CC BY
61
УДК 519.1
РАСПОЗНАВАНИЕ ПРЕДФРАКТАЛЬНОГО ГРАФА, ПОРОЖДЕННОГО ПОЛНОЙ ДВУДОЛЬНОЙ ЗАТРАВКОЙ
UDC 519.1
RECOGNITION OF PRE-FRACTAL COUNT, DESCENDANT COMPLETE DICOTYLEDONOUS PRIMER
Кочкаров Расул Ахматович
к.ф.-м.н., доцент, заместитель директора по
информационным технологиям
Финансовый университет при правительстве РФ,
Москва, Россия
Кунижева Лариса Адамовна
Северо-Кавказская государственная гуманитарно-технологическая академия, Черкесск, Россия
Kochkarov Rasul Ahmatovich
Cand.Phys. -Math.Sci., associate professor, deputy
director for information technologies
Financial university at the government of the RF,
Moscow, Russia
Kunizheva Larisa Adamovna
North Caucasian state technological Academy of the Humanities, Tcherkessk, Russia
В статье предложены алгоритмы распознавания структур сложных сетевых систем и объектов. В качестве модели структур рассмотрен предфрактальный граф. Сформулированы необходимые и достаточные признаки предфрактальности структуры, доказаны теоремы, обосновывающие работу предложенных алгоритмов
In the article the algorithms of recognition of structures of complex network systems and objects are offered.
As a model of structures we have considered a pre-fractal graph. Necessary and sufficient signs of pre-fractal structures are stated. The theorems proving work of offered algorithms are proved
Ключевые слова: РАСПОЗНАВАНИЕ, Keywords: RECOGNITION, PRIMER, FRACTAL
ЗАТРАВКА, ФРАКТАЛЬНЫЙ H AND PRE-FRACTAL GRAPH, ALGORITHM
ПРЕ Д ФР АКТ А ЛЬНЙ РРАФЫ, АЛРОРИТМ.
Множество задач, возникающих в физике, технике, химии, социологии, экономике и других областях, адекватно моделируются средствами теории графов.
При моделировании сложных объектов с изменяющейся во времени структурой возникают задачи распознавания предфрактального графа [1]. Такого рода задачи могут возникать при распределении ресурсов целевых программ [2, 3, 4], при реализации крупных научно-исследовательских проектов, при организации экономических союзов, в военном деле при организации военных блоков.
В настоящей работе в качестве объекта распознавания используется предфрактальный граф. Предрактальные графы являются подходящим математическим объектом для распознавания структуры сложных систем со структурным хаосом, а размерность таких графов является параметром, обуславливающим поведение системы, что подтверждает важность исследования как самих предфрактальных графов, так и их размерности. И в качестве средства
моделирования структурного хаоса предлагается использовать предфрактальный граф. Следует отметить также, что на пред фрактальных графах удобно строить и реализовывать параллельные алгоритмы. Таким образом, проблема распознавания графа является, несомненно, актуальной и значимой.
Для формулировки определений будем использовать общепринятое
обозначение G = (V>E"> для всякого конечного и бесконечного графа.
Термином "затравка" [1] условимся называть какой-либо связный
/7-вершинный граф H = (W’<2) с непомеченными, т.е. ненумерованными вершинами veW . Для определения фрактального (предфракталъного) графа [1] нам потребуется операция замены вершины затравкой (ЗВЗ). Суть операции ЗВЗ заключается в следующем.
