из оставшихся вершин затравки.
Шаг 6. Образовать двудольную затравку Н = (Ж и Ж, Q ), где Ж — множество вершин, каждая из которых соответствует некоторой области Рр и Q — множество рёбер, такое, что ребро между областью-вершиной и вершиной существует тогда и только тогда, когда может быть достигнута из этой области.
Шаг 7. Найти наименьшее доминирующее множество затравки
Н = (Ж'и Ж, Q ).
Шаг 8. Если число областей в приведенном выше множестве больше, чем р , 2; . р - Н .
На первой затравке получим оптимальный абсолютный р -центр [1]. На всех
к = 2, т р - -
. р - , -
ный р -центр /-го ранга, т.е. абсолютный р\ -центр.
Шаг 9. Стянем затравки /-го ранга в вершины [6], т.е. заменим вершины затравки одной вершиной ж- -1 и все рёбра, инцидентные вершинам затравки, будут
инцидентны вершине , тогда получим предфрактальный ^ / ^-граф. Пере-1.
1 Достижимость берётся “в пределах заданного расстояния 8-
Поиск абсолютного р -центра для предфрактального (п, / -1)-графа аналогичен. Получим абсолютный р -центр (/ -1) -го ранга, т.е. абсолютный р/-1 -центр. Продолжим процесс до /=1 и получим предфрактальныий (п, 1) -граф с абсолютным р^центром. Этот р ¡—центр является абсолютным р -центром для всего фрактального графа.
Обоснованием данного алгоритма являются следующие
Теорема 1. Алгоритм а выделяет абсолютный р- -центр, -=1, ^ , на пред-фрактальном (п, /) -графе О/ = (V/, Е1), / = (1, Ь), с затравкой регулярной степени, где к < —, оптимальный по ^ (х) с оценками ^ (х) < 2Ь 1 • кЬ 1 • а ,
Ь
^3(х) < р. Причём трудоёмкость алгоритма а равна т(а) = 0(N • п2), где
N = V.
2
Доказательство.^горитм а потребует выполнения 0(п ) операций на
пЬ -12 2
каждой затравке. Тогда, Т(а) = 0(-----------п ) = 0^ • п ). В силу коэффици-
п -1
ента к < — в процессе своей работы алгоритм а просматривает рёбра е- е Ег в Ь
порядке возрастания их ранга, причём не переходит к следующему рангу до тех , . исключается избыточное присутствие рёбер старшего ранга. Поэтому а выделяет
на предфрактальном (п, /)-графе О1 = (V/, Е/), / = (1, Ь), р -центр оптимальный по критерию ^1(х). Так как в выделении р -центра участвуют 2Ь 1 рёбер, то
, р -
2Ь 1 • кЬ 1 • а , то есть ^2 (х) < 2Ь 1 • кЬ 1 • а . Естественно, верхней оценкой критерия ^3 (х) будет р .
Следствие 1. Алгоритм а выделяет абсолютный рі -центр, і= 1, ^ , на пред-
а
фрактальном (п, /) -графе О/ = (V/, Ег), / = (1, Ь), где к < —, оптимальный по
Ь
пЬ-1 • кЬ-1 • Ь
ад СО*™, ЗД <----------------2------, < р • - “»
п - . а
т(а) = 0( N • п2), где N = .
Теорема 2. р--центр предфрактального (п, Ь) -графа О/ = (V/, Е1) равен р\ = {у/,п тг-ё(у-,п, Угг,п) < 2Ь-1 • кЬ-1 • а}, / = (1, Ь), - = (1, п), п - номер затравки, если затравка - регулярный граф.
. (п, Ь) -
О/ = (V/, Е1) с затравкой - полный двудольный граф. Коэффициент масштабирования к < 1. Причём веса рёбер / -го ранга равны соответствующим весам ребер (/ -1) -го ранга, умноженных на коэффициент масштабирования к, где / = 1,2,3,...Ь.
Пусть старые рёбра не пересекаются, тогда на каждом ранге получим сле-
/
дующие оценки р- -центра.