В данном графе G = (V>E"> у намеченной для замещения вершины [5] vogW выделяется ее окружение, т.е. множество и° всех вершин, смежных с вершиной v°, и множество R° всех ребер, инпилентных вершине v0.R0={e = (v0,u).ueU0}, т0=\и0\_ число вершин во множестве и°. Далее определяется некоторое отображение ф
вершин и е и° во множество вершин затравки:
q>:U0^W^
то есть каждой вершине 11 eU° ставится в соответствие определяемая с помощью ф вершина затравки (<p(u) = veWy После чего у каждого ребра e = (vo^u)eRo из выделенного окружения конец v° заменяется на определяемую отображением (1) вершину v=(p(m) затравки Н. "Старое" ребро e = (vo>M) в "новом" измененном виде (v,m),v=cp(m) сохраняет первоначальное обозначение (нумерацию). Операция ЗВЗ считается оконченной, как только для каждого ребра (v0’M)e^0> Mei/o замещаемая
вершина v° будет заменена на определяемую отображением (1) вершину v=(p(m) затравки Н. Ненумерованным вершинам затравки присваиваются номера с учетом уже имеющихся номеров других вершин данного графа G. Аналогично
присваиваются обозначения (номера) ребрам затравки, которая заместила намеченную вершину у°.
Определим поэтапный процесс выполнения операции ЗВЗ. На этапе 5 = 1 в данной затравке н = нумеруем вершины и ребра, полученный граф
обозначим через ^ .
Пусть выполнены этапы 5 = 1>2’и по завершении этапа I получен граф &1=(УьЕ1) ^ который называем предфрактальным (если то речь будем вести о
фрактальном графе (’>= ). На этапе5 = / + 1 для каждой вершины 17 е
осуществляется операция ЗВЗ, т.е. замещение вершины затравкой Н . Операция
ЗВЗ применяется к каждой вершине 17 е 1//-] и, как отметили выше, представляет собой обобщение известной операции "расщепление вершины графа". Суть этого обобщения, как видно из определения предфрактального графа, состоит в том, что
каждая расщепляемая вершина у е ^-1 замещается не ребром, а затравкой н = . В
процессе выполнения этой операции все ребра е е Е/-] сохраняются и называются
старыми ребрами по отношению ко всем текущим графам 5 Где всегда Е >1.
При этом все старые ребра, инцидентные замещаемой вершине 17 е 1//-], становятся (случайным или регулярным образом) инцидентными некоторым вершинам затравки, которая заместила вершину у. Ребра каждой из таких появившихся затравок
называются новыми ребрами, т.е. множество новых ребер есть множество (^^-1);
ребра этого множества являются старыми ребрами в текущих графах с1+к^ = ^2,
Граф ^(г+1) _^(г+1)’£(г+1)^ получается в результате применения операции ЗВЗ к каждой
из вершин из !//. При этом условимся говорить, что граф ('(1+]> порожден затравкой //,
1 е I1’2’ ). В качестве (,] всегда принимается данная затравка Н .
Процесс построения предфрактального графа является рекуррентным и означает, по существу, построение последовательности предфрактальных графов, которую будем называть "траекторией":
Сг=(Гг,£г) 1 = 1,2,..!
где 1 1,25 ^ - номера шагов (этапов) процесса порождения графа с .
Рассмотрим следующую проблему. Пусть представлен в явном виде некоторый граф = . Проблема заключается в определении предфрактальности данного
графа С = ^ то есть в определении траектории порождения предфрактального
графа. Для этого используются необходимые условия предфрактальности графа О = (V,Е) .
1 \ тт \V\=N
1) Для мощности множества вершин I I существует непустое множество пар п‘,^>, таких, что п’‘ или 1п”г = г =
2) Для мощности множества ребер т ~ 1^1 существует хотя бы одна пара п-^,
, удовлетворяющая равенству
т =----q
пь -1
П |^| п2
Н = (Жь}¥2,()) Щ = Щ = ~, \()\ = д= —
Замечание!. Для случая, когда 2 4 формула (3)
п1 -1 п2
т =-
примет ВИД _ п -1 4
Если количество вершин у и ребер Е графа ('= ^ ~ ^ удовлетворяет необходимым условиям 1), 2), то ставятся два вопроса из области теории распознавания:
а) является ли данный граф О предфрактальным с полной двудольной затравкой;
б) можно ли построить достаточно эффективный алгоритм, который
гарантированно дает положительный или отрицательный ответ на
вопрос а).
Рассмотрим случай распознавания предфрактального («,Х)-графа с полной
двудольной затравкой, если старые ребра не пересекаются.
Смысл распознавания предфрактального («,£)-графа, по существу, сводится к
построению траектории (2): сь^ь-
Алгоритм аі.
Вычислительная схема алгоритмаа! состоит из ^ = этапов.
Подэтап Р= 1 этапа = 1 осуществляет выделение и окрашивание множества
у° _ ¡ук 1 . ■
стартовых вершин (СВ) к *' ' >, где индексы ''] нумерации СВ пробегают значения
/ = 1,2,.. п 7 = 1,2,...—
2 в случае, если С представляет собой («,х)-граф. Всякая СВ вершина
у(к) п^-1)
4 определяется относительно множества вершин блоков г , выделенных на
У(к)
предыдущих этапах 1,2,...,Ы. Множество СВ составляют вершины " , каждая из которых к началу этапа к удовлетворяет двум условиям: а) вершина 4 не является окрашенной; Ь) она смежна с уже окрашенной вершиной у' некоторого блока в>( }, т.е. существует неокрашенное ребро 1 , соединяющее окрашенную вершину
/к)
крашенную вершину
этапа к".
у' и неокрашенную вершину . В этом случае ребро е' называем термином "СР
Специфика этапа к= 1 обусловлена тем, что к его началу в данном графе О отсутствуют окрашенные ребра и окрашенные вершины. Суть первого подэтапа
этапа 1 состоит в том, что в качестве его множества СВ выбирается подмножество ^
п
вершин у е ¥ степени 2 Результатом первого подэтапа является выделенное
К°п = К, = 1г(1)) п о V« і - ТЛ
множество СВ 1 и ;; каждая СВ г ; 1 ~1’п, окрашивается;
¥А = п1 -
(пг п1~1-С
4 п-1
V
•2
V є V° ГГ)
Примечание 1. Согласно определению («,£)-графа С, каждая СВ Уі е смежна
п
в С с 2 долями подграфа, изоморфного затравке Н.
Работу этапа к=\ продолжает его второй подэтапр=2. Его результатом являются
V® В г
выделенные для каждой стартовой вершины 1] с помощью процедуры 1 блоки
п2
первого ранга ^ с ^ г = 1-2-л , 4 ребер каждого из блоков окрашивается.
Замечание 2. В силу того, что старые ребра в траектории не пересекаются, все
п п ,
— —+ 1
вершины могут иметь степень 2 или 2
ПРОЦЕДУРА Р .
Просматривая вершины е ^ ^ графа ~~ ^ определяем любую вершину
п
степени 2 . Согласно замечанию 2 такое возможно.
.............. п2
н = Щ = Щ = п, |0| = 9 = —
В силу того, что затравка 4 - двудольный граф,
предполагаем, что выделенная СВ вершина ^} е то, (так как затравка полная) мы
]¥ у«
сразу можем выделить вторую долю 2 , выделив все смежные с г вершины.
Определим принцип выделения другой доли ^ Из выделенной доли берем
М>2е1¥2, / = 1,2,..-.
произвольную вершину 2 Согласно замечанию 2 возможны два
случая.
п
2 —
1) Если степень вершины и' е равна 2 , то мы выделяем сразу другую долю
П л
2 ш —
2) Если степень вершины ^ е 2 равна 2 , выбираем смежную ей вершину ,
если выбранная вершина будет смежна с любой вершиной из доли ^2, то она принадлежит доле ^.
Если на каком-то шаге, мы попадем в вершину, не принадлежащую доле W2, тогда все остальные смежные ей вершины определяют долю .