На первом ранге р- -центром является
= {у-п т-ё(у1 п,у)ц) < 20 • к0 • а}, - = (1,п), п - номер затравки. На втором
2 2 <^ 2 I 22 1 1 I
ранге р1 -центром является р1 = |у т-ё(у, ^, '^¡ц) < 2 • к • а|, - = (1, п).
3
Г] - номер затравки. На третьем ранге pi -центром является
т-ё(у3п, ) < 23 • к2 • а}, - = (1, п), п - номер затравки. На четвёр-
і,П
4 4 14 4 4 ч ^3 7 4 I
том ранге р- -центром является р- = ]уiц т-а(у-^,у^) < 2 • к • а|,
- = (1, п), п - номер затравки.
Предположим, что на ранге / = Ь -1 рЬ 1 -центром является:
{VП тАуї-1,УІП) < 2і-2 • ^і-2 •а}, / = (1,£), і = (1«), П
'П
номер затравки.
ь
Тогда получим, что на ранге / = і рі - центром является:
і' Vі'' і ,П 1 п
(Уіп, vjJп) < 2і 1 • кь 1 • а}, / = (1, і), і = (1, п), п- номер
¡л
. (3)
Формула (3) является верхней оценкой для р- - центра предфрактального (Х Ь)-графа О/ = (У/, Е/).
Следствие 2. р- -центр предфрактального (п, Ь) -графа О/ = (V/, Е/) равен
р- “ Г-,п
^ тг-^(v/п,^ 2і 1 • к1 1 • а}, / = (1,і), і = (1,п), п-номер
-Я’ -П
затравки, если затравка - полный п -вершинный граф.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.
2. Федер Е. - М.: Мир, 1991.
3. Емеличев В.А. и др. Лекции по теории графов. - М.: Наука, 1990.
4. Берж К. Теория графов и ее применения. - М.: Изд. иностр. лит-ры, 1962.
5. Кочкаров А.М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз, 1998.
6. Кочкаров А.М., Перепелица В.А. Метрические характеристики фрактального и пред-
. . .-1999.
7. Емеличев В.А., Перепелица В.А. О некоторых алгоритмических проблемах многокритериальной оптимизации па графах // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. 1989, №2 с. 171 - 183.
8. . . р - -
тальном графе с затравкой - двудольный граф. Российская конференция “Дискретный анализ и исследование операций”. Новосибирск, 2004, с. 116.
9. Узденов А.А. Задача выделения р-центра с гарантированными оценками. VI Всероссий-“ ”.
1. , 2004, . 11.
УДК 519.8 (314)
Д.М. Эдиев, Дж.Б. Тебуев
Карачаево-Черкесская государственная технологическая академия, г. Черкесск
О МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССОВ ДОЖИТИЯ В УСЛОВИЯХ НЕПОЛНОТЫ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ И МАЛОЧИСЛЕННОСТИ
НАСЕЛЕНИЯ*
Моделирование процесса дожития является одной из основных задач матема-.
процесс дожития с помощью математической функции или набора функций, связывающих измеримые показатели смертности. Наиболее распространённой фор-
( ),
обеспечивающая итоговое описание смертности на когорту рождения. Методы, используемые для построения таблиц дожития, можно разделить на следующие группы: прямые традиционные методы, косвенные методы, комбинированный .
Прямые методы [1] построения таблиц дожития позволяют оценивать возрастные показатели дожития непосредственно из эмпирических данных. Эти методы рассчитаны на исследование процесса дожития в больших популяциях, т.к. в силу закона больших чисел частота появления события приближается к его вероятности по мере роста числа испытаний. В рамках прямых традиционных методов для выяснения связи между возрастными коэффициентами смертности (оцениваются из ) ( )
[1], -
жителей Чанга [1].
Экспоненциальное приближение предполагает, что в пределах возрастного интервала сила смертности остаётся неизменной и равняется соответствующему
.
распределение смертей в рассматриваемом возрастном интервале. Эти предположения являются достаточно точным только для средних возрастов. Для вычисления вероятности смерти в младшем возрасте обычно используют эмпирическую
* Работа выполнена в рамках проекта РФФИ № 05-06-80432 «Рюработка математических моделей и методов оценивания показателей воспроизводства малочисленного населения»