Таким образом, мы выделяем затравку-блок в^} с: і = ■■п
Процесс выделения блока в^ г = 1>2’■■■п состоит в проверке изоморфен ли
п
затравке Н подграф, порожденный СВ ^ и теми 2 вершинами, которые смежны с На этом процедура Р заканчивает свою работу.
Из выделенного блока в^} придем по старому ребру к другой свободной вершине и, применяя процедуру Р , опять выделяем блок (вершина уже будет
п
степени 2 ).
Замечание 2. В силу вычислений в пункте 2) количество вершин графа (,1 = на шаге 1 = 1-2--/' будет равно 111, а мощность множества старых ребер
|Р | 2 1-2 П1~1 -1 П2 П1~1 -1
с ~ (і/ я ї \Еі-і\ = Ч + пЧ + п Ц + --- + П 4 = 4-----=-----------
графа равна п~1 4 п~1 , так как
2п2 п1~1 -1 _п1(п-2) + п2 ^ 0 ^
п 4 ” ~~1 2(п-1) ПрИ и > 2 т0 «г > 4 п -1 ^ х0 есхь ЧИСЛО
вершин графа ^ = на шаге 1 = 3 - будет больше удвоенного числа старых
ребер графа
Следовательно, количества необходимых вершин, достаточно, чтобы траектории не пересекались.
Положительным результатом этапа к= 1 является выделение п'' 1 окрашенных блоков. Причем ребра каждого из этих блоков образуют полный и-вершинный двудольный граф, изоморфный затравке н предфрактального графа С . Если указанный изоморфизм отсутствует, то этап к= 1 заканчивается с отрицательным результатом в том смысле, что рассматриваемый граф О не является
предфрактальным («,£)-графом. Положительный (отрицательный) результат означает продолжение (остановку) работы алгоритма. Аналогичное утверждение сохраняет свою силу и для дальнейших этапов и соответствующих подэтапов алгоритма.
После окончания первого этапа по «обратному» принципу ЗВЗ замещаем затравку вершиной. Замещаем целиком затравку выделенной одной вершиной, так с(1)
чтобы все ребра 1} , инцидентные этой затравке, были инцидентны этой вершине.
Обозначим блок в^}, изоморфный затравке н вершиной ^} е ^-1; 1 = ^■■п
Получим другой предфрактальный граф = ^Уь-ъЕь-1) 5 и алгоритм продолжит
Ь,—2
свою работу. Аналогично, положительным результатом этапа к = 2 является п окрашенных блоков, причем ребра каждого из этих блоков образуют полный п -вершинный двудольный граф, изоморфный затравке н предфрактального графа С . Если указанный изоморфизм отсутствует, то этап к = 2 заканчивается с отрицательным результатом в том смысле, что рассматриваемый граф О не является предфрактальным
(,п-1,Ь-1)- графом. Положительный (отрицательный) результат означает продолжение (остановку) алгоритма.
Примечание 2. В самом общем виде схема работы каждого этапа к = 2,..Х СОСТОИТ В Следующем.
ск) ■ _ 1 7 Ь-(к-1)
Для любой СВ вершины v, ’ 1 ~ ' "'п предфрактального графа, полученного на предыдущем этапе к ~1 , с помощью процедуры Р выделяется блок
ю(к-1) ■ 1 2 пЬ~к 1 тт г Т>(к-1)
г ’ ’ ’ , изоморфныи затравке Я. Из выделенного блока г придем по
старому ребру к другой свободной вершине и, применяя процедуру Р ,опять
п
п( к-\) —
выделяем блок ‘ (вершина уже будет степени 2 ). Положительным результатом
Ь-к
работы алгоритма на этапе к является п окрашенных блоков, причем ребра каждого блока образуют полный п - вершинный двудольный граф, изоморфный
затравке я. Каждый выделенный блок г замещаем одной вершиной
Получаем предфрактальный граф <^ь~к = (Уь-к>Еь-Л к = 2,3,..2 -1 с полной двудольной затравкой я и непересекающимися «старыми» ребрами.
Алгоритм закончит свою работу на этапе к = 1 5 когда получим
предфрактальный граф ^ = н, то есть распознавание предфрактального графа свелось
к построению траектории ^ А = я .
Теорема 1. Алгоритм аі определяет траекторию (п ,Ц- предфрактального графа = (¥ь>Еь\ если затравка н = О) _ двудольный полный граф и старые
ут
= ы
а.
ребра не пересекаются, где 2’ , причем трудоемкость алгоритма
равна т(а1)= 'п).
Доказательство следует из построения алгоритма а1.
Рассмотрим случай распознавания предфрактального («2)-графа с полной двудольной затравкой, если старые ребра пересекаются.
Определим сначала два термина: "новая затравка" (НЗ) и "старая затравка" (СЗ).
Подграф [1] г = (¥^Ег) данного графа 0=(У,Е), Ег^Е называется нЗ (СЗ),
если он изоморфен затравке Н = и состоит только из "новых" (только из
"старых") ребер, т.е. Е^к^ (Е* ^(еь )) Множество всех НЗ и СЗ в графе С обозначим через г ~ ^ 1 ~ .
Подмножество г е г называется покрытием графа О (затравками), если каждая
вершина графа О принадлежит хотя бы одной затравке ге г*
Доказана
Лемма 1. Для всякого («,<?,¿)-графа покрытие, состоящее только из НЗ (т.е. покрытие г1=г1(^)), является единственным, причем количество ребер в этом покрытии,
состоящем из п попарно непересекающихся затравок, равно
\Еь\Еь-\\ = пЬ V (4)
Приведем алгоритм распознавания предфрактального («,£)-графа с полной двудольной затравкой, если старые ребра пересекаются.
Алгоритм а2.
Алгоритм а2 состоит из трех этапов: “2, а2и “2 . Цель этапа “2 - выделение
множества 2 = = 1 = ц ц = 1г1 всех затравок (НЗ и СЗ) в данном графе ^ = Ф,Е)
, который обладает сформулированными в начале признаками предфрактального графа. При этом значение параметра п (размерность затравки) считается априори
известным. Тогда ранг 1 = (1пЛ0/1пи ^ N = И _
Работа этапа “2 состоит в том, что в данном графе С=(¥,Е) последовательно к каждой вершине у е у применяются вышеописанные три подэтапа
а2? а2И а2 При этом если у очередной вершины уеУ обнаружится, что все инцидентные ей ребра уже окрашены в цвет 1, то эту вершину окрашиваем сразу же, не воспроизводя работы вышеуказанных подэтапов. После чего переходим к рассмотрению очередной неокрашенной вершины из V.
Окраска всех ~ 1^1 вершин в С означает, что путем окрашивания ребер е е Е в
графе С выделено множество всех его затравок.
Работа этапа а2 завершается проверкой, выполняется ли равенство
г(в) = г1(в)^ (5)
которое, согласно лемме 1, означает, что состоит только из новых затравок,
совокупность ребер которых составит множество, ^ если С окажется («,£)-графом. В
п
этом случае следует переход к этапу 2
На этапе а~"2 каждая НЗ стягивается в одну вершину , в которую
стянулись, соответственно затравки 2> е ^, а множество Еь~1 состоит из ребер
е <e(E\rl) граф (’[ -\ будем называть условно-предфрактальным (я,/.-1)-графом.
После завершения этапа “2 всякий раз следует переход к этапу “2, который
применяется к графу, являющемуся результатом работы этапа “2 .
Этап а2 применяется к результату работы этапа “2 в том случае, когда не выполняется равенство (5), что означает наличие СЗ в множестве всех затравок. В
результате работы этапа “2 ребра каждой из СЗ окрашиваются в цвет 2, а ребра
каждой из НЗ по-прежнему остаются окрашенными в цвет 1. После чего следует
fff
переход к этапу 2 5 на котором каждая из НЗ стягивается в вершину.
^^ х-т*
По своему определению, граф 1 состоит из совокупности пересекающихся НЗ и
ft
СЗ. Дальнейшая работа 2 состоит в распознавании всех НЗ в 1 . Достаточное условие для распознавания НЗ представляет
Лемма 2. Для того чтобы какая-либо затравка z = (vz>ez)gZi представляла собой СЗ, необходимо, чтобы у всякой вершины ve Vz ее степень удовлетворяла неравенству
deg v > 2
( г\
п
4
V J
(6)
✓"'Г Н* /О *
Доказательство. Действительно, по определению суграфа 0 и его части 1 , каждая вершина у принадлежит одной НЗ, которая не имеет общих ребер с
2 2 л__1
какой-либо СЗ, и свой вклад в степень внесут 4 ребер из НЗ и 4 ребер из СЗ, откуда и получаем выполнение неравенства (6).
Лемма 2 доказана.
¡Г тг*
Применительно к графу 1 работа этапа °'2 состоит в просмотре вершин из 1 и
f т/ *
обнаружении такой вершины у е 1 , для которой неравенство (6) не выполняется. Если такая вершина у’ найдется, то эта вершина принадлежит только одной НЗ
г = Тогда, в силу леммы 1, множество г всех затравок, отличных от и
пересекающихся с НЗ z', является множеством СЗ. После такого локального распознавания осуществляются два действия: 1) в графе G окрашиваются в цвет 2
ребра всех СЗ z е z ); 2) в графе Gl вычеркиваются все ребра е е Ez' и ребра всех СЗ
у* / Г *
z е z (z)' ß оставшемся графе (обозначим его через 2) снова осуществляется
локальное распознавание очередной НЗ. Результатом этапа а'2 является граф, в котором ребра всех НЗ окрашены в цвет 1, а ребра всех СЗ окрашены в цвет 2. После
fff tr
чего следует переход к этапу 2 . Для полного обоснования 2 остается показать, что является справедливой
х-т* х-т*
Лемма 3. В каждом графе последовательности 1 , 2порождаемой в
процессе работы этапа “2, всегда найдется вершина v, для которой не выполняется условие (6).
Для доказательства леммы 3 достаточно показать, что в каждом из графов
/Т/* Z7*\
,tLs) количество ребер всех СЗ в s просто недостаточно для построения такой
✓-т*
совокупности затравок, которая могла бы образовать покрытие графа s . Для установления этого факта определим понятие минимального покрытия и оценим его мощность, т.е. количество затравок в нем.
Упомянутому в лемме 1 покрытию Zl приписан индекс к= 1, остальные
покрытия z пронумеруем индексами ^ = 2А и через p = p(G:) = {zir} обозначим
17 I
множество всех покрытий графа G; 1^1- количество затравок, составляющих
7 0
покрытие к. Покрытие Z еР называется минимальным, если для него выполняется равенство
Z0
= min \Zk\
" 1<*<Р' 1 Р=|Р|
Рассмотрим теперь на примере (п,1) -графа о=(у,Е) вопрос существования такого
покрытия г е ^1 е , каждая затравка которого состоит только из старых ребер. Согласно (2), (3) и (4), всех старых ребер
II 9 Т — 9
\ЕЬ_Л = д+ пд + п д + ... + п с
п2
9 = —
где для («,/)-графа значение 4 . Величина (4) превосходит величину (7). Этот факт с учетом следствия 1 означает, что количество старых ребер в предфрактальном (и, 0 -графе меньше такого количества ребер, которое необходимо для построения минимального покрытия.
Отсюда получаем, что построенный на этапе а2псуграф 0 содержит вершины, каждая из которых принадлежит лишь одной НЗ г е г1. Это же утверждение распространяется на всякую компоненту связности графа 1 или на такую ее часть, которая порождается в процессе работы этапа “2. Иными словами, получаемая в процессе реализации этапа “2 последовательность * в = обладает тем
свойством, что в каждом ее элементе * найдется вершина V, для которой условие (6) не выполняется. Следовательно, эта вершина идентифицирует собой НЗ 2-7-{(У) ^
удаление которой из * (согласно правилам этапа а'2) приводит к графу ,
содержащему вершину с аналогичным свойством.
Таким образом, если данный граф С является предфрактальным («,/)-графом,
то работа этапа а2 завершается с положительным результатом.
Приведенные выше леммы 1-3 обеспечивают обоснование алгоритма “2 в
С1
случае перехода от исходного графа С к условно - предфрактальному графу Ь~1. Если С действительно является («,/)-графом, то результативная (¿-кратная) работа
алгоритма а'2 означает построение последовательности условно-предфрактальных графов
которая в обратном порядке воссоздает последовательность (2). Построение последовательности (8), состоящей из ь графов, и означает положительный результат
Научный журнал КубГАУ, №91(07), 2013 года распознавания предфрактального графа.
Теорема 2. Алгоритм °'2 определяет траекторию (п,1)~ предфрактального графа =(¥ь>Еь) если затравка н = ^\^2,0). двудольный полный граф и старые ребра пересекаются, причем причем трудоемкость алгоритма а2 равна
г<«2) = 0(».„) гйе И=И=§.К1 = *
Литература
1 .Кочкаров А.М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз: РАН CAO, 1998
2.Кочкаров А.А., Малинецкий Г.Г. Управление безопасностью и стойкостью сложных систем в условиях внешних воздействий //Проблемы управления. 2005.№5.С.70-76.
3.Кочкаров P.A. Целевые программы: инструментальная поддержка. М: ЗАО «Издательство «Экономика» », 2007. 223с.
4.Кунижева ДА. Кочкаров P.A. Многокритериальная постановка задачи выбора проектов целевых программ / Л.А. Кунижева, P.A. Кочкаров // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета (Научный журнал КубГАУ) [Электронный ресурс]. - Краснодар: КубГАУ, 2013. - №04 (88). - ША [article id]: 0881304031
5. Емеличев В.A., Перепелица В.А. Сложность дискретных многокритериальных задач // Дискретная математика. - 1994. Т. 6, вып. 1.
6. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978.
7. Харари Ф. Теория графов. - М.: Мир, 1973.
References
1. Kochkarov A.M. Raspoznavanie fraktal'nyh grafov. Algoritmicheskij podhod. Nizhnij Arhyz: RAN SAO, 1998
2. Kochkarov A.A., Malineckij G.G. Upravlenie bezopasnost'ju i stojkost'ju slozhnyh sistem v uslovijah vneshnih vozdejstvij // Problemy upravlenija. 2005.№5.S.70-76.
3. Kochkarov R.A. Celevye programmy: instrumental'naja podderzhka. M: ZAO «Izdatel'stvo «Jekonomika» », 2007. 223s.
4. Kunizheva Г.А. Kochkarov R.A. Mnogokriterial'naja postanovka zadachi vybora proektov celevyh programm / L.A. Kunizheva, R.A. Kochkarov // Politematicheskij setevoj jelektronnyj nauchnyj zhurnal Kubanskogo gosudarstvennogo agramogo uni ver si teta (Nauchnyj zhurnal KubGAU) [Jelektronnyj resurs], - Krasnodar: KubGAU, 2013. - №04 (88). - ША [article id]: 0881304031
5. Emelichev V.A., Perepelica V.A. Slozhnost' diskretnyh mnogokriterial'nyh zadach // Diskretnaja matematika. - 1994. T. 6, vyp. 1.
6. Kristofides N. Teorija grafov. Algoritmicheskij podhod. - M.: Mir, 1978.
7. Harari F. Teorija grafov. - M.: Mir, 1973.
